Stochastický proces

Počítačem simulovaná realizace Wienerova nebo Brownova pohybu na povrchu koule. Wienerův proces je široce považován za nejvíce studovaný a centrální stochastický proces v teorii pravděpodobnosti.

V teorii pravděpodobnosti a příbuzných oborech, a stochastické ( / y t oʊ k æ s t ɪ k / ), nebo náhodný proces je matematický objekt obvykle definovány jako rodina z náhodných proměnných . Stochastické procesy jsou široce používány jako matematické modely systémů a jevů, které se objevují náhodně. Mezi příklady patří růst bakteriální populace, elektrický proud kolísající v důsledku tepelného šumu nebo pohyb molekuly plynu . Stochastické procesy mají uplatnění v řadě oborů, jako je biologie , chemie , ekologie , neuroscience , fyzika , zpracování obrazu , zpracování signálu , teorie řízení , teorie informace , počítačové vědy , kryptografie a telekomunikací . Zdánlivě náhodné změny na finančních trzích navíc motivovaly rozsáhlé využívání stochastických procesů ve financích .

Aplikace a studium jevů zase inspirovaly návrh nových stochastických procesů. Mezi příklady takových stochastických procesů patří Wienerův proces nebo Brownův pohybový proces, který používá Louis Bachelier ke studiu cenových změn na Paris Bourse , a Poissonův proces , který používá AK Erlang ke studiu počtu telefonních hovorů, ke kterým dochází v určitém časovém období . Tyto dva stochastické procesy jsou považovány za nejdůležitější a ústřední v teorii stochastických procesů a byly objeveny opakovaně a nezávisle, před i za Bachelierem a Erlangem, v různých prostředích a zemích.

Termín náhodná funkce se také používá k označení stochastického nebo náhodného procesu, protože stochastický proces lze také interpretovat jako náhodný prvek ve funkčním prostoru . Termíny stochastický proces a náhodný proces se používají zaměnitelně, často bez konkrétního matematického prostoru pro množinu, která indexuje náhodné proměnné. Ale často tyto dva termíny jsou používány, když jsou náhodné veličiny indexovány celých čísel nebo interval na reálné ose . Pokud jsou náhodné proměnné indexovány karteziánskou rovinou nebo nějakým vyšší dimenzionálním euklidovským prostorem , pak se soubor náhodných proměnných místo toho nazývá náhodné pole . Hodnoty stochastického procesu nejsou vždy čísla a mohou to být vektory nebo jiné matematické objekty.

Na základě svých matematických vlastností lze stochastické procesy seskupovat do různých kategorií, mezi něž patří náhodné procházky , martingales , Markovovy procesy , Lévyho procesy , Gaussovy procesy , náhodná pole, procesy obnovy a procesy větvení . Studium stochastických procesů využívá matematické znalosti a techniky z pravděpodobnosti , počtu , lineární algebry , teorie množin a topologie a také odvětví matematické analýzy, jako je reálná analýza , teorie měření , Fourierova analýza a funkční analýza . Teorie stochastických procesů je považována za důležitý příspěvek k matematice a nadále je aktivním tématem výzkumu jak z teoretických důvodů, tak z aplikací.

Úvod

Stochastický nebo náhodný proces lze definovat jako soubor náhodných proměnných, které jsou indexovány nějakou matematickou sadou, což znamená, že každá náhodná proměnná stochastického procesu je jednoznačně spojena s prvkem v sadě. Sada používaná k indexování náhodných proměnných se nazývá sada indexů . Historicky, množina indexů byla nějaká podmnožina z reálné ose , jako jsou přirozených čísel , takže index stanoven výkladu času. Každá náhodná proměnná ve sbírce nabývá hodnot ze stejného matematického prostoru známého jako stavový prostor . Tento stavový prostor může být například celá čísla, skutečná čára nebo -dimenzionální euklidovský prostor. Přírůstek je množství, které stochastický proces se mění mezi dvěma hodnotami indexu, často interpretována jako dva body v čase. Stochastický proces může mít díky své nahodilosti mnoho výsledků a jeden výsledek stochastického procesu se mimo jiné nazývá ukázková funkce nebo realizace . ${\ displaystyle n}$

Jediná počítačově simulovaná funkce vzorku nebo realizace , mimo jiné, trojrozměrného Wienerova nebo Brownova pohybového procesu pro čas 0 ≤ t ≤ 2. Indexová sada tohoto stochastického procesu je nezáporná čísla, zatímco jeho stavový prostor je trojrozměrný euklidovský prostor.

Klasifikace

Stochastický proces lze klasifikovat různými způsoby, například podle stavového prostoru, sady indexů nebo závislosti mezi náhodnými proměnnými. Jedním z běžných způsobů klasifikace je mohutnost sady indexů a stavového prostoru.

Když je interpretována jako čas, pokud má indexová sada stochastického procesu konečný nebo spočitatelný počet prvků, jako je konečná množina čísel, množina celých čísel nebo přirozená čísla, pak se říká, že stochastický proces je diskrétní čas . Pokud je index nastaven na nějaký interval skutečné čáry, pak je čas považován za spojitý . Tyto dva typy stochastických procesů se příslušně označují jako stochastické procesy s diskrétním časem a kontinuální čas . Stochastické procesy v diskrétním čase jsou považovány za snazší ke studiu, protože procesy v nepřetržitém čase vyžadují pokročilejší matematické techniky a znalosti, zejména kvůli tomu, že sada indexů je nepočitatelná. Pokud jsou sadou indexů celá čísla nebo jejich podmnožina, lze stochastický proces také nazývat náhodnou sekvencí .

Pokud je stavový prostor celá čísla nebo přirozená čísla, pak se stochastický proces nazývá diskrétní nebo celočíselný stochastický proces . Pokud je stavový prostor skutečná čára, pak je stochastický proces označován jako stochastický proces s reálnou hodnotou nebo proces s kontinuálním stavovým prostorem . Pokud je stavový prostor -dimenzionální euklidovský prostor, pak se stochastický proces nazývá - dimenzionální vektorový proces nebo - vektorový proces . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$

Etymologie

Slovo stochastické v angličtině bylo původně použito jako přídavné jméno s definicí „vztahující se k dohadování“ a pochází z řeckého slova, které znamená „mířit na značku, hádat“, a Oxfordský anglický slovník uvádí rok 1662 jako nejranější výskyt . Jakob Bernoulli ve své práci o pravděpodobnosti Ars Conjectandi , původně publikované v latině v roce 1713, použil sousloví „Ars Conjectandi sive Stochastice“, které bylo přeloženo do „umění domýšlení nebo stochastiky“. Tuto frázi, s odkazem na Bernoulliho, použil Ladislaus Bortkiewicz, který v roce 1917 napsal německy slovo stochastik se smyslem, který znamená náhodný. Pojem stochastický proces se poprvé objevil v angličtině v dokumentu Josepha Dooba z roku 1934 . Pro termín a konkrétní matematickou definici Doob citoval další dokument z roku 1934, kde termín stochastischer Prozeß použil v němčině Aleksandr Khinchin , ačkoli německý termín dříve používal například Andrej Kolmogorov v roce 1931.

