Spin (fyzika) - Spin (physics)

Spin je vnitřní forma momentu hybnosti nesená elementárními částicemi , a tedy kompozitními částicemi ( hadrony ) a atomovými jádry .

Spin je jedním ze dvou typů momentu hybnosti v kvantové mechanice, druhým je orbitální moment hybnosti . Orbitální operátor hybnosti hybnosti je kvantově mechanickým protějškem klasického momentu hybnosti orbitální revoluce a objevuje se, když má periodická struktura jeho vlnové funkce, jak se úhel mění. U fotonů je spin kvantově mechanickým protějškem polarizace světla; u elektronů nemá spin klasický protějšek.

Existence momentu hybnosti elektronového spinu je odvozena z experimentů, jako je experiment Stern -Gerlach , ve kterém byly pozorovány atomy stříbra, které mají dvě možné diskrétní momentové hybnosti, přestože nemají žádný orbitální moment hybnosti. Existenci elektronového spinu lze teoreticky odvodit také z věty o spinové statistice a z Pauliho vylučovacího principu - a naopak, s ohledem na konkrétní spin elektronu, lze odvodit Pauliův vylučovací princip.

Spin je matematicky popsán jako vektor pro některé částice, jako jsou fotony, a jako spinory a bispinory pro jiné částice, jako jsou elektrony. Spinory a bispinory se chovají podobně jako vektory : mají určité velikosti a mění se při rotaci; používají však netradiční „směr“. Všechny elementární částice daného druhu mají stejnou velikost rotačního momentu hybnosti, i když se její směr může změnit. Ty jsou indikovány přiřazením částice spinovému kvantovému číslu .

Jednotka SI rotace je stejný jako klasický hybnosti (tj N · m · s nebo Js nebo kg · m 2 · s -1 ). V praxi je spin dán jako bezrozměrné kvantové číslo spinu vydělením hybnosti spinu redukovanou Planckovou konstantou ħ , která má stejné rozměry jako moment hybnosti, i když to není úplný výpočet této hodnoty. Velmi často se „spinovému kvantovému číslu“ jednoduše říká „spin“. Skutečnost, že jde o kvantové číslo, je implicitní.

Dějiny

Wolfgang Pauli v roce 1924 jako první navrhl zdvojnásobení počtu dostupných stavů elektronů v důsledku dvouhodnotové neklasické „skryté rotace“. V roce 1925, George Uhlenbeck a Samuel Goudsmit na Leidenské univerzitě navrhl jednoduchý fyzikální interpretaci částic rotuje kolem své vlastní osy, v duchu starého kvantové teorie o Bohra a Sommerfeld . Ralph Kronig očekával model Uhlenbeck – Goudsmit v diskusi s Hendrikem Kramersem o několik měsíců dříve v Kodani, ale nezveřejnil. Matematickou teorii vypracoval do hloubky Pauli v roce 1927. Když Paul Dirac v roce 1928 odvodil svou relativistickou kvantovou mechaniku , elektronový spin byl její nezbytnou součástí.

Kvantové číslo

Jak název napovídá, spin byl původně koncipován jako rotace částice kolem nějaké osy. Zatímco otázka, zda se elementární částice skutečně otáčejí, je nejednoznačná (protože vypadají jako body ), tento obrázek je správný, pokud spin dodržuje stejné matematické zákony jako kvantované momentové momenty ; zejména spin znamená, že se fáze částice mění s úhlem. Na druhé straně má spin některé zvláštní vlastnosti, které jej odlišují od orbitálních momentů hybnosti:

Konvenční definice spinového kvantového čísla je s = n/2, kde n může být libovolné nezáporné celé číslo . Povolené hodnoty s jsou tedy 0,1/2, 1, 3/2, 2 atd. Hodnota s pro elementární částici závisí pouze na typu částice a nelze ji žádným známým způsobem změnit (na rozdíl od níže popsaného směru otáčení ). Moment hybnosti rotace S jakéhokoli fyzického systému je kvantizován . Povolené hodnoty S jsou

kde h je Planckova konstanta a = h/je snížená Planckova konstanta. Oproti tomu orbitální moment hybnosti může nabývat pouze celočíselných hodnot s ; tj. sudé hodnoty n .

