Shing -Tung Yau - Shing-Tung Yau

Shing-Tung Yau
narozený	( 1949-04-04 )04.04.1949 (věk 72) Shantou , Guangdong , Čína
Státní příslušnost	Spojené státy (od roku 1990)
Alma mater	Chinese University of Hong Kong (BA 1969) University of California, Berkeley (Ph.D. 1971)
Známý jako	Calabi dohad Calabi-Yau mnohonásobně pozitivní energie teorém SYZ dohady Yau dohad Yau dohad na první eigenvalue Bogomolov-Miyaoka-Yau nerovnost Donaldson-Uhlenbeck-Yau věta Yau-Tian-Donaldson dohad Schoen-Yau domněnka
Manžel / manželka	Yu-yun Kuo
Děti	2
Ocenění	Cena Johna J. Cartyho (1981) Veblenova cena (1981) Fieldsova medaile (1982) Crafoordova cena (1994) Národní medaile vědy (1997) Wolfova cena (2010)
Vědecká kariéra
Pole	Matematika
Instituce	Harvard University Stanford University Stony Brook University Institute for Advanced Study University of California, San Diego
Doktorský poradce	Shiing-Shen Chern
Doktorandi	Richard Schoen (Stanford, 1977) Robert Bartnik (Princeton, 1983) Mark Stern (Princeton, 1984) Huai-Dong Cao (Princeton, 1986) Gang Tian (Harvard, 1988) Jun Li (Stanford, 1989) Lizhen Ji (Northeastern, 1991 ) Kefeng Liu (Harvard, 1993) Mu-Tao Wang (Harvard, 1998) Chiu-Chu Melissa Liu (Harvard, 2002)

Shing-Tung Yau ( / j aʊ / ; Číňan :丘成桐; pinyin : Qiū Chéngtóng ; narozen 04.04.1949 ) je americký matematik a William Caspar Graustein profesor matematiky na Harvardské univerzitě .

Yau se narodil v Shantou v Číně, v mladém věku se přestěhoval do Hongkongu a v roce 1969 do Spojených států. V roce 1982 mu byla udělena Fieldsova medaile jako uznání jeho příspěvku k parciálním diferenciálním rovnicím , Calabiho domněnce , pozitivnímu energetická věta a Mongeova -Ampérova rovnice . Yau je považován za jednoho z hlavních přispěvatelů k vývoji moderní diferenciální geometrie a geometrické analýzy . Dopad Yauovy práce lze vidět v matematických a fyzikálních polích diferenciální geometrie, parciálních diferenciálních rovnic , konvexní geometrie , algebraické geometrie , enumerativní geometrie , zrcadlové symetrie , obecné relativity a teorie strun , zatímco jeho práce se dotkla také aplikované matematiky , inženýrství a numerická analýza .

Životopis

Yau se narodil v Shantou , Guangdong , Čína s původem Hakka v Jiaoling County . Má sedm sourozenců, včetně Stephena Shing-Toung Yau , také matematika. Když mu bylo jen několik měsíců, jeho rodina se přestěhovala do Hongkongu .

Yauův otec Yau Chenying byl vlastenecký profesor čínské filozofie, který pracoval proti invazním Japoncům. Pod vlivem svého otce získal Yau rozsáhlé znalosti o klasické čínské literatuře a historii, což vyústilo v esej o matematice a čínské literatuře (數學 和 中國 文學 的 比較) s odkazem na Dream of the Red Chamber a Wang Guowei , vysvětluje strukturální vztah mezi matematikou a čínskou literaturou, publikovaný v roce 2006. Jeho matka pocházela z okresu Mei .

Po absolvování střední školy Pui Ching studoval matematiku na Čínské univerzitě v Hongkongu v letech 1966 až 1969. Yau odešel na Kalifornskou univerzitu v Berkeley na podzim 1969, kde získal titul Ph.D. v matematice o dva roky později, pod dohledem Shiing-Shen Chern . Strávil rok jako člen Institutu pro pokročilé studium v Princetonu, než v roce 1972 nastoupil jako odborný asistent na Stony Brook University . V roce 1974 se stal docentem na Stanfordské univerzitě .

V roce 1978 se Yau stal „bez státní příslušnosti“ poté, co mu britský konzulát zrušil pobyt v Hongkongu kvůli statusu trvalého pobytu v USA . Pokud jde o jeho postavení při převzetí Fieldsovy medaile v roce 1982, Yau uvedl „Jsem hrdý na to, že když jsem získal Fieldsovu medaili z matematiky, neměl jsem žádný pas žádné země a rozhodně bych měl být považován za Číňana“. Yau zůstal „bez státní příslušnosti“ až do roku 1990, kdy získal americké občanství.

V letech 1984 až 1987 pracoval na Kalifornské univerzitě v San Diegu . Od roku 1987 je na Harvardově univerzitě .

Technické příspěvky k matematice

Yau přispěl k vývoji moderní diferenciální geometrie a geometrické analýzy . Jak řekl William Thurston v roce 1981:

Málokdy jsme měli příležitost být svědky podívané na práci jednoho matematika, která v krátkém období let ovlivnila směr celých oblastí výzkumu. V oblasti geometrie je jeden z nejpozoruhodnějších příkladů takového výskytu v posledním desetiletí dán příspěvky Shing-Tung Yau.