Podle Oxfordského anglického slovníku rané výskyty slova náhodného v angličtině s jeho aktuálním významem, který se vztahuje k náhodě nebo štěstí, se datují do 16. století, zatímco dřívější zaznamenaná použití začala ve 14. století jako podstatné jméno, které znamená „impetozita, velká rychlost, síla nebo násilí (při jízdě, běhu, úderu atd.) “. Samotné slovo pochází ze středofrancouzského slova, které znamená „rychlost, spěch“, a pravděpodobně je odvozeno z francouzského slovesa, které znamená „běžet“ nebo „cválat“. První písemná podoba pojmu náhodný proces předchází stochastickému procesu , který Oxfordský slovník angličtiny také uvádí jako synonymum, a byl použit v článku Francise Edgewortha publikovaném v roce 1888.

Terminologie

Definice stochastického procesu se liší, ale stochastický proces je tradičně definován jako soubor náhodných proměnných indexovaných nějakou sadou. Pojmy náhodný proces a stochastický proces jsou považovány za synonyma a používají se zaměnitelně, aniž by byla přesně specifikována sada indexů. Používá se jak „kolekce“, tak „rodina“, zatímco místo „sady indexů“ se někdy používají výrazy „sada parametrů“ nebo „prostor parametrů“.

Termín náhodná funkce se také používá k označení stochastického nebo náhodného procesu, ačkoli někdy se používá pouze tehdy, když stochastický proces nabývá skutečných hodnot. Tento termín se také používá, když jsou sady indexů jiné matematické prostory než skutečná čára, zatímco termíny stochastický proces a náhodný proces se obvykle používají, když je sada indexů interpretována jako čas, a jiné termíny se používají jako náhodné pole, když index množina je -dimenzionální euklidovský prostor nebo potrubí . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Zápis

Stochastic proces může být označen mimo jiné způsoby, pomocí , , nebo jednoduše jako či , přestože je považován za zneužití funkce zápisu . Například, nebo se používají k označení náhodné proměnné s indexem , a nikoli celého stochastického procesu. Pokud je sada indexů , pak lze psát například pro označení stochastického procesu. ${\ Displaystyle \ {X (t) \} _ {t \ v T}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \} _ {t \ v T}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \}}$ ${\ displaystyle \ {X (t) \}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X (t)}$ ${\ Displaystyle X (t)}$ ${\ Displaystyle X (t)}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ Displaystyle T = [0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle (X_ {t}, t \ geq 0)}$

Příklady

Bernoulliho proces

Jedním z nejjednodušších stochastických procesů je Bernoulliho proces , což je posloupnost nezávislých a identicky distribuovaných (iid) náhodných proměnných, kde každá náhodná proměnná nabývá buď hodnoty jedna, nebo nuly, řekněme jedna s pravděpodobností a nula s pravděpodobností . Tento proces lze spojit s opakovaným překlápěním mince, kde pravděpodobnost získání hlavy je jedna a její hodnota je jedna, zatímco hodnota ocasu je nulová. Jinými slovy, proces Bernoulli je posloupnost náhodných proměnných iid Bernoulli, kde každý hod mincí je příkladem procesu Bernoulliho . ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle 1-p}$ ${\ displaystyle p}$

Náhodná procházka

Náhodné procházky jsou stochastické procesy, které jsou obvykle definovány jako součty iid náhodných proměnných nebo náhodných vektorů v euklidovském prostoru, jedná se tedy o procesy, které se mění v diskrétním čase. Někteří však také používají tento termín k označení procesů, které se mění v nepřetržitém čase, zejména Wienerův proces používaný v oblasti financí, což vedlo k určitému zmatku, který vyústil v jeho kritiku. Existují i další různé typy náhodných procházek, které jsou definovány tak, aby jejich stavové prostory mohly být jiné matematické objekty, jako jsou mříže a skupiny, a obecně jsou velmi studované a mají mnoho aplikací v různých disciplínách.

Klasický příklad náhodné procházky je známý jako jednoduchá náhodná procházka , což je stochastický proces v diskrétním čase s celými čísly jako stavovým prostorem a je založen na Bernoulliho procesu, kde každá proměnná Bernoulli má buď hodnotu kladnou, nebo negativní. Jinými slovy, jednoduchá náhodná procházka probíhá na celých číslech a její hodnota se zvyšuje o jednu s pravděpodobností, řekněme , nebo klesá o jednu s pravděpodobností , takže indexová sada této náhodné procházky je přirozená čísla, zatímco její stavový prostor je celá čísla. Pokud se tato náhodná procházka nazývá symetrická náhodná procházka. ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle 1-p}$ ${\ displaystyle p = 0,5}$

Wienerův proces

Wienerův proces je stochastický proces se stacionárními a nezávislými přírůstky, které jsou normálně distribuovány na základě velikosti přírůstků. Wienerův proces je pojmenován po Norbertu Wienerovi , který prokázal svou matematickou existenci, ale tento proces se také nazývá proces Brownova pohybu nebo jen Brownův pohyb kvůli jeho historickému spojení jako modelu pro Brownův pohyb v kapalinách.

Realizace Wienerových procesů (nebo Brownových pohybových procesů) s driftem ( modrá ) a bez driftu ( červená ).

