Thoralf Skolem - Thoralf Skolem

Thoralf Skolem
ThoralfSkolem-OB.F06426c.jpg
narozený ( 1887-05-23 )23. května 1887
Zemřel 23. března 1963 (1963-03-23)(ve věku 75)
Oslo , Norsko
Národnost Norský
Alma mater Univerzita v Oslu
Známý jako Skolemova – Noetherova věta
Löwenheim – Skolemova věta
Vědecká kariéra
Pole Matematik
Instituce Oslo University
Chr. Michelsenův institut
Doktorský poradce Axel Thue
Doktorandi Øystein Ruda

Thoralf Albert Skolem ( norský:  [ˈtùːrɑɫf ˈskùːlɛm] ; 23. května 1887 - 23. března 1963) byl norský matematik, který pracoval v matematické logice a teorii množin .

Život

Ačkoli Skolemův otec byl učitelem na základní škole, většina jeho širší rodiny byli zemědělci. Skolem navštěvoval střední školu v Kristianii (později přejmenované na Oslo ), kde v roce 1905 složil přijímací zkoušky na univerzitu. Poté nastoupil na Det Kongelige Frederiks Universitet ke studiu matematiky, přičemž absolvoval také kurzy fyziky , chemie , zoologie a botaniky .

V roce 1909 začal pracovat jako asistent fyzika Kristiana Birkelanda , známého bombardováním magnetizovaných koulí elektrony a získáváním účinků podobných polární záři ; první Skolemovy publikace byly tedy fyzikální práce napsané společně s Birkelandem. V roce 1913 složil Skolem státní zkoušky s vyznamenáním a dokončil disertační práci s názvem Vyšetřování algebry logiky . Cestoval také s Birkelandem do Súdánu, aby pozoroval zvěrokruhové světlo . Zimní semestr roku 1915 strávil na univerzitě v Göttingenu , v té době předním výzkumným centrem matematické logiky , metamatematiky a abstraktní algebry , oborů, ve kterých Skolem nakonec vynikal. V roce 1916 byl jmenován vědeckým pracovníkem na Det Kongelige Frederiks Universitet. V roce 1918 se stal docentem v matematice a byl zvolen do Norské akademie věd a dopisů .

Skolem se nejprve formálně nepřihlásil jako Ph.D. kandidát, věří, že Ph.D. bylo v Norsku zbytečné. Později změnil názor a v roce 1926 předložil diplomovou práci s názvem Některé věty o integrálních řešeních určitých algebraických rovnic a nerovností . Jeho pomyslným poradcem teze byl Axel Thue , přestože Thue zemřel v roce 1922.

V roce 1927 se oženil s Edith Wilhelmine Hasvold.

Skolem pokračoval ve výuce na Det kongelige Frederiks Universitet ( v roce 1939 přejmenován na univerzitu v Oslu ) až do roku 1930, kdy se stal vědeckým spolupracovníkem v Chr. Michelsen Institute v Bergenu . Tento vedoucí post umožnil Skolemu provádět výzkum bez administrativních a pedagogických povinností. Pozice však také vyžadovala, aby měl bydliště v Bergenu , městě, které tehdy postrádalo univerzitu, a proto nemělo žádnou výzkumnou knihovnu, takže nebyl schopen držet krok s matematickou literaturou. V roce 1938 se vrátil do Osla, aby převzal profesuru matematiky na univerzitě. Tam učil postgraduální kurzy algebry a teorie čísel a jen občas matematickou logiku. Skolem's Ph.D. student Øystein Ore pokračoval v kariéře v USA.

Skolem působil jako prezident Norské matematické společnosti a řadu let redigoval norský Matematisk Tidsskrift („Norský matematický časopis“). Byl také zakládajícím redaktorem Mathematica Scandinavica .

Po jeho odchodu do důchodu v roce 1957 podnikl několik cest do Spojených států, kde mluvil a učil na univerzitách. Intelektuálně aktivní zůstal až do své náhlé a neočekávané smrti.

Více o akademickém životě Skolema viz Fenstad (1970).

Matematika

Skolem publikoval kolem 180 dokumentů o Diophantine rovnic , teorie grup , příhradové teorie , a ze všeho nejvíc, teorie množin a matematické logiky . Většinou publikoval v norských časopisech s omezeným mezinárodním nákladem, takže jeho výsledky byli občas znovu objeveny ostatními. Příkladem je Skolem – Noetherova věta , charakterizující automorfismy jednoduchých algeber. Skolem vydal důkaz v roce 1927, ale Emmy Noether ho znovu objevila o několik let později.

Skolem byl mezi prvními, kdo psal na mříže . V roce 1912 jako první popsal volnou distribuční mřížku generovanou n prvky. V roce 1919 ukázal, že každá implikační mřížka (nyní také nazývaná Skolemova mřížka ) je distribuční a jako částečný opak, že každá konečná distribuční mřížka je implikační. Poté, co byly tyto výsledky znovu objeveny ostatními, vydal Skolem dokument z roku 1936 v němčině „Über gewisse 'Verbände' oder 'Lattices'“, mapující jeho dřívější práci v teorii mříží.