Calabiho domněnka

V roce 1978 Yau vyřešením složité Mongeovo-Ampérovy rovnice vyřešil Calabiho dohadu , kterou vyslovil Eugenio Calabi v roce 1954. To ukázalo, že metriky Kähler-Einstein existují na jakémkoli uzavřeném Kählerově rozdělovači, jehož první Chernova třída je nepozitivní. Yauova metoda se spoléhala na nalezení vhodných adaptací dřívějších prací Calabiho, Jürgena Mosera a Alekseie Pogorelova , vyvinutých pro kvazilineární eliptické parciální diferenciální rovnice a skutečnou Mongeovu-Ampérovu rovnici , k nastavení komplexní Mongeovy-Ampérovy rovnice.

V diferenciální geometrii je Yauova věta významná při dokazování obecné existence uzavřených potrubí speciální holonomie ; jakýkoli jednoduše připojený uzavřený Kählerův rozdělovač, který je Ricciho plochý, musí mít svou skupinu holonomů obsaženou ve speciální unitární skupině , podle Ambrose-Singerovy věty . Dominic Joyce a Peter Kronheimer našli příklady kompaktních riemannianských variet s jinými speciálními holonomickými skupinami , ačkoli v případě ostatních skupin nebyly úspěšně identifikovány žádné návrhy na výsledky obecné existence, analogické s Calabiho dohadem.

V algebraické geometrii , existence kanonických metrik jak navrhuje Calabi umožňuje, aby jeden, čímž se získá stejně kanonických zástupce charakteristických tříd podle diferenciálních tvarů . Vzhledem k počátečnímu úsilí Yau o vyvrácení Calabiho dohadu tím, že ukázal, že by to v takových souvislostech vedlo k rozporům, dokázal ke své primární větě nakreslit nápadné důsledky. Calabiova domněnka konkrétně implikuje Miyaoka-Yauovu nerovnost na Chernových počtech povrchů, stejně jako homotopické charakterizace komplexních struktur komplexní projektivní roviny a kvocientů dvojrozměrné komplexní jednotkové koule .

V teorii strun objevili v roce 1985 Philip Candelas , Gary Horowitz , Andrew Strominger a Edward Witten, že rozvody Calabi-Yau jsou díky své speciální holonomii vhodnými konfiguračními prostory pro superstruny. Z tohoto důvodu je Yauova věta o existenci pro Calabi-Yau potrubí považována za zásadní v moderní teorii strun.

Skalární zakřivení a věta o pozitivní energii

Věta o pozitivní energii, kterou získal Yau ve spolupráci se svým bývalým doktorandem Richardem Schoenem , je často popisována fyzikálně:

V Einsteinově teorii obecné relativity je gravitační energie izolovaného fyzického systému nezáporná.

Je to však přesná věta diferenciální geometrie a geometrické analýzy . Přístup Schoena a Yau je založen na jejich studiu riemannianských variet pozitivního skalárního zakřivení, které je považováno za zajímavé samo o sobě.

Schoen a Yau identifikovali jednoduchý, ale nový způsob vložení Gauss-Codazziho rovnic do druhého variačního vzorce pro oblast stabilního minimálního nadplochy trojrozměrného riemannianského potrubí, které Gaussovou-Bonnetovou větou silně omezuje možnou topologii takový povrch, když má 3-potrubí pozitivní skalární zakřivení.

Schoen a Yau toto pozorování využili nalezením nových konstrukcí stabilních minimálních hyperpovrchů s různými kontrolovanými vlastnostmi. Některé z jejich výsledků existence byly vyvinuty současně s renomovanými výsledky Jonathana Sackse a Karen Uhlenbeckové . Jejich nejznámějším výsledkem je nastavení určitých asymptoticky plochých počátečních datových sad v obecné relativitě , kde ukázali, že negativita hmotnosti by umožnila vyvolat Plateauův problém pro konstrukci stabilních minimálních povrchů, jejichž topologie je v rozporu s rozšířením jejich původní pozorování na Gaussově-Bonnetově větě. Tento rozpor prokázal riemannianskou formulaci věty o pozitivní hmotnosti v obecné relativitě.

Schoen a Yau to rozšířili na standardní Lorentzianovu formulaci věty o pozitivní hmotnosti studiem parciální diferenciální rovnice navržené Pong-Soo Jangem. Dokázali, že řešení Jangovy rovnice existují daleko od zjevných horizontů černých děr, ve kterých se řešení mohou rozcházet do nekonečna. Vztažením geometrie Lorentzianova počátečního souboru dat na geometrii grafu řešení k Jangově rovnici, interpretované jako Riemannianův počáteční soubor dat, Schoen a Yau redukovali obecnou Lorentzianovu formulaci věty o pozitivní hmotnosti na svůj dříve prokázaný Riemannova formulace.

Vzhledem k použití Gauss-Bonnetovy věty byly tyto výsledky původně omezeny na případ trojrozměrných riemannianských variet a čtyřrozměrných Lorentzianových variet. Schoen a Yau zavedli indukci dimenze konstruováním riemannianských metrik pozitivního skalárního zakřivení na minimálních hyperpovrchech riemannianských variet, které mají pozitivní skalární zakřivení. Tyto minimální nadploch, které byly zkonstruovány pomocí geometrické teorie míry od Frederick Almgren a Herbert Federerem , obvykle nejsou hladké ve velkých rozměrech, takže tyto metody pouze přímo vztahují se k Riemannových potrubí o rozměru menší než osm. V roce 2017 publikovali Schoen a Yau předtisk, který tvrdil, že tyto potíže vyřeší, čímž dokázal indukci bez rozměrového omezení a ověřil Riemannovu větu o pozitivní hmotnosti v libovolné dimenzi.

Maximální princip Omori-Yau

V roce 1975 Yau částečně rozšířil výsledek Hideki Omori's, který umožňuje aplikaci maximálního principu na nekompaktní prostory, kde není zaručeno, že existují maxima.

