Subaditivita - Subadditivity

V matematiky , Subadditivity je vlastnost funkce, která uvádí, zhruba, že hodnocení funkce pro součet dvou prvků v doméně vrací vždy něco menší než nebo se rovná součtu hodnot funkce je u každého prvku. Existuje mnoho příkladů subaditivních funkcí v různých oblastech matematiky, zejména v normách a odmocninách . Aditivní mapy jsou speciální případy subaditivních funkcí.

Definice

Subaditivní funkce je funkce , která má doménu A a uspořádanou codoménu B, které jsou obě uzavřeny navíc, s následující vlastností:

Příkladem je funkce odmocniny , která má jako doménu a codoménu nezáporná reálná čísla , protože máme:

Sekvence , se nazývá subadditive pokud splňuje nerovnost

pro všechny m a n . Toto je zvláštní případ subaditivní funkce, pokud je posloupnost interpretována jako funkce na množině přirozených čísel.

Vlastnosti

Sekvence

Užitečný výsledek týkající se subadditive sekvence je následující lemma kvůli Michael Fekete .

Fekete je Subadditive Lemma  -  Pro každou subadditive sekvence je hranice existuje a je rovna infima . (Limit může být .)

Analog Feketeova lemmatu platí i pro superaditivní sekvence, tj.: (Limitem pak může být kladné nekonečno: zvažte posloupnost .)

Existují rozšíření Feketeova lemmatu, která nevyžadují, aby nerovnost (1) platila pro všechna m a n , ale pouze pro m a n taková , že podmínku lze navíc oslabit následovně: za předpokladu, že jde o rostoucí funkci, takže integrální konverguje (blízko nekonečna).

Existují také výsledky, které umožňují odvodit míru konvergence k limitu, jehož existence je uvedena ve Feketeově lemmatu, pokud je přítomen nějaký druh superaditivity i subaditivity.

Kromě toho byly analogie Feketeova lemmatu prokázány pro subaditivní reálné mapy (s dalšími předpoklady) z konečných podmnožin přístupné skupiny a dále stornografické levotočivé poloskupiny.

Funkce

Věta:  -  Pro každou měřitelnou subaditivní funkcilimitexistuje a je roven(Limit může být)

Pokud f je subaditivní funkcí a pokud je 0 ve své doméně, pak f (0) ≥ 0. Chcete -li to vidět, vezměte nerovnost nahoře. . Proto

Konkávní funkce se také subadditive. Abychom to viděli, nejprve si toho všimneme . Poté při pohledu na součet této mezní hodnoty pro a , nakonec ověří, že f je subaditivní.

Negativ subaditivní funkce je superaditivní .

Příklady v různých doménách

Entropie

Entropie hraje zásadní roli v teorii informací a statistické fyzice , stejně jako v kvantové mechanice v generalizované formulaci díky von Neumannovi . Entropie se vždy jeví jako subaditivní veličina ve všech jejích formulacích, což znamená, že entropie supersystému nebo množiny sjednocených náhodných proměnných je vždy menší nebo rovná součtu entropií jejích jednotlivých složek. Entropie ve fyzice navíc splňuje několik přísnějších nerovností, jako je silná subaditivita entropie v klasické statistické mechanice a její kvantový analog .

Ekonomika

Subaditivita je základní vlastností některých konkrétních nákladových funkcí . Je to obecně nezbytná a dostatečná podmínka pro ověření přirozeného monopolu . Znamená to, že výroba pouze z jedné firmy je sociálně méně nákladná (pokud jde o průměrné náklady) než produkce zlomku původního množství stejným počtem firem.

Úspory z rozsahu představují subaditivní funkce průměrných nákladů .

S výjimkou případu doplňkového zboží musí být cena zboží (jako funkce množství) subaditivní. V opačném případě, pokud je součet nákladů na dvě položky levnější než náklady na svazek dvou z nich dohromady, pak by tento svazek nikdy nikdo nekoupil, což by fakticky způsobilo, že by se cena svazku „stala“ součtem cen dvě oddělené položky. Dokazuje tedy, že to není dostatečnou podmínkou přirozeného monopolu; protože směnnou jednotkou nemusí být skutečná cena položky. Tuto situaci zná každý na politické scéně, kde nějaká menšina tvrdí, že ztráta určité zvláštní svobody na určité vládní úrovni znamená, že mnoho vlád je lepších; vzhledem k tomu, že většina tvrdí, že existuje jiná správná jednotka nákladů.

