Čtyřstěn - Tetrahedron
Pravidelný čtyřstěn | |
---|---|
(Kliknutím sem otočíte model) |
|
Typ | Platonická pevná látka |
krátký kód | 3> 2z |
Elementy |
F = 4, E = 6 V = 4 (χ = 2) |
Tváře po stranách | 4 {3} |
Conwayova notace | T |
Symboly Schläfli | {3,3} |
h {4,3}, s {2,4}, sr {2,2} | |
Konfigurace obličeje | V3.3.3 |
Wythoffův symbol | 3 | 2 3 | 2 2 2 |
Coxeterův diagram |
= |
Symetrie | T d , A 3 , [3,3], (*332) |
Rotační skupina | T , [3,3] + , (332) |
Reference | U 01 , C 15 , Š 1 |
Vlastnosti | pravidelný , konvexní deltahedron |
Vzepětí úhel | 70.528779 ° = arccos ( 1 / 3 ) |
3.3.3 ( Vrcholový obrázek ) |
Self-dual ( duální mnohostěn ) |
Síť |
V geometrii je čtyřstěn (množné číslo: čtyřstěn nebo čtyřstěn ), také známý jako trojúhelníková pyramida , mnohostěn složený ze čtyř trojúhelníkových ploch , šesti rovných hran a čtyř vrcholů rohů . Čtyřstěn je nejjednodušší ze všech běžných konvexních mnohostěnů a jediný, který má méně než 5 tváří.
Čtyřstěn je trojrozměrný případ obecnějšího konceptu euklidovského simplexu , a může být tedy také nazýván 3-simplex .
Čtyřstěn je jeden druh pyramidy , což je mnohostěn s plochou mnohoúhelníkovou základnou a trojúhelníkovými plochami spojujícími základnu se společným bodem. V případě čtyřstěnu je základnou trojúhelník (za základnu lze považovat kteroukoli ze čtyř ploch), takže čtyřstěn je také známý jako „trojúhelníková pyramida“.
Jako všechny konvexní mnohostěny lze i čtyřstěn složit z jednoho listu papíru. Má dvě takové sítě .
Pro jakýkoli čtyřstěn existuje koule (nazývaná cirkumféra ), na které leží všechny čtyři vrcholy, a další koule ( insphere ) tečná k obličejům čtyřstěnu.
Pravidelný čtyřstěn
Pravidelný čtyřstěn je čtyřstěn, ve které jsou všechny čtyři stěny jsou rovnostranné trojúhelníky . Je to jeden z pěti pravidelných platónských těles , které jsou známy již od starověku.
V pravidelném čtyřstěnu mají všechny plochy stejnou velikost a tvar (shodné) a všechny hrany mají stejnou délku.
Samotné pravidelné čtyřstěny neteselují (nevyplňují prostor), ale pokud se střídají s pravidelnými osmistěnami v poměru dvou čtyřstěnů k jednomu osmistěnu, tvoří střídavou kubickou voštinu , což je mozaika. Některé tetrahedry, které nejsou pravidelné, včetně Schläfli orthoscheme a Hill čtyřstěnu , mohou teselovat .
Pravidelný čtyřstěn je self-dual, což znamená, že jeho dual je další pravidelný čtyřstěn. Sloučenina číslo obsahující dvě takové dvojí čtyřstěny tvoří stellated osmistěn nebo stella octangula.
Souřadnice pro pravidelný čtyřstěn
Následující karteziánské souřadnice definují čtyři vrcholy čtyřstěnu s délkou hrany 2 se středem na počátku a dvěma úrovněmi hran:
Symetricky vyjádřeny jako 4 body na jednotkové sféře , těžiště na počátku, s nižší úrovní obličeje, vrcholy jsou:
s délkou okraje .
Ještě další sada souřadnic je založena na alternativní krychli nebo demicube s délkou hrany 2. Tento formulář má Coxeterův diagram a symbol Schläfli h {4,3}. Čtyřstěn má v tomto případě délku hrany 2 √ 2 . Obrácením těchto souřadnic se vytvoří duální čtyřstěn a pár společně vytvoří hvězdicový osmistěn, jehož vrcholy jsou původní krychle.
- Čtyřstěn: (1,1,1), (1, −1, −1), (−1,1, −1), (−1, −1,1)
- Duální čtyřstěn: (−1, −1, −1), (−1,1,1), (1, −1,1), (1,1, −1)
Úhly a vzdálenosti
Pro pravidelný čtyřstěn o délce hrany a :
Obličejová oblast | |
Plocha povrchu | |
Výška pyramidy | |
Vzdálenost těžiště od vrcholu | |
Vzdálenost od hrany k opačné hraně | |
Objem | |
Úhel čela-vrchol-hrana |
(přibližně 54,7356 °) |
Úhel tvář-hrana-obličej , tj. „Dvouúhelníkový úhel“ |
(přibližně 70,5288 °) |
Vrchol-Střed-Úhel vrcholu, úhel mezi čarami od středu čtyřstěnu k jakýmkoli dvěma vrcholům. Je to také úhel mezi hranicemi Plateau ve vrcholu. V chemii se tomu říká úhel tetrahedrálních vazeb . Tento úhel (v radiánech) je také délkou oblouku geodetického segmentu na jednotkové sféře vyplývající z centrálního promítání jednoho okraje čtyřstěnu do koule. |
(přibližně 109,4712 °) |
Plný úhel ve vrcholu podřízeném tváří |
(přibližně 0,55129 steradiánů ) (přibližně 1809,8 čtverečních stupňů ) |
Poloměr cirkule | |
Poloměr inspirace, který se dotýká tváří | |
Poloměr střední koule, který je tečný k hranám | |
Poloměr sfér | |
Vzdálenost od středu exsféry od opačného vrcholu |
S ohledem na základní rovinu je sklon plochy (2 √ 2 ) dvakrát větší než hrana ( √ 2 ), což odpovídá skutečnosti, že horizontální vzdálenost pokrytá od základny k vrcholu podél hrany je dvakrát větší než podél medián obličeje. Jinými slovy, pokud C je těžiště základny, vzdálenost od C k vrcholu základny je dvakrát větší než od C ke středu okraje základny. Vyplývá to ze skutečnosti, že se mediány trojúhelníku protínají na jeho těžiště, a tento bod rozděluje každý z nich na dva segmenty, z nichž jeden je dvakrát delší než druhý (viz důkaz ).
