Stereografická projekce - Stereographic projection

3D ilustrace stereografické projekce ze severního pólu do roviny pod koulí

V geometrii je stereografická projekce konkrétním mapováním ( funkcí ), které promítá kouli do roviny . Projekce je definována na celou sféru, kromě jednoho bodu: projekčního bodu. Tam, kde je definováno, je mapování plynulé a bijektivní . Je konformní , což znamená, že zachovává úhly, ve kterých se křivky setkávají. Není ani izometrický, ani zachovává plochu: to znamená, že nezachovává vzdálenosti ani oblasti postav.

Intuitivně je tedy stereografická projekce způsobem, jak zobrazit sféru jako letadlo, s některými nevyhnutelnými kompromisy. Protože se koule a rovina objevují v mnoha oblastech matematiky a jejích aplikací, objevuje se i stereografická projekce; nachází uplatnění v různých oblastech včetně komplexní analýzy , kartografie , geologie a fotografie . V praxi se projekce provádí počítačem nebo ručně pomocí speciálního druhu milimetrového papíru zvaného stereografická síť , zkráceně na stereonet nebo Wulffova síť .

Dějiny

Ilustrace od Rubense pro „Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles“, od François d'Aguilon . Předvádí princip obecné perspektivní projekce, jejíž zvláštním případem je stereografická projekce.

Stereografická projekce byla známa Hipparchovi , Ptolemaiovi a pravděpodobně dříve i Egypťanům . Původně byla známá jako projekce planisféry. Planisphaerium od Ptolemaia je nejstarším dochovaným dokumentem, který jej popisuje. Jedním z jeho nejdůležitějších použití byla reprezentace nebeských map . Termín planisféra se stále používá k označení takových grafů.

V 16. a 17. století se pro mapy východní a západní polokoule běžně používal ekvatoriální aspekt stereografické projekce . Předpokládá se, že již mapa vytvořená v roce 1507 Gualteriem Ludem byla ve stereografické projekci, stejně jako později mapy Jean Roze (1542), Rumold Mercator (1595) a mnoha dalších. Ve hvězdných mapách dokonce tento rovníkový aspekt využívali již starověcí astronomové jako Ptolemaios .

François d'Aguilon dal stereografické projekci svůj současný název ve své práci z roku 1613 Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles (Šest knih optiky, užitečné pro filozofy i matematiky).

V roce 1695 Edmond Halley , motivovaný svým zájmem o hvězdné mapy , vydal první matematický důkaz, že tato mapa je konformní . Použil nedávno zavedené nástroje kalkulu , které vynalezl jeho přítel Isaac Newton .

Definice

První formulace

Stereografická projekce jednotkové sféry ze severního pólu do roviny z = 0 , zde ukázaná v řezu

Koule jednotky S 2 v trojrozměrném prostoru R 3 je množina bodů ( x , y , z ), takové, že x 2 + y 2 + z 2 = 1 . Nechť N = (0, 0, 1) je „severní pól“ a M je zbytek koule. Středem koule prochází rovina z = 0 ; „rovník“ je průsečíkem koule s touto rovinou.

Pro jakýkoli bod P na M existuje jedinečná přímka procházející N a P a tato přímka protíná rovinu z = 0 přesně v jednom bodě P ' . Definovat stereographic projekci z P , že tento bod P ' v rovině.

V karteziánských souřadnicích ( x , y , z ) na kouli a ( X , Y ) v rovině jsou projekce a její inverze dány vzorci

Ve sférických souřadnicích ( cp , t Vstup ) na oblasti (s cp zenitového úhlu , 0 ≤ cp ≤ n a t Vstup azimut , 0 ≤ t Vstup ≤ 2n ) a polární souřadnice ( R , Θ ) v letadle, výstupkem a jeho inverzní jsou

Zde φ má hodnotu π, když R = 0. Existuje také mnoho způsobů, jak tyto vzorce přepsat pomocí goniometrických identit . Ve válcových souřadnicích ( r , θ , z ) na kouli a polárních souřadnicích ( R , Θ ) v rovině jsou průmět a její inverzní

