Tetration - Tetration

Barevná grafika s jasně zbarvenými smyčkami, které rostou na intenzitě, když oko jde doprava
Doména barvení z holomorfní tetration , s odstínem představuje funkce argumentu a jas reprezentovat velikost
Čárový graf s křivkami, které se dramaticky ohýbají nahoru, když se hodnoty na ose x zvětšují
, pro n = 2, 3, 4, ... , ukazující konvergenci k nekonečně iterované exponenciále mezi dvěma tečkami

V matematice je tetrace (nebo hyper-4 ) operace založená na iterovaném nebo opakovaném umocňování . Jedná se o další hyperoperation po umocňování , ale před pentation . Slovo vymyslel Reuben Louis Goodstein z tetra- (čtyřky) a iterace .

Podle definice jako opakované umocňování znamená zápis Rudyho Ruckera , kde n kopií a je iterováno prostřednictvím umocňování, zprava doleva, tj. Aplikace časů umocňování . n se nazývá „výška“ funkce, zatímco a se nazývá „základna“, analogicky jako umocňování. Bylo by třeba číst jako „ n -tého tetration z “.

Tetrace je také definována rekurzivně jako

,

což umožňuje pokusy rozšířit tetraci na nepřirozená čísla, jako jsou reálná a komplexní čísla.

Dvě inverze tetrace se nazývají super-root a super-logaritmus , analogicky s n-tým kořenem a logaritmickými funkcemi. Žádná ze tří funkcí není elementární .

Tetrace se používá pro zápis velmi velkých čísel .

Úvod

Jsou zde ukázány první čtyři hyperoperace , přičemž tetrace je považována za čtvrtou v řadě. Unární operace posloupnost , definované jako , je považován za nultý operace.

  1. Přidání
    n kopií 1 přidáno do a .
  2. Násobení
    n kopiekombinovaný přidáním.
  3. Umocňování
    n kopiekombinovány násobení.
  4. Tetrace
    n kopiekombinovány umocňování, zprava doleva.

Posloupnost ( a ′ = a + 1) je nejzákladnější operací; zatímco sčítání ( a + n ) je primární operace, pro sčítání přirozených čísel o něm lze uvažovat jako o řetězové posloupnosti n nástupců a ; násobení ( a  ×  n ) je také primární operace, ačkoli pro přirozená čísla to může být analogicky považováno za řetězový přírůstek zahrnující n čísel a . Zesílení může být považováno za řetězové násobení zahrnující n čísel a a tetration ( ) jako zřetězenou mocninu zahrnující n čísel a . Každá z výše uvedených operací je definována iterací předchozí; na rozdíl od operací před ním není tetrace elementární funkcí .

Parametr a je označován jako základna , zatímco parametr n může být označován jako výška . V původní definici tetrace musí být parametr výšky přirozené číslo; například by bylo nelogické říkat „tři zvednuté k sobě záporné pětkrát“ nebo „čtyři zvednuté k sobě jednu polovinu času“. Avšak stejně jako lze sčítání, násobení a umocňování definovat způsoby, které umožňují rozšíření na reálná a komplexní čísla, bylo provedeno několik pokusů zobecnit tetraci na záporná čísla, reálná čísla a komplexní čísla. Jedním z takových způsobů, jak toho dosáhnout, je použití rekurzivní definice pro tetraci; pro jakékoli kladné reálné a nezáporné celé číslo můžeme rekurzivně definovat jako:

Rekurzivní definice je ekvivalentní opakované umocňování přirozených výšek; tato definice však umožňuje rozšíření do dalších výšin, jako jsou , a také - mnoho z těchto rozšíření je oblastmi aktivního výzkumu.

Terminologie

Existuje mnoho výrazů pro tetraci, z nichž každý má nějakou logiku, ale některé se z toho či onoho důvodu běžně nepoužívají. Zde je srovnání každého výrazu s jeho zdůvodněním a opodstatněním.