Hraje ústřední roli v teorii pravděpodobnosti, Wienerův proces je často považován za nejdůležitější a studovaný stochastický proces s propojením na jiné stochastické procesy. Jeho sada indexů a stavový prostor jsou nezáporná čísla, respektive reálná čísla, takže má spojitou sadu indexů i stavový prostor. Proces však lze definovat obecněji, takže jeho stavový prostor může být -dimenzionální euklidovský prostor. Pokud je průměr jakéhokoli přírůstku nulový, pak se říká, že výsledný Wienerův nebo Brownův pohybový proces má nulový drift. Pokud je průměr přírůstku pro jakékoli dva body v čase roven časovému rozdílu vynásobenému nějakou konstantou , což je reálné číslo, pak se říká, že výsledný stochastický proces se unáší . ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle \ mu}$

Téměř jistě je ukázková cesta Wienerova procesu spojitá všude, ale nikde není odlišitelná . Lze jej považovat za souvislou verzi jednoduché náhodné procházky. Tento proces vzniká jako matematický limit jiných stochastických procesů, jako jsou například změny měřítka určitých náhodných procházek, který je předmětem Donskerovy věty nebo principu invariance, také známý jako funkční centrální limitní věta.

Wienerův proces je členem některých důležitých rodin stochastických procesů, včetně Markovových, Lévyho a Gaussových procesů. Tento proces má také mnoho aplikací a je hlavním stochastickým procesem používaným ve stochastickém počtu. Hraje ústřední roli v kvantitativním financování, kde se používá například v modelu Black – Scholes – Merton. Tento proces se také používá v různých oblastech, včetně většiny přírodních věd a některých odvětví společenských věd, jako matematický model pro různé náhodné jevy.

Poissonův proces

Poissonův proces je stochastický proces, který má různé formy a definice. Lze jej definovat jako proces počítání, což je stochastický proces, který do určité doby představuje náhodný počet bodů nebo událostí. Počet bodů procesu, které se nacházejí v intervalu od nuly do určitého času, je Poissonova náhodná proměnná, která závisí na tomto čase a nějakém parametru. Tento proces má přirozená čísla jako stavový prostor a nezáporná čísla jako sadu indexů. Tento proces se také nazývá Poissonův proces počítání, protože jej lze interpretovat jako příklad procesu počítání.

Pokud je Poissonův proces definován jedinou kladnou konstantou, pak se tento proces nazývá homogenní Poissonův proces. Homogenní Poissonův proces je členem důležitých tříd stochastických procesů, jako jsou Markovovy a Lévyho procesy.

Homogenní Poissonův proces lze definovat a zobecnit různými způsoby. Může být definován tak, že jeho indexová sada je skutečná čára a tento stochastický proces se také nazývá stacionární Poissonův proces. Pokud je parametrická konstanta Poissonova procesu nahrazena nějakou nezápornou integrovatelnou funkcí , výsledný proces se nazývá nehomogenní nebo nehomogenní Poissonův proces, kde průměrná hustota bodů procesu již není konstantní. Poissonův proces, který slouží jako základní proces v teorii front, je důležitým procesem pro matematické modely, kde nachází aplikace pro modely událostí náhodně se vyskytujících v určitých časových oknech. ${\ displaystyle t}$

Poissonův proces, definovaný na skutečné linii, lze mimo jiné interpretovat jako stochastický proces. Ale pak to může být definováno na -dimenzionálním euklidovském prostoru nebo jiných matematických prostorech, kde je často interpretováno jako náhodná množina nebo náhodné počítání, místo stochastického procesu. V tomto nastavení je Poissonův proces, nazývaný také Poissonův bodový proces, jedním z nejdůležitějších objektů v teorii pravděpodobnosti, a to jak z aplikačních, tak z teoretických důvodů. Bylo však poznamenáno, že Poissonovu procesu se nevěnuje tolik pozornosti, jak by se mělo, částečně kvůli tomu, že se často zvažuje jen na skutečné linii, a ne na jiných matematických prostorech. ${\ displaystyle n}$

Definice

Stochastický proces je definován jako soubor náhodných proměnných definovaných na společném pravděpodobnostním prostoru , kde je ukázkový prostor , je - algebra a je měřítkem pravděpodobnosti ; a náhodné proměnné, indexované nějakou množinou , všechny nabývají hodnot ve stejném matematickém prostoru , který musí být měřitelný s ohledem na nějakou -algebru . ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle \ Omega}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$

Jinými slovy, pro daný pravděpodobnostní prostor a měřitelný prostor je stochastický proces souborem -hodnocených náhodných proměnných, které lze zapsat jako: ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle (S, \ Sigma)}$ ${\ displaystyle S}$

{\ Displaystyle \ {X (t): t \ in T \}.}

Historicky v mnoha problémech z přírodních věd měl bod význam času, takže je náhodná proměnná představující hodnotu pozorovanou v čase . Stochastický proces lze také napsat tak, aby odrážel, že je ve skutečnosti funkcí dvou proměnných a . ${\ displaystyle t \ v T}$ ${\ Displaystyle X (t)}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle \ {X (t, \ omega): t \ in T \}}$ ${\ displaystyle t \ v T}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

Existují i jiné způsoby, jak uvažovat o stochastickém procesu, přičemž výše uvedená definice je považována za tradiční. Například, stochastický proces lze interpretovat nebo definovat jako cenil náhodné proměnné, kde je prostor všech možných cenil funkce z této mapě ze sady do prostoru . ${\ displaystyle S^{T}}$ ${\ displaystyle S^{T}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle t \ v T}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$

Index nastaven

Tato sada se nazývá indexová sada nebo sada parametrů stochastického procesu. Často je tato množina nějakou podmnožinou reálné přímky , jako jsou přirozená čísla nebo interval, což dává množině interpretaci času. Kromě těchto množin může být množinou indexů další množina s celkovým řádem nebo obecnější množina, například karteziánská rovina nebo -dimenzionální euklidovský prostor, kde prvek může představovat bod v prostoru. To znamená, že mnoho výsledků a vět je možné pouze pro stochastické procesy s úplně uspořádanou sadou indexů. ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle R^{2}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle t \ v T}$

Státní prostor

Matematický prostor o stochastický proces se nazývá svůj stavový prostor . Tento matematický prostor lze definovat pomocí celých čísel , reálných čar , -dimenzionálních euklidovských prostorů , složitých rovin nebo abstraktnějších matematických prostorů. Stavový prostor je definován pomocí prvků, které odrážejí různé hodnoty, které může mít stochastický proces. ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle n}$

Ukázková funkce

Vzorek funkce je jeden výsledek z náhodného procesu, takže se vytvoří tím, že jedinou možnou hodnotu každé náhodné proměnné stochastického procesu. Přesněji řečeno, pokud je stochastický proces, pak se pro kterýkoli bod je mapování ${\ displaystyle \ {X (t, \ omega): t \ in T \}}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$

