Stoneova věta o reprezentaci booleovských algeber - Stone's representation theorem for Boolean algebras

V matematice , reprezentace věta Stone pro Booleovy algebry uvádí, že každý Boolean algebra je isomorphic k určité oblasti sad . Věta je zásadní pro hlubší porozumění booleovské algebry, která se objevila v první polovině 20. století. Tuto větu poprvé dokázal Marshall H. Stone . Kámen byl veden k tomu jeho studiu spektrální teorie z operátorů na Hilbertově prostoru .

Kamenné prostory

Každá booleovská algebra B má přidružený topologický prostor, zde označovaný S ( B ), nazývaný jeho kamenný prostor . Body v S ( B ) jsou ultrafiltry na B nebo ekvivalentně homomorfismy z B do dvouprvkové booleovské algebry . Topologie na S ( B ) je generována (uzavřeným) základem skládajícím se ze všech sad formuláře

kde b je prvek B . Toto je topologie bodové konvergence sítí homomorfismů do dvouprvkové booleovské algebry.

Pro každou booleovskou algebru B je S ( B ) kompaktní zcela odpojený Hausdorffův prostor ; takové prostory se nazývají kamenné prostory (také profinitní prostory ). Naopak, vzhledem k jakémukoli topologickému prostoru X je kolekce podmnožin X, které jsou clopen (uzavřené i otevřené), booleovskou algebrou.

Věta o reprezentaci

Jednoduchá verze Stoneovy reprezentační věty uvádí, že každá booleovská algebra B je izomorfní s algebrou clopenových podmnožin svého kamenného prostoru S ( B ). Izomorfismus posílá prvek do sady všech ultrafiltrů, které obsahují b . Toto je sada clopen z důvodu volby topologie na S ( B ) a protože B je booleovská algebra.

Obnovení věty pomocí jazyka teorie kategorií ; Věta uvádí, že existuje dualita mezi kategorií z Booleových algebry a kategorii kamenných prostor. Tato dualita znamená, že kromě korespondence mezi booleovskými algebrami a jejich kamennými prostory každý homomorfismus od booleovské algebry A po booleovskou algebru B přirozeným způsobem odpovídá spojité funkci od S ( B ) do S ( A ). Jinými slovy, existuje protichůdný funktor, který dává ekvivalenci mezi kategoriemi. Toto byl raný příklad netriviální duality kategorií.

Věta je zvláštním případem duality kamene , obecnějšího rámce pro dualitu mezi topologickými prostory a částečně uspořádanými množinami .

Důkaz vyžaduje buď zvolený axiom, nebo jeho oslabenou formu. Konkrétně je věta ekvivalentní booleovské primární ideální větě , oslabenému principu volby, který říká, že každá booleovská algebra má primární ideál.

GD Dimov (respektive HP Doctor) získal rozšíření klasické kamenné duality do kategorie booleovských prostorů (= místně kompaktních Hausdorffových prostorů nulové dimenze) a souvislých map (respektive dokonalých map).

Viz také

Citace

Reference