Souhrn - Summation

Aritmetické operace proti t E

Sčítání (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \,+\, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \,+\ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \,+\, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \,+\, {\ text {addend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Odečtení ( -) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \,-\, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \,-\ , {\ text {subtrahend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {different}}}$ Násobení (×) ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplier}} \, \ times \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Divize (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {dividend}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {čitatel}}} {\ scriptstyle {\ text {denominator}}}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {zlomek}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}$ Umocňování ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}}^{\ text {exponent}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ n th root (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {degree}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Logaritmus (log) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {anti-logarithm}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {logarithm}}}$

V matematiky , součet je přidání ze sekvence jakýchkoliv čísel , nazývaných sčítanců nebo sčítanců ; výsledkem je jejich součet nebo součet . Kromě čísel lze sčítat i další typy hodnot: funkce , vektory , matice , polynomy a obecně prvky jakéhokoli typu matematických objektů, na nichž je definována operace označená „+“.

Souhrny nekonečných sekvencí se nazývají série . Zahrnují koncept limitu a nejsou v tomto článku zohledněny.

Součet explicitní sekvence je označen jako posloupnost přidávání. Například součet [1, 2, 4, 2] je označen 1 + 2 + 4 + 2 a výsledkem je 9, tj. 1 + 2 + 4 + 2 = 9 . Protože sčítání je asociativní a komutativní , není třeba závorek a výsledek je stejný bez ohledu na pořadí součtů. Součet sekvence pouze jednoho prvku má za následek samotný tento prvek. Součet prázdné sekvence (sekvence bez prvků), podle konvence, má za následek 0.

Velmi často jsou prvky sekvence definovány prostřednictvím pravidelného vzoru jako funkce jejich místa v sekvenci. U jednoduchých vzorců může být součet dlouhých sekvencí reprezentován většinou součtů nahrazených elipsami. Součet prvních 100 přirozených čísel lze například zapsat jako 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 99 + 100 . Jinak je součet označen pomocí Σ notace , kde je rozšířené velké řecké písmeno sigma . Například součet prvních n přirozených čísel lze označit jako${\ textstyle \ sum}$ ${\ textstyle \ sum _ {i = 1}^{n} i.}$

U dlouhých součtů a součtů proměnné délky (definovaných elipsami nebo Σ zápisem) je běžným problémem najít pro výsledek výrazy v uzavřené formě . Například,

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} i = {\ frac {n (n+1)} {2}}.}$

Ačkoli takové vzorce vždy neexistují, bylo objeveno mnoho součtových vzorců - přičemž některé z nejběžnějších a elementárních jsou uvedeny ve zbytku tohoto článku.

Zápis

Zápis kapitály-sigma

Souhrnný symbol

Matematický zápis využívá symbol, který kompaktně představuje shrnutí mnoha podobných podmínek: na symbol sumační , , ve zvětšeném měřítku forma svislé hlavním řeckým písmenem sigma . Toto je definováno jako ${\ textstyle \ sum}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i \ mathop {=} m}^{n} a_ {i} = a_ {m}+a_ {m+1}+a_ {m+2}+\ cdots+a_ {n- 1}+a_ {n}}$

kde i je index součtu ; a _i je indexovaná proměnná představující každý člen součtu; m je dolní mez součtu a n je horní hranice součtu . " I = m " pod symbolem součtu znamená, že index i začíná na m . Index, i , se zvýší o jeden pro každý následující termín, zastaví se, když i = n .

Toto se čte jako „součet a _i , od i = m do n “.

Zde je příklad ukazující součet čtverců:

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 3}^{6} i^{2} = 3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2} = 86.}$

Obecně platí, že když jakákoliv proměnná může být použit jako index sčítání (za předpokladu, že žádná nejednoznačnost vzniklé), některé z nejvíce ty společné obsahovat znaky, jako , , , a ; to druhé se také často používá pro horní hranici součtu. ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle j}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle n}$

Alternativně jsou index a meze součtu někdy z definice součtu vynechány, pokud je kontext dostatečně jasný. To platí zejména tehdy, když index běží od 1 do n . Dalo by se například napsat, že:

