Sexagesimal - Sexagesimal

Sexagesimal , také známý jako báze 60 nebo sexagenary , je číselná soustava se šedesáti jako jeho základně . Vznikl u starých Sumerů ve 3. tisíciletí před naším letopočtem, byl předán starověkým Babyloňanům a stále se používá - v upravené podobě - ​​pro měření času , úhlů a zeměpisných souřadnic .

Číslo 60, vynikající vysoce složené číslo , má dvanáct faktorů , konkrétně 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60, z nichž 2, 3 a 5 jsou prvočísla čísla . S tolika faktory je mnoho zlomků zahrnujících sexagesimální čísla zjednodušeno. Jednu hodinu lze například rozdělit rovnoměrně na úseky 30 minut, 20 minut, 15 minut, 12 minut, 10 minut, 6 minut, 5 minut, 4 minuty, 3 minuty, 2 minuty a 1 minuta. 60 je nejmenší číslo, které je dělitelné každým číslem od 1 do 6; to znamená, že je to nejnižší společný násobek 1, 2, 3, 4, 5 a 6.

V tomto článku jsou všechny sexagesimální číslice reprezentovány jako desetinná čísla, pokud není uvedeno jinak. Například 10 znamená číslo deset a 60 znamená číslo šedesát .

Původ

Pomocí palce a ukazování na každou ze tří prstových kostí na každém prstu je možné, aby lidé počítali na prstech až 12 na jedné ruce. Tradiční systém počítání, který se stále používá v mnoha asijských oblastech, funguje tímto způsobem a mohl by pomoci vysvětlit výskyt číselných systémů založených na 12 a 60 kromě systémů založených na 10, 20 a 5. V tomto systému má druhá ruka člověka by spočítal, kolikrát bylo z první ruky dosaženo 12. Pět prstů by napočítalo pět sad po 12 nebo šedesáti. Babylonský sexagesimální systém však byl založen na šesti skupinách po deseti, nikoli pěti skupinách po 12.

Podle Otto Neugebauera není původ sexagesimalu tak jednoduchý, konzistentní ani časově jedinečný, jak je často zobrazován. Během mnoha staletí používání, které dnes pokračuje u specializovaných témat, jako je čas, úhly a astronomické souřadnicové systémy, sexagesimální zápisy vždy obsahovaly silný podproud desítkové notace, například v tom, jak jsou psány sexagesimální číslice. Jejich použití také vždy zahrnovalo (a stále zahrnuje) nesrovnalosti v tom, kde a jak mají různé základy reprezentovat čísla, a to i v rámci jednoho textu.

Rané proto-klínové písmo (4. tisíciletí př. N. L.) A klínové znaky pro sexagesimální systém (60, 600, 3600 atd.)

Nejvýkonnějším hnacím motorem důsledného, ​​plně konzistentního používání sexagesimalu byly vždy jeho matematické výhody pro psaní a výpočet zlomků. Ve starověkých textech to ukazuje skutečnost, že sexagesimal je v matematických tabulkách dat používán nejjednotněji a konzistentně. Dalším praktickým faktorem, který v minulosti pomohl rozšířit používání sexagesimalu, i když méně konzistentně než v matematických tabulkách, byly jeho rozhodující výhody pro obchodníky a kupující pro usnadnění každodenních finančních transakcí, když zahrnovaly vyjednávání a rozdělení většího množství zboží. Zvláště raný šekel byl jedna šedesátina many, ačkoli Řekové později tento vztah vynucovali do poměru kompatibilnějšího se základnou-10, kdy šekel je jedna padesátina mina .

