Přílivové zrychlení - Tidal acceleration

Obraz Země a Měsíce z Marsu . Přítomnost Měsíce (který má asi 1/81 hmotnosti Země) zpomaluje rotaci Země a prodlužuje den o zhruba 2 milisekundy každých 100 let.

Přílivová akcelerace je účinek slapových sil mezi obíhající přírodní družicí (např. Měsíc ) a primární planetou , kterou obíhá (např. Země ). Zrychlení způsobuje postupnou recesi satelitu na progresivní oběžné dráze od primáře a odpovídající zpomalení rotace primáře. Tento proces nakonec vede k zablokování přílivu a odlivu , obvykle nejprve menšího těla a později většího těla. Systém Země-Měsíc je nejlépe prozkoumaným případem.

K podobnému procesu přílivového zpomalení dochází u satelitů, které mají orbitální periodu kratší než rotační perioda primáře nebo oběžnou dráhu v retrográdním směru.

Pojmenování je poněkud matoucí, protože průměrná rychlost satelitu vzhledem k tělu, kolem kterého obíhá, je snížena v důsledku přílivového zrychlení a zvýšena v důsledku přílivového zpomalení. K tomuto hlavolamu dochází, protože pozitivní zrychlení v jednom okamžiku způsobí, že se satelit během následujícího půl dráhy obíhá dále ven, čímž se sníží jeho průměrná rychlost. Pokračující pozitivní zrychlení způsobí, že se satelit bude otáčet směrem ven s klesající rychlostí a úhlovou rychlostí, což má za následek negativní zrychlení úhlu. Pokračující negativní zrychlení má opačný účinek.

Systém Země -Měsíc

Historie objevu sekulární akcelerace

Edmond Halley byl první, kdo v roce 1695 navrhl, že střední pohyb Měsíce se ve srovnání se starověkým pozorováním zatmění zjevně zrychlil , ale neposkytl žádná data. (V době Halleyho ještě nebylo známo, že to, co se ve skutečnosti děje, zahrnuje zpomalení rychlosti rotace Země: viz také čas Efemeris-historie . Když se měří jako funkce průměrného slunečního času, a ne rovnoměrného času, účinek se jeví jako pozitivní zrychlení.) V roce 1749 Richard Dunthorne potvrdil Halleyovo podezření po opětovném prozkoumání starověkých záznamů a vytvořil první kvantitativní odhad velikosti tohoto zjevného efektu: centuriální rychlost +10 ″ (arcsekund) v měsíční délce, což je na svou dobu překvapivě přesný výsledek, který se nijak výrazně neliší od hodnot posuzovaných později, např. v roce 1786 de Lalande, a pro srovnání s hodnotami od asi 10 ″ do téměř 13 ″ odvozených asi o století později.

Pierre-Simon Laplace vytvořil v roce 1786 teoretickou analýzu poskytující základ, na kterém by se měl průměrný pohyb Měsíce zrychlit v reakci na poruchy v excentricitě oběžné dráhy Země kolem Slunce . Laplaceův počáteční výpočet představoval celý efekt, takže se zdálo, že teorii úhledně spojuje s moderními i starověkými pozorováními.

Nicméně, v roce 1854, John Couch Adams způsobil, že otázka byla znovu otevřena tím, že našla chybu v Laplaceových výpočtech: ukázalo se, že pouze asi polovina zjevného zrychlení Měsíce mohla být na Laplaceově základě započítána změnou orbitální excentricity Země . Adamsův nález vyvolal ostrou astronomickou polemiku, která trvala několik let, ale správnost jeho výsledku, na které se shodli další matematičtí astronomové včetně CE Delaunaye , nakonec přijali. Otázka závisela na správné analýze měsíčních pohybů a byla další komplikací s dalším objevem, přibližně ve stejnou dobu, že další významná dlouhodobá porucha, která byla vypočítána pro Měsíc (pravděpodobně kvůli působení Venuše ), byla také omylem bylo při opakovaném zkoumání shledáno téměř zanedbatelným a prakticky muselo z teorie zmizet. Část odpovědi navrhli nezávisle v 60. letech 19. století Delaunay a William Ferrel : retardační přílivová rychlost rychlosti otáčení Země prodlužovala jednotku času a způsobovala pouze zdánlivé měsíční zrychlení.