${\ Displaystyle \ sum a_ {i}^{2} = \ sum _ {i = 1}^{n} a_ {i}^{2}.}$

Člověk často vidí zobecnění tohoto zápisu, ve kterém je zadána libovolná logická podmínka, a součet je určen k převzetí všech hodnot splňujících podmínku. Například:

${\ Displaystyle \ sum _ {0 \ leq k <100} f (k)}$

je součet všech ( celých čísel ) v uvedeném rozsahu, ${\ Displaystyle f (k)}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle \ sum _ {x \ mathop {\ in} S} f (x)}$

je součet všech prvků v sadě a ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ sum _ {d \, | \, n} \; \ mu (d)}$

je součet dělení všech kladných celých čísel . ${\ Displaystyle \ mu (d)}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle n}$

Existují také způsoby, jak zobecnit používání mnoha znaků sigma. Například,

${\ displaystyle \ sum _ {i, j}}$

je stejné jako

${\ Displaystyle \ sum _ {i} \ sum _ {j}.}$

Podobný zápis se používá k označení součinu sekvence , který je podobný jejímu součtu, ale který místo sčítání používá operaci násobení (a dává 0 pro prázdnou sekvenci místo 0). Je použita stejná základní struktura s rozšířeným tvarem řeckého velkého písmene pí , které nahrazuje . ${\ textstyle \ prod}$${\ textstyle \ sum}$

Speciální případy

Je možné sečíst méně než 2 čísla:

• Pokud má součet jedno součet , pak vyhodnocený součet je .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$
• Pokud součet nemá žádné součty, pak je vyhodnocený součet nulový , protože nula je identita pro sčítání. Toto je známé jako prázdný součet .

Tyto degenerované případy se obvykle používají pouze tehdy, když zápis součtu dává ve zvláštním případě degenerovaný výsledek. Pokud je například ve výše uvedené definici, pak je v součtu pouze jeden výraz; pokud , pak neexistuje. ${\ Displaystyle n = m}$${\ Displaystyle n = m-1}$

Formální definice

Součet lze rekurzivně definovat následovně:

${\ Displaystyle \ sum _ {i = a}^{b} g (i) = 0}$, pro b < a ;

${\ Displaystyle \ sum _ {i = a}^{b} g (i) = g (b)+\ sum _ {i = a}^{b-1} g (i)}$, pro b ≥ a .

Zápis teorie měření

V notaci míry a integrační teorie lze součet vyjádřit jako určitý integrál ,

${\ Displaystyle \ sum _ {k \ mathop {=} a}^{b} f (k) = \ int _ {[a, b]} f \, d \ mu}$

kde je podmnožina celých čísel od do a kde je počítání opatření . ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ Displaystyle \ mu}$

Počet konečných rozdílů

Vzhledem k funkci f, která je definována přes celá čísla v intervalu [ m , n ] , platí následující rovnice:

${\ Displaystyle f (n) -f (m) = \ sum _ {i = m}^{n-1} (f (i+1) -f (i)).}$

Toto je analogie základní věty o počtu v počtu konečných rozdílů , která říká, že:

${\ Displaystyle f (n) -f (m) = \ int _ {m}^{n} f '(x) \, dx,}$

kde

${\ Displaystyle f '(x) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}}$

je derivát z f .

Příklad aplikace výše uvedené rovnice je následující:

${\ Displaystyle n^{k} = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ left ((i+1)^{k} -i^{k} \ right).}$

Pomocí binomické věty to lze přepsat jako:

${\ Displaystyle n^{k} = \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ left (\ sum _ {j = 0}^{i-1} {\ binom {k} {j}} i^{j} \ right).}$

Výše uvedený vzorec je běžněji používán pro invertování rozdílového operátoru , definovaný: ${\ displaystyle \ Delta}$

${\ Displaystyle \ Delta (f) (n) = f (n+1) -f (n),}$

kde f je funkce definovaná na nezáporných celých číslech. Vzhledem k takové funkci f je tedy problém spočítat rozdíl mezi f , funkcí takovou, že . To znamená, že tato funkce je definována až po přidání konstanty a může být vybrána jako ${\ Displaystyle F = \ Delta ^{-1} f}$${\ Displaystyle \ Delta F = f}$${\ Displaystyle F (n+1) -F (n) = f (n).}$

${\ Displaystyle F (n) = \ sum _ {i = 0}^{n-1} f (i).}$

Není vždy analytické řešení pro takové sčítání, ale Faulhabera vzorec poskytuje uzavřený tvar v případě, že a, linearity , pro každou polynomické funkce z n . ${\ Displaystyle f (n) = n^{k}}$

Aproximace určitými integrály

Mnoho takových aproximací lze získat následujícím spojením mezi součty a integrály , které platí pro jakoukoli rostoucí funkci f :

${\ Displaystyle \ int _ {s = a-1}^{b} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a}^{b} f (i) \ leq \ int _ {s = a }^{b+1} f (s) \ ds.}$

a pro jakoukoli klesající funkci f :

${\ Displaystyle \ int _ {s = a}^{b+1} f (s) \ ds \ leq \ sum _ {i = a}^{b} f (i) \ leq \ int _ {s = a -1}^{b} f (s) \ ds.}$

Obecnější aproximace najdete ve vzorci Euler – Maclaurin .

U součtů, ve kterých je součet dán (nebo může být interpolován) integrovatelnou funkcí indexu, lze součet interpretovat jako Riemannův součet vyskytující se v definici odpovídajícího určitého integrálu. Dá se tedy například očekávat, že

${\ Displaystyle {\ frac {ba} {n}} \ sum _ {i = 0}^{n-1} f \ left (a+i {\ frac {ba} {n}} \ right) \ přibližně \ int _ {a}^{b} f (x) \ dx,}$

protože pravá strana je podle definice limitem pro levou stranu. Pro dané součty je však n pevně dané a o chybě ve výše uvedené aproximaci lze říci jen málo bez dalších předpokladů o f : je jasné, že pro divoce oscilující funkce může být Riemannův součet libovolně daleko od Riemannova integrálu. ${\ displaystyle n \ to \ infty}$

Identity

Níže uvedené vzorce zahrnují konečné částky; nekonečné součty nebo konečné součty výrazů zahrnujících goniometrické funkce nebo jiné transcendentální funkce najdete v seznamu matematických řad .

Obecné identity

${\ Displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} C \ cdot f (n) = C \ cdot \ sum _ {n = s}^{t} f (n) \ quad}$( distribučnost )

${\ Displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) \ pm \ sum _ {n = s}^{t} g (n) = \ sum _ {n = s}^{t} \ left (f (n) \ pm g (n) \ right) \ quad}$( komutativita a asociativita )

${\ Displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = s+p}^{t+p} f (np) \ quad}$ (posun indexu)

${\ Displaystyle \ sum _ {n \ in B} f (n) = \ sum _ {m \ in A} f (\ sigma (m)), \ quad}$pro bijekci σ z konečné množiny A na množinu B (změna indexu); toto zobecňuje předchozí vzorec.

${\ Displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = s}^{j} f (n)+\ sum _ {n = j+1}^{t } f (n) \ quad}$(rozdělení částky pomocí asociativity )

${\ Displaystyle \ sum _ {n = a}^{b} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{b} f (n)-\ sum _ {n = 0}^{a-1 } f (n) \ quad}$ (varianta předchozího vzorce)

${\ Displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{ts} f (tn) \ quad}$ (součet od prvního do posledního termínu se rovná součtu od posledního do prvního)

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0}^{t} f (n) = \ sum _ {n = 0}^{t} f (tn) \ quad}$ (konkrétní případ výše uvedeného vzorce)

${\ Displaystyle \ sum _ {i = k_ {0}}^{k_ {1}} \ sum _ {j = l_ {0}}^{l_ {1}} a_ {i, j} = \ sum _ { j = l_ {0}}^{l_ {1}} \ sum _ {i = k_ {0}}^{k_ {1}} a_ {i, j} \ quad}$ (opět komutativita a asociativita)

${\ Displaystyle \ sum _ {k \ leq j \ leq i \ leq n} a_ {i, j} = \ sum _ {i = k}^{n} \ sum _ {j = k}^{i} a_ {i, j} = \ sum _ {j = k}^{n} \ sum _ {i = j}^{n} a_ {i, j} = \ sum _ {j = 0}^{nk} \ součet _ {i = k}^{nj} a_ {i+j, i} \ quad}$ (další aplikace komutativity a asociativity)