Nechť ( M , g ) je úplné a hladké riemannianské potrubí, jehož Ricciho zakřivení je ohraničeno níže, a nech u je funkce C ² na M, která je ohraničena výše. Pak existuje sekvence p _k v M taková, že

${\ Displaystyle \ lim _ {k \ to \ infty} u (p_ {k}) = \ sup _ {M} u, \ qquad \ lim _ {k \ to \ infty} {\ big |} du (p_ { k}) {\ velký |} _ {g} \ na 0, \ qquad \ limsup _ {k \ na \ infty} \ Delta ^{g} u (p_ {k}) \ leq 0.}$

Omoriho formulace vyžadovala restriktivnější předpoklad, že průřezy křivek g jsou ohraničeny níže konstantou, i když to umožnilo silnější závěr, ve kterém může být Laplacian z u nahrazen jeho pytlovinou.

Přímá aplikace Omori-Yauova principu, publikovaná v roce 1978, dává Yauovu generalizaci klasického Schwarzova lemmatu komplexní analýzy.

Cheng a Yau ukázali, že předpoklad Ricciho zakřivení v maximálním principu Omori-Yau lze nahradit předpokladem existence hladkých mezních funkcí určité kontrolovatelné geometrie. Použitím toho jako primárního nástroje k rozšíření některých Yauových prací při dokazování Calabiho domněnky byli schopni zkonstruovat komplexně geometrické analogy modelu Poincaréovy koule hyperbolického prostoru . Zejména ukázali, že kompletní Kähler-Einsteinova metrika negativního skalárního zakřivení existuje na jakékoli ohraničené, hladké a přísně pseudokonvexní podmnožině komplexně vektorového prostoru s konečnou dimenzí.

Diferenciální Harnackovy nerovnosti

V Yauově článku o maximálním principu Omori-Yau bylo jeho primární aplikací stanovení gradientních odhadů pro řadu eliptických parciálních diferenciálních rovnic druhého řádu . Vzhledem k úplnému a hladkému riemannianskému potrubí ( M , g ) a funkci f na M, která splňuje podmínku vztahující se k Δ f až f a df , použil Yau maximální princip na výrazy jako

${\ Displaystyle u = {\ frac {f+c_ {1}} {\ sqrt {| df | _ {g}^{2}+c_ {2}}}}}$

ukázat, že u musí být ohraničeno níže kladnou konstantou. Takový závěr se rovná horní hranici velikosti gradientu log ( f + c ₁ ) .

Tyto nové odhady se začaly nazývat „diferenciální Harnackovy nerovnosti“, protože je lze integrovat podél libovolných cest v M, aby se získaly nerovnosti, které jsou formou klasických Harnackových nerovností , a přímo porovnávaly hodnoty řešení diferenciální rovnice ve dvou různé vstupní body.

Využitím Calabiho studia distanční funkce na riemannianském rozdělovači poskytli Yau a Shiu-Yuen Cheng výkonnou lokalizaci Yauových odhadů gradientu pomocí stejných metod ke zjednodušení důkazu maximálního principu Omori-Yau. Tyto odhady jsou široce citovány v konkrétním případě harmonických funkcí na riemannianském potrubí, ačkoli původní výsledky Yau a Cheng-Yau pokrývají obecnější scénáře.

V roce 1986 Yau a Peter Li využili stejných metod ke studiu parabolických parciálních diferenciálních rovnic na riemannianských varietách. Richard Hamilton zobecnil jejich výsledky v určitých geometrických nastaveních na maticové nerovnosti. Analogy nerovností Li-Yau a Hamilton-Li-Yau mají velký význam v teorii Ricciho toku , kde Hamilton prokázal maticovou diferenciální Harnackovu nerovnost pro operátora zakřivení určitých toků Ricci a Grigori Perelman prokázal diferenciální Harnackovu nerovnost pro řešení zpětné tepelné rovnice spojené s Ricciho prouděním.

Je zajímavé, že Cheng a Yau byli schopni použít své diferenciální Harnackovy odhady, aby ukázali, že za určitých geometrických podmínek jsou uzavřené dílčí rozdělovače úplných riemannianských nebo pseudoriemanských prostorů úplné. Například ukázali, že pokud M je prostorový hyperploch Minkowského prostoru, který je topologicky uzavřený a má konstantní průměrné zakřivení, pak je indukovaná riemannianská metrika na M kompletní. Analogicky ukázali, že pokud M je afinní hypersféra afinního prostoru, která je topologicky uzavřená, pak je indukovaná afinní metrika na M kompletní. Těchto výsledků je dosaženo odvozením diferenciální Harnackovy nerovnosti pro (čtvercovou) vzdálenostní funkci k danému bodu a integrací podél vnitřně definovaných cest.

Věta Donaldson-Uhlenbeck-Yau

V roce 1985 Simon Donaldson ukázal, že pokud M je nesingulární projektivní paleta komplexních dimenzí dvě, pak holomorfní vektorový svazek nad M připouští hermitovské spojení Yang-Mills právě tehdy, je-li svazek stabilní. Yau a Karen Uhlenbeckové zobecnili Donaldsonův výsledek, aby umožnil M být kompaktním Kählerovým potrubím jakékoli dimenze. Metoda Uhlenbeck-Yau spoléhala na eliptické parciální diferenciální rovnice, zatímco Donaldson použil parabolické parciální diferenciální rovnice, zhruba paralelně s Eellsovou a Sampsonovou epochální prací na harmonických mapách .

