Sub Gaussian distribuce - Sub-Gaussian distribution

V teorii pravděpodobnosti , je distribuce dílčí Gaussian je rozdělení pravděpodobnosti se silným ocasní rozkladu. Neformálně jsou ocasy subgaussovského rozdělení ovládány (tj. Rozpadají se alespoň tak rychle jako) ocasy gaussiána.

Formálně se rozdělení pravděpodobnosti náhodné proměnné X nazývá sub gaussovské, pokud existují kladné konstanty C ,  v takové, že pro každé  t  > 0

${\ displaystyle \ operatorname {P} (| X |> t) \ leq Ce ^ {- vt ^ {2}}.}$

Subgaussovské náhodné proměnné s následující normou tvoří Birnbaum – Orliczův prostor :

${\ displaystyle \ | X \ | _ {\ psi _ {2}} = \ inf \ {s> 0 \ mid \ operatorname {E} e ^ {(X / s) ^ {2}} - 1 \ leq 1 \}.}$

Ekvivalentní vlastnosti

Následující vlastnosti jsou ekvivalentní:

• Distribuce X je sub Gaussian
• ${\ displaystyle \ psi _ {2} {\ text {-condition:}}}$ ${\ displaystyle \ existuje> 0 \ \ operatorname {E} e ^ {aX ^ {2}} <+ \ infty.}$
• Podmínka Laplaceovy transformace : ${\ displaystyle \ existuje B, b> 0 \ \ vše \ lambda \ v \ mathbb {R} \ \ \ operatorname {E} e ^ {\ lambda (X- \ operatorname {E} [X])} \ leq Be ^ {\ lambda ^ {2} b}.}$
• Stav momentu : ${\ displaystyle \ existuje K> 0 \ \ forall p \ geq 1 \ \ left (\ operatorname {E} | X | ^ {p} \ right) ^ {1 / p} \ leq K {\ sqrt {p}} .}$
• Vázaný stav Union: kde jsou IID kopie X . ${\ displaystyle \ existuje c> 0 \ \ všichni n \ geq c \ \ operatorname {E} [\ max \ {| X_ {1} - \ operatorname {E} [X] |, \ ldots, | X_ {n} - \ operatorname {E} [X] | \}] \ leq c {\ sqrt {\ log n}}}$${\ displaystyle X_ {1}, \ ldots, X_ {n}}$

Viz také

• Platykurtic distribuce

Reference

• Kahane, JP (1960). "Propriétés locales des fonctions à séries de Fourier aléatoires". Studia Mathematica . 19 . s. 1–25. [1] .
• Buldygin, VV; Kozachenko, Yu.V. (1980). "Subgaussovské náhodné proměnné". Ukrajinská matematika. J . 32 . str. 483–489. [2] .
• Ledoux, Michel; Talagrand, Michel (1991). Pravděpodobnost v Banachových prostorech . Springer-Verlag.
• Stromberg, KR (1994). Pravděpodobnost pro analytiky . Chapman & Hall / CRC.
• Litvak, AE; Pajor, A .; Rudelson, M .; Tomczak-Jaegermann, N. (2005). „Nejmenší singulární hodnota náhodných matic a geometrie náhodných polytopů“ (PDF) . Pokroky v matematice . 195 . 491–523.
• Rudelson, Mark; Vershynin, Roman (2010). "Neasymptotická teorie náhodných matic: extrémní singulární hodnoty". arXiv : 1003,2990 .
• Rivasplata, O. (2012). „Subgauské náhodné proměnné: výkladová poznámka“ (PDF) . Nepublikované .