Pro pravidelný čtyřstěn s délkou strany a , poloměrem R jeho vymezující koule a vzdáleností d i od libovolného bodu ve 3 prostoru do jeho čtyř vrcholů máme
Izometrie pravidelného čtyřstěnu
Vrcholy krychle lze seskupit do dvou skupin po čtyřech, z nichž každá tvoří pravidelný čtyřstěn (viz výše, a také animace , zobrazující jeden ze dvou čtyřstěnů v krychli). Tyto symetrie pravidelného tetraedronové odpovídá polovině z těch krychle: ty, které mapovat tetrahedra pro sebe, a ne na sebe.
Čtyřstěn je jedinou platonickou pevnou látkou, která k sobě není mapována bodovou inverzí .
Pravidelný čtyřstěn má 24 izometrií, tvořících symetrickou skupinu T d , [3,3], (*332), izomorfní na symetrickou skupinu , S 4 . Mohou být kategorizovány následovně:
-
T , [3,3] + , (332) je izomorfní na střídající se skupinu , A 4 (identita a 11 správných rotací) s následujícími třídami konjugace (v závorkách jsou uvedeny permutace vrcholů, respektive ploch, a reprezentace jednotky kvaternion ):
- identita (identita; 1)
- rotace kolem osy vrcholem, kolmá na opačnou rovinu, o úhel ± 120 °: 4 osy, 2 na osu, dohromady 8 ((1 2 3) atd .; 1 ± i ± j ± k/2)
- otočení o úhel 180 ° tak, aby se hrana mapovala k protilehlé hraně: 3 ((1 2) (3 4) atd .; i , j , k )
- odrazy v rovině kolmé na hranu: 6
- odrazy v rovině kombinované s 90 ° rotací kolem osy kolmé na rovinu: 3 osy, 2 na osu, dohromady 6; ekvivalentně jsou to 90 ° rotace kombinované s inverzí ( x je mapováno na- x ): rotace odpovídají rotacím krychle kolem os tváří v tvář
Ortogonální projekce pravidelného čtyřstěnu
Pravidelný čtyřstěn má dvě speciální ortogonální projekce , jednu se středem na vrcholu nebo ekvivalentně na obličeji a druhou se středem na hraně. První odpovídá rovině A 2 Coxeter .
Vycentrováno | Obličej/vrchol | Okraj |
---|---|---|
obraz | ||
Projektivní symetrie |
[3] | [4] |
Průřez pravidelného čtyřstěnu
Dvě šikmé protilehlé hrany pravidelného čtyřstěnu definují sadu rovnoběžných rovin. Když jedna z těchto rovin protíná čtyřstěn, výsledný průřez je obdélník . Když je protínající se rovina blízko jednoho z okrajů, je obdélník dlouhý a hubený. V polovině cesty mezi oběma hranami je průsečík čtverec . Poměr stran obdélníku se při průchodu tímto polovičním bodem změní. Pro středovou čtvercovou křižovatku výsledná hraniční čára prochází každou stranou čtyřstěnu podobně. Pokud je čtyřstěn v této rovině půlen, stanou se obě poloviny klíny .
Tato vlastnost platí také pro tetragonální disphenoidy při aplikaci na dva speciální páry hran.
Sférické obklady
Čtyřstěn může být také reprezentován jako sférické obklady a promítán do roviny pomocí stereografické projekce . Tato projekce je konformní , zachovává úhly, ale ne oblasti nebo délky. Přímky na kouli jsou promítány jako kruhové oblouky do roviny.
Ortografická projekce | Stereografická projekce |
---|
Spirálové stohování
Pravidelné čtyřstěny lze skládat tváří v tvář v chirálním neperiodickém řetězci zvaném Boerdijk – Coxeterova šroubovice . Ve čtyřech rozměrech , všechny konvexní pravidelné 4-polytopes s čtyřboká buňkách ( 5-buňka , 16 buněk a 600 buněk ), může být vytvořena jako dlažby z 3-koule podle těchto řetězců, které se stávají periodické trojrozměrné prostor hraniční plochy 4-polytopu.
Další speciální případy
Vztahy podskupin tetraedrické symetrie |
Tetrahedrální symetrie znázorněné v tetraedrických diagramech |
Rovnoramenný čtyřstěn , také nazýván disphenoid , je čtyřstěn, kde všechny čtyři tváře jsou kongruentní trojúhelníky. A prostor vyplňující čtyřstěn balení se shodných kopií sebe sama na dlaždice prostoru, jako je disphenoid čtyřboké voštiny .
V trojúhelníkovém čtyřstěnu jsou tři úhly obličeje v jednom vrcholu pravými úhly . Pokud jsou všechny tři páry protilehlých okrajů čtyřstěnu kolmé , pak se tomu říká ortocentrický čtyřstěn . Pokud je kolmý pouze jeden pár protilehlých hran, nazývá se to poloortocentrický čtyřstěn . Isodynamic čtyřstěn je jeden ve kterém cevians , které se připojí vrcholy na incenters protilehlých plochách jsou souběžné , a isogonic čtyřstěn má souběžných cevians, které se připojí vrcholy na místě dotyku opačných stranách s vepsaného oblasti čtyřstěnu .
