Sedm stavů náhodnosti - Seven states of randomness

Stochastický proces s náhodnými přírůstky ze symetrického stabilního rozdělení s  α  = 1,7. Všimněte si nespojitých změn.

Stochastický proces s náhodnými přírůstky ze standardní normální distribuce .

Na sedm států náhodnosti v teorii pravděpodobnosti , fraktály a analýzy rizik jsou rozšíření pojmu náhody , jak modelovat normální distribuce . Těchto sedm států poprvé představil Benoît Mandelbrot ve své knize Fractals and Scaling in Finance z roku 1997 , která aplikovala fraktální analýzu na studium rizika a náhodnosti. Tato klasifikace vychází ze tří hlavních stavů náhodnosti: mírné, pomalé a divoké.

Důležitost sedmi stavů klasifikace náhodnosti pro matematické finance spočívá v tom, že metody, jako je Markowitzovo průměrné rozptylové portfolio a Black -Scholesův model, mohou být znehodnoceny, protože zbytky rozdělení výnosů jsou vykrmeny : první z nich spoléhá na konečnou standardní odchylku ( volatilitu ) a stabilita korelace , zatímco ta je konstruována při Brownově pohybu .

Dějiny

Těchto sedm států navazuje na dřívější práci Mandelbrota v roce 1963: „Variace určitých spekulativních cen“ a „Nové metody ve statistické ekonomii“, v nichž tvrdil, že většina statistických modelů přistupuje pouze k první fázi řešení indeterminismu ve vědě, a že ignorovali mnoho aspektů turbulencí v reálném světě , zejména většinu případů finančního modelování . To pak přednesl Mandelbrot na Mezinárodním kongresu pro logiku (1964) na adrese s názvem „Epistemologie náhody v některých novějších vědách“

Intuitivně řečeno, Mandelbrot tvrdil, že tradiční normální rozdělení správně nezachycuje empirické a „reálné“ distribuce a existují i ​​jiné formy náhodnosti, které lze použít k modelování extrémních změn v riziku a náhodnosti. Poznamenal, že nahodilost se může stát docela „divokou“, pokud jsou upuštěny požadavky týkající se konečného průměru a rozptylu . Divoká náhodnost odpovídá situacím, ve kterých jediné pozorování nebo konkrétní výsledek může ovlivnit součet velmi nepřiměřeným způsobem.

Náhodné čerpání z exponenciálního rozdělení s průměrem = 1. (Hraniční mírná náhodnost)

Náhodné čerpání z lognormálního rozdělení s průměrem = 1. (Pomalá náhodnost s konečnými a lokalizovanými momenty)

Náhodné čerpání z Paretovy distribuce s průměrem = 1 a α  = 1,5 (divoká náhodnost)

Klasifikace byla formálně zavedena v jeho knize Fractals and Scaling in Finance z roku 1997 jako způsob, jak vnést pohled do tří hlavních stavů náhodnosti: mírné, pomalé a divoké. Vzhledem k N přídavkům se porcování týká relativního příspěvku dodatků k jejich součtu. By i porcování, Mandelbrot znamenalo, že sčítance byly stejného řádu , jinak se považuje za porcování musí být koncentrovaný . S ohledem na moment řádu q části náhodné proměnné , Mandelbrot nazvaný kořen studia q tohoto okamžiku se činitel měřítka (řádu q ).

Sedm států je:

1. Správná mírná náhodnost: krátkodobé porcování je dokonce pro N  = 2, např. Normální rozdělení
2. Mírná náhodnost na hranici: krátkodobé porcování je koncentrováno pro N  = 2, ale nakonec se stává ještě rostoucím N , např. Exponenciální rozdělení s rychlostí λ  = 1 (a tak s očekávanou hodnotou 1/ λ  = 1)
3. Pomalá náhodnost s konečnými delokalizovanými momenty: faktor měřítka se zvyšuje rychleji než q, ale ne rychleji než , w  <1${\ displaystyle {\ sqrt [{w}] {q}}}$
4. Pomalá náhodnost s konečnými a lokalizovanými momenty: faktor měřítka se zvyšuje rychleji než jakákoli mocnina q , ale zůstává konečná, např. Lognormální rozdělení a co je důležité, ohraničené rovnoměrné rozdělení (které konstrukcí s konečným měřítkem pro všechny q nemůže být předem divoká náhodnost. )
5. Před divoká náhodnost: faktor měřítka se stává nekonečným pro q  > 2, např. Paretovo rozdělení s α  = 2,5
6. Divoká náhodnost: nekonečný druhý moment, ale konečný moment nějakého pozitivního řádu, např. Paretova distribuce s${\ Displaystyle \ alpha \ leq 2}$
7. Extrémní náhodnost: všechny momenty jsou nekonečné, např. Log-Cauchyho distribuce

Divoká náhoda má uplatnění mimo finanční trhy, např. Byla použita při analýze turbulentních situací, jako jsou divoké lesní požáry .

S využitím prvků tohoto rozlišení v březnu 2006, rok před finanční krizí v letech 2007–2010 a čtyři roky před bleskovou havárií v květnu 2010, během níž měl Dow Jones Industrial Average během dne švih o 1 000 bodů, Mandelbrot a Nassim Taleb publikoval článek ve Financial Times a tvrdil, že tradiční „zvonové křivky“, které se používají již více než století, jsou pro měření rizika na finančních trzích nedostatečné, vzhledem k tomu, že tyto křivky ignorují možnost prudkých skoků nebo nespojitostí. Kontrastem tohoto přístupu s tradičními přístupy založenými na náhodných procházkách uvedli:

Žijeme ve světě primárně poháněném náhodnými skoky a nástroje určené pro náhodné procházky řeší špatný problém.

