Tvar - Shape

Dětská hračka sloužící k učení různých tvarů

Tvar nebo údaj je forma objektu nebo jeho vnějším okrajem, obrys, nebo vnějším povrchu , na rozdíl od dalších vlastností, jako je barva , textura , nebo materiálu typu. Tvar roviny , dvourozměrný tvar , nebo 2D tvar ( rovina obr , dvojrozměrný číslo , nebo 2D obrázek ) je omezen na leží na rovině , na rozdíl od pevné číslo s.

Klasifikace jednoduchých tvarů

Různé polygonální tvary.

Některé jednoduché tvary lze zařadit do širokých kategorií. Například, mnohoúhelníky jsou klasifikovány podle jejich počtu hran, trojúhelníků , čtyřúhelníků , pětiúhelníků , atd Každý z nich je rozdělena do menších skupin; trojúhelníky mohou být rovnostranné , rovnoramenné , tupé , ostré , skalní atd., zatímco čtyřúhelníky mohou být obdélníky , kosočtverce , lichoběžníky , čtverce atd.

Dalšími běžnými tvary jsou body , čáry , roviny a kuželosečky, jako jsou elipsy , kruhy a paraboly .

Mezi nejběžnější trojrozměrné tvary patří mnohostěny , což jsou tvary s plochými plochami; elipsoidy , což jsou objekty ve tvaru vejce nebo koule; válce ; a šišky .

Pokud předmět spadá do některé z těchto kategorií přesně nebo dokonce přibližně, můžeme jej použít k popisu tvaru objektu. Říkáme tedy, že tvar poklopu šachty je disk , protože je to přibližně stejný geometrický objekt jako skutečný geometrický disk.

V geometrii

Geometrické tvary ve 2 rozměrech: rovnoběžník , trojúhelník a kruh
Geometrické tvary ve 3 rozměrech: pyramida , koule a kostka

Geometrický tvar je geometrické údaje, které zůstává při umístění , měřítko , orientace a reflexe jsou odstraněny z popisu geometrického objektu . To znamená, že výsledek přesunutí obrazce kolem, jeho zvětšení, otočení nebo zrcadlení v zrcadle má stejný tvar jako originál, a nikoli zřetelný tvar.

Mnoho dvojrozměrných geometrických tvarů může být definováno množinou bodů nebo vrcholů a čar spojujících body v uzavřeném řetězci, stejně jako výslednými vnitřními body. Takové tvary se nazývají mnohoúhelníky a zahrnují trojúhelníky , čtverce a pětiúhelníky . Jiné tvary mohou být ohraničeny křivkami , jako je kruh nebo elipsa .

Mnoho trojrozměrných geometrických tvarů lze definovat pomocí sady vrcholů, čar spojujících vrcholy a dvojrozměrných ploch uzavřených těmito čarami, jakož i výsledných vnitřních bodů. Takové tvary se nazývají mnohostěny a zahrnují kostky i pyramidy, jako jsou čtyřstěny . Jiné trojrozměrné tvary mohou být ohraničeny zakřivenými povrchy, jako je elipsoid a koule .

Říká se, že tvar je konvexní, pokud jsou součástí bodu také všechny body na úsečce mezi jakýmikoli dvěma jeho body.

Vlastnosti

Postavy zobrazené ve stejné barvě mají stejný tvar a jsou si prý podobné.

Existuje několik způsobů, jak porovnat tvary dvou objektů:

  • Shoda : Dva objekty jsou shodné, pokud lze jeden přeměnit na druhý sledem otáčení, překladů a/nebo odrazů.
  • Podobnost : Dva objekty jsou si podobné, pokud jeden lze transformovat na druhý jednotným škálováním společně se sekvencí otáčení, překladů a/nebo odrazů.
  • Izotopy : Dva objekty jsou izotopické, pokud lze jeden přeměnit na druhý sledem deformací, které předmět neroztrhnou ani do něj nevloží díry.