{\ Displaystyle X (\ cdot, \ omega): T \ rightarrow S,}

se nazývá ukázková funkce, realizace nebo, zvláště když je interpretována jako čas, ukázková cesta stochastického procesu . To znamená, že pro fixní existuje ukázková funkce, která mapuje sadu indexů na stavový prostor . Jiné názvy pro ukázkovou funkci stochastického procesu zahrnují trajektorii , funkci cesty nebo cestu . ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle \ {X (t, \ omega): t \ in T \}}$ ${\ displaystyle \ omega \ in \ Omega}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$

Přírůstek

Přírůstek o stochastické procesu je rozdíl mezi dvěma náhodnými proměnnými stejného náhodného procesu. U stochastického procesu s množinou indexů, kterou lze interpretovat jako čas, je přírůstek tím, jak moc se stochastický proces v určitém časovém období mění. Například pokud je to stochastický proces se stavovým prostorem a nastaveným indexem , pak pro jakákoli dvě nezáporná čísla a taková rozdíl je -ohodnocená náhodná proměnná známá jako přírůstek. Když se zajímáme o přírůstky, stavový prostor je často skutečná čára nebo přirozená čísla, ale může to být -dimenzionální euklidovský prostor nebo více abstraktních prostorů, jako jsou Banachovy prostory . ${\ displaystyle \ {X (t): t \ in T \}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ Displaystyle T = [0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle t_ {1} \ v [0, \ infty)}$ ${\ Displaystyle t_ {2} \ v [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle t_ {1} \ leq t_ {2}}$ ${\ displaystyle X_ {t_ {2}}-X_ {t_ {1}}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle n}$

Další definice

Zákon

Pro stochastický proces definovaný v prostoru pravděpodobnosti je zákon stochastického procesu definován jako míra obrazu : ${\ Displaystyle X \ colon \ Omega \ rightarrow S^{T}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle \ mu = P \ circ X^{-1},}

kde je míra pravděpodobnosti, symbol označuje složení funkce a je předobrazem měřitelné funkce nebo ekvivalentně -hodnocené náhodné proměnné , kde je prostor všech možných hodnotených funkcí , takže zákon stochastické proces je mírou pravděpodobnosti. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle \ circ}$ ${\ displaystyle X^{-1}}$ ${\ displaystyle S^{T}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle S^{T}}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle t \ v T}$

Pro měřitelná podmnožina z je pre-image of dává ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle S^{T}}$ ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle X^{-1} (B) = \ {\ omega \ in \ Omega: X (\ omega) \ in B \},}

takže zákon a lze napsat jako: ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle \ mu (B) = P (\ {\ omega \ in \ Omega: X (\ omega) \ in B \}).}

Zákon o stochastické procesu nebo náhodné veličiny je také nazýván zákon pravděpodobnost , rozdělení pravděpodobnosti , nebo distribuci .

Konečně-dimenzionální rozdělení pravděpodobnosti

Pro stochastický proces se zákonem je jeho konečno-rozměrné rozdělení pro : ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ Displaystyle t_ {1}, \ tečky, t_ {n} \ v T}$

{\ Displaystyle \ mu _ {t_ {1}, \ dots, t_ {n}} = P \ circ (X ({t_ {1}}), \ dots, X ({t_ {n}}))^{ -1},}

Toto opatření je společné rozdělení náhodného vektoru ; lze jej považovat za „projekci“ zákona na konečnou podmnožinu . ${\ Displaystyle \ mu _ {t_ {1}, .., t_ {n}}}$ ${\ displaystyle (X ({t_ {1}}), \ dots, X ({t_ {n}}))}$ ${\ Displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle T}$

Pro jakékoliv měřitelné dílčí části násobnou karteziánského moc se konečný-rozměrné rozvody stochastic proces může být zapsán jako: ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle S^{n} = S \ times \ dots \ times S}$ ${\ displaystyle X}$

{\ Displaystyle \ mu _ {t_ {1}, \ dots, t_ {n}} (C) = P {\ Big (} {\ big \ {} \ omega \ in \ Omega: {\ big (} X_ { t_ {1}} (\ omega), \ tečky, X_ {t_ {n}} (\ omega) {\ velký)} \ v C {\ velký \}} {\ velký)}.}

Konečně-rozměrné distribuce stochastického procesu splňují dvě matematické podmínky známé jako podmínky konzistence.

Stacionárnost

Stacionarita je matematická vlastnost, kterou má stochastický proces, když jsou všechny náhodné proměnné tohoto stochastického procesu rozloženy identicky. Jinými slovy, pokud jde o stacionární stochastický proces, pak pro libovolnou má náhodná proměnná stejné rozdělení, což znamená, že pro libovolnou sadu hodnot sady indexů odpovídající náhodné proměnné ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle t \ v T}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle t_ {1}, \ tečky, t_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$

{\ displaystyle X_ {t_ {1}}, \ dots X_ {t_ {n}},}

všechny mají stejné rozdělení pravděpodobnosti . Indexová sada stacionárního stochastického procesu je obvykle interpretována jako čas, takže to mohou být celá čísla nebo skutečná přímka. Ale koncept stacionarity existuje také pro bodové procesy a náhodná pole, kde sada indexů není interpretována jako čas.

Když lze sadu indexů interpretovat jako čas, říká se, že stochastický proces je stacionární, pokud jsou jeho konečno-dimenzionální distribuce při překladech času neměnné. Tento typ stochastického procesu lze použít k popisu fyzického systému, který je v ustáleném stavu, ale přesto dochází k náhodným výkyvům. Intuice za stacionaritou spočívá v tom, že jak plyne čas, distribuce stacionárního stochastického procesu zůstává stejná. Sekvence náhodných proměnných tvoří stacionární stochastický proces, pouze pokud jsou náhodné proměnné distribuovány identicky. ${\ displaystyle T}$

O stochastickém procesu s výše uvedenou definicí stacionarity se někdy říká, že je přísně stacionární, ale existují i jiné formy stacionarity. Jedním z příkladů je, když se říká, že stochastický proces v diskrétním nebo spojitém čase je stacionární v širším smyslu, pak má proces konečný druhý moment pro všechny a kovarianci dvou náhodných proměnných a závisí pouze na počtu pro všechny . Khinchin představil související pojem stacionarity v širokém slova smyslu , která má jiná jména včetně kovarianční stacionaritě nebo stacionarity v širším slova smyslu . ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle t \ v T}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ ${\ displaystyle X_ {t+h}}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle t \ v T}$