Fermiony a bosony

Částice s otáčením napůl celé číslo, jako například 1/2, 3/2, 5/2, jsou známé jako fermiony , zatímco tyto částice s celočíselnými otočeními, jako je 0, 1, 2, jsou známy jako bosony . Tyto dvě rodiny částic dodržují různá pravidla a obecně mají různé role ve světě kolem nás. Klíčovým rozdílem mezi těmito dvěma rodinami je to, že fermiony dodržují Pauliho vylučovací princip : to znamená, že nemohou existovat dva identické fermiony současně se stejnými kvantovými čísly (to znamená zhruba se stejnou polohou, rychlostí a směrem otáčení). Fermionové dodržují pravidla Fermi -Diracovy statistiky . Naproti tomu bosoni dodržují pravidla statistik Bose – Einsteina a nemají žádná taková omezení, takže se mohou „seskupit“ ve stejných stavech. Kompozitní částice mohou mít také spiny odlišné od částic jejich složek. Například atom helia-4 v základním stavu má spin 0 a chová se jako boson, přestože kvarky a elektrony, které jej tvoří, jsou všechny fermiony.

To má některé hluboké důsledky:

  • Kvarky a leptony (včetně elektronů a neutrin ), které tvoří to, co je klasicky známé jako hmota , jsou všechny fermiony se spinem 1/2. Běžná myšlenka, že „hmota zabírá prostor“, ve skutečnosti pochází z Pauliho vylučovacího principu působícího na tyto částice, aby se zabránilo tomu, že jsou fermiony ve stejném kvantovém stavu. Další zhutňování by vyžadovalo, aby elektrony zabíraly stejné energetické stavy, a proto určitý druh tlaku (někdy známý jako degenerační tlak elektronů ) působí tak, že odolává příliš blízkým fermionům.
Elementární fermiony s jinými zatočeními (3/2, 5/2(atd.) nejsou známy.
Elementární bosony s jinými spiny (0, 2, 3 atd.) Nebyly historicky známé, že existují, přestože se jim dostalo značného teoretického zpracování a jsou dobře zavedené v rámci svých příslušných teorií hlavního proudu. Zejména teoretici navrhli graviton (podle některých teorií kvantové gravitace se předpokládá, že existuje ) se spinem 2 a Higgsův boson (vysvětlující rozbití elektroslabé symetrie ) se spinem 0. Od roku 2013 je Higgsův boson se spinem 0 považován za prokázaný existovat. Jedná se o první skalární elementární částici (spin 0), o níž je známo, že existuje v přírodě.
  • Atomová jádra mají jaderný spin, který může být buď poloviční nebo celočíselný, takže jádra mohou být buď fermiony nebo bosony.

Věta o rotaci - statistika

Tyto spin-statistiky věta rozděluje částice do dvou skupin: bosony a fermiony , kde bosony poslouchat Bose-Einstein statistiky a fermions poslouchat Fermi-Dirac statistiky (a proto v zásadě Pauli vyloučení ). Teorie konkrétně uvádí, že částice s celočíselným spinem jsou bosony, zatímco všechny ostatní částice mají otočení s polovičním číslem a jsou to fermiony. Například elektrony mají poloviční celočíselné spiny a jsou to fermiony, které dodržují Pauliho vylučovací princip, zatímco fotony mají celočíselné spiny a ne. Věta se opírá jak o kvantovou mechaniku, tak o teorii speciální relativity a toto spojení mezi spinem a statistikou bylo nazýváno „jednou z nejdůležitějších aplikací teorie speciální relativity“.

Vztah ke klasické rotaci

Protože elementární částice jsou podobné bodům, není pro ně vlastní rotace dobře definována. Nicméně rotace znamená, že fáze částice závisí na úhlu, jak , pro otáčení úhel t Vstup kolem osy, rovnoběžné s spin S . To je ekvivalentní kvantově mechanické interpretaci hybnosti jako fázové závislosti v poloze a orbitálního momentu hybnosti jako fázové závislosti v úhlové poloze.

Fotonový spin je kvantově mechanický popis polarizace světla , kde spin +1 a spin −1 představují dva opačné směry kruhové polarizace . Světlo definované kruhové polarizace se tedy skládá z fotonů se stejným spinem, buď všech +1 nebo všech −1. Spin představuje polarizaci i pro jiné vektorové bosony.

U fermiónů je obraz méně jasný. Úhlová rychlost je rovna od Ehrenfest věty na derivát hamiltoniánu jeho konjugované hybnosti , která je celkový operátora momentu hybnosti J = L + S . Pokud je tedy hamiltonovský H závislý na rotaci S , dH / dS je nenulová a spin způsobí úhlovou rychlost, a tedy skutečnou rotaci, tj. Změnu vztahu fázového úhlu v čase. Zda to platí pro volné elektrony, je však nejednoznačné, protože pro elektron je S 2 konstantní, a proto je věcí interpretace, zda hamiltonián takový termín obsahuje. Nicméně rotace se objeví v Diracovy rovnice , a tím i relativistická hamiltonián elektronu, považované za pole Diracových , může být interpretován tak, že zahrnuje závislost na odstřeďování S . Podle této interpretace se volné elektrony také samy otáčejí, přičemž efekt Zitterbewegung je chápán jako toto otáčení.