Někdy lze dva podobné nebo shodné objekty považovat za objekty s odlišným tvarem, pokud je k přeměně jednoho na druhý zapotřebí odraz. Například písmena „ b “ a „ d “ se navzájem odrážejí, a proto jsou shodná a podobná, ale v některých kontextech nejsou považována za stejná. Někdy je pro určení jeho tvaru uvažován pouze obrys nebo vnější hranice objektu. Například dutá koule může mít stejný tvar jako plná koule. Procrustesova analýza se v mnoha vědách používá k určení, zda dva objekty mají stejný tvar, nebo k měření rozdílu mezi dvěma tvary. V pokročilé matematice může být kvazi-izometrie použita jako kritérium pro tvrzení, že dva tvary jsou přibližně stejné.

Jednoduché tvary lze často klasifikovat na základní geometrické objekty, jako je bod , čára , křivka , rovina , rovinná postava (např. Čtverec nebo kruh ) nebo plná postava (např. Krychle nebo koule ). Většina tvarů vyskytujících se ve fyzickém světě je však složitá. Některé, jako jsou rostlinné struktury a pobřežní linie, mohou být tak komplikované, že se vzpírají tradičnímu matematickému popisu - v takovém případě je lze analyzovat pomocí diferenciální geometrie nebo jako fraktály .

Ekvivalence tvarů

V geometrii mají dvě podmnožiny euklidovského prostoru stejný tvar, pokud lze jednu transformovat na druhou kombinací překladů , rotací (společně také nazývaných rigidní transformace ) a rovnoměrných škálování . Jinými slovy, tvar množiny bodů jsou všechny geometrické informace, které jsou neměnné pro překlady, otáčení a změny velikosti. Mít stejný tvar je ekvivalenční vztah , a podle toho může být dána přesná matematická definice pojmu tvar jako třída ekvivalence podmnožin euklidovského prostoru, které mají stejný tvar.

Matematik a statistik David George Kendall píše:

V tomto dokumentu je „tvar“ použit ve vulgárním smyslu a znamená to, co by člověk normálně očekával. [...] Zde definujeme „tvar“ neformálně jako „všechny geometrické informace, které zůstávají, když jsou z objektu odfiltrovány efekty polohy, měřítka a rotace“.

Tvary fyzických objektů jsou stejné, pokud podmnožiny prostoru, které tyto objekty zabírají, splňují výše uvedenou definici. Zejména tvar nezávisí na velikosti a umístění objektu v prostoru. Například „ d “ a „ p “ mají stejný tvar, protože je lze dokonale překrýt, pokud je „ d “ přeloženo doprava o danou vzdálenost, otočeno vzhůru nohama a zvětšeno o daný faktor (viz Procrustes superpozice pro detaily). Nicméně, zrcadlový obraz by mohl být nazýván jiný tvar. Například „ b “ a „ p “ mají jiný tvar, přinejmenším když jsou nuceny pohybovat se v dvourozměrném prostoru, jako je stránka, na které jsou napsány. I když mají stejnou velikost, neexistuje způsob, jak je dokonale překrýt jejich překladem a otáčením po stránce. Podobně v trojrozměrném prostoru má pravá a levá ruka jiný tvar, i když jsou navzájem zrcadlovými obrazy. Tvary se mohou změnit, pokud je objekt zmenšen nerovnoměrně. Například koule se stane elipsoidem, když je zmenšena ve svislém a vodorovném směru. Jinými slovy, zachování os symetrie (pokud existují) je důležité pro zachování tvarů. Tvar je také určen pouze vnější hranicí objektu.

Shoda a podobnost

Objekty, které lze navzájem transformovat rigidními transformacemi a zrcadlením (ale nikoli škálováním), jsou shodné . Objekt je tedy shodný se svým zrcadlovým obrazem (i když není symetrický), ale ne se zmenšenou verzí. Dva shodné objekty mají vždy stejný tvar nebo zrcadlový obraz a mají stejnou velikost.

Objekty, které mají stejný tvar nebo tvary zrcadlového obrazu, se nazývají geometricky podobné , bez ohledu na to, zda mají nebo nemají stejnou velikost. Objekty, které lze navzájem transformovat rigidními transformacemi, zrcadlením a rovnoměrným škálováním, jsou si tedy podobné. Podobnost je zachována, když je jeden z objektů rovnoměrně zmenšen, zatímco shoda není. Shodné objekty jsou tedy vždy geometricky podobné, ale podobné objekty nemusí být shodné, protože mohou mít různou velikost.

Homeomorfismus

Flexibilnější definice tvaru bere v úvahu skutečnost, že realistické tvary jsou často deformovatelné, např. Osoba v různých polohách, strom ohýbající se ve větru nebo ruka s různými polohami prstů.