Výsledky Donaldsona a Uhlenbeck-Yau byly od té doby rozšířeny o další autory. Uhlenbeckův a Yauův článek je důležitý z jasného důvodu, že stabilita holomorfního vektorového svazku může souviset s analytickými metodami použitými při konstrukci hermitského spojení Yang-Mills. Základním mechanismem je, že pokud se sbližující posloupnost hermitských spojení nedokáže sblížit k požadovanému spojení Yang-Mills, pak je lze změnit na konvergující k subsheafu, u kterého lze ověřit, že je destabilizující Chern-Weilovou teorií .

Donaldsonova-Uhlenbeckova-Yauova věta, vztahující se k existenci řešení geometrické parciální diferenciální rovnice s algebro-geometrickou stabilitou, může být chápána jako předzvěst pozdějšího Yau-Tian-Donaldsonova dohadu, diskutovaného níže.

Geometrické variační problémy

V roce 1982 Li a Yau prokázali následující tvrzení:

Nechť f  : M → S ³ je hladké ponoření, které není vložením. Pokud je S ³ dána jeho standardní Riemannova metrika a M je uzavřený hladký dvourozměrný povrch, pak

${\ Displaystyle \ int _ {M} H^{2} \, d \ mu \ geq 8 \ pi}$

kde H je střední zakřivení o f a dμ je indukovaná forma Riemannian hlasitosti na M .

To je doplněno výsledkem Fernanda Marquese a André Nevese z roku 2012 , který říká, že v alternativním případě, kdy f je hladké vložení S ¹ × S ¹ , pak platí závěr s 8π nahrazeným 2π ² . Tyto výsledky dohromady obsahují Willmoreovu domněnku , jak ji původně formuloval Thomas Willmore v roce 1965.

Ačkoli jejich předpoklady a závěry jsou podobné, metody Li-Yau a Marques-Neves jsou odlišné. Marques a Neves nové použití Almgren-Pitts min-max teorie o geometrické teorie míry . Li a Yau představili nový „konformní invariant“: vzhledem k tomu, že má Riemannovský variátor ( M , g ) a kladné celé číslo n , definují

${\ Displaystyle V_ {c} {\ big (} (M, g), n {\ big)} = \ inf _ {f: M \ to S^{n}} \ left \ {\ sup _ {F: S^{n} \ to S^{n}} {\ Big \ {} \ int _ {M} {\ velký |} d (F \ circ \ varphi) {\ velký |}^{2} \, d \ mu _ {g}: F {\ text {a konformní diffeomorfismus}} {\ Big \}}: f {\ text {conformal}} \ right \}.}$

Hlavní práce jejich článku je ve vztahu jejich konformní invarianty k jiným geometrickým veličinám. Je zajímavé, že navzdory logické nezávislosti důkazů Li-Yau a Marques-Nevese oba spoléhají na koncepčně podobné schémata minimaxů.

Meeks a Yau vytvořili některé základní výsledky na minimálních plochách v trojrozměrných varietách a přehodnotili body, které zůstaly otevřené starší tvorbou Jesse Douglase a Charlese Morreyho . V návaznosti na tyto základy poskytli Meeks, Simon a Yau řadu zásadních výsledků na površích v trojrozměrných riemannianských varietách, které minimalizují plochu v rámci jejich třídy homologie. Dokázali podat řadu nápadných aplikací. Například:

Pokud M je orientovatelný 3-potrubí tak, že každý vložený Hladké 2-koule je hranice oblasti diffeomorphic do otevřené míče ve ℝ ³ , pak totéž platí o jakékoliv krycí prostoru M .

Je zajímavé, že papír Meeks-Simon-Yau a Hamiltonův základní dokument o toku Ricciho , publikovaný ve stejném roce, mají společný výsledek: jakékoli jednoduše připojené kompaktní 3-dimenzionální riemannianské potrubí s pozitivním Ricciho zakřivením je pro 3 sféry diffeomorfní.

Věty o geometrické tuhosti

Následuje dobře známý výsledek, známý jako Bernsteinův problém :

Nechť u je na ℝ ⁿ skutečná funkce . Předpokládejme, že graf u má mizející průměrné zakřivení jako nadpovrchovou plochu ℝ ^{n +1} . Pokud n je menší než devět, pak to znamená, že u má tvar u ( x ) = a ⋅ x + b , zatímco tato implikace neplatí, pokud n je větší nebo rovno devíti.

Klíčovým bodem důkazu je neexistence kónických a neplanárních stabilních hyperploch euklidovských prostorů nízké dimenze; Schoen, Leon Simon a Yau tomu dali jednoduchý důkaz . Vzhledem k „prahové“ dimenzi devíti ve výše uvedeném výsledku je vzhledem k Chengovi a Yauovi poněkud překvapivou skutečností, že v Lorentzianově verzi neexistuje žádné rozměrové omezení:

Nechť u je na ℝ ⁿ skutečná funkce . Předpokládejme, že graf u je prostorový hyperploch Minkowského prostoru ℝ ^{n , 1,} který má mizející průměrné zakřivení. Pak u má tvar u ( x ) = a ⋅ x + b .

Jejich důkaz využívá technik maximálního principu, které dříve použili k prokázání diferenciálních Harnackových odhadů. V článku publikovaném v roce 1986 použili podobné techniky k poskytnutí nového důkazu o klasifikaci úplných parabolických nebo eliptických afrických hypersfér.