Magnetické momenty

Schematický diagram zobrazující rotaci neutronu jako černou šipku a čáry magnetického pole spojené s neutronovým magnetickým momentem . Neutron má negativní magnetický moment. Zatímco rotace neutronu je v tomto diagramu vzhůru, čáry magnetického pole ve středu dipólu jsou směrem dolů.

Částice se spinem mohou mít magnetický dipólový moment , stejně jako rotující elektricky nabité těleso v klasické elektrodynamice . Tyto magnetické momenty lze experimentálně pozorovat několika způsoby, např. Odkloněním částic nehomogenními magnetickými poli v experimentu Stern -Gerlach nebo měřením magnetických polí generovaných částicemi samotnými.

Vnitřní magnetický moment μ z kovotlačitelského1/2částice s nábojem q , hmotností m a točivým momentem S , je

kde bezrozměrná veličina g s se nazývá spin g -faktor . Pro výlučně orbitální rotace by to byla 1 (za předpokladu, že hmotnost a náboj zabírají sféry se stejným poloměrem).

Elektron, nabitá elementární částice, má nenulový magnetický moment . Jedním z triumfů teorie kvantové elektrodynamiky je její přesná predikce elektronového g -faktoru , u níž bylo experimentálně stanoveno, že má hodnotu−2,002 319 304 362 56 (35) , přičemž číslice v závorkách označují nejistotu měření v posledních dvou číslicích při jedné standardní odchylce . Hodnota 2 vychází z Diracovy rovnice , základní rovnice spojující rotaci elektronu s jeho elektromagnetickými vlastnostmi a korekce0,002 319 304 ... vzniká interakcí elektronu s okolním elektromagnetickým polem , včetně jeho vlastního pole.

Kompozitní částice mají také magnetické momenty spojené s jejich rotací. Zejména neutron má nenulový magnetický moment, přestože je elektricky neutrální. Tato skutečnost byla první známkou toho, že neutron není elementární částice. Ve skutečnosti je tvořen kvarky , což jsou elektricky nabité částice. Magnetický moment neutronu pochází z spinu jednotlivých kvarků a jejich orbitálních pohybů.

Neutrina jsou jak elementární, tak elektricky neutrální. Minimálně rozšířený standardní model, který bere v úvahu nenulové hmotnosti neutrin, předpovídá magnetické momenty neutrin:

kde μ ν jsou neutrinové magnetické momenty, m ν jsou hmotnosti neutrin a μ B je Bohrův magneton . Nová fyzika nad elektroslabým měřítkem by však mohla vést k výrazně vyšším neutrinovým magnetickým momentům. Lze na modelu nezávislým způsobem ukázat, že magnetické momenty neutrin větší než asi 10 −14  μ B jsou „nepřirozené“, protože by také vedly k velkým radiačním příspěvkům k hmotnosti neutrin. Protože je známo, že hmotnosti neutrin jsou maximálně asi 1 eV, velké radiační korekce by pak musely být „doladěny“, aby se navzájem do značné míry zrušily a ponechaly hmotnost neutrin malou. Měření neutrinových magnetických momentů je aktivní oblastí výzkumu. Experimentální výsledky stanovily magnetický moment neutrin na méně než1.2 x 10 -10  krát elektronu magnetický moment.

Na druhé straně elementární částice se spinem, ale bez elektrického náboje, jako je foton nebo Z boson , nemají magnetický moment.

Curieova teplota a ztráta zarovnání

V běžných materiálech vytvářejí magnetické dipólové momenty jednotlivých atomů magnetická pole, která se navzájem ruší, protože každý dipól ukazuje v náhodném směru, přičemž celkový průměr je velmi blízko nule. Feromagnetické materiály pod jejich Curieovou teplotou však vykazují magnetické domény, ve kterých jsou atomové dipólové momenty lokálně zarovnány, což vytváří z domény makroskopické nenulové magnetické pole. To jsou obyčejné „magnety“, které všichni známe.

V paramagnetických materiálech se magnetické dipólové momenty jednotlivých atomů spontánně vyrovnávají s externě aplikovaným magnetickým polem. V diamagnetických materiálech se naopak magnetické dipólové momenty jednotlivých atomů spontánně vyrovnávají opačně s jakýmkoli externě aplikovaným magnetickým polem, i když k tomu vyžaduje energii.

Studium chování takovýchto „ spinových modelů “ je prosperující oblastí výzkumu fyziky kondenzovaných látek . Například vzor Isingův popisuje zatočení (dipólů), které mají pouze dva možné stavy, nahoru a dolů, zatímco v modelu Heisenbergova spin vektor nemá bod v kterémkoli směru. Tyto modely mají mnoho zajímavých vlastností, které vedly k zajímavým výsledkům v teorii fázových přechodů .

Směr

Kvantové číslo a multiplicita spinové projekce

V klasické mechanice má moment hybnosti částice nejen velikost (jak rychle se tělo otáčí), ale také směr (buď nahoru nebo dolů na ose otáčení částice). Kvantově mechanický spin také obsahuje informace o směru, ale v jemnější formě. Kvantová mechanika uvádí, že složka hybnosti po dobu spin s částice měřeno podél každém směru se může provádět pouze na hodnotách

kde S i je spinová složka podél i -té osy (buď x , y , nebo z ), s i je kvantové číslo spinové projekce podél i -té osy, a s je hlavní spinové kvantové číslo (diskutováno v předchozí část). Obvykle je zvoleným směrem  osa z :

kde S z je spinová složka podél  osy z , s z je kvantové číslo projekce spinů podél  osy z .

Je vidět, že existují 2 s + 1 možných hodnot s z . Číslo „ 2 s + 1 “ je násobkem rotačního systému. Například pro rotaci existují pouze dvě možné hodnoty-1/2částice: s z = +1/2a s z = -1/2. Ty odpovídají kvantovým stavům, ve kterých spinová složka ukazuje ve směrech + z nebo - z , a jsou často označovány jako „roztočení“ a „roztočení“. Na otočku-3/2částice, jako delta baryon , jsou možné hodnoty +3/2, +1/2, -1/2, -3/2.

Vektor

Jeden bod v prostoru se může točit nepřetržitě, aniž by se zamotal. Všimněte si, že po otočení o 360 stupňů se spirála překlopí mezi pravotočivou a proti směru hodinových ručiček. To se vrátí do svého původního uspořádání po zvláknění plnou 720 ° .

Pro daný kvantový stav by se dalo uvažovat o spinovém vektoru, jehož komponenty jsou očekávanými hodnotami spinových komponent podél každé osy, tj . Tento vektor by pak popisoval „směr“, kterým rotace ukazuje, což odpovídá klasickému pojetí osy rotace . Ukazuje se, že spinový vektor není ve skutečných kvantově-mechanických výpočtech příliš užitečný, protože jej nelze měřit přímo: s x , s y a s z nemohou mít simultánní určité hodnoty, protože mezi nimi existuje kvantová nejistota . U statisticky velkých sbírek částic, které byly umístěny do stejného čistého kvantového stavu, například pomocí Stern-Gerlachova aparátu , má spinový vektor přesně definovaný experimentální význam: Specifikuje směr v obyčejném prostoru ve kterém musí být následující detektor orientován, aby bylo dosaženo maximální možné pravděpodobnosti (100%) detekce každé částice ve sbírce. Na odstřeďování-1/2 částice, tato pravděpodobnost plynule klesá se zvětšováním úhlu mezi spinovým vektorem a detektorem, až pod úhlem 180 ° - tj. pro detektory orientované v opačném směru než spinový vektor - očekávání detekce částic ze sbírky dosahuje minimálně 0%.

Jako kvalitativní koncept je rotační vektor často praktický, protože je snadné si jej klasicky představit. Například kvantově mechanický spin může vykazovat jevy analogické klasickým gyroskopickým efektům . Například lze na elektron vyvinout jakýsi „ točivý moment “ jeho vložením do magnetického pole (pole působí na vnitřní magnetický dipólový moment elektronu - viz následující část). Výsledkem je, že rotační vektor podléhá precesi , stejně jako klasický gyroskop. Tento jev je známý jako elektronová spinová rezonance (ESR). Ekvivalentní chování protonů v atomových jádrech se používá ve spektroskopii a zobrazování pomocí nukleární magnetické rezonance (NMR).