  • Termín tetrace , zavedený Goodsteinem v jeho dokumentu Transfinite Ordinals z rekurzivní teorie čísel z roku 1947 (zobecnění rekurzivní báze reprezentace používané v Goodsteinově teorémě k použití vyšších operací), získal dominanci. To bylo také propagováno v Rudy Rucker je Nekonečno a mysl .
  • Termín superexponentiation publikoval Bromer ve svém příspěvku Superexponentiation v roce 1987. Dříve jej použil Ed Nelson ve své knize Predicative Arithmetic, Princeton University Press, 1986.
  • Termín hyperpower je přirozená kombinace hyper a síly , která výstižně popisuje tetraci. Problém spočívá ve významu hyper s ohledem na sekvenci hyperoperace . Při zvažování hyperoperací se termín hyper vztahuje na všechny pozice a termín super se vztahuje na stupeň 4 nebo tetraci. Takže na základě těchto úvah hypermocností je zavádějící, neboť se vztahuje pouze na tetration.
  • Příležitostně se používá termín power tower , ve tvaru „power tower řádu n “ pro . Toto je však nesprávné pojmenování, protože tetraci nelze vyjádřit pomocí iterovaných mocninných funkcí (viz výše), protože se jedná o iterovanou exponenciální funkci.

Částečně díky určité sdílené terminologii a podobné notační symbolice je tetrace často zaměňována s úzce souvisejícími funkcemi a výrazy. Zde je několik souvisejících výrazů:

Pojmy související s tetrací
Terminologie Formulář
Tetrace
Iterované exponenciály
Vnořené exponenciály (také věže)
Nekonečné exponenciály (také věže)

V prvních dvou výrazech a je základna a počet výskytů a je výška (přidejte jeden pro x ). Ve třetím výrazu, n je výška , ale každý z bází se liší.

Při odkazování na iterované exponenciály je třeba být opatrný, protože je běžné nazývat výrazy této formy iterovanou exponentiaci, která je nejednoznačná, protože to může znamenat buď iterované mocniny, nebo iterované exponenciály .

Zápis

K vyjádření tetrace lze použít mnoho různých stylů zápisu. Některé notace lze také použít k popisu jiných hyperoperací , zatímco některé jsou omezeny na tetraci a nemají žádné okamžité prodloužení.

Styly zápisu pro tetraci
název Formulář Popis
Záznam Rudy Ruckera Používají Maurer [1901] a Goodstein [1947]; Kniha Rudyho Ruckera Nekonečno a mysl popularizovala notaci.
Knuthova šipka nahoru Umožňuje rozšíření vložením více šipek nebo ještě efektivněji indexovaných šipek.
Conway zřetězený notový šíp Umožňuje prodloužení zvýšením čísla 2 (ekvivalent s výše uvedenými rozšířeními), ale také, ještě silněji, prodloužením řetězu
Ackermannova funkce Umožňuje zapsat speciální případ z hlediska funkce Ackermann.
Iterovaný exponenciální zápis Umožňuje jednoduché rozšíření iterovaných exponenciálů z počátečních hodnot jiných než 1.
Hooshmandovy notace Používá MH Hooshmand [2006].
Hyperoperation notace Umožňuje rozšíření zvýšením čísla 4; to dává rodině hyperoperací .
Zápis dvojitého stříška a^^n Protože šipka nahoru se používá stejně jako stříška ( ^), tetrace může být zapsána jako ( ^^); vhodné pro ASCII .

Jeden zápis výše používá iterovaný exponenciální zápis; toto je definováno obecně takto:

s n a s.

Pro iterované exponenciály není tolik zápisů, ale zde je několik:

Styly zápisu pro iterované exponenciály
název Formulář Popis
Standardní zápis Euler razil notaci a iterační notace existuje přibližně stejně dlouho.
Knuthova šipka nahoru Umožňuje superschopnosti a superexponenciální funkce zvýšením počtu šipek; použitý v článku o velkých počtech .
Zápis textu exp_a^n(x) Na základě standardního zápisu; vhodné pro ASCII .
J Zápis x^^:(n-1)x Opakuje umocnění. Viz J (programovací jazyk)

Příklady

Vzhledem k extrémně rychlému růstu tetrace je většina hodnot v následující tabulce příliš velká na to, aby se daly zapsat do vědecké notace. V těchto případech se k vyjádření v základu 10 používá iterovaný exponenciální zápis. Hodnoty obsahující desetinnou čárku jsou přibližné.