Jiné konvence

Stereografická projekce jednotkové sféry ze severního pólu do roviny z = −1 , zde zobrazená v řezu

Někteří autoři definují stereografickou projekci ze severního pólu (0, 0, 1) do roviny z = −1 , která je tečná k jednotkové sféře na jižním pólu (0, 0, −1). Hodnoty X a Y vytvořené touto projekcí jsou přesně dvakrát vyšší než hodnoty vytvořené ekvatoriální projekcí popsanou v předchozí části. Tato projekce například odešle rovník do kruhu o poloměru 2 se středem na počátku. Zatímco rovníková projekce neprodukuje žádné nekonečné zkreslení oblasti podél rovníku, tato pólo-tangentní projekce místo toho nevytváří žádné nekonečně malé plošné zkreslení na jižním pólu.

Jiní autoři používají sférickou poloměr 1/2a rovina z = -1/2. V tomto případě se vzorce stanou

Stereografická projekce koule z bodu Q do roviny E , zde ukázaná v řezu

Obecně lze definovat stereografickou projekci z libovolného bodu Q na kouli do jakékoli roviny E tak, že

  • E je kolmá na průměr přes Q , a
  • E neobsahuje Q .

Tak dlouho, jak E splňuje tyto podmínky, pak se pro jakýkoli bod P jiný než Q vlasec P a Q splňuje E přesně jednom bodě P ' , který je definován jako stereografické projekce P na E .

Zobecnění

Obecněji lze stereografickou projekci aplikovat na jednotkovou n -sféru S n v ( n  + 1) -dimenzionálním euklidovském prostoru E n +1 . Jestliže Q je bod S n a E je nadrovině v E n + 1 , pak stereografická průmět bodu PS n - { Q } je bod P " z průsečíku čáry QP s E . V kartézských souřadnicích ( x i , i od 0 do n ) na S n a ( X i , i od 1 do n ) na E je projekce z Q = (1, 0, 0, ..., 0) S n je dáno vztahem

.

Definování

,

inverze je dána vztahem

.

Ještě obecněji předpokládejme, že S je (nesingulární) kvadrický hyperpovrch v projektivním prostoru P n +1 . Jinými slovy, S je místo nul nesingulárního kvadratického tvaru f ( x 0 , ..., x n +1 ) v homogenních souřadnicích x i . Fix žádný bod Q na S a nadrovina E v P n + 1 neobsahující Q . Pak Stereografická průmět bodu P na S - { Q } je jedinečný průsečíkem QP s E . Jako dříve, stereografická projekce je konformní a invertovatelná mimo „malou“ množinu. Stereografická projekce představuje kvadrický povrch jako racionální povrch . Tato konstrukce hraje roli v algebraické geometrii a konformní geometrii .

Vlastnosti

První stereografická projekce definovaná v předchozí části posílá „jižní pól“ (0, 0, −1) jednotkové sféry do (0, 0), rovník do jednotkové kružnice , jižní polokouli do oblasti uvnitř kruhu , a severní polokoule do oblasti mimo kruh.

Projekce není definována v místě projekce N = (0, 0, 1). Malé sousedství tohoto bodu jsou odesílány do podmnožin letadla daleko od (0, 0). Čím blíže je P k (0, 0, 1), tím vzdálenější je jeho obraz od (0, 0) v rovině. Z tohoto důvodu je běžné hovořit o (0, 0, 1) jako o mapování do „nekonečna“ v rovině a o sféře jako o dokončení roviny přidáním bodu v nekonečnu . Tento pojem nachází uplatnění v projektivní geometrii a komplexní analýze. Na pouze topologické úrovni ukazuje, jak je koule homeomorfní k jednobodovému zhutnění roviny.