Izometrie nepravidelných čtyřstěnů
Izometrie nepravidelného (neoznačeného) čtyřstěnu závisí na geometrii čtyřstěnu, přičemž je možné 7 případů. V každém případě se vytvoří 3-dimenzionální bodová skupina . Pokud jsou zahrnuty označení plochy nebo hran, mohou existovat další dvě izometrie (C 3 , [3] + ) a (S 4 , [2 + , 4 + ]). Níže jsou pro každý typ zahrnuty tetraedrické diagramy s hranami obarvenými izometrickou ekvivalencí a pro jedinečné hrany jsou šedé.
Název čtyřstěnu | Diagram
ekvivalence hran |
Popis | |||
---|---|---|---|---|---|
Symetrie | |||||
Schön. | Kormidelník. | Koule. | Obj. | ||
Pravidelný čtyřstěn |
Čtyři rovnostranné trojúhelníky Tvoří skupinu symetrie T d , izomorfní na symetrickou skupinu , S 4 . Pravidelný čtyřstěn má Coxeterův diagram a symbol Schläfli {3,3}.
|
||||
T d T |
[3,3] [3,3] + |
*332 332 |
24 12 |
||
Trojúhelníková pyramida |
Rovnostranný trojúhelník základna a tři stejné rovnoramenný trojúhelník strany Udává 6 izometrií, což odpovídá 6 izometriím báze. Jako permutace vrcholů je těchto 6 izometrií identita 1, (123), (132), (12), (13) a (23), tvořící skupinu symetrie C 3v , izomorfní k symetrické skupině , S 3 . Trojúhelníková pyramida má Schläfliho symbol {3} ∨ ().
|
||||
C 3v C 3 |
[3] [3] + |
*33 33 |
6 3 |
||
Zrcadlený sfénoid |
Dva stejné scalenové trojúhelníky se společnou základní hranou To má dva páry stejných hran (1,3), (1,4) a (2,3), (2,4) a jinak žádné hrany stejné. Jediné dvě izometrie jsou 1 a odraz (34), dávající skupině C s , také izomorfní k cyklické skupině , Z 2 .
|
||||
C s = C 1h = C 1v |
[] | * | 2 | ||
Nepravidelný čtyřstěn (žádná symetrie) |
Čtyři nerovné trojúhelníky
Jeho jedinou izometrií je identita a skupina symetrie je triviální skupina . Nepravidelný čtyřstěn má Schläfliho symbol () ∨ () ∨ () ∨ (). |
||||
C 1 | [] + | 1 | 1 | ||
Disphenoids (Čtyři stejné trojúhelníky) | |||||
Tetragonální disphenoid |
Čtyři stejné rovnoramenné trojúhelníky
Má 8 izometrií. Pokud mají hrany (1,2) a (3,4) jinou délku než ostatní 4, pak je 8 izometrií identita 1, odrazy (12) a (34) a 180 ° rotace (12) (34), (13) (24), (14) (23) a nesprávné 90 ° rotace (1234) a (1432) tvořící skupinu symetrie D 2d . Tetragonální disphenoid má Coxeterův diagram a symbol Schläfli s {2,4}. |
||||
D 2d S 4 |
[2 + , 4] [2 + , 4 + ] |
2*2 2 × |
8 4 |
||
Rhombický disphenoid |
Čtyři stejné scalenské trojúhelníky
Má 4 izometrie. Izometrie jsou 1 a 180 ° rotace (12) (34), (13) (24), (14) (23). Toto je Kleinova čtyřskupina V 4 nebo Z 2 2 , přítomná jako bodová skupina D 2 . Kosočtverečný disenoid má Coxeterův diagram a symbol Schläfli sr {2,2}. |
||||
D 2 | [2,2] + | 222 | 4 | ||
Generalizované disphenoidy (2 páry stejných trojúhelníků) | |||||
Digonální disphenoid |
|
Dva páry stejných rovnoramenných trojúhelníků To dává dvě protilehlé hrany (1,2) a (3,4), které jsou kolmé, ale různé délky, a pak jsou 4 izometrie 1, odrazy (12) a (34) a otočení o 180 ° (12) (34) . Skupina symetrie je C 2v , izomorfní k Kleinově čtyřskupině V 4 . Digonální disphenoid má Schläfliho symbol {} ∨ {}.
|
|||
C 2v C 2 |
[2] [2] + |
*22 22 |
4 2 |
||
Phyllic disphenoid |
|
Dva páry stejných trojúhelníků scalen nebo rovnoramenný
To má dva páry stejných hran (1,3), (2,4) a (1,4), (2,3), ale jinak žádné hrany stejné. Jediné dva isometries jsou 1 a otáčení (12), (34), přičemž skupinu C 2 izomorfní s cyklickou skupinu , Z 2 . |
|||
C 2 | [2] + | 22 | 2 |
Obecné vlastnosti
Objem
Objem čtyřstěnu je dán vzorcem objemu pyramidy:
kde A 0 je plocha základny a h je výška od základny k vrcholu. To platí pro každou ze čtyř možností základny, takže vzdálenosti od vrcholů k protilehlým plochám jsou nepřímo úměrné plochám těchto ploch.