Příklady tetrace
1 1 1 1 1
2 4 16 65 536 2 65 536 nebo (2,0035 × 10 19 728 )
3 27 7 625 597 484 987 (3,6 × 10 12 číslic)
4 256 1,34078 × 10 154 (8,1 × 10 153 číslic)
5 3,125 1,91101 × 10 2184 (1,3 × 10 2184 číslic)
6 46 656 2,65912 × 10 36,305 (2,1 × 10 36 305 číslic)
7 823 543 3,75982 × 10 695 974 (3,2 × 10 695 974 číslic)
8 16 777 216 6,01452 × 10 15,151,335 (5,4 × 10 15 151 335 číslic)
9 387 420 489 4,28125 × 10 369 693 099 (4,1 × 10 369 693 099 číslic)
10 10 000 000 000 10 000 000 000 (10 000 000 000 000 + 1 číslice)

Vlastnosti

Tetration má několik vlastností, které jsou podobné umocňování, a také vlastnosti, které jsou specifické pro operaci a jsou ztraceny nebo získány umocněním. Vzhledem k tomu, umocňování není dojíždět , pravidla produktů a elektřiny nemají analogii s tetration; prohlášení a ve většině případů nejsou pravdivé.

Tetrace však sleduje jinou vlastnost, ve které . Tato skutečnost je nejzřetelněji ukázána pomocí rekurzivní definice. Z této vlastnosti vyplývá důkaz , který umožňuje přepínání b a c v určitých rovnicích. Důkaz je následující:

Když jsou čísla x a 10 coprime , je možné vypočítat posledních m desítkových číslic pomocí Eulerovy věty pro jakékoli celé číslo m .

Směr hodnocení

Při hodnocení tetrace vyjádřené jako „věž umocnění“ se nejprve provede sériové umocnění na nejhlubší úrovni (v notaci, na vrcholu). Například:

Toto pořadí je důležité, protože umocňování není asociativní a vyhodnocení výrazu v opačném pořadí povede k jiné odpovědi:

Vyhodnocení výrazu zleva doprava je považováno za méně zajímavé; při vyhodnocování zleva doprava lze libovolný výraz zjednodušit . Z tohoto důvodu musí být věže hodnoceny zprava doleva (nebo shora dolů). Počítačoví programátoři tuto volbu označují jako asociativní vpravo .

Rozšíření

Tetraci lze prodloužit dvěma různými způsoby; v rovnici lze základ a a výšku n zobecnit pomocí definice a vlastností tetrace. Ačkoli základnu a výšku lze rozšířit za nezáporná celá čísla do různých domén , včetně komplexních funkcí, jako jsou výšky nekonečna n , omezenější vlastnosti tetrace snižují schopnost rozšířit tetraci.

Rozšíření domény o základny

Základna nula

Exponenciál není konzistentně definován. Tetrationy tedy nejsou jasně definovány výše uvedeným vzorcem. Je však dobře definován a existuje:

Mohli bychom tedy důsledně definovat . To je analogické definování .

V rámci tohoto rozšíření, takže pravidlo z původní definice stále platí.

Složité základy

Barevný graf, který ukazuje, jak se toto období zvětšuje
Tetrace podle období
Barevný graf, který ukazuje, že útěk je mnohem větší
Tetování útěkem

Protože komplexní čísla mohou být zvýšena na mocniny, tetrace může být aplikována na základy tvaru z = a + bi (kde a a b jsou reálná). Například v n z se z = i je tetrace dosažena pomocí hlavní větve přirozeného logaritmu; pomocí Eulerova vzorce získáme vztah:

To naznačuje rekurzivní definici pro n +1 i = a ′ + b′i vzhledem k libovolnému n i = a + bi :

Lze odvodit následující přibližné hodnoty:

Hodnoty tetrace komplexních bází
Přibližná hodnota
0,2079
0,9472 + 0,3208 i
0,0501 + 0,6021 i
0,3872 + 0,0305 i
0,7823 + 0,5446 i
0,1426 + 0,4005 i
0,5198 + 0,1184 i
0,5686 + 0,6051 i

Řešení inverzního vztahu, jako v předchozí části, poskytne očekávané 0 i = 1 a −1 i = 0 , přičemž záporné hodnoty n dávají nekonečné výsledky na imaginární ose. Vynesena v komplexní rovině se celá posloupnost spirálovitě pohybuje na hranici 0,4383 + 0,3606 i , což lze interpretovat jako hodnotu, kde n je nekonečné.

Takové tetrační sekvence byly studovány od doby Eulera, ale jsou špatně pochopeny kvůli jejich chaotickému chování. Většina publikovaných výzkumů se historicky zaměřila na konvergenci nekonečně iterované exponenciální funkce. Současnému výzkumu velmi prospěl příchod výkonných počítačů s fraktálním a symbolickým matematickým softwarem. Hodně z toho, co je známo o tetraci, pochází z obecných znalostí komplexní dynamiky a specifického výzkumu exponenciální mapy.