Finance

Subadditivity je jednou z požadovaných vlastností soudržných rizikových opatření v oblasti řízení rizik . Ekonomická intuice za subaditivitou měření rizika spočívá v tom, že expozice portfoliovému riziku by se měla v nejhorším případě jednoduše rovnat součtu rizikových expozic jednotlivých pozic, z nichž se portfolio skládá. V každém jiném případě by důsledky diverzifikace vedly k expozici portfolia, která je nižší než součet jednotlivých rizikových expozic. Nedostatek subaditivity je jednou z hlavních kritik VaR modelů, které nespoléhají na předpoklad normality rizikových faktorů. Gaussova VaR zajišťuje subaditivitu: například Gaussova VaR portfolia dvou unitárních dlouhých pozic na úrovni spolehlivosti je za předpokladu, že průměrná variace hodnoty portfolia je nulová a VaR je definována jako záporná ztráta,

kde je inverzní funkce normální kumulativní distribuční funkce na úrovni pravděpodobnosti , jsou rozdíly mezi jednotlivými pozicemi a je mírou lineární korelace mezi oběma jednotlivými pozicemi. Protože rozptyl je vždy kladný,
Gaussova VaR je tedy subaditivní pro jakoukoli hodnotu, a zejména se rovná součtu jednotlivých rizikových expozic, kdy, což je případ, který nemá žádné diverzifikační efekty na portfoliové riziko.

Termodynamika

Subaditivita se vyskytuje v termodynamických vlastnostech neideálních roztoků a směsí, jako je přebytečný molární objem a teplo míchání nebo nadbytečná entalpie.

Kombinatorika slov

Faktoriální jazyk je ten, kde když je

slovo in , pak jsou také všechny faktory tohoto slova in . V kombinatorice slov je běžným problémem určit počet délkových slov ve faktoriálním jazyce. Je zřejmé , takže je subadditive, a tudíž Fekete lemma lze použít k odhadu růstu .

Viz také

Poznámky

  1. ^ Fekete, M. (1923). „Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten“. Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228–249. doi : 10,1007/BF01504345 .
  2. ^ de Bruijn, NG; Erdös, P. (1952). „Některé lineární a některé kvadratické rekurzní vzorce. II“. Nederl. Akad. Wetensch. Proč. Ser. . 55 : 152–163. doi : 10,1016/S1385-7258 (52) 50021-0 .(Totéž jako Indagationes Math. 14. ) Viz také Steele 1997, Věta 1.9.2.
  3. ^ Michael J. Steele. „Teorie pravděpodobnosti a kombinatorická optimalizace“. SIAM, Philadelphia (1997). ISBN  0-89871-380-3 .
  4. ^ Michael J. Steele (2011). Přednášky CBMS o teorii pravděpodobnosti a kombinatorické optimalizaci . Univerzita v Cambridge.
  5. ^ Lindenstrauss, Elon; Weiss, Benjamin (2000). „Střední topologická dimenze“ . Israel Journal of Mathematics . 115 (1): 1–24. CiteSeerX  10.1.1.30.3552 . doi : 10,1007/BF02810577 . ISSN  0021-2172 . Věta 6.1
  6. ^ Ornstein, Donald S .; Weiss, Benjamin (1987). „Entropie a izomorfismus věty pro akce přístupných skupin“. Journal d'Analyse Mathématique . 48 (1): 1–141. doi : 10,1007/BF02790325 . ISSN  0021-7670 .
  7. ^ Gromov, Misha (1999). „Topologické invarianty dynamických systémů a prostorů holomorfních map: I“. Matematická fyzika, analýza a geometrie . 2 (4): 323–415. doi : 10,1023/A: 1009841100168 . ISSN  1385-0172 .
  8. ^ Ceccherini-Silberstein, Tullio; Krieger, Fabrice; Coornaert, Michel (2014). „Analog Feketeova lemmatu pro subaditivní funkce na zrušitelných relativních poloskupinách“. J. Anal. Math . 124 : 59–81. arXiv : 1209,6179 . doi : 10,1007/s11854-014-0027-4 . Věta 1.1
  9. ^ Hille 1948, Věta 6.6.1. (Měřitelnost je stanovena v kapitole 6.2 „Předběžná opatření“.)
  10. ^ Schechter, Eric (1997). Příručka analýzy a její základy . San Diego: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4., s. 314,12.25
  11. ^ Rau-Bredow, H. (2019). „Větší není vždy bezpečnější: Kritická analýza předpokladu subaditivity pro soudržná opatření rizik“ . Rizika . 7 (3): 91. doi : 10,3390/rizika7030091 .
  12. ^ Shur, Arseny (2012). „Růstové vlastnosti jazyků bez moci“. Recenze počítačové vědy . 6 (5–6): 187–208. doi : 10,1016/j.cosrev.2012.09.001 .

Reference

externí odkazy

Tento článek včlení materiál ze subaditivity na PlanetMath , který je licencován pod licencí Creative Commons Uveďte autora/Sdílejte licenci .