Trvalo nějaký čas, než astronomická komunita přijala realitu a rozsah slapových efektů. Nakonec však vyšlo najevo, že se jedná o tři efekty, měřeno průměrným slunečním časem. Kromě účinků poruchových změn v orbitální excentricitě Země, které zjistil Laplace a opravil Adams, existují ještě dva slapové efekty (kombinace, kterou poprvé navrhl Emmanuel Liais ). Nejprve dochází ke skutečnému zpomalení úhlové rychlosti oběžného pohybu Měsíce v důsledku přílivové výměny momentu hybnosti mezi Zemí a Měsícem. To zvyšuje moment hybnosti Měsíce kolem Země (a posouvá Měsíc na vyšší oběžnou dráhu s nižší oběžnou rychlostí ). Za druhé, je zde patrný nárůst úhlové rychlosti oběžného pohybu Měsíce (měřeno průměrným slunečním časem). To vyplývá ze ztráty hybnosti hybnosti Země a následného prodloužení délky dne.

Diagram systému Země-Měsíc ukazuje, jak je přílivové boule tlačil dopředu o Zemi rotace očím. Tato ofsetová boule vyvíjí na Měsíc čistý točivý moment , zvyšuje jej a zpomaluje rotaci Země.

Účinky gravitace Měsíce

Protože hmotnost Měsíce je značným zlomkem hmotnosti Země (asi 1:81), lze tato dvě těla považovat spíše za systém dvojité planety než za planetu se satelitem. Rovina oběžné dráhy Měsíce kolem Země leží v blízkosti roviny oběžné dráhy Země kolem Slunce ( ekliptika ), nikoli v rovině rotace Země ( rovník ), jak je tomu obvykle u planetárních satelitů. Hmotnost Měsíce je dostatečně velká a je dostatečně blízko, aby zvedla příliv a odliv ve hmotě Země. Především mezi takové věci se voda z oceánů vyboulí ven i směrem k a pryč od Moon. Pokud by materiál Země reagoval okamžitě, došlo by k vyboulení přímo k Měsíci a od něj. V pevné Zemi dochází ke zpožděné reakci v důsledku rozptylu energie přílivu a odlivu. Oceány jsou složitější, ale dochází také ke zpoždění spojenému s rozptylem energie. Protože se Země otáčí rychleji než oběžná úhlová rychlost Měsíce. Zpoždění v reakcích způsobí, že přílivová boule bude přenesena dopředu. V důsledku toho je čára skrz obě vyboulení nakloněna vzhledem ke směru Země-Měsíc a vyvíjí točivý moment mezi Zemí a Měsícem. Tento točivý moment zvyšuje Měsíc na jeho oběžné dráze a zpomaluje rotaci Země.

V důsledku tohoto procesu se průměrný sluneční den, který musí mít 86 400 stejných sekund, ve skutečnosti prodlužuje, pokud se měří v SI sekundách se stabilními atomovými hodinami . (Sekunda SI, když byla přijata, byla již o něco kratší než aktuální hodnota sekundy průměrného slunečního času.) Malý rozdíl se hromadí v průběhu času, což vede ke zvětšujícímu se rozdílu mezi naším hodinovým časem ( světovým časem ) na jednom ruka, a atomový čas a efemeridový čas na druhé straně: viz ΔT . To vedlo k zavedení skokové sekundy v roce 1972, aby se vyrovnaly rozdíly v základech pro standardizaci času.

Kromě účinku přílivu a odlivu dochází také k přílivovému zrychlení v důsledku ohýbání zemské kůry, ale to představuje pouze asi 4% z celkového účinku, je -li vyjádřeno pomocí odvodu tepla.

Pokud by byly ignorovány jiné efekty, zrychlení přílivu a odlivu by pokračovalo, dokud by rotační období Země neodpovídalo oběžné době Měsíce. V té době byl Měsíc vždy nad jediným pevným místem na Zemi. Taková situace již existuje v systému Pluto - Charon . Ke zpomalení rotace Země však nedochází dostatečně rychle, aby se rotace prodloužila na měsíc, než to ostatní efekty učiní irelevantními: přibližně za 1 až 1,5 miliardy let od nynějška bude kontinuální nárůst slunečního záření pravděpodobně způsobovat odpaření oceánů Země , čímž se odstraní většina přílivového tření a zrychlení. I bez toho by zpomalení na měsíc dlouhý den nebylo ještě dokončeno za 4,5 miliardy let, kdy se Slunce pravděpodobně vyvine v červeného obra a pravděpodobně zničí Zemi i Měsíc.