Rozšíření domény o různé výšky

Nekonečné výšky

Čárový graf s rychlou křivkou vzhůru, jak se základna zvětšuje
nekonečně iterovaných exponenciálních konvergencí pro báze
Trojrozměrný karteziánský graf s bodem uprostřed
Funkce na komplexní rovině, zobrazující nekonečně iterovanou exponenciální funkci v reálné hodnotě (černá křivka)

Tetraci lze prodloužit do nekonečných výšin; tj. pro určité hodnoty a a n v existuje dobře definovaný výsledek pro nekonečné n . Důvodem je, že pro báze v určitém intervalu tetrace konverguje k konečné hodnotě, protože výška má sklon k nekonečnu . Například konverguje k 2, a lze tedy říci, že se rovná 2. Trend směrem k 2 lze vidět na vyhodnocení malé konečné věže:

Obecně platí, že nekonečně iterovaný exponenciál , definovaný jako limita, jak n jde do nekonečna, konverguje pro e - exe 1/ e , zhruba v intervalu od 0,066 do 1,44, výsledek ukazuje Leonhard Euler . Limit, pokud existuje, je kladné skutečné řešení rovnice y = x y . Tedy x = y 1/ r . Limit definující nekonečný exponenciál x neexistuje, když x > e 1/ e, protože maximum y 1/ y je e 1/ e . Limit také neexistuje, když 0 < x < e - e .

To lze rozšířit na komplexní čísla z s definicí:

kde W představuje Lambertovu W funkci .

Protože limit y = x (pokud existuje na kladné reálné přímce, tj. Pro e - exe 1/ e ) musí splňovat x y = y , vidíme, že xy = x je (spodní větev ) inverzní funkce yx = y 1/ y .

Negativní výšky

Pro tetraci můžeme použít rekurzivní pravidlo,

dokázat :

Dosazením −1 za k dostaneme

.

Menší záporné hodnoty nelze tímto způsobem dobře definovat. Substituce −2 pro k ve stejné rovnici dává

což není dobře definováno. Někdy je však lze považovat za sady.

Pro jakékoliv definice je v souladu s pravidlem následujících důvodů

pro jakékoli .

Skutečné výšky

V současné době neexistuje obecně přijímané řešení obecného problému rozšíření tetrace na skutečné nebo komplexní hodnoty n . K tomuto problému však existovalo několik přístupů a různé přístupy jsou popsány níže.

Obecně platí, že problém je najít - pro skutečný A > 0 - A super-exponenciální funkce přes skutečný x > -2 , že splňuje

  • pro všechny skutečné

K nalezení přirozenějšího rozšíření je obvykle vyžadován jeden nebo více dalších požadavků. Obvykle se jedná o sbírku následujících položek:

  • Požadavek kontinuity (obvykle je to spojitý v obou proměnných pro ).
  • Diferencovatelnost požadavek (může být jednou, dvakrát, K krát nebo nekonečně diferencovatelné v x ).
  • Požadavek pravidelnosti (což znamená dvakrát diferencovatelný v x ), který:
pro všechny

Čtvrtý požadavek se liší autor od autora a mezi přístupy. Existují dva hlavní přístupy k rozšíření tetrace na skutečné výšky; jedna je založena na pravidelnosti požadavku, a je založen na diferencovatelnost požadavku. Tyto dva přístupy se zdají být tak odlišné, že je nelze sladit, protože přinášejí výsledky, které jsou navzájem v rozporu.

Když je definován pro interval délky jedna, celá funkce snadno následuje pro všechna x > −2 .

Lineární aproximace pro skutečné výšky
Čárový graf s nakresleným číslem podobným křivce S s hodnotami ve třetím kvadrantu, které jdou rychle dolů a hodnoty v prvním kvadrantu jdou rychle nahoru
pomocí lineární aproximace

Lineární aproximace (roztok požadavku kontinuity, aproximace požadavku diferencovatelnost) je dána vztahem:

proto:

Hodnoty lineární aproximace
Přiblížení Doména
pro −1 < x <0
pro 0 < x <1
pro 1 < x <2

a tak dále. Je však rozlišitelný pouze po částech; při celočíselných hodnotách x se derivát vynásobí . Je průběžně diferencovatelný, pokud a pouze pokud . Například pomocí těchto metod a

Hlavní věta v Hooshmandově článku uvádí: Nechť . Pokud je spojitý a splňuje podmínky:

  • je diferencovatelný na (−1, 0) ,
  • je neklesající nebo nerostoucí funkce na (−1, 0) ,

pak je jednoznačně určen pomocí rovnice

kde značí desetinnou část x a je - iterated funkce funkce .