Pro čtyřstěn s vrcholy a = ( a 1 , a 2 , a 3 ) , b = ( b 1 , b 2 , b 3 ) , c = ( c 1 , c 2 , c 3 ) , a d = ( d 1 , d 2 , d 3 ) , hlasitost je1/6| det ( a - d , b - d , c - d ) | , nebo jakákoli jiná kombinace dvojic vrcholů, které tvoří jednoduše spojený graf . To lze přepsat pomocí bodového produktu a křížového produktu , čímž se získá
Pokud je počátek souřadného systému zvolen tak, aby se shodoval s vrcholem d , pak d = 0, takže
kde a , b , a c představují tři hrany, které se setkávají v jednom vrcholu, a a · ( b × c ) je skalární trojitý součin . Porovnáním tohoto vzorce s tím, který se používá k výpočtu objemu rovnoběžnostěnu , dospějeme k závěru, že objem čtyřstěnu se rovná1/6 objemu jakéhokoli rovnoběžnostěnu, který s ním sdílí tři sbíhající se hrany.
Absolutní hodnotu skalárního trojitého produktu lze vyjádřit jako následující absolutní hodnoty determinantů:
- nebo kde jsou vyjádřeny jako řádkové nebo sloupcové vektory.
Proto
- kde
který dává
kde α , β , γ jsou rovinné úhly vyskytující se ve vrcholu d . Úhel α je úhel mezi oběma hranami spojujícím vrchol d s vrcholy b a c . Úhel β , to pro vrcholy a C , zatímco γ je definována polohou vrcholů a b .
Pokud nepožadujeme, aby d = 0, pak
Vzhledem k vzdálenostem mezi vrcholy čtyřstěnu lze objem vypočítat pomocí Cayley -Mengerova determinantu :
kde indexy i , j ∈ {1, 2, 3, 4} představují vrcholy { a , b , c , d } a d ij je párová vzdálenost mezi nimi - tj. délka hrany spojující dva vrcholy. Záporná hodnota determinantu znamená, že čtyřstěn není možné sestrojit s danými vzdálenostmi. Tento vzorec, někdy nazývaný také Tartagliin vzorec , je v zásadě způsoben malířem Piero della Francesca v 15. století, jako trojrozměrný analog Heronova vzorce 1. století pro oblast trojúhelníku.
Označme a, b, c tři hrany, které se setkávají v bodě, a x, y, z protilehlé hrany. Nechť V je objem čtyřstěnu; pak
kde
Výše uvedený vzorec používá šest délek hran a následující vzorec používá tři délky hran a tři úhly.
Vzorec volavkového typu pro objem čtyřstěnu
Pokud U , V , W , u , v , w jsou délky okrajů čtyřstěnu (první tři tvoří trojúhelník; u protilehlé k U a tak dále), pak
kde
Dělič objemu
Jakákoli rovina obsahující bimedian (spojnice středů opačných okrajů) čtyřstěnu půlí objem čtyřstěnu.
Neeuklidovský objem
Pro čtyřstěnů v hyperbolického prostoru, nebo v trojrozměrném eliptický geometrie se dihedral úhly čtyřstěnu určit svůj tvar a tím i jeho objem. V těchto případech je objem dán vzorcem Murakami – Yano . V euklidovském prostoru však změna měřítka čtyřstěnu mění jeho objem, ale nikoli jeho dihedrální úhly, takže žádný takový vzorec nemůže existovat.
Vzdálenost mezi hranami
Jakékoli dva protilehlé okraje čtyřstěnu leží na dvou šikmých čarách a vzdálenost mezi hranami je definována jako vzdálenost mezi dvěma šikmými čarami. Nechť d je vzdálenost mezi šikmými čarami tvořenými protilehlými hranami a a b - c, jak je zde vypočítáno . Pak je další objemový vzorec dán
Vlastnosti analogické vlastnostem trojúhelníku
Čtyřstěn má mnoho vlastností analogických s vlastnostmi trojúhelníku, včetně insphere, circumsphere, mediálního čtyřstěnu a exspheres. Má příslušná centra jako incenter, circumcenter, excenters, Spieker center and points such as a centroid. Obecně však neexistuje ortocentrum ve smyslu protínání výšek.
Gaspard Monge našel centrum, které existuje v každém čtyřstěnu, nyní známém jako Mongeův bod : bod, kde se protíná šest středních rovin čtyřstěnu. Střední rovina je definována jako rovina, která je kolmá k hraně spojující libovolné dva vrcholy, která také obsahuje těžiště protilehlé hrany vytvořené spojením dalších dvou vrcholů. Pokud se výšky čtyřstěnu protnou, pak se Mongeův bod a ortocentrum shodují a vznikne třída ortocentrického čtyřstěnu .
Ortogonální čára spadlá z bodu Monge na jakoukoli tvář se setká s touto tváří ve středu úsečky mezi ortocentrem této tváře a úpatím nadmořské výšky spadlé z opačného vrcholu.
Čárový segment spojující vrchol čtyřstěnu s těžištěm protilehlé plochy se nazývá medián a úsečka spojující středy dvou protilehlých okrajů se nazývá bimedián čtyřstěnu. V čtyřstěnu jsou tedy čtyři mediány a tři bimediáni. Těchto sedm úseček je souběžných v bodě zvaném těžiště čtyřstěnu. Kromě toho jsou čtyři mediány děleny těžištěm v poměru 3: 1 (viz Commandino věta ). Těžiště čtyřstěnu je středem mezi jeho Mongeovým bodem a circumcenterem. Tyto body definují Eulerovu linii čtyřstěnu, která je analogická Eulerově linii trojúhelníku.