Přílivová akcelerace je jedním z mála příkladů dynamiky sluneční soustavy takzvané sekulární poruchy orbity, tj. Poruchy, která se s časem kontinuálně zvyšuje a není periodická. Až do vysokého řádu aproximace způsobují vzájemné gravitační poruchy mezi velkými nebo vedlejšími planetami pouze periodické odchylky na jejich oběžných drahách, tj. Parametry oscilují mezi maximální a minimální hodnotou. Přílivový efekt vyvolává v rovnicích kvadratický člen, který vede k neomezenému růstu. V matematických teoriích planetárních drah, které tvoří základ efemeridů , se vyskytují kvadratické a vyšší řádové sekulární termíny, ale většinou se jedná o Taylorovy expanze velmi dlouhých periodických termínů. Důvodem, proč jsou přílivové efekty odlišné, je to, že na rozdíl od vzdálených gravitačních poruch je tření nezbytnou součástí přílivového zrychlení a vede k trvalé ztrátě energie z dynamického systému ve formě tepla . Jinými slovy, nemáme zde hamiltonovský systém .

Moment hybnosti a energie

Gravitační točivý moment mezi Měsícem a přílivovou boulí Země způsobuje, že Měsíc je neustále povyšován na mírně vyšší oběžnou dráhu a Země se ve své rotaci zpomaluje. Jako v každém fyzickém procesu v izolovaném systému je zachována celková energie a moment hybnosti . Účinně se energie a moment hybnosti přenášejí z rotace Země na orbitální pohyb Měsíce (většina energie ztracené Zemí (−3,78 TW) se však přeměňuje na teplo ztrátami třením v oceánech a jejich interakcí s pevná Země a na Měsíc se přenáší jen asi 1/30 (+0,121 TW)). Měsíc se pohybuje dále od Země (+38,30 ± 0,08 mm/rok), takže jeho potenciální energie, která je stále negativní (v zemské gravitační studni ), se zvyšuje, tj. Stává se méně negativní. Zůstává na oběžné dráze a z Keplerova 3. zákona vyplývá, že jeho průměrná úhlová rychlost ve skutečnosti klesá, takže přílivové působení na Měsíc ve skutečnosti způsobuje úhlové zpomalení, tj. Negativní zrychlení (−25,97 ± 0,05 "/století 2 ) jeho rotace kolem Země. Skutečná rychlost Měsíce také klesá. Přestože jeho kinetická energie klesá, jeho potenciální energie se zvyšuje o větší množství, tj. E p = -2E c ( Virová věta ).

Rotační moment hybnosti Země klesá a v důsledku toho se zvyšuje délka dne. Čistý příliv zvýšil na Zemi Měsíc se táhl dopředu Měsíce od Země je mnohem rychlejší rotace. K tažení a udržování boule před Měsícem je zapotřebí přílivové tření a jako teplo odvádí přebytečnou energii z výměny rotační a orbitální energie mezi Zemí a Měsícem. Pokud by nebylo přítomno tření a rozptyl tepla, gravitační síla Měsíce na přílivovou bouli by rychle (do dvou dnů) vrátila příliv zpět do synchronizace s Měsícem a Měsíc by již neustupoval. Většina disipace se vyskytuje v turbulentní spodní hraniční vrstvě v mělkých mořích, jako je evropská polička kolem Britských ostrovů , patagonská polička mimo Argentinu a Beringovo moře .

Ztráta energie přílivovým třením dosahuje v průměru asi 3,64 terawattu z 3,78 extrahovaných 3,78 terawattů, z toho 2,5 terawattu pochází z hlavní měsíční složky M 2 a zbytek z ostatních složek, lunárních i slunečních.