Kromě matematických tabulek se nesrovnalosti v tom, jak byla čísla zastoupena ve většině textů, rozšířily až k nejzákladnějším klínovým symbolům používaným k reprezentaci číselných veličin. Například symbol klínového písma pro 1 byla elipsa vytvořená použitím zaobleného konce stylusu pod úhlem k hlíně, zatímco sexagesimální symbol pro 60 byl větší ovál nebo „velká 1“. Ale ve stejných textech, ve kterých byly tyto symboly použity, bylo číslo 10 znázorněno jako kruh vytvořený aplikací kulatého konce stylu kolmého na hlínu a větší kruh nebo „velké 10“ bylo použito k reprezentaci 100. Takový symboly vícepodlažní číselné veličiny lze kombinovat navzájem a se zkratkami, a to i v rámci jednoho čísla. Podrobnosti a dokonce implikované velikosti (protože nula nebyla používána důsledně) byly idiomatické pro konkrétní časová období, kultury a množství nebo pojmy, které jsou zastoupeny. I když takovéto kontextově závislé reprezentace číselných veličin lze zpětně snadno kritizovat, v moderní době stále máme desítky pravidelně používaných příkladů míchání bází závislých na tématu, včetně nedávné inovace přidávání desetinných zlomků k sexagesimálním astronomickým souřadnicím.

Používání

Babylonská matematika

Sexagesimální systém používaný ve starověké Mezopotámii nebyl čistým systémem základny 60 v tom smyslu, že pro své číslice nepoužíval 60 odlišných symbolů . Místo toho, klínového písma číslice používá deset jako podklad v módě na sign-zápis hodnoty : a sexagesimal číslice byla složena ze skupiny úzkých klínových značek reprezentující jednotky až devět ( , , , , ... , ) a skupina široký, značky klínové představující až pět desítek ( , , , , ). Hodnota číslice byla součtem hodnot jejích jednotlivých částí:

Čísla větší než 59 byla označena více bloky symbolů této formy v zápisu hodnoty místa . Protože neexistoval žádný symbol pro nulu , není vždy okamžitě zřejmé, jak by mělo být číslo interpretováno, a jeho skutečná hodnota musela být někdy určena jeho kontextem. Například symboly pro 1 a 60 jsou identické. Později babylonské texty používaly zástupný symbol ( ) k reprezentaci nuly, ale pouze v mediálních pozicích, a ne na pravé straně čísla, jako to děláme v číslech jako13 200 .

Jiné historické zvyklosti

V čínském kalendáři , je šedesátiletý cyklus se běžně používá, ve kterém jsou dny nebo roky jmenován pozic v pořadí deseti kmeny a v dalším sledu 12 poboček. Stejný kmen a větev se opakují každých 60 kroků v tomto cyklu.

Book VIII of Plato ‚s republiky zahrnuje alegorie manželství se soustředil na číslo 60 ⁴ =12 960 000 a jeho dělitele. Toto číslo má obzvláště jednoduché sexagesimální zastoupení 1,0,0,0,0. Pozdější učenci se pokusili vysvětlit tuto pasáž jak babylonskou matematiku, tak hudební teorii.

Ptolemaios ‚s Almagest , pojednání o matematické astronomie napsané v druhém století našeho letopočtu, používá základnu 60 k vyjádření zlomkové části čísla. Zejména jeho akordová tabulka , která byla v podstatě jedinou rozsáhlou trigonometrickou tabulkou po více než tisíciletí, má na základně 60 zlomkové části stupně.

Středověcí astronomové také používali sexagesimální čísla k zaznamenávání času. Al-Biruni nejprve rozdělil hodinu sexagesimally na minuty , sekundy , třetiny a čtvrtiny na 1000 při diskusi o židovských měsících. Kolem roku 1235 Jan ze Sacrobosca pokračoval v této tradici, i když si Nothaft myslel, že Sacrobosco byl první, kdo tak učinil. Pařížská verze tabulek Alfonsine (asi 1320) používala den jako základní jednotku času, zaznamenávající násobky a zlomky dne v notaci base-60.

Systém sexagesimal number byl i nadále evropskými astronomy často používán k provádění výpočtů až v roce 1671. Například Jost Bürgi in Fundamentum Astronomiae (předloženo císaři Rudolfovi II. V roce 1592), jeho kolega Ursus ve Fundamentum Astronomicum a případně také Henry Briggs , pro výpočet sinusů používaly multiplikační tabulky založené na systému sexagesimal na konci 16. století.

Na konci 18. a na počátku 19. století bylo zjištěno , že tamilští astronomové provádějí astronomické výpočty a počítají se skořápkami pomocí směsi desítkových a sexagesimálních zápisů vyvinutých helénistickými astronomy.