Mandelbrot a Taleb poukázali na to, že ačkoli lze předpokládat, že šance na nalezení osoby, která je několik mil vysoká, je extrémně nízká, podobná nadměrná pozorování nelze vyloučit v jiných oblastech použití. Argumentovali tím, že ačkoli tradiční zvonové křivky mohou poskytnout uspokojivé vyjádření výšky a váhy v populaci, neposkytují vhodný modelovací mechanismus pro tržní rizika nebo výnosy, kde pouhých deset obchodních dnů představuje 63 procent výnosů za posledních 50 let.

Definice

Zdvojnásobení konvoluce

Pokud je označena hustota pravděpodobnosti , pak ji lze získat dvojitou konvolucí . ${\ displaystyle U = U '+U' '}$${\ displaystyle p_ {2} (u)}$${\ Displaystyle p_ {2} (x) = \ int p (u) p (xu) \, du}$

Krátký poměr porcování

Když je u známo, hustota podmíněné pravděpodobnosti u ′ je dána poměrem porcí:

${\ displaystyle {\ frac {p (u ') p (u-u')} {p_ {2} (u)}}}$

Koncentrace v režimu

V mnoha důležitých případech se maximum vyskytuje blízko , nebo blízko a . Vezměte logaritmus a napište: ${\ Displaystyle p (u ') p (u-u')}$${\ displaystyle u '= u/2}$${\ displaystyle u '= 0}$${\ displaystyle u '= u}$${\ Displaystyle p (u ') p (u-u')}$

${\ Displaystyle \ Delta (u) = 2 \ log p (u/2)-[\ log p (0)+\ log p (u)]}$

• Pokud je cap-konvexní , poměr porcí je maximální pro${\ displaystyle \ log p (u)}$${\ displaystyle u '= u/2}$
• Pokud je rovný, je poměr porcování konstantní${\ displaystyle \ log p (u)}$
• Pokud je pohár-konvexní , poměr porcování je minimální pro${\ displaystyle \ log p (u)}$${\ displaystyle u '= u/2}$

Koncentrace v pravděpodobnosti

Rozdělení zdvojující se konvoluce na tři části dává:

${\ Displaystyle p_ {2} (x) = \ int _ {0}^{x} p (u) p (xu) \, du = \ left \ {\ int _ {0}^{\ tilde {x} }+\ int _ {\ tilde {x}}^{x-{\ tilde {x}}}+\ int _ {x-{\ tilde {x}}}^{x} \ right \} p (u ) p (xu) \, du = I_ {L}+I_ {0}+I_ {R}}$

p ( u ) je krátký běh koncentrovaný v pravděpodobnosti, pokud je možné vybrat tak, aby střední interval ( ) měl následující dvě vlastnosti jako u → ∞: ${\ displaystyle {\ tilde {u}} (u)}$${\ displaystyle {\ tilde {u}}, u-{\ tilde {u}}}$

• I ₀ / p ₂ ( u ) → 0
• ${\ displaystyle (u-2 {\ tilde {u}}) u}$ ne → 0

Lokalizované a delokalizované momenty

Zvažte vzorec , pokud p ( u ) je distribuce škálování, integrand je maximální při 0 a ∞, v jiných případech může mít integrand ostré globální maximum pro nějakou hodnotu definovanou následující rovnicí: ${\ displaystyle \ operatorname {E} [U^{q}] = \ int _ {0}^{\ infty} u^{q} p (u) \, du}$${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {q}}$

${\ Displaystyle 0 = {\ frac {d} {du}} (q \ log u+\ log p (u)) = {\ frac {q} {u}}-\ left | {\ frac {d \ log p (u)} {du}} \ vpravo |}$

Člověk musí také vědět v sousedství . Funkce často připouští „gaussovskou“ aproximaci danou: ${\ Displaystyle u^{q} p (u)}$${\ displaystyle {\ tilde {u}} _ {q}}$${\ Displaystyle u^{q} p (u)}$

${\ Displaystyle \ log [u^{q} p (u)] = \ log p (u)+qu = {\ text {konstantní}}-(u-{\ tilde {u}} _ {q})^ {2} {\ tilde {\ sigma}} _ {q}^{-2/2}}$

Když je dobře aproximována Gaussovou hustotou, většina původů pochází z „ q -intervalu“ definovaného jako . Gaussovy q -intervaly se velmi překrývají pro všechny hodnoty . Gaussovské momenty se nazývají delokalizované . Lognormal je q -intervals jsou rovnoměrně rozloženy a jejich šířka je nezávislý na Q ; pokud je tedy log-normal dostatečně zkosený, q -interval a ( q  + 1) -interval se nepřekrývají. Lognormální momenty se nazývají jednotně lokalizované . V ostatních případech se sousední q -intervaly přestanou překrývat pro dostatečně vysoké q , takové momenty se nazývají asymptoticky lokalizované . ${\ Displaystyle u^{q} p (u)}$${\ displaystyle \ operatorname {E} [U^{q}]}$${\ Displaystyle [{\ tilde {u}} _ {q}-{\ tilde {\ sigma}} _ {q}, {\ tilde {u}} _ {q}+{\ tilde {\ sigma}} _ {q}]}$${\ Displaystyle \ sigma}$

Viz také

• Historie nahodilosti
• Náhodná sekvence
• Rozložení tuku
• Silně ocasní distribuce
• Vlnovod Daubechies pro systém založený na nekonečných okamžicích (chaotické vlny)

Reference