Devíti bod kruh obecného trojúhelníku má analog v circumsphere mediální čtyřstěnu čtyřstěnu se. Je to dvanáctibodová koule a kromě těžiště čtyř ploch referenčního čtyřstěnu prochází čtyřmi náhradními Eulerovými body , třetinou cesty od Mongeova bodu ke každému ze čtyř vrcholů. Nakonec prochází čtyřmi základními body ortogonálních čar spadlých z každého Eulerova bodu do obličeje, který neobsahuje vrchol, který generoval Eulerův bod.
Střed T dvanáctibodové koule také leží na Eulerově přímce. Na rozdíl od svého trojúhelníkového protějšku leží toto centrum jednu třetinu cesty od Mongeova bodu M směrem k circumcenteru. Rovněž ortogonální čára procházející T k vybrané ploše je koplanární se dvěma dalšími ortogonálními čarami ke stejné ploše. První je ortogonální čára procházející odpovídajícím Eulerovým bodem k vybrané ploše. Druhá je ortogonální čára procházející těžištěm vybrané tváře. Tato ortogonální čára skrz dvanáctibodový střed leží uprostřed mezi Eulerovou bodovou ortogonální linií a těžištěm ortogonální linie. Kromě toho pro jakoukoli tvář leží dvanáctibodový střed ve středu odpovídajícího Eulerova bodu a ortocentra pro tuto tvář.
Poloměr dvanáctibodové koule je jedna třetina okolního poloměru referenčního čtyřstěnu.
Mezi úhly vytvořenými tvářemi obecného čtyřstěnu existuje vztah daný
kde α ij je úhel mezi plochami i a j .
Geometrická střední hodnota z vrcholu polohových souřadnic čtyřstěnu a jeho isogonic centra jsou spojeny, za podmínek, které jsou analogické těm, které pozorovány u trojúhelníku. Lorenz Lindelöf zjistil, že jakémukoli danému čtyřstěnu odpovídá bod, který je nyní známý jako izogonické centrum, O , ve kterém jsou pevné úhly podřízené plochami stejné, mají společnou hodnotu π sr a ve kterých jsou úhly podřízené opačně hrany jsou stejné. Plný úhel π sr je jedna čtvrtina úhlu, který svírá celý prostor. Když jsou všechny pevné úhly u vrcholů čtyřstěnu jsou menší než n sr, O leží uvnitř čtyřstěnu, a proto, že součet vzdáleností od O do vrcholů je minimální, O shoduje s geometrickou střední , M , z vrcholů . V případě, že plný úhel na jednom z vrcholů, v , měří přesně π sr, pak O a M se shodují s v . Pokud však má čtyřstěn vrchol, v , s pevným úhlem větším než π sr, M stále odpovídá v , ale O leží mimo čtyřstěn.
Geometrické vztahy
Čtyřstěn je 3 simplex . Na rozdíl od ostatních platonických těles jsou všechny vrcholy pravidelného čtyřstěnu od sebe ve stejné vzdálenosti (jsou jediným možným uspořádáním čtyř stejných vzdáleností v trojrozměrném prostoru).
Čtyřstěn je trojúhelníková pyramida a pravidelný čtyřstěn je duální .
Pravidelný čtyřstěn může být vložen do krychle dvěma způsoby tak, že každý vrchol je vrcholem krychle a každý okraj je úhlopříčkou jedné z ploch krychle. U jedné takové zabudování, že kartézské souřadnice jednotlivých vrcholů jsou
- (+1, +1, +1);
- (−1, −1, +1);
- (−1, +1, −1);
- (+1, −1, −1).
Tím se získá čtyřstěn s délkou okraje 2 √ 2 se středem na počátku. U druhého čtyřstěnu (který je duální k prvnímu) obraťte všechna znamení. Tyto dva vrcholy čtyřstěnu dohromady jsou vrcholy krychle, což ukazuje, že pravidelný čtyřstěn je 3- demikrychle .
Objem tohoto čtyřstěnu je jedna třetina objemu krychle. Kombinace obou čtyřstěnů dává pravidelnou polyedrickou sloučeninu nazývanou sloučenina dvou čtyřstěnů nebo stella octangula .
Vnitřek stella octangula je osmistěn , a proto pravidelný osmistěn je výsledkem odříznutí od pravidelného čtyřstěnu čtyř pravidelných čtyřstěnů o polovinu lineární velikosti (tj. Usměrnění čtyřstěnu).
Výše uvedené vložení rozděluje kostku na pět čtyřstěnů, z nichž jeden je pravidelný. Ve skutečnosti je pět minimální počet čtyřstěnů potřebných ke složení krychle. Abychom to viděli, počínaje základním čtyřstěnem se 4 vrcholy, každý přidaný čtyřstěn přidá nejvýše 1 nový vrchol, takže k vytvoření krychle, která má 8 vrcholů, je třeba přidat alespoň 4 další.
Nápis čtyřstěnů v pravidelných sloučeninách pěti kostek poskytne další dvě pravidelné sloučeniny obsahující pět a deset čtyřstěnů.
Pravidelné čtyřstěny nedokážou samy o sobě mozaikovat prostor , i když tento výsledek se zdá dost pravděpodobný, že Aristoteles tvrdil, že je to možné. Dva pravidelné čtyřstěny však lze kombinovat s osmistěnem, čímž vznikne kosočtverec, který může obkládat prostor.
Je však známo několik nepravidelných čtyřstěnů, z nichž kopie mohou obkládat prostor, například disphenoidní čtyřstěnný plástev . Úplný seznam zůstává otevřeným problémem.
Pokud člověk uvolní požadavek, aby měly čtyřstěny stejný tvar, lze dláždit prostor pomocí pouze čtyřstěnů mnoha různými způsoby. Například lze rozdělit osmistěn na čtyři identické čtyřstěny a znovu je spojit se dvěma pravidelnými. (Jako vedlejší poznámka: tyto dva druhy čtyřstěnu mají stejný objem.)