Rovnováha přílivové boule ve skutečnosti neexistuje na Zemi, protože kontinenty neumožňují toto matematické řešení uskutečnit. Oceánské přílivy a odlivy se ve skutečnosti otáčejí kolem oceánských pánví jako obrovské gyry kolem několika amfidromických bodů, kde žádný příliv neexistuje. Měsíc přitahuje každou jednotlivou vlnu, jak se Země otáčí - některé zvlnění jsou před Měsícem, jiné za ním, zatímco další jsou na obou stranách. „Vypukliny“, které ve skutečnosti existují, aby Měsíc přitáhl (a které přitahují Měsíc), jsou čistým výsledkem integrace skutečných vln ve všech světových oceánech. Zemský čistý (nebo ekvivalentní ) rovnovážný příliv má amplitudu pouhých 3,23 cm, což je zcela zaplaveno oceánskými přílivy a odlivy, které mohou přesáhnout jeden metr.

Historické důkazy

Tento mechanismus funguje 4,5 miliardy let, od doby, kdy se na Zemi poprvé vytvořily oceány, ale méně v dobách, kdy velkou nebo většinu vody tvořil led . Existují geologické a paleontologické důkazy o tom, že Země rotovala rychleji a že Měsíc byl v dávné minulosti blíže Zemi. Přílivové rytmy jsou střídající se vrstvy písku a bahna položené na moři z ústí řek s velkými přílivovými proudy. V depozitech lze nalézt denní, měsíční a sezónní cykly. Tento geologický záznam je v souladu s těmito podmínkami před 620 miliony let: den měl 21,9 ± 0,4 hodiny a bylo 13,1 ± 0,1 synodických měsíců/rok a 400 ± 7 slunečních dnů/rok. Průměrná míra recese na Měsíci byla tehdy a nyní 2,17 ± 0,31 cm/rok, což je přibližně polovina současné rychlosti. Současná vysoká rychlost může být způsobena blízkou rezonancí mezi přirozenými oceánskými frekvencemi a přílivovými frekvencemi.

Analýza vrstvení ve skořápkách fosilních měkkýšů před 70 miliony let, v období pozdní křídy , ukazuje, že tam bylo 372 dní v roce, a tedy že den měl tehdy asi 23,5 hodiny.

Kvantitativní popis případu Země – Měsíc

Pohyb Měsíce může s přesností několika centimetrů sledovat lunární laserový dálkoměr (LLR). Laserové impulsy se odrážejí od odrazných reflektorů rohových krychlových hran na povrchu Měsíce, umístěných během misí Apollo v letech 1969 až 1972 a pomocí Lunokhod 1 v roce 1970 a Lunokhod 2 v roce 1973. Měření doby návratu pulzu poskytuje velmi přesné měření vzdálenosti. Tato měření jsou přizpůsobena pohybovým rovnicím. To poskytuje číselné hodnoty sekulárního zpomalení Měsíce, tj. Záporného zrychlení, v zeměpisné délce a rychlosti změny semimajorové osy elipsy Země – Měsíc. Z období 1970–2015 jsou výsledky tyto:

−25,97 ± 0,05 arcsekundy/století 2 v ekliptické délce
+38,30 ± 0,08 mm/rok ve střední vzdálenosti Země -Měsíc

To je v souladu s výsledky satelitního laserového měření vzdálenosti (SLR), podobnou technikou aplikovanou na umělé satelity obíhající kolem Země, která poskytuje model pro gravitační pole Země, včetně přílivu a odlivu. Model přesně předpovídá změny v pohybu Měsíce.

Konečně dávná pozorování zatmění Slunce poskytuje v těchto okamžicích poměrně přesnou polohu Měsíce. Studie těchto pozorování poskytují výsledky konzistentní s výše uvedenou hodnotou.

Dalším důsledkem přílivového zrychlení je zpomalení rotace Země. Rotace Země je ve všech časových měřítcích (od hodin do staletí) poněkud nevyrovnaná z různých příčin. Malý přílivový efekt nelze pozorovat v krátkém období, ale kumulativní účinek na rotaci Země, měřený stabilními hodinami ( efemeridový čas , atomový čas ), který má výpadek dokonce několika milisekund každý den, se stane za několik století snadno patrný. Od nějaké události ve vzdálené minulosti uplynulo více dní a hodin (měřeno v plné rotaci Země) ( světový čas ), než by bylo měřeno stabilními hodinami kalibrovanými do současnosti, delší délka dne (efemeridový čas). Toto je známé jako ΔT . Nedávné hodnoty lze získat od International Earth Rotation and Reference Systems Service (IERS). K dispozici je také tabulka skutečné délky dne za posledních několik století.