V kartézských souřadnicích je bod P ( x , y , z ) na kouli a její obraz P ' ( X , Y ) v rovině buď oba racionální body, nebo žádný z nich:

Kartézská mřížka v rovině vypadá na kouli zkreslená. Čáry mřížky jsou stále kolmé, ale oblasti čtverců mřížky se s blížícím se severním pólem zmenšují.
Polární mřížka v rovině vypadá na kouli zkreslená. Křivky mřížky jsou stále kolmé, ale oblasti sektorů mřížky se s blížícím se severním pólem zmenšují.

Stereografická projekce je konformní, což znamená, že zachovává úhly, ve kterých se křivky navzájem kříží (viz obrázky). Na druhou stranu stereografická projekce nezachová oblast; obecně se oblast oblasti koule nerovná ploše jejího průmětu do roviny. Element plochy je uveden v ( X , Y ) souřadnicích o

Podél jednotkového kruhu, kde X 2 + Y 2 = 1 , nedochází k žádnému nafukování oblasti v limitu, což dává faktor měřítka 1. Blízké (0, 0) oblasti jsou nafouknuty faktorem 4 a blízké nekonečné oblasti jsou nafouknuty libovolně malými faktory.

Metrika je dána v ( X , Y ) souřadnicích o

a je unikátní formule nalézt v Bernhard Riemann ‚s Habilitationsschrift na základech geometrie, dodané do Göttingenu v roce 1854, pod názvem Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen .

Žádná mapa ze sféry do roviny nemůže být jak konformní, tak zachovávající plochu. Pokud by tomu tak bylo, pak by to byla místní izometrie a zachovalo by to Gaussovo zakřivení . Koule a letadlo mají různá Gaussova zakřivení, takže to není možné.

Kruhy na oblasti , které nejsou procházejí v místě výstupku se měly kruhů v letadle. Kruhy na kouli, které procházejí bodem projekce, jsou promítnuty do přímek v rovině. Tyto čáry jsou někdy považovány za kruhy skrz bod v nekonečnu nebo kruhy s nekonečným poloměrem.

Všechny čáry v rovině, když jsou převráceny na kruhy na kouli převrácenou stereografickou projekcí, se setkávají v projekčním bodě. Rovnoběžky, které se v rovině neprotínají, se v projekčním bodě transformují na kružnice tečné. Protínající se čáry jsou transformovány do kruhů, které se protínají příčně ve dvou bodech koule, z nichž jeden je bod projekce. (Podobné poznámky platí o skutečné projektivní rovině , ale průsečíkové vztahy jsou tam jiné.)

Koule s různými loxodromy zobrazenými v odlišných barvách

Na loxodromes ze sféry mapovat křivek v rovině formy

kde parametr a měří „těsnost“ loxodromu. Loxodromy tedy odpovídají logaritmickým spirálám . Tyto spirály protínají radiální čáry v rovině ve stejných úhlech, stejně jako loxodromy protínají meridiány na kouli ve stejných úhlech.

Inverze od Stereographic.png

Stereografická projekce se týká inverze roviny jednoduchým způsobem. Nechť P a Q jsou dva body na kouli s projekcemi P ' a Q' na rovinu. Pak P ' a Q' jsou navzájem inverzní obrazy v obrazu rovníkové kružnice právě tehdy, když P a Q jsou navzájem odrazy v rovníkové rovině.

Jinými slovy, pokud:

  • P je bod na kouli, ale ne 'severní pól' N a ne jeho protipod , 'jižní pól' S ,
  • P ' je obraz P ve stereografické projekci s projekčním bodem N a
  • P ″ je obraz P ve stereografické projekci s projekčním bodem S ,

pak P ' a P' jsou navzájem inverzní obrazy v jednotkovém kruhu.

Wulffova síť

Wulffova síť nebo stereonet, používané k ručnímu vytváření grafů stereografické projekce
Generování Wulffovy sítě (kruhová síť v červeném kruhu) stereografickou projekcí se středem C a projekční rovinou

Stereografické projekční grafy mohou být prováděny počítačem pomocí explicitních vzorců uvedených výše. Pro ruční kreslení grafů jsou však tyto vzorce nepraktické. Místo toho je běžné používat milimetrový papír určený speciálně pro daný úkol. Tento speciální milimetrový papír se nazývá stereonet nebo Wulffova síť , podle ruského mineraloga George (Jurije Viktoroviče) Wulffa .