Filtrace

Filtrace je rostoucí posloupnost sigma-algebry definovaných ve vztahu k nějaké prostoru pravděpodobnosti a index soubor, který má nějakou celkové pořadí vztah, jako například v případě, že množina indexů za jedny podmnožina reálných čísel. Formálněji, pokud má stochastický proces indexový soubor s celkovým řádem, pak filtrace na pravděpodobnostním prostoru je rodina sigma-algeber tak, že pro všechny , kde a označuje celkové pořadí indexové sady . S konceptem filtrace je možné studovat množství informací obsažených ve stochastickém procesu v , které lze interpretovat jako čas . Intuice za filtrací spočívá v tom, že jak plyne čas , jsou známy nebo dostupné další a další informace , které jsou zachyceny , což má za následek jemnější a jemnější oddíly . ${\ displaystyle \ {{\ mathcal {F}} _ {t} \} _ {t \ v T}}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {s} \ subseteq {\ mathcal {F}} _ {t} \ subseteq {\ mathcal {F}}}$ ${\ Displaystyle s \ leq t}$ ${\ displaystyle t, s \ in T}$ ${\ displaystyle \ leq}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ ${\ displaystyle t \ v T}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle t}$ ${\ displaystyle X_ {t}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} _ {t}}$ ${\ displaystyle \ Omega}$

Úpravy

Modifikace o stochastické procesu je další stochastický proces, který úzce souvisí s původním stochastického procesu. Přesněji řečeno, stochastický proces, který má stejnou sadu indexů , nastavený prostor a pravděpodobnostní prostor jako jiný stochastický proces, je údajně modifikací if pro všechny následující ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ cal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle t \ v T}$

{\ Displaystyle P (X_ {t} = Y_ {t}) = 1,}

drží. Dva stochastické procesy, které jsou navzájem modifikací, mají stejný zákon konečných rozměrů a říká se, že jsou stochasticky ekvivalentní nebo ekvivalentní .

Místo modifikace se také používá termín verze , nicméně někteří autoři používají termín verze, když dva stochastické procesy mají stejné konečno-rozměrné rozdělení, ale mohou být definovány na různých pravděpodobnostních prostorech, takže dva procesy, které jsou vzájemnými modifikacemi, jsou také navzájem verzemi v druhém smyslu, ale ne naopak.

Pokud stochastický proces v reálném čase v reálném čase splňuje určité momentové podmínky na jeho přírůstcích, pak Kolmogorovova věta o kontinuitě říká, že existuje modifikace tohoto procesu, která má spojité dráhy vzorku s pravděpodobností jedna, takže stochastický proces má spojitou modifikaci nebo verze. Větu lze také zobecnit na náhodná pole, takže sada indexů je -dimenzionální euklidovský prostor a také na stochastické procesy s metrickými prostory jako stavovými prostory. ${\ displaystyle n}$

Nerozeznatelný

Dva stochastické procesy a definované na stejném pravděpodobnostním prostoru se stejnou sadou indexů a nastaveným prostorem jsou považovány za nerozlišitelné, pokud následující ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle S}$

{\ Displaystyle P (X_ {t} = Y_ {t} {\ text {for all}} t \ in T) = 1,}

drží. Pokud dva a jsou modifikací navzájem a jsou téměř jistě kontinuální, pak a je k nerozeznání. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

Oddělitelnost

Oddělitelnost je vlastnost stochastického procesu na základě jeho indexu nastaveného ve vztahu k míře pravděpodobnosti. Tato vlastnost se předpokládá tak, že funkcionály stochastických procesů nebo náhodných polí s nespočetnými množinami indexů mohou tvořit náhodné proměnné. Aby byl stochastický proces oddělitelný, musí být kromě jiných podmínek jeho sada indexů oddělitelný prostor , což znamená, že sada indexů má hustou počitatelnou podmnožinu.

Přesněji řečeno, je reálná kontinuální-time stochastický proces s pravděpodobnostním prostoru je oddělitelné, jestliže jeho index set má hustou spočetnou podmnožinu a je sada pravděpodobnosti nulové, takže tak, že pro každý otevřený soubor a každý uzavřený set , The dvě události a liší se od sebe nanejvýš v podmnožině . Definici oddělitelnosti lze uvést také pro jiné sady indexů a stavové prostory, například v případě náhodných polí, kde sada indexů a stavový prostor mohou být -dimenzionální euklidovský prostor. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ cal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle U \ subset T}$ ${\ Displaystyle \ Omega _ {0} \ podmnožina \ Omega}$ ${\ displaystyle P (\ Omega _ {0}) = 0}$ ${\ Displaystyle G \ podmnožina T}$ ${\ Displaystyle F \ subset \ textstyle R = (-\ infty, \ infty)}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \ in F {\ text {for all}} t \ in G \ cap U \}}$ ${\ displaystyle \ {X_ {t} \ in F {\ text {for all}} t \ in G \}}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {0}}$ ${\ displaystyle n}$

Koncept oddělitelnosti stochastického procesu byl představen Joseph Doob ,. Základní myšlenkou oddělitelnosti je přimět počitatelnou množinu bodů indexové sady určit vlastnosti stochastického procesu. Jakýkoli stochastický proces s množinou počítatelných indexů již splňuje podmínky oddělitelnosti, takže stochastické procesy v diskrétním čase jsou vždy oddělitelné. Věta od Dooba, někdy známá jako Doobova věta o oddělitelnosti, říká, že jakýkoli reálný oceňovaný průběžný stochastický proces má oddělitelnou modifikaci. Verze této věty existují také pro obecnější stochastické procesy s množinami indexů a stavovými prostory jinými než skutečná čára.

Nezávislost

Dva stochastické procesy a definované na stejném pravděpodobnostním prostoru se stejnou sadou indexů jsou prý nezávislé, pokud pro všechny a pro každou volbu epoch , náhodné vektory a jsou nezávislé. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, P)}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {N}}$ ${\ Displaystyle t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ v T}$ ${\ Displaystyle \ left (X (t_ {1}), \ ldots, X (t_ {n}) \ right)}$ ${\ Displaystyle \ left (Y (t_ {1}), \ ldots, Y (t_ {n}) \ right)}$

Nekorelace

Dva stochastické procesy a nazývají se nekorelované, pokud je jejich křížová kovariance po celou dobu nulová. Formálně: ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {Y_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {E} \ left [\ left (X (t_ {1} )-\ mu _ {X} (t_ {1}) \ right) \ left (Y (t_ {2})-\ mu _ {Y} (t_ {2}) \ right) \ right]}$

{\ Displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}, \ left \ {Y_ {t} \ right \} {\ text {uncorrelated}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {K} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 \ quad \ forall t_ {1}, t_ {2}}

.