Důkazem je, že druhá až čtvrtá podmínka triviálně naznačuje, že f je lineární funkce na [−1, 0] .

Lineární aproximace funkce přirozené tetrace je spojitě diferencovatelná, ale její druhá derivace neexistuje při celočíselných hodnotách jejího argumentu. Hooshmand pro něj odvodil další větu o jedinečnosti, která uvádí:

Pokud je spojitá funkce, která splňuje:

  • je konvexní na (−1, 0) ,

potom . [Zde je Hooshmandovo jméno pro lineární aproximaci funkce přirozené tetrace.]

Důkaz je téměř stejný jako dříve; rekurzivní rovnice to zajistí a potom podmínka konvexity znamená, že je lineární na (−1, 0) .

Proto je lineární aproximace k přirozené tetration je jediným řešením rovnice a , který je konvexní v (-1, + ∞) . Všechna ostatní dostatečně diferencovatelná řešení musí mít inflexní bod na intervalu (−1, 0) .

Aproximace vyšších řádů pro skutečné výšky
Dvojice čárových grafů, přičemž jeden je nakreslen modře, vypadá podobně jako sinusová vlna, která má klesající amplitudu, jak se hodnoty podél osy x zvyšují, a druhá je červená čára, která přímo spojuje body podél těchto křivek s úsečkami
Porovnání lineárních a kvadratických aproximací (červeně a modře) funkce od x = -2 do x = 2

Kromě lineárních aproximací je kvadratická aproximace (k požadavku diferencovatelnosti) dána vztahem:

který je diferencovatelný pro všechny , ale ne dvakrát diferencovatelný. Například, Pokud je to stejná jako lineární aproximace.

Vzhledem ke způsobu výpočtu se tato funkce „nezruší“, na rozdíl od exponentů, kde . A to,

.

Stejně jako existuje kvadratická aproximace, existují také kubické aproximace a metody generalizace na aproximace stupně n , i když jsou mnohem těžkopádnější.

Složité výšky

Složitý graf ukazující hodnoty houby podél osy x
Kresba analytického prodloužení tetrace do komplexní roviny. Úrovně a úrovně jsou znázorněny silnými křivkami.

Nyní bylo prokázáno, že existuje jedinečná funkce F, která je řešením rovnice F ( z + 1) = exp ( F ( z )) a splňuje další podmínky, že F (0) = 1 a F ( z ) se blíží pevným bodům logaritmu (zhruba 0,318 ± 1,337 i ), když se z blíží ± i a že F je holomorfní v celé komplexní z -rovině, kromě části skutečné osy v z ≤ −2 . Tento důkaz potvrzuje předchozí domněnku . Konstrukci takové funkce původně předvedl Kneser v roce 1950. Složitá mapa této funkce je znázorněna na obrázku vpravo. Důkaz funguje i pro jiné báze kromě e , pokud je základna větší než . Následné práce rozšířily stavbu na všechny složité základny. Složitá aproximace této funkce s dvojitou přesností je k dispozici online.

Požadavek holomorfního tetování je důležitý pro jeho jedinečnost. Mnoho funkcí S lze konstruovat jako

kde α a β jsou skutečné sekvence, které se rozpadají dostatečně rychle na to, aby zajistily konvergenci řady , alespoň při mírných hodnotách Im  z .

Funkce S splňuje tetrační rovnice S ( z + 1) = exp ( S ( z )) , S (0) = 1 , a pokud se α n a β n přiblíží 0 dostatečně rychle, bude analytická na sousedství kladného skutečná osa. Pokud však některé prvky { α } nebo { β } nejsou nulové, pak funkce S má v komplexní rovině mnoho dalších singularit a linií, kvůli exponenciálnímu růstu sin a cos podél imaginární osy; čím menší jsou koeficienty { α } a { β } , tím vzdálenější jsou tyto singularity od skutečné osy.

Rozšíření tetrace do komplexní roviny je tedy zásadní pro jedinečnost; real-analytický tetration není ojedinělý.

Neelementární rekurzivita

Tetration (omezeno na ) není elementární rekurzivní funkce . Lze indukcí dokázat, že pro každou elementární rekurzivní funkci f existuje konstanta c taková, že

Označujeme pravou stranu vedle sebe . Předpokládejme naopak, že tetrace je elementární rekurzivní. je také elementární rekurzivní. Při výše uvedené nerovnosti existuje konstanta c taková, že . Tím , že to necháme , to je rozpor.