Přizpůsobením metody Jürgena Mosera prokazování nerovností Caccioppoli prokázal Yau nové výsledky rigidity pro funkce na úplných riemannianských rozdělovačích, například ukázal, že pokud u je hladká a pozitivní funkce na úplném riemannianském rozdělovači, pak ∆ u ≥ 0 společně s L ^p integrability u znamená, že u musí být konstantní. Podobně na kompletním Kählerově rozdělovači musí být každá holomorfní komplexně hodnocená funkce, která je L ^p -integrovatelná, konstantní.

Prostřednictvím rozšíření diferenciální identity Hermanna Weyla použitého při řešení problému Weylova izometrického vkládání vytvořili Cheng a Yau nové věty o tuhosti charakterizující hyperprostory prostorových forem jejich vnitřní geometrií.

Yauův dokument z roku 1974, podle recenze Roberta Ossermana , obsahuje „ohromující rozmanitost“ výsledků na podrozdělovačích vesmírných forem, které mají vektor středního zakřivení rovnoběžný nebo konstantní délky. Hlavní výsledky jsou o snížení kodimenze.

Skutečná rovnice Monge – Ampère

V roce 1953 Louis Nirenberg poskytl řešení dvourozměrného Minkowského problému klasické diferenciální geometrie. V letech 1976 a 1977 poskytli Cheng a Yau řešení multidimenzionálního Minkowského problému a problému hraniční hodnoty pro rovnici Monge – Ampère . Jejich řešení Mongeovo -Ampérovy rovnice využilo Minkowského problému prostřednictvím Legendrovy transformace , přičemž pozorováním bylo, že Legendrova transformace řešení Mongeovy -Ampérovy rovnice má Gaussovo zakřivení grafu předepsané jednoduchým vzorcem v závislosti na " pravá strana “rovnice Monge – Ampère. Tento přístup se již v literatuře o Mongeově -Ampérově rovnici, která má tendenci spoléhat na přímější, čistě analytické metody, již běžně nevidí. Práce Chenga a Yau byly nicméně prvními publikovanými výsledky, které poskytly úplné řešení těchto výsledků; ve schematické podobě navazovaly na dřívější práci Alekseie Pogorelova , přestože jeho publikované práce neřešily některé významné technické detaily.

Zrcadlová symetrie

"Calabi-Yau potrubí" označuje kompaktní Kähler potrubí, které je Ricci-flat; podle Yauova ověření Calabiho domněnky je známo, že taková potrubí existují. Zrcadlová symetrie, která je návrhem fyziků začínajících na konci 80. let, předpokládá, že rozvody Calabi-Yau komplexní dimenze 3 lze seskupit do dvojic, které sdílejí charakteristiky, jako jsou Eulerova a Hodgeova čísla. Na základě tohoto domnělého obrazu navrhli fyzici Philip Candelas , Xenia de la Ossa , Paul Green a Linda Parkes vzorec enumerativní geometrie, který s ohledem na jakékoli kladné celé číslo d zakóduje počet racionálních křivek stupně d v obecném kvintickém hyperpovrchu čtyřrozměrného komplexního projektivního prostoru. Bong Lian, Kefeng Liu a Yau poskytli přísný důkaz, že tento vzorec platí. Alexander Givental již dříve poskytl důkaz zrcadlových vzorců; podle Liana, Liu a Yau byly podrobnosti jeho důkazu úspěšně vyplněny až po jejich vlastní publikaci.

Přístupy Giventala a Lian-Liu-Yau jsou formálně nezávislé na hypotetickém obrazu toho, zda lze trojrozměrné Calabi-Yauova potrubí ve skutečnosti seskupit, jak tvrdí fyzici. Spolu s Andrewem Stromingerem a Ericem Zaslowem Yau navrhl geometrický obraz toho, jak by bylo možné toto seskupení systematicky chápat. Základní myšlenkou je, že Calabi-Yauův rozdělovač se složitou dimenzí tři by měl být složen ze „speciálních Lagrangeových“ tori, což jsou určité typy trojrozměrných minimálních dílčích rozdělovačů šestidimenzionálního riemannianského rozdělovače, které jsou základem struktury Calabi-Yau. Vzhledem k jednomu trojrozměrnému rozvodu Calabi-Yau člověk konstruuje své „zrcadlo“ tím, že hledí na jeho torusovou foliaci, dualizuje každý torus a rekonstruuje trojrozměrné Calabi-Yauovo potrubí, které nyní bude mít novou strukturu.

Přestože návrh Strominger-Yau-Zaslow (SYZ) není příliš přesně vyjádřen, je nyní chápán jako příliš optimistický. Je třeba počítat s různými degeneracemi a singularitami; i přesto stále neexistuje jediná přesná forma domněnky SYZ. Jeho koncepční obraz má nicméně nesmírný vliv na studium zrcadlové symetrie a výzkum jeho různých aspektů je v současné době aktivním oborem. Lze jej dát do kontrastu s alternativním (a stejně vlivným) návrhem Maxima Kontseviče známého jako homologická zrcadlová symetrie , který se zabývá čistě algebraickými strukturami.

Spektrální geometrie

Vzhledem k hladkému kompaktnímu riemannianskému potrubí s hranicí nebo bez ní spektrální geometrie studuje vlastní čísla operátora Laplace-Beltrami , která v případě, že potrubí má hranici, je spojena s volbou okrajových podmínek, obvykle Dirichletových nebo Neumannových podmínek. Paul Yang a Yau ukázali, že v případě dvojrozměrného potrubí bez hranic je první vlastní číslo ohraničeno výše explicitním vzorcem, který závisí pouze na rodu a objemu potrubí.