Skolem byl průkopníkem teoretiky modelu . V roce 1920 značně zjednodušil důkaz věty, kterou Leopold Löwenheim poprvé prokázal v roce 1915, což vedlo k Löwenheim – Skolemově větě , která říká, že pokud má počitatelná teorie prvního řádu nekonečný model, pak má počitatelný model. Jeho důkaz z roku 1920 používal zvolený axiom , ale později (1922 a 1928) dal důkaz pomocí Kőnigova lemmatu namísto tohoto axiomu. Je pozoruhodné, že Skolem, stejně jako Löwenheim, psal o matematické logice a teorii množin pomocí notace svých kolegů průkopnických teoretiků modelu Charlese Sanderse Peirce a Ernsta Schrödera , jako variabilně vázajících kvantifikátorů Π, Σ, na rozdíl od zápisů Peana , Principia Mathematica a Zásady matematické logiky . Skolem (1934) propagoval konstrukci nestandardních modelů aritmetiky a teorie množin.

Skolem (1922) upřesnil Zermelovy axiomy pro teorii množin nahrazením Zermelova neurčitého pojmu „definitivní“ vlastnosti jakoukoli vlastností, kterou lze kódovat v logice prvního řádu . Výsledný axiom je nyní součástí standardních axiomů teorie množin. Skolem také poukázal na to, že důsledkem věty Löwenheim – Skolem je nyní to, co je nyní známé jako Skolemův paradox : Pokud jsou Zermelovy axiomy konzistentní, pak musí být uspokojitelné v rámci spočitatelné oblasti, přestože dokazují existenci nepočitatelných množin.

Úplnost

Úplnost z logiky prvního řádu je důsledkem výsledků Skolem ověřeny roku 1920 a diskutovaných v Skolem (1928), ale nepodařilo se mu na vědomí tuto skutečnost, snad proto, že matematici a logici nestal plně vědomi úplnosti jako základní metamathematical problém do roku 1928, první vydání Hilberta a Ackermanna Zásady matematické logiky to jasně vyjádřilo. V každém případě Kurt Gödel poprvé prokázal tuto úplnost v roce 1930.

Skolem nedůvěřoval dokončenému nekonečnu a byl jedním ze zakladatelů finitismu v matematice. Skolem (1923) uvádí svou primitivní rekurzivní aritmetiku , velmi raný příspěvek k teorii vyčíslitelných funkcí , jako prostředek, jak se vyhnout takzvaným paradoxům nekonečna. Zde rozvinul aritmetiku přirozených čísel tak, že nejprve definoval objekty primitivní rekurzí a poté vymyslel jiný systém, který by prokázal vlastnosti objektů definovaných prvním systémem. Tyto dva systémy mu umožnily definovat prvočísla a stanovit značné množství teorie čísel. Pokud lze první z těchto systémů považovat za programovací jazyk pro definování objektů a druhý za programovací logiku pro dokazování vlastností objektů, lze na Skolema pohlížet jako na nevědomého průkopníka teoretické informatiky.

V roce 1929 Presburger dokázal, že aritmetika Peano bez násobení byla konzistentní , úplná a rozhodnutelná . Následující rok Skolem dokázal, že totéž platí o arnometice Peano bez přidání, systém pojmenovaný Skolem aritmetika na jeho počest. Gödelovým slavným výsledkem z roku 1931 je, že samotná aritmetika Peana (jak sčítáním, tak násobením) je nekompletní, a tudíž i posteriori nerozhodnutelná.

Hao Wang ocenil Skolemovu práci takto:

„Skolem má tendenci léčit obecné problémy na konkrétních příkladech. Často se zdálo, že předkládá důkazy ve stejném pořadí, v jakém je přišel objevovat. Výsledkem je svěží neformálnost a také určitá bezvýraznost. Mnoho z jeho prací na něj narazí jako na zprávy o pokroku. Přesto jsou jeho myšlenky často těhotné a potenciálně schopné širokého uplatnění. Byl do značné míry „svobodným duchem“: nepatřil do žádné školy, nenašel vlastní školu, obvykle příliš nevyužíval známé výsledky ... byl do značné míry inovátor a většina jeho prací může být čtena a srozumitelná těm, kteří nemají příliš specializované znalosti. Zdá se docela pravděpodobné, že kdyby byl dnes mladý, logika ... by ho nelákala. " (Skolem 1970: 17-18)

Více o Skolemových úspěších viz Hao Wang (1970).

Viz také

Reference

Hlavní

  • Skolem, Thoralf (1934). „Über die Nicht-charakterisierbarkeit der Zahlenreihe mittels endlich orer abzählbar unendlich vieler Aussagen mit ausschließlich Zahlenvariablen“ (PDF) . Fundamenta Mathematicae (v němčině). 23 (1): 150–161. doi : 10,4064/fm-23-1-150-161 .
  • Skolem, TA, 1970. Vybrané práce v logice , Fenstad, JE, ed. Oslo: Skandinávské univerzitní knihy. Obsahuje 22 článků v němčině, 26 v angličtině, 2 ve francouzštině, 1 anglický překlad článku původně publikovaného v norštině a kompletní bibliografii.

Spisy v anglickém překladu

  • Jean van Heijenoort , 1967. From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931 . Harvard Univ. Lis.
    • 1920. „Logicko-kombinatorické zkoumání uspokojivosti nebo prokazatelnosti matematických tvrzení: Zjednodušený důkaz věty od Löwenheima“, 252–263.
    • 1922. „Několik poznámek k axiomatizované teorii množin,“ 290-301.
    • 1923. „Základy elementární aritmetiky“, 302-33.
    • 1928. „O matematické logice,“ 508–524.

Sekundární

  • Brady, Geraldine, 2000. Od Peirce po Skolem . Severní Holandsko.
  • Fenstad, Jens Erik, 1970, „Thoralf Albert Skolem in Memoriam“ ve Skolemu (1970: 9–16).
  • Hao Wang, 1970, „Průzkum Skolemovy práce v logice“ ve Skolemu (1970: 17–52).

externí odkazy