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 2s}^{2t+1} f (n) = \ sum _ {n = s}^{t} f (2n)+\ sum _ {n = s}^{t } f (2n+1) \ quad}$(rozdělení součtu na liché a sudé části, pro sudé indexy)

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 2s+1}^{2t} f (n) = \ sum _ {n = s+1}^{t} f (2n)+\ sum _ {n = s+1 }^{t} f (2n-1) \ quad}$ (rozdělení částky na liché a sudé části, pro liché indexy)

${\ Displaystyle \ left (\ sum _ {i = 0}^{n} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = 0}^{n} b_ {j} \ right) = \ sum _ {i = 0}^{n} \ sum _ {j = 0}^{n} a_ {i} b_ {j} \ quad}$( distribučnost )

${\ Displaystyle \ sum _ {i = s}^{m} \ sum _ {j = t}^{n} {a_ {i}} {c_ {j}} = \ left (\ sum _ {i = s }^{m} a_ {i} \ right) \ left (\ sum _ {j = t}^{n} c_ {j} \ right) \ quad}$ (distribučnost umožňuje faktorizaci)

${\ Displaystyle \ sum _ {n = s}^{t} \ log _ {b} f (n) = \ log _ {b} \ prod _ {n = s}^{t} f (n) \ quad }$( logaritmus produktu je součtem logaritmů faktorů)

${\ Displaystyle C^{\ sum \ limits _ {n = s}^{t} f (n)} = \ prod _ {n = s}^{t} C^{f (n)} \ quad}$( exponenciál součtu je součinem exponenciálu součtů)

Pravomoci a logaritmus aritmetických posloupností

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} c = nc \ quad}$pro každé c, které nezávisí na i

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i = \ sum _ {i = 1}^{n} i = {\ frac {n (n+1)} {2}} \ qquad}$(Součet nejjednodušší aritmetické progrese , skládající se z prvních n přirozených čísel.)

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} (2i-1) = n^{2} \ qquad}$ (Součet prvních lichých přirozených čísel)

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} 2i = n (n+1) \ qquad}$ (Součet prvních sudých přirozených čísel)

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log i = \ log n! \ qquad}$(Součet logaritmů je logaritmus součinu)

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i^{2} = \ sum _ {i = 1}^{n} i^{2} = {\ frac {n (n+1) ( 2n+1)} {6}} = {\ frac {n^{3}} {3}}+{\ frac {n^{2}} {2}}+{\ frac {n} {6}} \ qquad}$(Součet prvních čtverců , viz čtvercové pyramidové číslo .)

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i^{3} = \ left (\ sum _ {i = 0}^{n} i \ right)^{2} = \ left ({\ frac {n (n+1)} {2}} \ right)^{2} = {\ frac {n^{4}} {4}}+{\ frac {n^{3}} {2}} +{\ frac {n^{2}} {4}} \ qquad}$( Nicomachova věta )

Obecněji řečeno, člověk má Faulhaberův vzorec pro${\ displaystyle p> 1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 1}^{n} k^{p} = {\ frac {n^{p+1}} {p+1}}+{\ frac {1} {2}} n^{p}+\ sum _ {k = 2}^{p} {\ binom {p} {k}} {\ frac {B_ {k}} {p-k+1}} \, n^{ p-k+1},}$

kde označuje Bernoulliho číslo a je binomickým koeficientem . ${\ displaystyle B_ {k}}$${\ displaystyle {\ binom {p} {k}}}$

Souhrnný index v exponentech

V následujících součtů, předpokládá se, že se liší od 1.

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} a^{i} = {\ frac {1-a^{n}} {1-a}}}$(součet geometrické progrese )

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} {\ frac {1} {2^{i}}} = 2-{\ frac {1} {2^{n-1}}} }$(speciální případ pro a = 1/2 )

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} ia^{i} = {\ frac {a-na^{n}+(n-1) a^{n+1}} {( 1-a)^{2}}}}$( A krát derivace vzhledem k geometrického progrese)

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ sum _ {i = 0}^{n-1} \ left (b+id \ right) a^{i} & = b \ sum _ {i = 0}^{ n-1} a^{i}+d \ sum _ {i = 0}^{n-1} ia^{i} \\ & = b \ left ({\ frac {1-a^{n}} {1-a}} \ right)+d \ left ({\ frac {a-na^{n}+(n-1) a^{n+1}} {(1-a)^{2}} } \ right) \\ & = {\ frac {b (1-a^{n})-(n-1) da^{n}} {1-a}}+{\ frac {da (1-a ^{n-1})} {(1-a)^{2}}} \ end {zarovnáno}}}$

(součet aritmeticko -geometrické posloupnosti )

Binomické koeficienty a faktoriály

Existuje velmi mnoho sumačních identit zahrnujících binomické koeficienty (celá kapitola betonové matematiky je věnována pouze základním technikám). Některé z těch nejzákladnějších jsou následující.