Čtyřstěn je u uniformních mnohostěnů jedinečný tím, že nemá žádné rovnoběžné tváře.
Zákon sinusů pro čtyřstěn a prostor všech tvarů čtyřstěnu
Důsledkem obvyklého sinusového zákona je, že v čtyřstěnu s vrcholy O , A , B , C máme
Lze vidět dvě strany této identity jako odpovídající orientaci povrchu ve směru a proti směru hodinových ručiček.
Umístěním kteréhokoli ze čtyř vrcholů do role O se získají čtyři takové identity, ale nejvýše tři z nich jsou nezávislé: Pokud se „pravotočivé“ strany tří z nich vynásobí a součin se odvodí, že se rovná součinu „proti směru hodinových ručiček“ strany stejných tří identit, a poté jsou společné faktory zrušeny z obou stran, výsledkem je čtvrtá identita.
Tři úhly jsou úhly nějakého trojúhelníku právě tehdy, pokud je jejich součet 180 ° (π radiánů). Jaká podmínka na 12 úhlech je nezbytná a dostačující k tomu, aby to bylo 12 úhlů nějakého čtyřstěnu? Součet úhlů kterékoli strany čtyřstěnu musí být jasně 180 °. Protože existují čtyři takové trojúhelníky, existují čtyři taková omezení součtů úhlů a počet stupňů volnosti se tím sníží z 12 na 8. Čtyři vztahy dané tímto sinusovým zákonem dále snižují počet stupňů volnosti od 8 až ne 4, ale 5, protože čtvrté omezení není nezávislé na prvních třech. Prostor všech tvarů čtyřstěnu je tedy 5-dimenzionální.
Kosinový zákon pro čtyřstěn
Nechť { P 1 , P 2 , P 3 , P 4 } jsou body čtyřstěnu. Nechť Δ i je plocha obličeje opačného vrcholu P i a θ ij je dihedrální úhel mezi oběma plochami čtyřstěnu sousedícího s hranou P i P j .
Zákon cosines pro tento čtyřstěn, který se týká oblastí tváře čtyřstěnu na dihedral úhly o vrchol, je dána následujícím vztahem:
Vnitřní bod
Nechť P být libovolný vnitřní bod čtyřstěnu o objemu V, pro které vrcholy jsou , B , C a D , a pro které oblasti protilehlých ploch jsou F s , F B , F C a F d . Pak
Pro vrcholy A , B , C a D vnitřní bod P a stopy J , K , L a M kolmic od P k plochám a předpokládejme, že plochy mají stejné oblasti, pak
Inradius
Označení inradia čtyřstěnu jako r a inradií jeho trojúhelníkových ploch jako r i pro i = 1, 2, 3, 4, máme
s rovností právě tehdy, je -li čtyřstěn pravidelný.
Pokud A 1 , A 2 , A 3 a A 4 označují plochu každé plochy, hodnota r je dána vztahem
- .
Tento vzorec se získá rozdělením čtyřstěnu na čtyři čtyřstěny, jejichž body jsou tři body jedné z původních ploch a incenteru. Protože čtyři subtetrahedry vyplňují objem, máme .
Circumradius
Označme circumradius čtyřstěnu jako R . Nechť a , b , c jsou délky tří hran, které se setkávají ve vrcholu, a A , B , C délka protilehlých hran. Nechť V je objem čtyřstěnu. Pak
Circumcenter
Cirkumcentrum čtyřstěnu lze nalézt jako průsečík tří půlících rovin. Půlkulová rovina je definována jako rovina se středem a kolmá k okraji čtyřstěnu. S touto definicí lze obvod C čtyřstěnu s vrcholy x 0 , x 1 , x 2 , x 3 formulovat jako součin matice-vektor:
Na rozdíl od těžiště nemusí circumcenter vždy ležet na vnitřní straně čtyřstěnu. Analogicky k tupému trojúhelníku je circumcenter mimo objekt pro tupý čtyřstěn.
Těžiště
Těžiště čtyřstěnu se počítá jako aritmetický průměr jeho čtyř vrcholů, viz těžiště .
Tváře
Součet ploch libovolných tří ploch je větší než plocha čtvrté plochy.
Celočíselná čtyřstěn
Existují čtyřstěny s celočíselnými délkami okrajů, plochami ploch a objemem. Říká se jim heronská čtyřstěn . Jeden příklad má jeden okraj 896, opačný okraj 990 a další čtyři okraje 1073; dvě tváře jsou rovnoramenné trojúhelníky s oblastmi436 800 a další dva jsou rovnoramenné s plochami o47 120 , zatímco je hlasitost124 185 600 .
Čtyřstěn může mít celočíselný objem a po sobě jdoucí celá čísla jako hrany, příkladem je ten s okraji 6, 7, 8, 9, 10 a 11 a objemem 48.
Příbuzné mnohostěny a sloučeniny
Pravidelný čtyřstěn lze vnímat jako trojúhelníkovou pyramidu .
Pravidelné pyramidy | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Digonal | Trojúhelníkový | Náměstí | Pětiúhelníkový | Šestihranný | Heptagonální | Osmiúhelníkový | Enneagonal | Decagonal ... |
Nevhodný | Pravidelný | Rovnostranný | Rovnoramenný | |||||
Na pravidelný čtyřstěn lze pohlížet jako na degenerovaný mnohostěn, rovnoměrný digonální antiprism , kde základními polygony jsou redukované digony .
Antiprism název | Digonální antiprism | (Trigonální) Trojúhelníkový antiprism |
(Tetragonal) Náměstí antiprism |
Pentagonální antiprism | Šestihranný antiprism | Heptagonální antiprism | Osmiboký antiprism | Enneagonální antiprism | Dekongonální antiprism | Hendekagonální antiprism | Dodecagonální antiprism | ... | Apeirogonální antiprism |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Mnohostěnný obrázek | ... | ||||||||||||
Sférický obkladový obrázek | Obraz obkládající rovinu | ||||||||||||
Konfigurace vrcholů. | 2.3.3.3 | 3.3.3.3 | 4.3.3.3 | 5.3.3.3 | 6.3.3.3 | 7.3.3.3 | 8.3.3.3 | 9.3.3.3 | 10.3.3.3 | 11.3.3.3 | 12.3.3.3 | ... | ∞.3.3.3 |
Pravidelný čtyřstěn lze vnímat jako degenerovaný mnohostěn, rovnoměrný duální digonální lichoběžník , obsahující 6 vrcholů, ve dvou sadách kolineárních hran.
Trapezohedron name | Digonální lichoběžník ( čtyřstěn ) |
Trigonální lichoběžník | Tetragonální lichoběžník | Pětiúhelníkový lichoběžník | Šestihranný lichoběžník | Sedmiúhelníkový lichoběžník | Osmiboký lichoběžník | Decagonální lichoběžník | Dodecagonální lichoběžník | ... | Apeirogonální lichoběžník |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Mnohostěnný obrázek | ... | ||||||||||
Sférický obkladový obrázek | Obraz obkládající rovinu | ||||||||||
Konfigurace obličeje | V2.3.3.3 | V3.3.3.3 | V4.3.3.3 | V5.3.3.3 | V6.3.3.3 | V7.3.3.3 | V8.3.3.3 | V10.3.3.3 | V12.3.3.3 | ... | V∞.3.3.3 |
Proces zkrácení aplikovaný na čtyřstěn vytváří sérii jednotných mnohostěnů . Zkrácením hran dolů do bodů vznikne osmistěn jako rektifikovaný čtyřstěn. Proces se dokončí jako birectifikace, zmenšení původních ploch dolů na body a opětovné vytvoření duálního čtyřstěnu.
Rodina uniformních čtyřbokých mnohostěnů | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Symetrie : [3,3] , (*332) | [3,3] + , (332) | ||||||
{3,3} | t {3,3} | r {3,3} | t {3,3} | {3,3} | rr {3,3} | tr {3,3} | sr {3,3} |
Duály až uniformní mnohostěn | |||||||
V3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3.3 | V3.6.6 | V3.3.3 | V3.4.3.4 | V4.6.6 | V3.3.3.3.3 |
Tento mnohostěn je topologicky příbuzný jako součást sekvence pravidelných mnohostěnů se Schläfliho symboly {3, n }, pokračujících do hyperbolické roviny .
* n 32 symetrická mutace pravidelných obkladů: {3, n } | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sférické | Euklides. | Kompaktní hyper. | Paraco. | Nekompaktní hyperbolické | |||||||
3.3 | 3 3 | 3 4 | 3 5 | 3 6 | 3 7 | 3 8 | 3 ∞ | 3 12i | 3 9i | 3 6i | 3 3i |
Čtyřstěn je topologicky příbuzný řadě pravidelných mnohostěnů a obkladů s figurami vrcholů řádu 3 .
* n 32 symetrická mutace pravidelných obkladů: { n , 3} | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Sférické | Euklidovský | Kompaktní hyperb. | Paraco. | Nekompaktní hyperbolické | |||||||
{2,3} | {3,3} | {4,3} | {5,3} | {6,3} | {7,3} | {8,3} | {∞, 3} | {12i, 3} | {9i, 3} | {6i, 3} | {3i, 3} |
Z pěti protínajících se čtyřstěnů lze sestrojit zajímavý mnohostěn . Tato sloučenina pěti čtyřstěnů je známá už stovky let. Ve světě origami se objevuje pravidelně . Spojením dvaceti vrcholů by vznikl pravidelný dvanáctistěn . Existují formy pro leváky i praváky , které jsou navzájem zrcadlovými obrazy . Překrytím obou forem vznikne sloučenina deseti čtyřstěnů , ve kterých je deset čtyřstěnů uspořádáno jako pět párů stellae octangulae . Stella octangula je sloučenina dvou čtyřstěnů v duální poloze a jejích osm vrcholů definuje krychli jako jejich konvexní trup.
Square hosohedron je další mnohostěn se čtyřmi tvářemi, ale to nemá trojúhelníkové plochy.
Aplikace
Numerická analýza
V numerické analýze , složité trojrozměrné tvary jsou obvykle rozděleny do, nebo aproximovat pomocí, s polygonální spleti nepravidelného čtyřstěnů v procesu zakládání rovnice pro analýzu metodou konečných prvků zejména v numerické řešení z parciálních diferenciálních rovnic . Tyto metody mají široké uplatnění v praktických aplikacích ve výpočetní dynamice tekutin , aerodynamice , elektromagnetických polích , stavebnictví , chemickém inženýrství , námořní architektuře a strojírenství a příbuzných oborech.
Pozemní stavitelství
Čtyřstěn s tuhými hranami je ze své podstaty tuhý. Z tohoto důvodu se často používá k vyztužení rámových struktur, jako jsou vesmírné rámy .
Letectví
Na některých letištích je velký rám ve tvaru čtyřstěnu se dvěma stranami pokrytými tenkým materiálem upevněn na otočném čepu a vždy směřuje do větru. Je postaven dostatečně velký, aby byl vidět ze vzduchu, a někdy je osvětlený. Jeho účelem je sloužit jako reference pro piloty udávající směr větru.