Inverzní operace

Umocňování má dvě inverzní operace; kořeny a logaritmy . Analogicky jsou inverze tetrace často nazývány super-root a super-logaritmus (Ve skutečnosti všechny hyperoperace větší nebo rovné 3 mají analogické inverze); například ve funkci , dva inverzní jsou krychle super-kořen y a super logaritmus základ  y z x .

Super root

Super root je inverzní operace tetrace vzhledem k základně: pokud , pak y je n- tý super kořen x ( nebo ).

Například,

2 je tedy 4. super root z 65 536.

Čtvercový super root

Křivka, která začíná na (0,1), se mírně ohýbá doprava a poté se dramaticky ohýbá doleva, jak se hodnoty podél osy x zvyšují
Graf

2. pořadí super-kořen , čtvercový super-kořen , nebo Super druhá odmocnina má dvě rovnocenné notace, a . Je to převrácená hodnota a může být reprezentována funkcí Lambert W :

Funkce také ilustruje reflexní povahu kořenových a logaritmických funkcí, protože níže uvedená rovnice platí pouze tehdy, když :

Stejně jako odmocniny nemusí mít druhá odmocnina z x jediné řešení. Na rozdíl od odmocnin může být určení počtu druhých mocnin odmocniny x obtížné. Obecně platí, že pokud , pak x má dva kladné odmocniny mezi 0 a 1; a pokud , pak x má jeden kladný odmocninový super-root větší než 1. Pokud x je kladný a menší než nemá žádné skutečné odmocniny super-root , ale výše uvedený vzorec dává spočítatelně nekonečně mnoho složitých pro jakékoli konečné x nerovná se 1. Funkce byla použita k určení velikosti datových klastrů .

Na adrese :

Další super kořeny

Čárový graf, který začíná na počátku a rychle vytváří asymptotu směrem k 2, jak se hodnota podél osy x zvyšuje
Graf

Pro každé celé číslo n > 2 , je funkce n x je definována a zvýšení pro x ≥ 1 , a n 1 = 1 , tak, že n th super-kořen x , , existuje pro x ≥ 1 .

Jedním z jednodušších a rychlejších vzorců pro superkoren třetího stupně je rekurzivní vzorec, pokud: „x ^ x ^ x = a“ a dále x (n + 1) = exp (W (W (x (n ) * ln (a)))), například x (0) = 1.

Je -li však použita výše uvedená lineární aproximace , pak pokud −1 < y ≤ 0 , nemůže existovat.

Stejným způsobem jako čtvercový superkořen lze terminologii pro jiné superkořenové kořeny zakládat na normálních kořenech : „superkořenové krychle“ lze vyjádřit jako ; „4. superkořen“ lze vyjádřit jako ; a " n th super-root" je . Všimněte si, že to nemusí být jednoznačně definováno, protože může existovat více než jeden n -tý root. Například x má jeden (skutečný) super root, pokud n je liché , a až dva, pokud n je sudé .

Stejně jako v případě rozšíření tetrace do nekonečných výšek lze superkořen rozšířit na n = ∞ , přičemž je dobře definován, pokud 1/ exe . Všimněte si toho a tím i toho . Když je tedy dobře definován a na rozdíl od normální tetrace je elementární funkcí . Například .

Z Gelfond-Schneider teorém , že super-kořen pro všechny kladné číslo n je buď celé nebo transcendentální , a je buď celé nebo nerozumný. Je stále otevřenou otázkou, zda jsou iracionální superkořeny ve druhém případě transcendentální.

Super logaritmus

Jakmile je vybrána souvislá rostoucí (v x ) definice tetrace, x a , je odpovídající super-logaritmus nebo definován pro všechna reálná čísla x a a > 1 .

Funkce slog a x splňuje:

Otevřené otázky

Kromě problémů s rozšířením tetrace existuje několik otevřených otázek týkajících se tetrace, zejména pokud jde o vztahy mezi číselnými systémy, jako jsou celá čísla a iracionální čísla :

  • Není známo, zda existuje kladné celé číslo n, pro které n π nebo n e je celé číslo. Zejména není známo, zda je 4 π nebo 5 e celé číslo.
  • Není známo, zda n q je celé číslo pro jakékoli kladné celé číslo n a kladné neceločíselné racionální q . Například není známo, zda kladný kořen rovnice 4 x = 2 je racionální číslo.

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení