Tarskiho věta o výběru - Tarski's theorem about choice

V matematice , Tarski věta , svědčí Alfred Tarski  ( 1924 ), uvádí, že v ZF Věta „Pro každý nekonečné množiny , je bijective mapa mezi soubory a “ znamená, že axiom výběru . Opačný směr byl již znám, takže věta a axiom výběru jsou ekvivalentní.

Tarski Jan Mycielski  ( 2006 ) řekl, že když se pokusil publikovat větu v Comptes Rendus de l'Académie des Sciences Paris, Fréchet a Lebesgue ji odmítli předložit. Fréchet napsal, že implikace mezi dvěma dobře známými tvrzeními není novým výsledkem. Lebesgue napsal, že implikace mezi dvěma falešnými tvrzeními není zajímavá.

Důkaz

Naším cílem je dokázat, že axiom výběru je implikován tvrzením „Pro každou nekonečnou množinu : “. Je známo, že věta o řádném uspořádání je ekvivalentní s axiomem volby, takže stačí ukázat, že z výroku vyplývá, že pro každou množinu existuje řád .

Pro konečné množiny je to triviální, budeme tedy předpokládat, že je nekonečné.

Vzhledem k tomu, že kolekce všech ordinálů tak, že existuje surjektivní funkce od do ordinálu, je množina, existuje minimální nenulová ordinál , takže neexistuje surjektivní funkce od do . Předpokládáme, bez újmy na obecnosti , že množiny a jsou disjunktní . Podle našeho původního předpokladu tedy existuje bijekce .

Pro každého je nemožné , protože jinak bychom mohli definovat surjektivní funkci od do . Proto existuje alespoň jeden ordinál , takový, že tedy množina není prázdná.

Díky této skutečnosti na mysli, můžeme definovat novou funkci: . Tato funkce je dobře definována, protože jde o neprázdnou sadu ordinálů, proto má minimum. Připomeňme, že pro každou sadu a jsou disjunktní. Proto můžeme definovat řádový řád na , pro každý , který definujeme , protože obraz , tj. , Je sada řadových řádků, a proto dobře uspořádaný.

Reference

  • Rubin, Herman; Rubin, Jean E. (1985), Ekvivalenty Axiomu volby II , Severní Holandsko / Elsevier, ISBN  0-444-87708-8
  • Mycielski, Jan (2006), „Systém axiomů teorie množin pro racionalisty“ (PDF) , Oznámení Americké matematické společnosti , 53 (2): 209
  • Tarski, A. (1924), „Sur quelques theorems qui equivalent a l'axiome du choix“ , Fundamenta Mathematicae , 5 : 147–154