Matematicky jsou kvantově mechanické stavy spinů popsány objekty podobnými vektorům známými jako spinory . Mezi chováním spinorů a vektorů při rotaci souřadnic existují jemné rozdíly . Například otáčení rotace-1/2částice o 360 ° ji nevrací zpět do stejného kvantového stavu, ale do stavu s opačnou kvantovou fází ; toto je v zásadě zjistitelné pomocí interferenčních experimentů. K navrácení částice do přesného původního stavu je třeba otočení o 720 °. ( Trik s deskou a Möbiusův proužek poskytují nekvantové analogie.) Částice s nulovou rotací může mít pouze jeden kvantový stav, a to i po aplikaci točivého momentu. Otočení částice spin-2 o 180 ° ji může vrátit zpět do stejného kvantového stavu a částice spin-4 by měla být otočena o 90 °, aby se vrátila do stejného kvantového stavu. Částice spin-2 může být analogická rovné tyčce, která vypadá stejně, i když je otočena o 180 °, a částici spin-0 si lze představit jako kouli, která vypadá stejně po jakémkoli úhlu, kterým je otočena.

Matematická formulace

Operátor

Spin dodržuje komutační vztahy analogické vztahům orbitálního momentu hybnosti :

kde ε jkl je symbol Levi-Civita . Z toho vyplývá, (jako u hybnosti ), které jsou charakteristické vektory z a (vyjádřeno jako klíčové technologie v celkové S základu ) jsou

Operátory zvedání a spouštění otáčení působící na tyto vlastní vektory dávají

kde .

Ale na rozdíl od orbitálního momentu hybnosti nejsou vlastní vektory sférické harmonické . Nejsou to funkce θ a φ . Rovněž není důvod vylučovat poloviční celočíselné hodnoty s a m s .

Všechny kvantově mechanické částice mají vlastní spin (i když tato hodnota může být rovna nule). Projekce rotace na jakékoli ose je kvantována v jednotkách redukované Planckovy konstanty , takže stavová funkce částice je řekněme ne , ale kde může nabývat pouze hodnot následující diskrétní množiny:

Člověk rozlišuje bosony (celočíselné otáčení) a fermióny (poloviční celočíselné otáčení). Celkový moment hybnosti zachovaný v interakčních procesech je pak součtem orbitálního momentu hybnosti a rotace.

Pauli matice

Tyto subjekty kvantově-mechanické spojené s spin1/2 pozorovatelné jsou

kde v karteziánských součástkách

Pro speciální případ odstřeďování-1/2částice, σ x , σ y a σ z jsou tři Pauliho matice :

Pauliho princip vyloučení

Pro systémy N identických částic to souvisí s Pauliho vylučovacím principem , který říká, že jeho vlnová funkce se musí změnit po záměnách jakýchkoli dvou N částic jako

U bosonů se tedy prefaktor (−1) 2 s sníží na +1, pro fermiony na −1. V kvantové mechanice jsou všechny částice buď bosony nebo fermiony. V některých spekulativních relativistických teoriích kvantového pole existují také „ supersymetrické “ částice, kde se objevují lineární kombinace bosonických a fermionických složek. Ve dvou dimenzích může být prefaktor (−1) 2 s nahrazen jakýmkoli komplexním číslem velikosti 1, jako například v anyonu .

Výše uvedený postulát permutace pro funkce stavu N -částic má nejdůležitější důsledky v každodenním životě, např. Periodická tabulka chemických prvků.

Rotace

Jak je popsáno výše, kvantová mechanika uvádí, že složky momentu hybnosti měřené v libovolném směru mohou nabývat pouze několika diskrétních hodnot. Nejpohodlnější kvantově mechanický popis spinu částice je proto se sadou komplexních čísel odpovídajících amplitudám nalezení dané hodnoty projekce její vnitřní hybnosti na danou osu. Například pro rotaci-1/2částice, potřebovali bychom dvě čísla a ± 1/2 , dávající amplitudy jejího nalezení s projekcí momentu hybnosti rovnou +ħ/2a -ħ/2, splňující požadavek

Pro generickou částici s spinem s bychom potřebovali 2 s + 1 takových parametrů. Protože tato čísla závisí na volbě osy, transformují se do sebe netriviálně, když je tato osa otočena. Je zřejmé, že transformační zákon musí být lineární, takže jej můžeme reprezentovat přidružením matice ke každé rotaci a součin dvou transformačních matic odpovídajících rotacím A a B musí být stejný (až do fáze) matici představující rotaci AB. Rotace dále zachovávají kvantově mechanický vnitřní produkt, a tak by měly naše transformační matice:

Matematicky řečeno, tyto matice poskytnout jednotnou projektivní reprezentaci na SO otáčení skupiny (3) . Každá taková reprezentace odpovídá reprezentaci krycí skupiny SO (3), což je SU (2) . Pro každou dimenzi existuje jedna n -dimenzionální neredukovatelná reprezentace SU (2), ačkoli tato reprezentace je n -dimenzionální reálná pro lichý n a n -dimenzionální komplex pro sudé n (tedy skutečná dimenze 2 n ). Pro otáčení o úhel θ v rovině s normálním vektorem ,

kde a S je vektor spinových operátorů .