Nezávislost znamená nekorelaci

Pokud jsou dva stochastické procesy a jsou nezávislé, pak také nejsou korelovány. ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$

Ortogonalita

Dva stochastické procesy a nazývají se ortogonální, pokud je jejich vzájemná korelace po celou dobu nulová. Formálně: ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {Y_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {R} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = \ operatorname {E} [X (t_ {1}) {\ overline { Y (t_ {2})}}]}}$

{\ Displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}, \ left \ {Y_ {t} \ right \} {\ text {orthogonal}} \ quad \ iff \ quad \ operatorname {R} _ {\ mathbf {X} \ mathbf {Y}} (t_ {1}, t_ {2}) = 0 \ quad \ forall t_ {1}, t_ {2}}

.

Prostor Skorokhod

Skorokhod prostor , psáno také jako Skorohod prostor , je matematický prostor všech funkcí, které jsou přímo kontinuální s levé limity, které jsou definovány na nějakém intervalu reálné osy, jako je , nebo , a nabývat hodnot na reálné ose nebo na některých metrický prostor. Takové funkce jsou známé jako funkce càdlàg nebo cadlag, založené na zkratce francouzské fráze continue à droite, limite à gauche . Funkční prostor Skorokhod, zavedený Anatolijem Skorokhodem , je často označován písmenem , takže funkční prostor je také označován jako prostor . Zápis tohoto funkčního prostoru může také zahrnovat interval, ve kterém jsou definovány všechny funkce càdlàg, takže například označuje prostor funkcí càdlàg definovaných na jednotkovém intervalu . ${\ Displaystyle [0,1]}$ ${\ displaystyle [0, \ infty)}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ Displaystyle D [0,1]}$ ${\ Displaystyle [0,1]}$

Prostory skorokhodské funkce se často používají v teorii stochastických procesů, protože často předpokládaly, že ukázkové funkce stochastických procesů s nepřetržitým časem patří do skorokhodského prostoru. Takové prostory obsahují spojité funkce, které odpovídají ukázkovým funkcím Wienerova procesu. Ale prostor má také funkce s diskontinuitami, což znamená, že členy tohoto prostoru jsou také ukázkové funkce stochastických procesů se skoky, jako je Poissonův proces (na skutečné linii).

Pravidelnost

V kontextu matematické konstrukce stochastických procesů se při projednávání a předpokládání určitých podmínek pro stochastický proces k řešení možných konstrukčních problémů používá termín pravidelnost . Například pro studium stochastických procesů s nepočitatelnými množinami indexů se předpokládá, že stochastický proces dodržuje určitý typ podmínky pravidelnosti, jako jsou kontinuální funkce vzorků.

Další příklady

Markovské procesy a řetězce

Markovovy procesy jsou stochastické procesy, tradičně v diskrétním nebo spojitém čase , které mají Markovovu vlastnost, což znamená, že další hodnota Markovova procesu závisí na aktuální hodnotě, ale je podmíněně nezávislá na předchozích hodnotách stochastického procesu. Jinými slovy, chování procesu v budoucnosti je vzhledem k aktuálnímu stavu procesu stochasticky nezávislé na jeho chování v minulosti.

Brownův pohybový proces a Poissonův proces (v jedné dimenzi) jsou příklady Markovových procesů v nepřetržitém čase, zatímco náhodné procházky po celých číslech a problém zkázy hráče jsou příklady Markovových procesů v diskrétním čase.

Markovův řetězec je typ Markovova procesu, který má buď diskrétní stavový prostor nebo sadu diskrétních indexů (často představující čas), ale přesná definice Markovova řetězce se liší. Například je běžné definovat Markovův řetězec jako Markovův proces buď v diskrétním nebo spojitém čase s počitatelným stavovým prostorem (tedy bez ohledu na povahu času), ale bylo také běžné definovat Markovův řetězec jako diskrétní čas v počítatelném nebo spojitém stavovém prostoru (tedy bez ohledu na stavový prostor). Argumentovalo se, že první definice Markovova řetězce, kde má diskrétní čas, se nyní spíše používá, přestože druhou definici použili vědci jako Joseph Doob a Kai Lai Chung .

Markovské procesy tvoří důležitou třídu stochastických procesů a mají uplatnění v mnoha oblastech. Například jsou základem pro obecnou stochastickou simulační metodu známou jako Markovův řetězec Monte Carlo , která se používá pro simulaci náhodných objektů se specifickým rozložením pravděpodobnosti a našla uplatnění v Bayesovské statistice .

Koncept Markovovy vlastnosti byl původně pro stochastické procesy v spojitém a diskrétním čase, ale vlastnost byla upravena pro další sady indexů, jako je například -dimenzionální euklidovský prostor, což má za následek kolekce náhodných proměnných známých jako Markovova náhodná pole. ${\ displaystyle n}$

Martingale

Martingale je stochastický proces s diskrétním nebo spojitým časem s vlastností, že v každém okamžiku, vzhledem k aktuální hodnotě a všem minulým hodnotám procesu, je podmíněné očekávání každé budoucí hodnoty stejné jako aktuální hodnota. V diskrétním čase, pokud tato vlastnost platí pro další hodnotu, pak platí pro všechny budoucí hodnoty. Přesná matematická definice martingale vyžaduje další dvě podmínky spojené s matematickým konceptem filtrace, který souvisí s intuicí zvyšování dostupných informací v průběhu času. Martingales jsou obvykle definováni jako skuteční, ale mohou být také komplexní nebo dokonce obecnější.

Symetrická náhodná procházka a Wienerův proces (s nulovým driftem) jsou oba příklady martingalů v diskrétním a spojitém čase. Pro sekvence z nezávislých a stejně rozdělené náhodné proměnné s nulovou střední hodnotou, stochastická proces vytvořený z po sobě následujících částečných součtů je diskrétní martingalu. V tomto aspektu martingales v diskrétním čase zobecňují představu o dílčích součtech nezávislých náhodných proměnných. ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ tečky}$ ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {1}+X_ {2}, X_ {1}+X_ {2}+X_ {3}, \ tečky}$

Martingales lze také vytvořit ze stochastických procesů použitím některých vhodných transformací, což je případ homogenního Poissonova procesu (na skutečné linii), jehož výsledkem je martingale nazývaný kompenzovaný Poissonův proces . Martingales lze také postavit z jiných martingales. Existují například martingales založený na martingale Wienerově procesu, který tvoří martingales s nepřetržitým časem.

