Kostra (teorie kategorií) - Skeleton (category theory)

V matematice , je kostra z kategorie je podkategorie , že zhruba řečeno, neobsahuje žádné nadbytečné isomorphisms . V určitém smyslu je kostrou kategorie „nejmenší“ ekvivalentní kategorie, která zachycuje všechny „kategorické vlastnosti“ originálu. Ve skutečnosti jsou dvě kategorie ekvivalentní právě tehdy, pokud mají izomorfní kostry. Kategorie se nazývá kosterní, pokud jsou izomorfní objekty nutně totožné.

Definice

Kostra kategorie C je ekvivalentní kategorie D, ve které nejsou dva odlišné objekty izomorfní. Obecně je považován za podkategorii. Podrobně, kostra C je kategorie D taková, že:

• D je podkategorie z C : každý objekt D je předmětem C

${\ Displaystyle \ mathrm {Ob} (D) \ subseteq \ mathrm {Ob} (C)}$

pro každou dvojici předmětů d ₁ a d ₂ z D jsou morfismy v D morfismy v C , tzn

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) \ subseteq \ mathrm {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}$

a identity a prostředky v D jsou omezení ty, které v C .

• Zahrnutí D do C je úplné , což znamená, že pro každou dvojici objektů d ₁ a d ₂ z D posilujeme výše uvedený podmnožinový vztah k rovnosti:

${\ Displaystyle \ mathrm {Hom} _ {D} (d_ {1}, d_ {2}) = \ mathrm {Hom} _ {C} (d_ {1}, d_ {2})}$

• Zahrnutí D do C je v podstatě surjektivní : Každý C -objekt je izomorfní k nějakému D -objektu.
• D je kosterní: Žádné dva odlišné D -objekty nejsou izomorfní.

Existence a jedinečnost

Je základním faktem, že každá malá kategorie má kostru; obecněji, každá přístupná kategorie má kostru. (To je ekvivalentní zvolenému axiomu .) Také, ačkoli kategorie může mít mnoho odlišných koster, jakékoli dvě kostry jsou izomorfní jako kategorie , takže až do izomorfismu kategorií je kostra kategorie jedinečná .

Význam koster pochází ze skutečnosti, že jsou (až do izomorfismu kategorií), kanonické zástupci tříd rovnocennosti kategorií pod ekvivalence z rovnocennosti kategorií . To vyplývá ze skutečnosti, že jakákoli kostra kategorie C je ekvivalentní C a že dvě kategorie jsou ekvivalentní právě tehdy, pokud mají izomorfní kostry.

Příklady

• Kategorie Sada všech sad má jako kostru podkategorii všech světových čísel .
• Kategorie K -Vect všech vektorových prostorů na pevném poli má podkategorii skládající se ze všech mocnin , kde α je jakékoli základní číslo, jako kostra; pro nějakou konečnou m a n , mapy jsou přesně n x m matice s položkami v K .${\ displaystyle K}$${\ displaystyle K^{(\ alpha)}}$${\ Displaystyle K^{m} \ až K^{n}}$
• FinSet , kategorie všech konečných množin, má jako kostru FinOrd , kategorii všech konečných pořadových čísel .
• Kategorie všech dobře uspořádaných množin má jako kostru podkategorii všech pořadových čísel .
• Preorder , tedy malá kategorie tak, že pro každou dvojici objektů , sady má buď jeden prvek, nebo je prázdný, je uspořádaná množina jako kostra.${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle {\ mbox {Hom}} (A, B)}$

Viz také

• Glosář teorie kategorií
• Tenká kategorie

Reference

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E. (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie . Původně publikoval John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6 . (nyní bezplatná on-line edice)
• Robert Goldblatt (1984). Topoi, kategoriální analýza logiky (studie logiky a základy matematiky, 98). Severní Holandsko. Přetištěno 2006 Dover Publications.