Zde zobrazená Wulffova síť je stereografická projekce mřížky rovnoběžek a meridiánů polokoule se středem v bodě na rovníku (jako je východní nebo západní polokoule planety).

Na obrázku je vlastnost stereografické projekce narušující oblast vidět porovnáním mřížkového sektoru poblíž středu sítě s sektorem zcela vpravo nebo vlevo. Tyto dva sektory mají v této oblasti stejné oblasti. Na disku má ten druhý téměř čtyřnásobek plochy prvního. Pokud je mřížka jemnější, tento poměr se blíží přesně 4.

Na Wulffově síti se obrazy rovnoběžek a poledníků protínají v pravém úhlu. Tato vlastnost ortogonality je důsledkem vlastnosti zachovávající úhel stereoskopické projekce. (Vlastnost zachovávající úhel je však silnější než tato vlastnost. Ne všechny projekce, které zachovávají ortogonalitu rovnoběžek a poledníků, zachovávají úhel.)

Ilustrace kroků 1–4 pro vykreslení bodu na Wulffově síti

Pro příklad použití Wulffovy sítě si představte její dvě kopie na tenkém papíře, jednu na druhé, zarovnané a připnuté v jejich vzájemném středu. Nechť P je bod na spodní jednotkové polokouli, jehož sférické souřadnice jsou (140 °, 60 °) a jejichž karteziánské souřadnice jsou (0,321, 0,557, -0,766). Tento bod leží na přímce orientované 60 ° proti směru hodinových ručiček od kladné osy x (nebo 30 ° ve směru hodinových ručiček od kladné osy y ) a 50 ° pod horizontální rovinou z = 0 . Jakmile jsou tyto úhly známy, existují čtyři kroky k vykreslení P :

  1. Zde pomocí čar mřížky, které jsou na obrázcích od sebe vzdáleny 10 °, označte bod na okraji sítě, který je 60 ° proti směru hodinových ručiček od bodu (1, 0) (nebo 30 ° ve směru hodinových ručiček od bodu (0, 1) )).
  2. Otáčejte horní sítí, dokud nebude tento bod zarovnán s (1, 0) na spodní síti.
  3. Pomocí čar mřížky na spodní síti označte bod, který je od tohoto bodu 50 ° směrem ke středu.
  4. Otočte horní síť opačně, než byla orientována dříve, aby se vrátila zpět do souladu se spodní sítí. Bod označený v kroku 3 je pak projekcí, kterou jsme chtěli.

Chcete -li vykreslit další body, jejichž úhly nejsou tak kulaté jako 60 ° a 50 °, je třeba vizuálně interpolovat mezi nejbližšími čarami mřížky. Je užitečné mít síť s jemnějším rozestupem než 10 °. Vzdálenosti 2 ° jsou běžné.

Chcete -li najít středový úhel mezi dvěma body koule na základě jejich stereografického grafu, překryjte graf na Wulffově síti a otáčejte grafem kolem středu, dokud dva body neleží na poledníku nebo v jeho blízkosti. Poté změřte úhel mezi nimi spočítáním čar mřížky podél tohoto poledníku.

Aplikace v matematice

Komplexní analýza

Složitá rovina a Riemannova sféra nad ní

Ačkoli jakákoli stereografická projekce vynechá jeden bod na kouli (projekční bod), celou sféru lze mapovat pomocí dvou projekcí z odlišných projekčních bodů. Jinými slovy, kouli lze pokrýt dvěma stereografickými parametrizacemi (inverzemi projekcí) z roviny. Parametrizace lze zvolit tak, aby navodily stejnou orientaci na kouli. Společně popisují kouli jako orientovanou plochu (nebo dvourozměrné potrubí ).