Jedním ze způsobů modelování netuhých pohybů jsou homeomorfismy . Zhruba řečeno, homeomorfismus je kontinuální roztahování a ohýbání předmětu do nového tvaru. Tak, čtverec a kruh jsou homeomorfní mezi sebou, ale koule a kobliha nejsou. Často opakovaný matematický vtip je, že topologové nedokážou rozeznat svůj šálek od koblihy, protože dostatečně poddajný koblih by mohl být přetvořen do podoby šálku kávy vytvořením důlku a jeho postupným zvětšováním při zachování otvoru pro koblihu v šálku Rukojeť.

Popisovaný tvar má vnější čáry, které můžete vidět a vytvořit tvar. Pokud jste vkládali souřadnice a souřadnicový graf, mohli byste nakreslit čáry, abyste ukázali, kde můžete vidět tvar, ale ne pokaždé, když vložíte souřadnice do grafu jako takového, můžete vytvořit tvar. Tento tvar má obrys a ohraničení, abyste ho mohli vidět, a nejedná se jen o pravidelné tečky na běžném papíře.

Analýza tvaru

Výše zmíněné matematické definice rigidního a nerigidního tvaru vznikly v oblasti statistické analýzy tvarů . Analýza Procrustes je zejména technikou používanou ke srovnávání tvarů podobných předmětů (např. Kostí různých zvířat) nebo k měření deformace deformovatelného předmětu. Jiné metody jsou navrženy tak, aby pracovaly s netuhými (ohybnými) objekty, např. Pro získávání tvarů nezávislých na držení těla (viz například Spektrální analýza tvaru ).

Třídy podobnosti

Všechny podobné trojúhelníky mají stejný tvar. Tyto tvary lze klasifikovat pomocí komplexních čísel u, v, w pro vrcholy metodou, kterou pokročili JA Lester a Rafael Artzy . Například rovnostranný trojúhelník lze vyjádřit komplexní čísla 0, 1, (1 + i √3) / 2, které představují jeho vrcholů. Lester a Artzy tomu říkají poměr

tvar trojúhelníku ( u, v, w ). Pak je tvar rovnostranného trojúhelníku

(0– (1+ √3)/2)/(0–1) = (1 + i √3)/2 = cos (60 °) + i sin (60 °) = exp (i π/3).

Pro každý afinní transformaci v komplexní rovině ,   trojúhelník je transformován, ale nemění svůj tvar. Proto tvar je neměnný na afinní geometrie . Tvar p = S ( u, v, w ) závisí na pořadí argumentů funkce S, ale permutace vedou k souvisejícím hodnotám. Například,

Taky

Kombinací těchto permutací získáte dále,

Tyto vztahy jsou „pravidly převodu“ pro tvar trojúhelníku.

Tvar čtyřúhelníku je spojen se dvěma komplexními čísly p, q . Pokud má čtyřúhelník vrcholy u, v, w, x , pak p = S ( u, v, w ) a q = S ( v, w, x ). Artzy dokazuje tato tvrzení o čtyřúhelníkových tvarech:

  1. Pokud je tedy čtyřúhelník rovnoběžník .
  2. Má -li rovnoběžník | arg p | = | arg q |, pak je to kosočtverec .
  3. Když p = 1 + i a q = (1 + i)/2, pak je čtyřúhelník čtvercový .
  4. If a sgn r = sgn (Im p ), pak je čtyřúhelník lichoběžník .

Polygon má tvar definovaný n - 2 komplexní čísla Mnohoúhelník ohraničuje konvexní množina , když všechny tyto tvarové díly mají imaginární složky stejného znaménka.

Lidské vnímání tvarů

Psychologové se domnívají, že lidé mentálně rozkládají obrazy na jednoduché geometrické tvary zvané geony . Příklady geonů zahrnují kužely a koule. Byla také zkoumána široká škála dalších tvarových reprezentací. Zdá se, že tvarové vlastnosti se scvrkávají do tří základních dimenzí: segmentovatelnost , kompaktnost a ostrost .

Existují také jasné důkazy, že tvary vedou lidskou pozornost .

Viz také

Reference

externí odkazy

  • Slovníková definice tvaru na Wikislovníku