Číselné systémy báze-60 byly také použity v některých jiných kulturách, které nesouvisejí se Sumery, například lidmi Ekari ze Západní Nové Guineje .

Moderní použití

Moderní použití pro systém sexagesimal zahrnuje měření úhlů , geografických souřadnic , elektronické navigace a času .

Jedna hodina času je rozdělena na 60 minut a jedna minuta je rozdělena na 60 sekund. Měření času, jako je 3:23:17 (3 hodiny, 23 minut a 17 sekund), lze tedy interpretovat jako celé sexagesimální číslo (bez sexagesimálního bodu), což znamená 3 × 60 ² + 23 × 60 ¹ + 17 × 60 ⁰ sekund . Každá ze tří šestimístných číslic v tomto čísle (3, 23 a 17) je však zapsána pomocí desítkové soustavy.

Podobně je praktickou jednotkou úhlové míry stupeň , kterého je v kruhu 360 (šest šedesátých let). Existuje 60 minut oblouku ve stupni a 60 obloukových sekund za minutu.

YAML

Ve verzi 1.1 formátu ukládání dat YAML jsou sexagesimals podporovány pro jednoduché skaláry a formálně specifikovány pro celá čísla i čísla s plovoucí desetinnou čárkou. To vedlo ke zmatku, protože např. Některé MAC adresy by byly rozpoznány jako sexagesimals a načteny jako celá čísla, kde jiné nebyly a načteny jako řetězce. V YAML 1.2 byla podpora pro sexagesimals zrušena.

Zápisy

V helénistických řeckých astronomických textech, jako jsou Ptolemaiovy spisy , byla sexagesimální čísla psána pomocí řeckých abecedních číslic , přičemž každá sexagesimální číslice byla považována za odlišné číslo. Hellenističtí astronomové přijali nový symbol pro nulu,-°, který se v průběhu staletí proměňoval v jiné formy, včetně řeckého písmene omicron, ο, což obvykle znamená 70, ale je přípustné v systému se sexuálním vztahem, kde maximální hodnota v jakékoli poloze je 59. Řekové omezili používání číslic v omezeném počtu na zlomkovou část čísla.

Ve středověkých latinských textech byla sexagesimální čísla psána pomocí arabských číslic ; různé úrovně zlomků byly označovány minuta (tj. zlomek), minuta secunda , minuta tertia atd. V 17. století se stalo běžným označovat celočíselnou část sexagesimálních čísel nadpisovou nulou a různé zlomkové části jednou nebo více akcentních značek. John Wallis ve své Mathesis universalis zobecnil tento zápis tak, aby zahrnoval vyšší násobky 60; jako příklad uvedeme číslo 49 ‵ ‵ ‵ ‵ 36 ‵ ‵ ‵ 25‵‵15‵1 ° 15'2 ″ 36 ‴ 49 ⁗ ; kde jsou čísla vlevo vynásobena vyššími mocninami 60, jsou čísla vpravo dělena mocninami 60 a číslo označené horní indexovou nulou je vynásobeno 1. Tento zápis vede k moderním znakům stupňů, minut , a sekund. Stejná minutová a druhá nomenklatura se také používá pro jednotky času a moderní notace pro čas s hodinami, minutami a sekundami psanými v desítkové soustavě a oddělenými od sebe dvojtečkami lze interpretovat jako formu sexagesimálního zápisu.

V některých systémech použití byla každá poloha za sexuálním minimálním bodem očíslována pomocí latinských nebo francouzských kořenů: prime nebo primus , seconde nebo secundus , tierce , quatre , quinte atd. Dodnes nazýváme částí druhého řádu hodinu nebo stupně za „vteřinu“. Minimálně do 18. století,1/60 sekundy se nazývalo „tierce“ nebo „třetí“.

Ve třicátých letech minulého století Otto Neugebauer představil moderní notační systém pro babylonská a helénistická čísla, který nahrazuje moderní desetinnou notaci od 0 do 59 v každé poloze, přičemž pomocí středníku (;) odděluje integrální a zlomkové části čísla a používá čárku (,) k oddělení pozic v rámci každé části. Například průměrný synodický měsíc používaný babylonskými i helénistickými astronomy a stále používaný v hebrejském kalendáři je 29; 31,50,8,20 dne. Tento zápis se používá v tomto článku.