Z pozorované změny na oběžné dráze Měsíce lze vypočítat odpovídající změnu délky dne:

+2,4 ms/d/století nebo +88 s/cy 2 nebo +66 ns/d 2 .

Z historických záznamů za posledních 2700 let je však nalezena následující průměrná hodnota:

+1,72 ± 0,03 ms/d/století nebo +63 s/cy 2 nebo +47 ns/d 2 . (tj. zrychlující příčina je zodpovědná za -0,7 ms/d/cy)

Při dvojnásobné integraci v průběhu času je odpovídající kumulativní hodnotou parabola mající koeficient T 2 (čas v staletích na druhou) ( 1 / 2 ) 63 s / cy 2  :

Δ T = ( 1 / 2 ) 63 s / cy 2 T 2 = 31 s / cy 2 T 2 .

Proti přílivovému zpomalení Země je mechanismus, který ve skutečnosti zrychluje rotaci. Země není koule, ale spíše elipsoid zploštělý na pólech. SLR ukázalo, že toto zploštění klesá. Vysvětlení je, že během doby ledové se na pólech shromáždily velké masy ledu a stlačily podložní skály. Masa ledu začala mizet před více než 10 000 lety, ale zemská kůra stále není v hydrostatické rovnováze a stále se vrací (relaxační čas se odhaduje asi na 4 000 let). V důsledku toho se polární průměr Země zvětšuje a rovníkový průměr se zmenšuje (objem Země musí zůstat stejný). To znamená, že se hmota pohybuje blíže k rotační ose Země a moment setrvačnosti Země klesá. Už jen tento proces vede ke zvýšení rychlosti rotace (jev točícího se krasobruslaře, který se při zatahování paží točí stále rychleji). Z pozorované změny momentu setrvačnosti lze vypočítat zrychlení otáčení: průměrná hodnota za historické období musela být asi −0,6 ms/století. To do značné míry vysvětluje historická pozorování.

Jiné případy přílivového zrychlení

Většina přírodních satelitů planet prochází do určité míry přílivovým zrychlením (obvykle malým), kromě dvou tříd přílivově zpomalených těl. Ve většině případů je však účinek dostatečně malý, že ani po miliardách let se většina satelitů ve skutečnosti neztratí. Efekt je pravděpodobně nejvýraznější u druhého měsíce Marsu Deimos , který se může stát asteroidem přecházejícím Zemi poté, co unikne ze sevření Marsu. Efekt také vzniká mezi různými složkami v binární hvězdě .

Přílivové zpomalení

Při přílivovém zrychlení (1) družice obíhá ve stejném směru jako (ale pomaleji než) rotace jejího mateřského tělesa. Bližší přílivová boule (červená) přitahuje satelit více než vzdálenější boule (modrá), přičemž ve směru oběžné dráhy přenáší čistou kladnou sílu (tečkované šipky ukazující síly rozdělené do jejích složek) a zvedá ji na vyšší oběžnou dráhu.
Při přílivovém zpomalení (2) s obrácenou rotací je čistá síla proti směru oběžné dráhy a snižuje ji.

Dodává se ve dvou odrůdách:

  1. Rychlé satelity : Některé vnitřní měsíce obřích planet a Phobos obíhají v poloměru synchronní oběžné dráhy, takže jejich oběžná doba je kratší než rotace jejich planety. Jinými slovy, obíhají kolem své planety rychleji, než se planeta otáčí. V tomto případě přílivové boule vyvolané měsícem na jejich planetě zaostávají za Měsícem a na jeho oběžné dráze jej zpomalují . Čistým efektem je rozpad oběžné dráhy tohoto měsíce, jak se postupně spirálovitě přibližuje k planetě. Rotace planety se v tomto procesu také mírně zrychluje. Ve vzdálené budoucnosti tyto měsíce zasáhnou planetu nebo se překročí v rámci jejich Rocheho limitu a budou přílivově rozrušeny na úlomky. Všechny tyto měsíce ve sluneční soustavě jsou však velmi malá tělesa a přílivové boule, které na planetě vyvinuly, jsou také malé, takže účinek je obvykle slabý a oběžná dráha se pomalu rozpadá. Ovlivněné měsíce jsou: Někteří předpokládají, že poté, co se Slunce stane červeným obrem, bude jeho rotace povrchu mnohem pomalejší a způsobí přílivové zpomalení všech zbývajících planet.
  2. Retrográdní satelity : Všechny retrográdní satelity do určité míry zažívají přílivové zpomalení, protože jejich orbitální pohyb a rotace jejich planety jsou v opačných směrech, což způsobuje obnovení sil z jejich přílivových boulí. Rozdíl oproti předchozímu případu „rychlého satelitu“ spočívá v tom, že rotace planety je také spíše zpomalena než zrychlena (moment hybnosti je stále zachován, protože v takovém případě mají hodnoty pro rotaci planety a měsíční revoluci opačné znaky). Jediným satelitem ve sluneční soustavě, u kterého je tento účinek nezanedbatelný, je Neptunův měsíc Triton . Všechny ostatní retrográdní satelity jsou na vzdálených oběžných drahách a slapové síly mezi nimi a planetou jsou zanedbatelné.