(Kliknutím na „zobrazit“ vpravo zobrazíte důkaz nebo kliknutím na „skrýt“ jej skryjete.)

Při práci v souřadnicovém systému, kde bychom chtěli ukázat, že S x a S y jsou navzájem otočeny o úhel θ . Počínaje S x . Použití jednotek, kde ħ = 1 :

Pomocí komutačních vztahů operátoru spinu vidíme, že komutátory vyhodnotí na i S y pro liché členy v řadě a na S x pro všechny sudé členy. Tím pádem:

podle očekávání. Všimněte si, že od té doby jsme se jen spoléhali na operátorských spin komutačních vztahů, tento důkaz platí pro všechny dimenze (tj pro všechny hlavní číslo spin kvantové s ).


Obecnou rotaci v trojrozměrném prostoru lze vytvořit složením operátorů tohoto typu pomocí Eulerových úhlů :

Neredukovatelnou reprezentaci této skupiny operátorů zajišťuje Wignerova D-matice :

kde

je Wignerova malá d-matice . Všimněte si, že pro γ = 2π a α = β = 0 ; tj. úplnou rotací kolem  osy z se stanou prvky Wignerovy D-matice

Připomínáme, že generický spinový stav lze zapsat jako superpozici stavů s určitým m , vidíme, že pokud s je celé číslo, hodnoty m jsou všechna celá čísla a tato matice odpovídá operátoru identity. Pokud je však s polovičním číslem, hodnoty m jsou také všechna poloviční celá čísla, takže (−1) 2 m = −1 pro všechna m , a proto při otočení o 2 π stav zachytí znaménko minus. Tato skutečnost je klíčovým prvkem důkazu věty o spinové statistice .

Lorentzovy transformace

Mohli bychom zkusit stejný přístup k určení chování rotace při obecných Lorentzových transformacích , ale okamžitě bychom objevili hlavní překážku. Na rozdíl od (3), skupinou Lorentz transformacemi SO (3,1) je non-kompaktní , a proto nemá žádné věrné, jednotný konečný trojrozměrné reprezentace.

V případě odstřeďování-1/2částice, je možné najít konstrukci, která zahrnuje jak konečnou dimenzionální reprezentaci, tak skalární součin, který je touto reprezentací zachován. Ke každé částici přiřadíme 4složkový Diracův spinor ψ . Tyto rotory se transformují podle Lorentzových transformací podle zákona

kde γ ν jsou gama matice a ω μν je antisymetrická matice 4 × 4 parametrizující transformaci. Lze ukázat, že skalární součin

je zachována. Není to však jednoznačně pozitivní, takže reprezentace není jednotná.

Měření otáčení podél os x , y nebo z

Každá z ( hermitských ) Pauliho matic rotace-1/2částice mají dvě vlastní čísla , +1 a -1. Odpovídající normalizované vlastní vektory jsou

(Protože jakýkoli vlastní vektor vynásobený konstantou je stále vlastní vektor, existuje nejasnost ohledně celkového znaménka. V tomto článku je konvence zvolena tak, aby byl první prvek imaginární a negativní, pokud existuje znaková nejednoznačnost. Současnou konvenci používá software, jako je SymPy ; zatímco mnoho učebnic fyziky, jako jsou Sakurai a Griffiths, dávají přednost tomu, aby byly skutečné a pozitivní.)

Podle postulátů kvantové mechaniky může experiment navržený k měření elektronového spinu na  ose x , y nebo z získat pouze vlastní číslo příslušného operátoru spinu ( S x , S y nebo S z ) na této ose, tj.ħ/2nebo -ħ/2. Kvantový stav částice (s ohledem na spin), mohou být reprezentovány pomocí dvousložkového spinor :

Když je rotace této částice měřena vzhledem k dané ose (v tomto případě  osa x ), pravděpodobnost, že její spin bude měřena jakoħ/2je jen . Odpovídajícím způsobem je pravděpodobnost, že jeho spin bude měřen jako -ħ/2je jen . Po měření se stav odstřeďování částice zhroutí do příslušného vlastního stavu . Výsledkem je, že pokud bylo změřeno, že otáčení částice podél dané osy má danou vlastní hodnotu, všechna měření poskytnou stejnou vlastní hodnotu (od atd.) Za předpokladu, že se neprovádí žádná měření otáčení podél jiných os.