Hermann Weyl , v 1910s, ukázal, že v případě Dirichletových okrajových podmínek na hladké a ohraničené otevřené podmnožině roviny mají vlastní čísla asymptotické chování, které je zcela diktováno oblastí obsaženou v oblasti. V roce 1960 George Pólya usoudil, že Weylovo chování dává kontrolu nad každým jednotlivým vlastním číslem, a nejen nad jeho asymptotickou distribucí. Li a Yau, v roce 1983, se ukázal jako oslabenou verzi řídící průměr prvních k- vlastních hodnot pro libovolné k . K dnešnímu dni zůstává průměrná domněnka Polya otevřená.

Článek Li a Yau z roku 1980 poskytl řadu nerovností pro vlastní čísla (pro oba standardní typy okrajových podmínek kromě bezhraničního případu), vše založené na maximálním principu a bodových diferenciálech Harnackovy odhady, jejichž průkopníkem byl o pět let dříve Yau a Cheng -Ano.

Formulace dohadů

Yau sestavil vlivné sady otevřených problémů v diferenciální geometrii , včetně známých starých dohadů s novými návrhy a problémy. Dva z nejvíce citovaných seznamů problémů Yau z 80. let minulého století byly aktualizovány poznámkami o nedávném pokroku od roku 2014.

Dokazování dohadu o geometrizaci pomocí Ricciho toku

V roce 1982 publikoval William Thurston své proslulé domněnky o geometrizaci a tvrdil, že v libovolném uzavřeném 3-potrubí lze nalézt vložené dvourozměrné koule a tori, které odpojí 3-potrubí na kusy, které připouštějí jednotné „geometrické“ struktury. Ve stejném roce Richard Hamilton publikoval svou epochální práci na toku Ricciho , pomocí konvergenční věty pro parabolickou parciální diferenciální rovnici dokázal, že určité nejednotné geometrické struktury na 3-varietách lze deformovat do uniformních geometrických struktur.

Ačkoli to je často přičítáno Hamiltonovi, poznamenal, že Yau je zodpovědný za vhled, že přesné pochopení selhání konvergence pro Hamiltonovu diferenciální rovnici by mohlo stačit k prokázání existence příslušných sfér a tori v Thurstonově domněnce. Tento pohled stimuloval v 90. letech Hamiltonův další výzkum singularit toku Ricciho a vyvrcholil předtisky Grigoriho Perelmana na problém v letech 2002 a 2003. Geometrizační dohady jsou nyní běžně uznávány jako vyřešené prací Hamiltona a Perelmana .

Existence minimálních povrchů

V roce 1981, Almgren-Pitts min-max teorie v geometrické teorie míry byl použit k prokázání existence alespoň jedné minimální nadplochy kteréhokoliv uzavřený hladký trojrozměrný Riemannově potrubí. Yau, v roce 1982, se domníval, že nekonečně mnoho takových ponořených hyperploch musí vždy existovat. Kei Irie, Fernando Codá Marques a André Neves tento problém vyřešili pro generické rozměry dimenze tři až sedm . Antoine Song později vydal předtisk (dosud nezveřejněný), který tvrdil, že Yauova domněnka platí bez předpokladu obecnosti ve stejném rozsahu dimenzí.

Kähler – Einsteinova metrika a stabilita komplexních potrubí

Yauovo řešení Calabiho domněnky dalo v podstatě úplnou odpověď na otázku, jak lze Kählerovu metriku na složitých varietách nepozitivní první třídy Chern deformovat na metriky Kähler-Einstein. Akito Futaki ukázal, že existence holomorfních vektorových polí může působit jako překážka rozšíření těchto výsledků na případ, kdy má komplexní potrubí pozitivní první třídu Chern. Calabiho návrh, objevující se v Yauově „Problémové sekci“, zněl, že metriky Kähler-Einstein existují na jakýchkoli kompaktních Kählerových varietách s pozitivní první třídou Chern, které nepřipouštějí žádná holomorfní vektorová pole. V osmdesátých letech Yau uvěřil, že toto kritérium nebude dostačující a že existence metrik Kähler-Einstein v tomto prostředí musí být spojena se stabilitou komplexního potrubí ve smyslu teorie geometrické invariantnosti . Yauovo chápání této otázky bylo aktualizováno v publikaci „Otevřené problémy v geometrii“ z 90. let minulého století. Následný výzkum Gang Tian a Simona Donaldsona tuto domněnku upřesnil a stal se známou jako „Yau-Tian-Donaldsonova domněnka“. Problém byl vyřešen v roce 2015 kvůli Xiuxiong Chen , Donaldson a Song Sun , kteří za svou práci získali cenu Oswalda Veblena .

Uzlové sady vlastních funkcí

V roce 1980 Yau usoudil, že na hladkém uzavřeném riemannianském potrubí by velikost nulové množiny vlastních funkcí Laplaciana rostla cenovou sazbou v souladu s velikostí vlastní hodnoty. Po řadě dílčích výsledků byly v roce 2018 dohady vyřešeny Alexandrem Logunovem a Eugenií Malinnikovou , kterým byla za jejich práci částečně udělena Clayova cena za výzkum .

jiný

Mezi další hlavní příspěvky Yau patří vyřešení Frankelovy domněnky s Yum-Tong Siu (obecnější řešení je kvůli Shigefumi Mori a rozšíření kvůli Ngaiming Mok ), práce s Williamem Meeksem na zakotvenosti a rovnocennosti řešení problému Plateau (která se stala klíčovou součástí řešení Smithovy domněnky v geometrické topologii ), částečné rozšíření Calabiho domněnky na nekompaktní nastavení s Gang Ťienem a studium existence velkých sfér konstantního průměrného zakřivení v asymptoticky plochých riemannianských varietách s Gerhard Huisken .