Předpokládá se, že Merkur a Venuše nemají žádné satelity, hlavně proto, že jakýkoli hypotetický satelit by už dávno utrpěl zpomalení a narazil do planet kvůli velmi pomalým rychlostem otáčení obou planet; kromě toho má Venuše také retrográdní rotaci.

Teorie

Velikost přílivové boule

Při zanedbání osového náklonu lze slapovou sílu, kterou satelit (například Měsíc) vyvíjí na planetu (jako je Země), popsat změnou její gravitační síly na vzdálenost od ní, když je tato síla považována za aplikovanou na jednotku hmotnost :

kde G je univerzální gravitační konstanta , m je hmotnost satelitu a r je vzdálenost mezi satelitem a planetou.

Satelit tedy vytváří na planetě rušivý potenciál, jehož rozdíl mezi středem planety a nejbližším (nebo nejvzdálenějším) bodem k satelitu je:

kde A je poloměr planety.

Velikost přílivové boule vytvořené na planetě lze odhadnout zhruba jako poměr mezi tímto rušivým potenciálem a gravitací povrchu planety:

Přesnější výpočet poskytuje:

za předpokladu, že zanedbáváme efekt druhého řádu kvůli tuhosti materiálu planety.

Pro systém Měsíc-Země ( m  = 7,3 x 10 22 kg, M  = 6 × 10 24 kg, A  = 6,4 × 10 6  m, r  = 3,8 × 10 8 ) to dává 0,7 metru, což je blízko skutečné hodnoty pro výška přílivu a odlivu (přibližně jeden metr).

Všimněte si toho, že se vytvoří dvě boule, jedna se soustředí zhruba kolem bodu nejblíže k satelitu a druhá se soustředí zhruba kolem bodu, který je od něj nejvzdálenější.

Točivý moment

Kvůli rotaci planety vyboulení poněkud zaostává za (?, Je před) osou planety a satelitu, což mezi nimi vytváří úhel . Velikost tohoto úhlu zpoždění závisí na setrvačnosti a (mnohem důležitější) na rozptylových silách (např. Tření) vyvíjených na vyboulení.

Družice působí na blízké a vzdálené vyboulení různými silami. Rozdíl je zhruba násobkem průměru planety, kde ve výše uvedeném výpočtu nahradíme jednotkovou hmotnost přibližnou hmotností každé vyboulení (kde ρ je hmotnostní hustota vyboulení):

kde jsme vzali v úvahu účinek úhlu zpoždění .

Abychom získali hrubý odhad točivého momentu, který satelit vyvíjí na planetu, musíme tento rozdíl vynásobit délkou páky (což je průměr planety) a sinusem úhlu zpoždění, přičemž dostaneme:

Přesnější výpočet přidává faktor 2/5 kvůli sférické formě planety a dává:

Vložení hodnoty H nalezené nad tímto je:

To lze zapsat jako:

Kde k je příbuzný faktor, který lze vyjádřit čísly lásky , s přihlédnutím k nejednotnosti hustoty hmotnosti planety; sem také vstupují opravy z důvodu tuhosti planety, výše zanedbané. Pro Zemi je většina vyboulení vyrobena z mořské vody a nemá žádnou korekci na tuhost, ale její hmotnostní hustota je 0,18 průměrné hustoty hmotnosti Země (1 g/cm 3 vs. 5,5 g/cm 3 ), takže . Literatura používá blízkou hodnotu 0,2 ( )

Podobný výpočet lze provést pro příliv a odliv, které na planetě vytvořilo Slunce. Zde by m mělo být nahrazeno hmotností Slunce a r vzdáleností od Slunce. Protože α závisí na rozptylových vlastnostech Země, očekává se, že bude pro oba stejné. Výsledný točivý moment je 20%, který vyvíjí Měsíc.