Měření spinu podél libovolné osy

Operátor pro měření spinu v libovolném směru osy lze snadno získat z matic otáčení Pauli. Nechť u = ( u x , u y , u z ) je libovolný jednotkový vektor. Pak je operátor pro rotaci v tomto směru jednoduše

Operátor S u má vlastní čísla ±ħ/2, stejně jako obvyklé matice spinů. Tento způsob hledání operátoru pro rotaci v libovolném směru generalizuje na vyšší spinové stavy, jeden vezme bodový součin směru vektorem tří operátorů pro tři osy x -, y -, z .

Normalizovaný spinor pro spin-1/2ve směru ( u x , u y , u z ) (který funguje pro všechny spinové stavy kromě spin down, kde dá0/0) je

Výše uvedený spinor se získá obvyklým způsobem diagonalizací matice σ u a vyhledáním vlastních čísel odpovídajících vlastním číslům. V kvantové mechanice jsou vektory označovány jako „normalizované“, když jsou vynásobeny normalizačním faktorem, což má za následek, že vektor má délku jednoty.

Kompatibilita měření spinu

Protože Pauliho matice nepojíždějí , měření spinu podél různých os jsou nekompatibilní. To znamená, že pokud například známe spinu podél  osy x a poté změříme spinu podél  osy y , zneplatnili jsme naše předchozí znalosti  otáčení osy x . To lze vidět na vlastnosti vlastních vektorů (tj. Vlastních čísel) matic Pauli, které

Když tedy fyzici měří otáčení částice podél  osy x například jakoħ/2, spinový stav částice se zhroutí do vlastního stavu . Když poté následně změříme spin částice podél  osy y , stav rotace se nyní zhroutí na buď nebo , každý s pravděpodobností1/2. Řekněme v našem příkladu, že měříme -ħ/2. Když se nyní vrátíme, abychom znovu změřili otáčení částice podél  osy x , pravděpodobnosti, které budeme měřitħ/2nebo -ħ/2 jsou každý 1/2(tj. jsou a respektive). To znamená, že původní měření rotace podél  osy x již není platné, protože rotace podél  osy x bude nyní měřena tak, aby měla buď vlastní číslo se stejnou pravděpodobností.

Vyšší zatočení

Spin-1/2operátor S =ħ/2σ tvoří základní reprezentace z SU (2) . Tím, žeopakovaněvezmeme produkty Kronecker této reprezentace s sebou, můžeme zkonstruovat všechny vyšší neredukovatelné reprezentace. To znamená, že výsledné rotační operátory pro systémy s vyšší rotací ve třech prostorových dimenzích lze vypočítat pro libovolně velké s pomocí tohoto operátoru rotace a operátorů žebříku . Například, vezmeme-li si produkt Kronecker dvou spinů-1/2poskytuje čtyřrozměrnou reprezentaci, která je oddělitelná na 3-dimenzionální spin-1 ( tripletové stavy ) a 1-dimenzionální spin-0 reprezentaci ( singletový stav ).

Výsledné neredukovatelné reprezentace poskytují následující spinové matice a vlastní čísla v z-základu:

  1. Pro spin 1 jsou
  2. Na roztočení 3/2 oni jsou
  3. Na roztočení 5/2 oni jsou
  4. Zobecnění těchto matric pro libovolné SPIN s IS

    kde indexy jsou celá čísla taková, že

Obecná Pauliho skupina G n, která je také užitečná v kvantové mechanice vícečásticových systémů, je definována tak, že sestává ze všech n -násobných tenzorových produktů Pauliho matic.

Analogický vzorec Eulerova vzorce z hlediska Pauliho matic

vyšší zatočení je sice traktovatelné, ale méně jednoduché.

Parita

V tabulkách spinového kvantového čísla s pro jádra nebo částice často za spinem následuje „+“ nebo „ -“. To se týká parity s „+“ pro sudou paritu (vlnová funkce nezměněná prostorovou inverzí) a „ -“ pro lichou paritu (vlnová funkce negovaná prostorovou inverzí). Viz například izotopy bismutu , ve kterých seznam izotopů obsahuje sloupec nukleární spin a paritu. Pro Bi-209, jediný stabilní izotop, položka 9/2– znamená, že jaderný spin je 9/2 a parita je lichá.

Aplikace

Spin má důležité teoretické implikace a praktické aplikace. Mezi dobře zavedené přímé aplikace odstřeďování patří:

Elektronový spin hraje důležitou roli v magnetismu , s aplikacemi například v počítačových pamětech. Manipulace jaderného spinu pomocí radiofrekvenčních vln ( nukleární magnetická rezonance ) je důležitá v chemické spektroskopii a lékařském zobrazování.