Mezi některé z Yauových novějších pozoruhodných příspěvků patří práce s Ji-Xiang Fu a Jun Li na systému Strominger , práce s Yong Linem na Ricciho zakřivení grafů, práce s Kefeng Liu a Xiaofeng Sun na geometrii modulového prostoru povrchů Riemann „Práce s Dariem Martellim a Jamesem Sparkem na metrikách Sasaki – Einsteina a práce s Mu-Tao Wangem na konzervovaných veličinách v obecné relativitě .

Iniciativy v Číně a na Tchaj -wanu

Poté, co Čína vstoupila do reformní a otevírací éry , Yau znovu navštívil Čínu v roce 1979 na pozvání Hua Luogeng .

Aby pomohl rozvíjet čínskou matematiku, Yau začal vzděláváním studentů z Číny. Poté začal zřizovat ústavy a centra pro výzkum matematiky, organizovat konference na všech úrovních, iniciovat programy mimo dosah a získávat soukromé prostředky pro tyto účely. John Coates komentoval úspěch Yau jako fundraiser. První z Yauových iniciativ je Ústav matematických věd na Čínské univerzitě v Hongkongu v roce 1993. Cílem je „organizovat činnosti související s celou řadou oblastí včetně čisté i aplikované matematiky, vědeckých výpočtů , zpracování obrazu , matematické fyziky. a statistiky . Důraz je kladen na interakci a vazby s fyzikálními vědami , strojírenstvím , průmyslem a obchodem . “

Druhou významnou iniciativou Yau je Morningside Center of Mathematics v Pekingu, založené v roce 1996. Část peněz na stavbu a pravidelný provoz získal Yau z nadace Morningside v Hongkongu. Yau také navrhl uspořádat mezinárodní kongres čínských matematiků, který se nyní koná každé tři roky. První kongres se konal v Morningside Center od 12. do 18. prosince 1998.

Jeho třetí iniciativou je Centrum matematických věd na univerzitě Zhejiang , založené v roce 2002. Yau je ředitelem všech tří matematických ústavů a ​​pravidelně je navštěvuje.

Yau odjel na Tchaj-wan na konferenci v roce 1985. V roce 1990 ho Liu Chao-shiuan , tehdejší prezident Národní univerzity Tsinghua , pozval na rok na univerzitu. O několik let později přesvědčil Liu, tehdejšího předsedu Národní rady pro vědu , aby vytvořil Národní centrum teoretických věd (NCTS), které bylo založeno na Hsinchu v roce 1998. Do roku 2005 byl předsedou poradního sboru NCTS .

Profesionální aktivity a dosah

V Hongkongu za podpory Ronnieho Chana zřídil Yau Cenu Hang Lung pro studenty středních škol. Rovněž organizoval a účastnil se setkání pro studenty středních a vysokých škol, například panelových diskusí Proč matematika? Zeptejte se mistrů! v Hangzhou , červenec 2004, a The Wonder of Mathematics v Hongkongu, prosinec 2004. Yau také spoluinicioval sérii knih o populární matematice „Matematika a matematičtí lidé“.

Yau pořádá každoroční konferenci „Journal of Differential Geometry“ a také každoroční konferenci „Current Developments in Mathematics“. Je zakládajícím ředitelem Centra pro matematické vědy a aplikace na Harvardské univerzitě , multidisciplinárního výzkumného centra. Je šéfredaktorem Journal of Differential Geometry , Asian Journal of Mathematics a Advances in Theoretical and Mathematical Physics .

Poradil přes sedmdesát Ph.D. studenti.

Poincaré dohady

V srpnu 2006, New Yorker článek, Manifold Destiny , tvrdil, že Yau bagatelizoval Grigori Perelmanovu práci na Poincaré domněnce . Yau tvrdil, že tento článek je hanlivý , a pohrozil žalobou. Newyorčan stál za příběhem a nebyla podána žádná žaloba. V září 2006 založil Yau web pro styk s veřejností, který v něm zpochybnil body. Sedmnáct matematiků, včetně dvou citovaných v článku New Yorker , zaslalo dopisy silné podpory.

17. října 2006 se v The New York Times objevil sympatičtější profil Yau . Věnoval asi polovinu své délky Perelmanově aféře. Článek uvedl, že Yau odcizil některé kolegy, ale představoval Yauův postoj, protože Perelmanův důkaz nebyl obecně srozumitelný a „měl povinnost vykopat pravdivost důkazu“.

Vyznamenání a ocenění

Yau získal čestné profesorské hodnosti z mnoha čínských univerzit, včetně Hunan Normal University , Peking University , Nankai University a Tsinghua University . Má čestné tituly z mnoha mezinárodních univerzit, včetně Harvardské univerzity , Čínské univerzity v Hongkongu a University of Waterloo . Je zahraničním členem Národních akademií věd Číny, Indie a Ruska.