Martingales matematicky formalizoval myšlenku férové hry a původně byly vyvinuty, aby ukázaly, že férovou hru není možné vyhrát. Nyní se však používají v mnoha oblastech pravděpodobnosti, což je jeden z hlavních důvodů jejich studia. Mnoho problémů s pravděpodobností bylo vyřešeno nalezením martingale v problému a jeho prostudováním. Martingales se budou sbíhat, vzhledem k určitým podmínkám v jejich momentech, takže jsou často používány k odvozování výsledků konvergence, a to především kvůli martingaleovým konvergenčním větám .

Martingales má mnoho aplikací ve statistice, ale bylo poznamenáno, že jeho použití a aplikace nejsou tak rozšířené, jak by to mohlo být v oblasti statistiky, zejména statistické inference. Našli uplatnění v oblastech teorie pravděpodobnosti, jako je teorie front a Palmův počet, a dalších oblastech, jako je ekonomie a finance.

Lévyho proces

Lévy procesy jsou typy stochastických procesů, které lze považovat za zobecnění náhodných procházek v souvislém čase. Tyto procesy mají mnoho aplikací v oblastech, jako jsou finance, mechanika tekutin, fyzika a biologie. Hlavními definujícími charakteristikami těchto procesů jsou jejich vlastnosti stacionarity a nezávislosti, proto byly známy jako procesy se stacionárními a nezávislými přírůstky . Jinými slovy, stochastický proces je Lévyho proces, pokud pro nezáporná čísla, odpovídající přírůstky ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle 0 \ leq t_ {1} \ leq \ dots \ leq t_ {n}}$ ${\ Displaystyle n-1}$

{\ Displaystyle X_ {t_ {2}}-X_ {t_ {1}}, \ tečky, X_ {t_ {n}}-X_ {t_ {n-1}},}

jsou všechny na sobě nezávislé a rozdělení každého přírůstku závisí pouze na časovém rozdílu.

Lévyho proces lze definovat tak, že jeho stavový prostor je nějaký abstraktní matematický prostor, například Banachův prostor , ale procesy jsou často definovány tak, že nabývají hodnot v euklidovském prostoru. Sada indexů je nezáporná čísla, takže interpretace času. Léchovy procesy jsou důležité stochastické procesy, jako je Wienerův proces, homogenní Poissonův proces (v jedné dimenzi) a podřízení . ${\ displaystyle I = [0, \ infty)}$

Náhodné pole

Náhodné pole je sbírka náhodných proměnných indexovaných pomocí -dimenzionálního euklidovského prostoru nebo nějakého různého potrubí. Náhodné pole lze obecně považovat za příklad stochastického nebo náhodného procesu, kde sada indexů nemusí být nutně podmnožinou skutečné čáry. Existuje však konvence, že indexovaná kolekce náhodných proměnných se nazývá náhodné pole, pokud má index dvě nebo více dimenzí. Pokud specifická definice stochastického procesu vyžaduje, aby sada indexů byla podmnožinou reálného řádku, pak lze náhodné pole považovat za zobecnění stochastického procesu. ${\ displaystyle n}$

Bodový proces

Bodový proces je sbírka bodů náhodně umístěných na nějakém matematickém prostoru, jako je skutečná čára, -dimenzionální euklidovský prostor nebo více abstraktních prostorů. Někdy termín bodový proces není upřednostňován, protože historicky proces slova označoval evoluci nějakého systému v čase, takže bodový proces se také nazývá náhodné bodové pole . Existují různé interpretace bodového procesu, jako je náhodné počítání nebo náhodná sada. Někteří autoři považují bodový proces a stochastický proces za dva různé objekty tak, že bodový proces je náhodný objekt, který vzniká ze stochastického procesu nebo je s ním spojen, ačkoli bylo poznamenáno, že rozdíl mezi bodovými procesy a stochastickými procesy není jasný . ${\ displaystyle n}$

Jiní autoři považují bodový proces za stochastický proces, kde je proces indexován sadami podkladového prostoru, na kterém je definován, jako je skutečná čára nebo -dimenzionální euklidovský prostor. Další stochastické procesy, jako jsou procesy obnovy a počítání, jsou studovány v teorii bodových procesů. ${\ displaystyle n}$

Dějiny

Teorie rané pravděpodobnosti

Teorie pravděpodobnosti má svůj původ v hazardních hrách, které mají dlouhou historii, přičemž některé hry se hrály již před tisíci lety, ale z hlediska pravděpodobnosti bylo provedeno jen velmi málo z nich. Rok 1654 je často považován za zrod teorie pravděpodobnosti, když francouzští matematici Pierre Fermat a Blaise Pascal měli písemnou korespondenci o pravděpodobnosti motivovanou problémem hazardu . Ale dříve byla provedena matematická práce o pravděpodobnosti hazardních her, jako je Liber de Ludo Aleae od Gerolamo Cardano , napsaná v 16. století, ale posmrtně publikovaná později v roce 1663.

Po Cardanu napsal Jakob Bernoulli Ars Conjectandi , který je považován za významnou událost v historii teorie pravděpodobnosti. Bernoulliho kniha byla vydána také posmrtně v roce 1713 a inspirovala mnoho matematiků ke studiu pravděpodobnosti. Ale navzdory tomu, že někteří renomovaní matematici přispívají k teorii pravděpodobnosti, jako Pierre-Simon Laplace , Abraham de Moivre , Carl Gauss , Siméon Poisson a Pafnutyny Chebyshev , většina matematické komunity nepovažovala teorii pravděpodobnosti za součást matematiky až do 20. století.