Spojení spin -orbit vede k jemné struktuře atomových spekter, která se používá v atomových hodinách a v moderní definici druhého . Přesná měření g -faktoru elektronu hrála důležitou roli ve vývoji a ověřování kvantové elektrodynamiky . Spin fotonu je spojen s polarizací světla ( fotonová polarizace ).

Objevující se aplikace spinu je jako binární nosič informací v spinových tranzistorech . Původní koncept, navržený v roce 1990, je znám jako spinový tranzistor Datta – Das . Elektronika založená na spinových tranzistorech se označuje jako spintronika . Manipulace se spinem ve zředěných magnetických polovodičových materiálech , jako je kovem dotovaný ZnO nebo TiO 2, přináší další stupeň volnosti a má potenciál usnadnit výrobu efektivnější elektroniky.

Existuje mnoho nepřímých aplikací a projevů spinu a s tím spojený Pauliho vylučovací princip , počínaje periodickou tabulkou chemie.

Dějiny

Wolfgang Pauli přednášková

Spin byl poprvé objeven v souvislosti s emisního spektra z alkalických kovů . V roce 1924 Wolfgang Pauli představil to, co nazýval „dvouhodnotností, kterou nelze klasicky popsat“ spojenou s elektronem v nejvzdálenějším obalu . To mu umožnilo formulovat Pauliho vylučovací princip s tím, že žádné dva elektrony nemohou mít stejný kvantový stav ve stejném kvantovém systému.

Fyzická interpretace Pauliho „stupně svobody“ byla zpočátku neznámá. Ralph Kronig , jeden z Landových asistentů, navrhl na začátku roku 1925, že byl vyroben samočinným otáčením elektronu. Když se Pauli o této myšlence doslechl, vážně ji kritizoval a poznamenal, že hypotetický povrch elektronu se bude muset pohybovat rychleji než rychlost světla, aby se mohl dostatečně rychle otáčet, aby vytvořil potřebný moment hybnosti. To by porušilo teorii relativity . Z velké části kvůli Pauliho kritice se Kronig rozhodl svůj nápad nezveřejnit.

Na podzim roku 1925 přišla stejná myšlenka na nizozemské fyziky George Uhlenbecka a Samuela Goudsmita na univerzitě v Leidenu . Na radu Paula Ehrenfesta zveřejnili své výsledky. Setkalo se to s příznivou odezvou, zvláště poté, co se Llewellynovi Thomasovi podařilo vyřešit rozpor faktoru dvou mezi experimentálními výsledky a Uhlenbeckovými a Goudsmitovými výpočty (a Kronigovými nepublikovanými výsledky). Tato nesrovnalost byla kromě jeho polohy způsobena i orientací elektronového tečného rámce.

Matematicky řečeno, je zapotřebí popis svazku vláken . Tečna svazek účinek aditivní a relativistická; to znamená, že zmizí, pokud c přejde do nekonečna. Je to jedna polovina hodnoty získané bez ohledu na orientaci tangensoprostoru, ale s opačným znaménkem. Kombinovaný efekt se tedy od posledně jmenovaného liší faktorem dva ( Thomasova precese , známá Ludwikovi Silbersteinovi v roce 1914).

Navzdory svým počátečním námitkám Pauli v roce 1927 formalizoval teorii spinu pomocí moderní teorie kvantové mechaniky vynalezené Schrödingerem a Heisenbergem . Byl průkopníkem používání Pauliho matic jako reprezentace spinových operátorů a zavedl dvoukomponentní spinovou vlnovou funkci. Uhlenbeck a Goudsmit považovali spin za způsobený klasickou rotací, zatímco Pauli zdůraznil, že spin není klasickou a vnitřní vlastností.

Pauliho teorie rotace byla nerelativistická. V roce 1928 však Paul Dirac publikoval Diracovu rovnici , která popisovala relativistický elektron . V Diracově rovnici byl pro funkci elektronových vln použit čtyřsložkový spinor (známý jako „ Diracov spinor “). Relativistický spin vysvětlil gyromagnetickou anomálii, kterou (zpětně) poprvé pozoroval Samuel Jackson Barnett v roce 1914 (viz Einstein – de Haasův efekt ). V roce 1940 prokázal Pauli teorém o spinové statistice , která uvádí, že fermióny mají poloviční celé číslo a bosony mají celé číslo.

Zpětně je prvním přímým experimentálním důkazem spinu elektronů Stern – Gerlachův experiment z roku 1922. Správné vysvětlení tohoto experimentu však bylo podáno až v roce 1927.

Viz také

Reference

Další čtení

  • Sin-Itiro Tomonaga, The Story of Spin, 1997

externí odkazy