Tato konstrukce má zvláštní význam v komplexní analýze. Bod ( X , Y ) v reálném rovině mohou být identifikovány s komplexním číslem ζ = X + i Y . Stereografická projekce ze severního pólu do rovníkové roviny je pak

Podobně nechť ξ = X - i Y je další komplexní souřadnice, funkce

definujte stereografickou projekci z jižního pólu do rovníkové roviny. Přechodové mapy mezi souřadnicemi ζ - a ξ jsou pak ζ =1/ξa ξ =1/ζ, přičemž ζ se blíží 0, jak ξ jde do nekonečna, a naopak . To usnadňuje elegantní a užitečnou představu nekonečna pro komplexní čísla a vlastně celou teorii mapování meromorfních funkcí do Riemannovy sféry . Standardní metrika na jednotkové sféře souhlasí s metrikou Fubini – Studie na Riemannově sféře.

Vizualizace čar a rovin

Animace Kikuchiho linií čtyř z osmi <111> zón v krystalu fcc. Roviny na hraně (pruhované čáry) se protínají v pevných úhlech.

Množina všech přímek skrz počátek v trojrozměrném prostoru tvoří prostor nazývaný skutečná projektivní rovina . Tuto rovinu je obtížné si představit, protože ji nelze vložit do trojrozměrného prostoru.

Lze si ho však představit jako disk následovně. Jakákoli přímka skrz počátek protíná jižní polokouli z  ≤ 0 v bodě, který pak lze stereograficky promítnout do bodu na disku v rovině XY. Vodorovné čáry počátkem protínají jižní polokouli ve dvou antipodálních bodech podél rovníku, které vyčnívají na hranici disku. Kterýkoli ze dvou promítnutých bodů lze považovat za část disku; rozumí se, že antipodální body na rovníku představují jednu přímku ve 3 prostoru a jeden bod na hranici promítaného disku (viz kvocient topologie ). Jakoukoli řadu čar skrz počátek lze tedy zobrazit jako sadu bodů v promítaném disku. Ale hraniční body se chovají odlišně od hraničních bodů běžného 2-dimenzionálního disku, v tom, že kterýkoli z nich je současně blízko vnitřních bodů na opačných stranách disku (stejně jako dvě téměř vodorovné čáry skrz počátek mohou promítat do bodů na opačných stranách disku).

Také každá rovina počátkem protíná jednotkovou sféru ve velkém kruhu, kterému se říká stopa roviny. Tento kruh se mapuje na kruh pod stereografickou projekcí. Projekce nám tedy umožňuje zobrazit roviny jako kruhové oblouky na disku. Před dostupností počítačů stereografické projekce s velkými kruhy často zahrnovaly kreslení oblouků s velkým poloměrem, které vyžadovaly použití paprskového kompasu . Počítače nyní tento úkol značně usnadňují.

S každou rovinou je dále spojena jedinečná přímka, nazývaná pól letadla , která prochází počátkem a je kolmá na rovinu. Tuto čáru lze vykreslit jako bod na disku, stejně jako jakoukoli čáru skrz počátek. Stereografická projekce nám tedy také umožňuje zobrazit roviny jako body na disku. U pozemků zahrnujících mnoho rovin vytváří vykreslování jejich pólů méně nepřehledný obraz než vykreslování jejich stop.

Tato konstrukce se používá k vizualizaci směrových dat v krystalografii a geologii, jak je popsáno níže.

Jiná vizualizace

Stereografická projekce je také aplikována na vizualizaci polytopů . Ve Schlegelově diagramu je n -dimenzionální polytop v R n +1 promítnut na n -dimenzionální sféru, která je poté stereograficky promítnuta na R n . Snížení z R n +1 na R n může usnadnit vizualizaci a porozumění polytopu.

Aritmetická geometrie

Tyto racionální body na kruhu odpovídají za stereografické projekce, k racionálnímu body trati.