Chemie
Tvar čtyřstěnu je v přírodě vidět na kovalentně vázaných molekulách. Všechny sp 3 -hybridizované atomy jsou obklopeny atomy (nebo osamocenými elektronovými páry ) ve čtyřech rozích čtyřstěnu. Například v molekule metanu ( CH
4) nebo amonný iont ( NH+
4), čtyři atomy vodíku obklopují centrální atom uhlíku nebo dusíku tetraedrickou symetrií. Z tohoto důvodu se jeden z předních časopisů v organické chemii nazývá Tetrahedron . Středový úhel mezi nějakými dvěma vrcholy dokonalého čtyřstěnu je arccos (-1/3), nebo přibližně 109,47 °.
Voda , H.
2O má také čtyřstěnnou strukturu se dvěma atomy vodíku a dvěma osamocenými páry elektronů kolem centrálních atomů kyslíku. Jeho čtyřboká symetrie však není dokonalá, protože osamělé páry odpuzují více než jednotlivé vazby O – H.
Kvartérní fázové diagramy směsí chemických látek jsou graficky znázorněny jako čtyřstěny.
Kvartérní fázové diagramy v komunikačním inženýrství jsou však znázorněny graficky na dvourozměrné rovině.
Elektřina a elektronika
Pokud šest rovných odpory jsou pájeny dohromady tvoří čtyřstěn, potom odpor měřený mezi dvěma vrcholy je polovina, že z jednoho odporu.
Vzhledem k tomu, že křemík je nejběžnějším polovodičem používaným v polovodičové elektronice a křemík má valenci čtyř, má tetraedrický tvar čtyř chemických vazeb v křemíku silný vliv na to, jak krystaly křemíku vznikají a jaké tvary předpokládají.
Barevný prostor
Tetrahedra se používají v algoritmech převodu barevného prostoru specificky pro případy, ve kterých osa jasu diagonálně segmentuje barevný prostor (např. RGB, CMY).
Hry
Královská hra Ur , datovat se od 2600 před naším letopočtem, byl hrán sadou čtyřboká kostky.
Zejména při hraní rolí je tato pevná látka známá jako 4stranná kostka , jedna z běžnějších polyhedrálních kostek , jejichž číslo se objevuje kolem dna nebo na vrcholu. Některé hádanky podobné Rubikově kostce jsou čtyřboké, například Pyraminx a Pyramorphix .
Geologie
Čtyřboká hypotéza , původně publikoval William Lowthian Green vysvětlit vznik Země, byl populární skrz na počátku 20. století.
Zbraně
Některé kaltropy jsou založeny na čtyřstěnech, protože jeden hrot směřuje nahoru bez ohledu na to, jak přistávají, a lze je snadno vyrobit svařením dvou ohnutých hřebíků dohromady.
Soudobé umění
Rakouská umělkyně Martina Schettina vytvořila čtyřstěn pomocí zářivek . Bylo ukázáno na bienále lehkého umění Rakousko 2010.
Používá se jako kresba alba, obklopená černými plameny na The End of All Things to Come od Mudvayne .
Populární kultura
Stanley Kubrick původně zamýšlel monolit v roce 2001: Vesmírná odysea jako čtyřstěn, tvrdí Marvin Minsky , kognitivní vědec a odborník na umělou inteligenci, který Kubrickovi radil na počítači HAL 9000 a dalších aspektech filmu. Kubrick zrušil myšlenku použít čtyřstěn jako návštěvníka, který viděl jeho záběry, nerozpoznal, co to je, a nechtěl ve filmu nic, čemu obyčejní lidé nerozuměli.
V sezóně 6, 15. epizoda Futuramy , nazvaná „ Möbius Dick “, posádka Planet Express prochází oblastí ve vesmíru známou jako Bermudský čtyřstěn. Mnoho dalších lodí proplouvajících oblastí záhadně zmizelo, včetně té první posádky Planet Express.
Ve filmu Oblivion z roku 2013 má velká struktura na oběžné dráze nad Zemí čtyřstěn a je označována jako Tet.
Čtyřstěnný graf
Čtyřstěnný graf | |
---|---|
Vrcholy | 4 |
Hrany | 6 |
Poloměr | 1 |
Průměr | 1 |
Obvod | 3 |
Automorfismy | 24 |
Chromatické číslo | 4 |
Vlastnosti | Hamiltonovský , pravidelný , symetrický , vzdálenostně pravidelný , vzdálenostně tranzitivní , 3vrcholově spojený , rovinný graf |
Tabulka grafů a parametrů |
Kostra z čtyřstěnu (obsahující vrcholy a hrany) tvoří graf , se 4 vrcholy, a 6 hrany. Jedná se o speciální případ kompletního grafu K 4 a kolového grafu W 4 . Je to jeden z 5 platónských grafů , každý je kostrou jeho platonického tělesa .
3násobná symetrie |
Viz také
- Boerdijk – Coxeterova šroubovice
- Konfigurace Möbius
- Caltrop
- Demihypercube a simplex - n rozměrné analogy
- Pentachoron -4-dimenzionální analog
- Tetra Pak
- Čtyřstěnný drak
- Čtyřstěnné číslo
- Balení čtyřstěnu
- Trojúhelníkový dipyramid - konstruován spojením dvou čtyřstěnů podél jedné tváře
- Trojúhelníkový čtyřstěn
Reference
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. „Čtyřstěn“ . MathWorld .
- Zdarma papírové modely čtyřstěnu a mnoha dalších mnohostěnů
- Úžasný nepravidelný čtyřstěn vyplňující vesmír, který také obsahuje popis „rotujícího prstence čtyřstěnu“, známého také jako kaleidocyklus .