Zlomky a iracionální čísla

Zlomky

V sexagesimal systému, jakákoli frakce , v níž jmenovatelem je pravidelný číslo (které mají pouze 2, 3 a 5 v jeho primární faktorizace ) může být vyjádřen přesně. Zde jsou uvedeny všechny zlomky tohoto typu, ve kterých je jmenovatel menší nebo roven 60:

Čísla, která nejsou pravidelná, však tvoří složitější opakující se zlomky . Například:

1 / 7 = 0; 8,34,17 (sloupec udává posloupnost několika číslic, 8,34,17 se opakuje nekonečně mnohokrát)

1 / 11 = 0; 5,27,16,21,49

1 / 13 = 0; 4,36,55,23

1 / 14 = 0; 4, 17,8,34

1 / 17 = 0; 3,31,45,52,56,28,14,7

1 / 19 = 0; 3,9,28,25,15,47,22,6,18,56,50,31,34,44,12,37,53,41

1 / 59 = 0; 1

1 / 61 = 0; 0,59

Ze skutečnosti, že obě čísla sousedící s šedesáti, 59 a 61, jsou obě prvočísla, vyplývá, že zlomky, které se opakují s periodou jedné nebo dvou sexagesimálních číslic, mohou mít jako jmenovatele pouze pravidelné násobky čísel 59 nebo 61 a že ostatní nepravidelná čísla mají zlomky, které se opakují s delší periodou.

Iracionální čísla

Babylonský tablet YBC 7289 ukazující sexuální číslo 1; 24,51,10 přibližné  √ 2

Reprezentace iracionálních čísel v jakékoli poziční číselné soustavě (včetně desítkové a sexagesimální) se nekončí ani neopakují .

Odmocnina ze 2 , délka úhlopříčky části jednotky čtverce , byla aproximována Babylonians Starého Babylonian období ( 1900 BC - 1650 BC ), jak je

${\ Displaystyle 1; 24,51,10 = 1+{\ frac {24} {60}}+{\ frac {51} {60^{2}}}+{\ frac {10} {60^{3 }}} = {\ frac {30547} {21600}} \ cca 1,41421296 \ ldots}$

Protože √ 2  ≈ 1,414 213 56 ... je iracionální číslo , nelze ho přesně vyjádřit v sexagesimalu (nebo vlastně v jakémkoli systému s celočíselnou základnou), ale jeho sexagesimální expanze začíná 1; 24,51,10,7,46,6,4, 44 ... ( OEIS :  A070197 )

Řecký matematik a vědec Ptolemaios použil hodnotu π 3; 8,30 = 3 +8/60 + 30/60 ² = 377/120 ≈ 3,141 666 .... Jamshīd al-Kāshī , perský matematik z 15. století , vypočítal 2 π jako sexagesimální výraz na správnou hodnotu, když byl zaokrouhlen na devět subdigitů (tedy na1/60 ⁹); jeho hodnota pro 2 π byla 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,50. Stejně jako √ 2 výše, 2 π je iracionální číslo a nelze jej vyjádřit přesně sexuálně. Jeho sexuálněimimální expanze začíná 6; 16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35 ... ( OEIS :  A091649 )

Viz také

• Hodiny
• Zeměpisná šířka
• Trigonometrie

Reference

Další čtení

• Ifrah, Georges (1999), The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer , Wiley, ISBN 0-471-37568-3.
• Nissen, Hans J .; Damerow, P .; Englund, R. (1993), Archaické účetnictví , University of Chicago Press, ISBN 0-226-58659-6

externí odkazy

• „Fakta o výpočtu stupňů a minut“ je kniha v arabském jazyce od Sibṭ al-Māridīnī, Badr al-Dīn Muḥammad ibn Muḥammad (nar. 1423). Tato práce nabízí velmi podrobné zpracování sexagesimální matematiky a zahrnuje to, co se zdá být první zmínkou o periodicitě sexagesimálních zlomků.