V elementární aritmetické geometrii poskytuje stereografická projekce z jednotkového kruhu prostředek k popisu všech primitivních pythagorejských trojic . Konkrétně stereografická projekce ze severního pólu (0,1) na osu x poskytuje vzájemnou korespondenci mezi body racionálních čísel ( x , y ) na jednotkové kružnici (s y ≠ 1 ) a racionálními body z x v ose. Pokud (m/n, 0) je racionální bod na ose x , pak jeho inverzní stereografická projekce je bod

což dává Euclidův vzorec pro Pythagorovu trojku.

Tangentní střídání polovičního úhlu

WeierstrassSubstitution.svg

Dvojici goniometrických funkcí (sin x , cos x ) lze považovat za parametrizaci jednotkové kružnice. Stereografická projekce poskytuje alternativní parametrizaci jednotkového kruhu:

Při této reparametrizaci přejde délkový prvek dx jednotkového kruhu na

Tato substituce může někdy zjednodušit integrály zahrnující goniometrické funkce.

Aplikace do jiných oborů

Kartografie

Zásadním problémem kartografie je, že žádná mapa ze sféry do roviny nemůže přesně reprezentovat úhly i oblasti. Pro statistické aplikace jsou obecně upřednostňovány projekce map zachovávající plochu , zatímco pro navigaci jsou upřednostňovány projekce map zachovávající úhel (konformní) .

Stereografická projekce spadá do druhé kategorie. Když je projekce vystředěna na severním nebo jižním pólu Země, má další žádoucí vlastnosti: Vysílá meridiány na paprsky vycházející z původu a rovnoběžky do kruhů se středem na počátku.

Planetární věda

Stereografická projekce Měsíce , ukazující regiony směrem k polu 60 ° severně. Krátery, které jsou kruhy na kouli, vypadají v této projekci kruhové, bez ohledu na to, zda jsou blízko pólu nebo okraje mapy.

Stereografická je jediná projekce, která mapuje všechny kruhy na kouli na kruhy v rovině . Tato vlastnost je cenná při planetárním mapování, kde jsou typickými prvky krátery. Sada kruhů procházejících bodem projekce má neomezený poloměr, a proto degeneruje do čar.

Krystalografie

Krystalografická postava pólu pro diamantovou mřížku ve směru [111]

V krystalografii jsou orientace krystalových os a ploch v trojrozměrném prostoru ústředním geometrickým zájmem, například při interpretaci rentgenových a elektronových difrakčních obrazců. Tyto orientace lze zobrazit jako v části Vizualizace čar a rovin výše. To znamená, že krystalové osy a póly k krystalovým rovinám se protnou se severní polokoulí a poté se vykreslí pomocí stereografické projekce. Děj pólů se nazývá pólová figura .

Při elektronové difrakci se páry Kikuchiho linií objevují jako pásy zdobící průnik mezi stopami mřížkových rovin a Ewaldovou sférou, což poskytuje experimentální přístup ke stereografické projekci krystalu. Model Kikuchi mapuje ve vzájemném prostoru a mapy s okrajovou viditelností pro použití s ​​obrysy zatáček v přímém prostoru, takže fungují jako silniční mapy pro zkoumání orientačního prostoru s krystaly v transmisním elektronovém mikroskopu .

Geologie

Využití stereografické projekce dolní polokoule k vykreslení rovinných a lineárních dat ve strukturní geologii na příkladu zlomové roviny se slickensidovou lineací

Vědci ve strukturální geologii se zabývají orientací rovin a čar z mnoha důvodů. Foliování ze skály je funkce rovinný, který často obsahuje lineární funkci zvanou linkování . Podobně je rovina poruchy rovinným prvkem, který může obsahovat lineární prvky, jako jsou slickensides .