Statistická mechanika

Ve fyzikálních vědách vyvinuli vědci v 19. století disciplínu statistická mechanika , kde fyzikální systémy, jako jsou nádoby naplněné plyny, lze považovat nebo matematicky považovat za sbírky mnoha pohybujících se částic. Ačkoli někteří vědci, například Rudolf Clausius , zkoušeli začlenit náhodnost do statistické fyziky , většina práce měla jen malou nebo žádnou náhodnost. To se změnilo v roce 1859, kdy James Clerk Maxwell významně přispěl k poli, konkrétněji ke kinetické teorii plynů, představením práce, kde předpokládal, že se částice plynu pohybují v náhodných směrech při náhodných rychlostech. Kinetická teorie plynů a statistická fyzika se i nadále vyvíjely ve druhé polovině 19. století, přičemž práci vykonávali hlavně Clausius, Ludwig Boltzmann a Josiah Gibbs , což by později mělo vliv na matematický model Alberta Einsteina pro Brownův pohyb .

Teorie měření a teorie pravděpodobnosti

Na mezinárodním kongresu matematiků v Paříži v roce 1900 David Hilbert představil seznam matematických problémů , kde jeho šestý problém žádal matematické zpracování fyziky a pravděpodobnosti zahrnující axiomy . Přibližně na začátku 20. století vyvinuli matematici teorii míry, obor matematiky pro studium integrálů matematických funkcí, kde dva ze zakladatelů byli francouzští matematici, Henri Lebesgue a Émile Borel . V roce 1925 další francouzský matematik Paul Lévy vydal první knihu pravděpodobnosti, která používala myšlenky z teorie míry.

Ve dvacátých letech 20. století v Sovětském svazu zásadně přispěli matematici jako Sergej Bernstein , Aleksandr Khinchin a Andrei Kolmogorov . Kolmogorov publikoval v roce 1929 svůj první pokus o prezentaci matematického základu pro teorii pravděpodobnosti založeného na teorii míry. Na počátku třicátých let Khinchin a Kolmogorov uspořádali semináře pravděpodobnosti, kterých se zúčastnili vědci jako Eugene Slutsky a Nikolai Smirnov , a Khinchin poskytl první matematickou definici stochastického procesu jako sadu náhodných proměnných indexovaných skutečnou linií.

Zrod moderní teorie pravděpodobnosti

V roce 1933 publikoval Andrei Kolmogorov v němčině jeho knihu o základech teorie pravděpodobnosti s názvem Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung , kde Kolmogorov použil teorii opatření k vytvoření axiomatického rámce pro teorii pravděpodobnosti. Vydání této knihy je nyní široce považováno za zrod moderní teorie pravděpodobnosti, kdy se teorie pravděpodobnosti a stochastické procesy staly součástí matematiky.

Po vydání Kolmogorovovy knihy byla další zásadní práce na teorii pravděpodobnosti a stochastických procesech provedena Khinchinem a Kolmogorovem a dalšími matematiky jako Joseph Doob , William Feller , Maurice Fréchet , Paul Lévy , Wolfgang Doeblin a Harald Cramér . O několik desítek let později označil Cramér třicátá léta za „hrdinské období matematické teorie pravděpodobnosti“. Druhá světová válka značně přerušila vývoj teorie pravděpodobnosti, což způsobilo například migraci Fellera ze Švédska do Spojených států amerických a smrt Doeblina, považovaného nyní za průkopníka stochastických procesů.

Matematik Joseph Doob odvedl ranou práci na teorii stochastických procesů a zásadním způsobem přispěl zejména v teorii martingales. Jeho kniha Stochastic Processes je považována za velmi vlivnou v oblasti teorie pravděpodobnosti.

Stochastické procesy po druhé světové válce

Po druhé světové válce si studium teorie pravděpodobnosti a stochastických procesů získalo větší pozornost matematiků a významně přispělo v mnoha oblastech pravděpodobnosti a matematiky, stejně jako při vytváření nových oblastí. Počínaje čtyřicátými léty publikoval Kiyosi Itô práce rozvíjející pole stochastického počtu , který zahrnuje stochastické integrály a stochastické diferenciální rovnice založené na Wienerově nebo Brownově pohybu.

Počínaje čtyřicátými léty byla navázána spojení mezi stochastickými procesy, zejména martingales, a matematickým polem potenciální teorie , s ranými nápady Shizuo Kakutani a později prací Josepha Dooba. Další práci, považovanou za průkopnickou, provedl Gilbert Hunt v 50. letech 20. století a propojil Markovovy procesy a potenciální teorii, což mělo významný vliv na teorii Lévyho procesů a vedlo k většímu zájmu o studium Markovových procesů metodami vyvinutými Itô.

V roce 1953 Doob vydal svou knihu Stochastické procesy , která měla silný vliv na teorii stochastických procesů a zdůraznila důležitost teorie míry v pravděpodobnosti. Doob také hlavně vyvinul teorii martingales, s pozdějšími podstatnými příspěvky Paul-André Meyer . Dřívější práce byly provedeny Sergejem Bernsteinem , Paulem Lévym a Jeanem Villem , který pro stochastický proces přijal termín martingale. Metody z teorie martingales se staly populární pro řešení různých pravděpodobnostních problémů. Techniky a teorie byly vyvinuty ke studiu Markovových procesů a poté aplikovány na martingales. Naopak, metody z teorie martingales byly zavedeny k léčbě Markovových procesů.

Byly vyvinuty a použity další obory pravděpodobnosti ke studiu stochastických procesů, přičemž jedním z hlavních přístupů je teorie velkých odchylek. Tato teorie má mimo jiné mnoho aplikací ve statistické fyzice a má základní myšlenky sahající přinejmenším do 30. let 20. století. Později v šedesátých a sedmdesátých letech 20. století provedli Alexander Wentzell v Sovětském svazu a Monroe D. Donsker a Srinivasa Varadhan ve Spojených státech amerických, což by později vedlo k tomu, že Varadhan vyhraje Abelovu cenu 2007. V devadesátých a dvacátých letech byly zavedeny a vyvinuty teorie evoluce Schramm – Loewner a hrubé cesty ke studiu stochastických procesů a dalších matematických objektů v teorii pravděpodobnosti, což vedlo k tomu, že Fieldsova medaile byla udělena Wendelinu Wernerovi v roce 2008 a Martinu Hairerovi v roce 2014. .

Teorie stochastických procesů je stále středem zájmu výzkumu a každoročně se konají mezinárodní konference na téma stochastických procesů.

Objevy konkrétních stochastických procesů

Ačkoli Khinchin ve třicátých letech minulého století poskytl matematické definice stochastických procesů, specifické stochastické procesy již byly objeveny v různých prostředích, jako je Brownův pohybový proces a Poissonův proces. Některé rodiny stochastických procesů, jako jsou bodové procesy nebo procesy obnovy, mají dlouhou a složitou historii, která sahá do staletí.