Mezi jeho ocenění patří:

• 1975-1976, Sloan Fellow .
• 1981, Cena Oswalda Veblena za geometrii .
• 1981, John J. Carty Award for the Advancement of Science , United States National Academy of Sciences .
• 1982, Fieldsova medaile , za „jeho příspěvky k parciálním diferenciálním rovnicím, k Calabiho domněnce v algebraické geometrii , k pozitivnímu dohadování obecné teorie relativity a ke skutečným a komplexním Monge – Ampérovým rovnicím“.
• 1982, zvolen do Americké akademie umění a věd
• 1982, Guggenheimovo společenství .
• 1984–1985, MacArthurův kolega .
• 1991, Cena Humboldta za výzkum , Nadace Alexandra von Humboldta , Německo.
• 1993 zvolen do Národní akademie věd USA
• 1994, Crafoordova cena .
• 1997, United States National Medal of Science .
• 2003, China International Scientific and Technological Cooperation Award, za „jeho mimořádný přínos pro ČLR v aspektech pokroku v oblasti věd a technologie, školení výzkumných pracovníků“.
• 2010, Wolfova cena za matematiku , za „jeho práci v geometrické analýze a matematické fyzice“.
• 2018, Ceny Marcela Grossmanna, „za důkaz pozitivity celkové hmotnosti v teorii obecné relativity a zdokonalování i konceptu kvazi-lokální hmotnosti, za důkaz Calabiho dohadu, za jeho trvalou inspirativní roli ve studii fyziky černých děr “.

Významné publikace

Výzkumné články Yau je autorem více než pěti stovek článků. Následující seznam dvaceti devíti je nejcitovanější, jak bylo uvedeno výše:

Průzkumné články

• Yau, Shing Tung. Problémová část. Seminář o diferenciální geometrii, s. 669–706, Ann. matematiky. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1982.
• Yau, Shing Tung. Průzkum parciálních diferenciálních rovnic v diferenciální geometrii. Seminář o diferenciální geometrii, s. 3–71, Ann. matematiky. Stud., 102, Princeton Univ. Press, Princeton, New Jersey, 1982.
• Yau, Shing-Tung. Nelineární analýza v geometrii. Enseign. Matematika. (2) 33 (1987), no. 1–2, 109–158. Publikováno také jako: Monographies de L'Enseignement Mathématique, 33. Série des Conférences de l'Union Mathématique Internationale, 8. L'Enseignement Mathématique, Geneva, 1986. 54 pp.
• Yau, Shing-Tung. Otevřené problémy v geometrii. Diferenciální geometrie: parciální diferenciální rovnice na varietách (Los Angeles, CA, 1990), 1–28, Proc. Symposy. Pure Math., 54, část 1, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 1993.
• Yau, S.-T. Kontrola geometrie a analýzy. Asijský J. Math. 4 (2000), č. 1, 235–278.
• Yau, Shing-Tung. Pohledy na geometrickou analýzu. Průzkumy v diferenciální geometrii. Sv. X, 275–379, Surv. Lišit. Geom., 10, Int. Press, Somerville, MA, 2006.
• Vybrané výkladové práce Shing-Tung Yau s komentářem. Sv. I-II. Editovali Lizhen Ji, Peter Li, Kefeng Liu a Richard Schoen. Pokročilé přednášky z matematiky (ALM), 28. – 29. International Press, Somerville, MA; Higher Education Press, Peking, 2014. xxxii+703 pp; xxxii+650 s. ISBN  978-1-57146-293-0 , 978-1-57146-294-7

Učebnice a technické monografie

• Schoen, R .; Yau, S.-T. Přednášky z diferenciální geometrie. Přednášky připravené Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong a Yi Chao Xu. Přeloženo z Číňanů Dingem a SY Chengem. S předmluvou přeloženou z Číňanů Kaising Tso. Sborník z konference a přednášky z geometrie a topologie, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v+235 s. ISBN  1-57146-012-8
• Schoen, R .; Yau, ST Přednášky o harmonických mapách. Sborník z konference a přednášky z geometrie a topologie, II. International Press, Cambridge, MA, 1997. vi+394 s. ISBN  1-57146-002-0
• Salaff, Stephen; Yau, Shing-Tung. Běžné diferenciální rovnice. Druhé vydání. International Press, Cambridge, MA, 1998. vi+72 s. ISBN  1-57146-065-9
• Gu, Xianfeng David; Yau, Shing-Tung. Výpočetní konformní geometrie. S 1 CD-ROM (Windows, Macintosh a Linux). Pokročilé přednášky z matematiky (ALM), 3. International Press, Somerville, MA; Higher Education Press, Peking, 2008. vi+295 s. ISBN  978-1-57146-171-1

Populární knihy

• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. Tvar vnitřního prostoru. Teorie strun a geometrie skrytých dimenzí vesmíru. Basic Books, New York, 2010. xx+377 s. ISBN  978-0-465-02023-2
• Nadis, Steve; Yau, Shing-Tung. Souhrnná historie. 150 let matematiky na Harvardu (1825–1975). Harvard University Press, Cambridge, MA, 2013. xx+249 s. ISBN  978-0-674-72500-3
• Yau, Shing-Tung; Nadis, Steve. Tvar života. Jeden matematik hledá skrytou geometrii vesmíru. Yale University Press, New Haven, CT, 2019. xvi+293 s. ISBN  978-0-300-23590-6

Viz také

• Calabi – Yau potrubí
• Calabiho domněnka
• Věta o pozitivní energii
• SYZ dohady
• Korespondence Kobayashi – Hitchin

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Centrum matematických věd na univerzitě Zhejiang : komentáře různých matematiků k Yau
• Objevte rozhovor s časopisem, vydání z června 2010
• Rozhovor (11 stran v tradiční čínštině )
• Yauův autobiografický účet (většinou angličtina, někteří Číňané)
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , „Shing-Tung Yau“ , MacTutor Dějiny archivu matematiky , University of St Andrews
• Shing-Tung Yau na projektu Mathematics Genealogy Project
• Zaplnění mezery v matematice
• UC Irvine se dvoří Yauovi s profesorem 2,5 milionu dolarů
• Mezinárodní konference oslavující narozeniny Shing Tung Yau 27.8.2008-9/1/2008 Harvard University