Tyto orientace čar a rovin v různých měřítcích lze vykreslit pomocí výše uvedených metod Vizualizace čar a rovin . Stejně jako v krystalografii jsou letadla typicky vykreslována svými póly. Na rozdíl od krystalografie se místo severní používá jižní polokoule (protože dotyčné geologické prvky leží pod zemským povrchem). V této souvislosti je stereografická projekce často označována jako projekce dolní polokoule se stejným úhlem . Rovněž se používá projekce na nižší polokouli stejné oblasti definovaná Lambertovou azimutální projekcí o stejné ploše , zvláště když má být graf podroben následné statistické analýze, jako je konturování hustoty .

Fotografování

Stereografická projekce sférického panoramatu sochy Poslední večeře od Michele Vedani v Esino Lario , Lombardie, Itálie během Wikimanie 2016
„Vue circulaire des montagnes qu'on découvre du sommet du Glacier de Buet“, Horace-Benedict de Saussure, Voyage dans les Alpes, précédés d'un essai sur l'histoire naturelle des environments de Geneve . Neuchatel, 1779–96, pl. 8.

Některé objektivy typu rybí oko používají k zachycení širokoúhlého obrazu stereografickou projekci. Ve srovnání s tradičnějšími čočkami typu rybí oko, které používají projekci se stejnou plochou, si oblasti blízko okraje zachovávají svůj tvar a rovné čáry jsou méně zakřivené. Stereografické čočky typu rybí oko jsou však obvykle dražší na výrobu. Software pro přemapování obrázků, například Panotools , umožňuje automatické přemapování fotografií z rybího oka stejné oblasti na stereografickou projekci.

Stereografická projekce byla použita k mapování sférických panoramat , počínaje Horacem Bénédictem de Saussure v roce 1779. Výsledkem jsou efekty známé jako malá planeta (když středem projekce je nejnižší bod ) a tubus (když je střed projekce je zenit ).

Popularita používání stereografických projekcí k mapování panoramat přes jiné azimutální projekce je přičítána zachování tvaru, které vyplývá z konformity projekce.

Viz také

Reference

Prameny

  • Apostol, Tom (1974). Matematická analýza (2 ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-00288-4.
  • Brown, James & Churchill, Ruel (1989). Složité proměnné a aplikace . New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-010905-2.
  • Casselman, Bill (2014), sloupec funkcí Únor 2014: Stereografická projekce , AMS , vyvoláno 12. 12. 2014
  • Němec, Daniel; Burchill, L .; Duret-Lutz, A .; Pérez-Duarte, S .; Pérez-Duarte, E .; Sommers, J. (červen 2007). „Sloučení viditelné sféry“. Proceedings of Computational Aesthetics 2007 . Banff: Eurographics. s. 23–28.
  • Gelfand, IM ; Minlos, RA ; Shapiro, Z.Ya. (1963), Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications , New York: Pergamon Press
  • Do Carmo ; Manfredo P. (1976). Diferenciální geometrie křivek a ploch . Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-212589-7.
  • Elkins, James (1988). „Vyvinul Leonardo teorii křivočaré perspektivy ?: Spolu s několika poznámkami k axiomům‘ Úhel ’a‘ Vzdálenost ‘“. Journal of Warburg a Courtauld instituty . Warburgův institut. 51 : 190–196. doi : 10,2307/751275 . JSTOR  751275 .
  • Oprea, John (2003). Diferenciální geometrie a aplikace . Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-065246-6.
  • Pedoe, Dan (1988). Geometrie . Dover. ISBN 0-486-65812-0.
  • Shafarevich, Igor (1995). Základní algebraické geometrie I . Springer. ISBN 0-387-54812-2.
  • Snyder, John P. (1987). Mapové projekce - pracovní manuál, profesionální papír 1395 . Americká geologická služba.
  • Snyder, John P. (1989). Album mapových projekcí, profesionální papír 1453 . Americká geologická služba.
  • Snyder, John P. (1993). Zploštění Země . University of Chicago. ISBN 0-226-76746-9.
  • Spivak, Michael (1999). Komplexní úvod do diferenciální geometrie, svazek IV . Houston, Texas: Publikovat nebo zahynout. ISBN 0-914098-73-X.

externí odkazy

Videa

Software

Panoramata miniplanet