Zahrnutí binomické věty

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ choose i} a^{ni} b^{i} = (a+b)^{n},}$binomická věta

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ choose i} = 2^{n},}$speciální případ, kde a = b = 1

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ choose i} p^{i} (1-p)^{ni} = 1}$, speciální případ, kde p = a = 1 - b , což pro vyjadřuje součet binomického rozdělení${\ Displaystyle 0 \ leq p \ leq 1,}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i {n \ choose i} = n (2^{n-1}),}$hodnota při a = b = 1 z derivátu vzhledem k z binomické věty

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {\ frac {n \ choose i} {i+1}} = {\ frac {2^{n+1} -1} {n+1} },}$hodnota při a = b = 1 na primitivní vzhledem k z binomické věty

Zahrnutí čísel permutace

V následujících součtech je počet k -permutací n . ${\ displaystyle {} _ {n} P_ {k}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {} _ {i} P_ {k} {n \ choose i} = {} _ {n} P_ {k} (2^{nk})}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {} _ {i+k} P_ {k+1} = \ sum _ {i = 1}^{n} \ prod _ {j = 0} ^{k} (i+j) = {\ frac {(n+k+1)!} {(n-1)! (k+2)}}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i! \ cdot {n \ choose i} = \ sum _ {i = 0}^{n} {} _ {n} P_ {i} = \ lfloor n! \ cdot e \ rfloor, \ quad n \ in \ mathbb {Z} ^{+}}$, kde a označuje funkci podlahy .${\ Displaystyle \ lfloor x \ rfloor}$

Ostatní

${\ Displaystyle \ sum _ {k = 0}^{m} {\ binom {n+k} {n}} = {\ binom {n+m+1} {n+1}}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = k}^{n} {i \ choose k} = {n+1 \ choose k+1}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} i \ cdot i! = (n+1)!-1}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {m+i-1 \ choose i} = {m+n \ choose n}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {n \ choose i}^{2} = {2n \ choose n}}$

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n} {\ frac {1} {i!}} = {\ frac {\ lfloor n! \; e \ rfloor} {n!}}}$

Harmonická čísla

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i}} = H_ {n}}$(to je n -té harmonické číslo )

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i^{k}}} = H_ {n}^{k}}$(to je zobecněné harmonické číslo )

Tempo růstu

Následující užitečné přiblížení (pomocí zápisu theta ):

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} i^{c} \ v \ Theta (n^{c+1})}$pro skutečné c větší než −1

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} {\ frac {1} {i}} \ in \ Theta (\ log _ {e} n)}$(Viz harmonické číslo )

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} c^{i} \ v \ Theta (c^{n})}$pro skutečné c větší než 1

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ in \ Theta (n \ cdot \ log (n)^{c})}$pro nezáporné reálné c

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ cdot i^{d} \ in \ Theta (n^{d+1} \ cdot \ log (n) ^{c})}$pro nezáporné reálné c , d

${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} \ log (i)^{c} \ cdot i^{d} \ cdot b^{i} \ in \ Theta (n^{d} \ cdot \ log (n)^{c} \ cdot b^{n})}$pro nezáporný reálný b > 1, c , d

Viz také

• Einsteinova notace
• Iversonova konzola
• Iterovaná binární operace
• Algoritmus souhrnu Kahana
• Produkty sekvencí
• Produkt (matematika)
• Souhrn po částech
• Σ shrnutí jediný glyf (U + 2211 N-ary sumační )
• ⎲ začátek spárovaného glyfu (U+23B2 SUMMATION TOP )
• ⎳ konec spárovaného glyfu (U+23B3 SUMMATION BOTTOM )

Poznámky

Prameny

externí odkazy

• Média související se shrnutím na Wikimedia Commons