Vztah úhlu zpoždění k rozptylu energie

Práce, kterou satelit vykonává nad planetou, je vytvářena silou F působící po dráze pohybu hmotných jednotek pohybujících se rychlostí u na planetě (ve skutečnosti v bouli).

Síly a umístění závisí na relativním úhlu k ose planety-satelit θ , který se periodicky mění s momentem hybnosti Ω . Protože síla v sférickém souřadnicovém systému planety je symetrická ve směru k družici a v opačném směru (v obou je směrem ven), je závislost aproximována jako sinusová ve 2 θ . Síla působící na jednotkovou hmotnost má tedy tvar:

a překlad promítaný stejným směrem má tvar:

kvůli úhlu zpoždění. Složka rychlosti ve směru síly je tedy:

Celková práce vynaložená na jednotkovou hmotnost během jednoho cyklu je tedy:

Ve skutečnosti je téměř vše rozptýleno (např. Jako tření), jak je vysvětleno níže.

Když se nyní podíváme na celkovou energii ze satelitního potenciálu v jedné z vyboulení, toto se rovná celkové práci na tom provedené ve čtvrtině celkového úhlového rozsahu, tj. Od nuly do maximálního posunutí:

kde jsme definovali a aproximovali pro malé α v poslední rovnosti, čímž jsme ji zanedbali.

Podíl energie rozptýlené v každém cyklu je reprezentován efektivní specifickou funkcí rozptylu, označenou a definovanou jako celkový rozptyl v jednom cyklu děleno . To dává:

Hodnota tohoto se odhaduje na 1/13 pro zemní práce, kde je výduť je převážně tekutý, 10 -1 -10 -2 pro ostatní vnitřní planety a Měsíce, kde je výduť je především pevný, a jako 10 -3 -10 −5 pro vnější, většinou plynné planety.

S touto hodnotou pro Zemi po ruce lze vypočítat točivý moment 4,4 × 10 16 N m, což je pouze 13% nad naměřenou hodnotou 3,9 × 10 16 N m.

Všimněte si, že v dávné minulosti byla hodnota pro systém Země -Měsíc pravděpodobně o něco menší.

Zpomalení rotace planety

Opět zanedbání axiálního náklonu , Časová změna momentu hybnosti L planety se rovná točivému momentu. L je zase produktem úhlové rychlosti w s momentem setrvačnosti I .

Pro sférickou planetu s přibližně rovnoměrnou hmotnostní hustotou , kde f je faktor v závislosti na struktuře planety; sférická planeta rovnoměrné hustoty má f = 2/5 = 0,4. Od momentu hybnosti To dává:

Protože je hustota Země v hloubce větší, je její moment setrvačnosti poněkud menší, s f = 0,33.

Pro systém Země -Měsíc, přičemž 1/13 a k  = 0,2, dostaneme zpomalení rotace Země d Ω /d t = -4,5 × 10 −22 radiánů sec −2 = -924,37 "cy −2, což odpovídá na zrychlení délky dne (LOD) o 61 s/cy 2 nebo 1,7 ms/d/cy nebo 46 ns/d 2. Pro 24hodinový den to odpovídá nárůstu o 17 sekund za 1 milion let pro LOD, neboli 1 hodinu (tj. prodloužení dne o 1 hodinu) za 210 milionů let. Kvůli dodatečnému 20% účinku Slunce se den prodlouží o 1 hodinu za přibližně 180 milionů let. Tento výpočet je čistá teorie, nepředpokládá žádný rozptyl ani ukládání sil prostřednictvím třecího tepla, což je vzhledem k hmotám vzduchu, oceánům a tektonice nereálné . Podobně mohou předměty na oběžné dráze Země-Měsíc odvádět setrvačnost, například: 2020 CD3

Podobný výpočet ukazuje, že Země vyvinula moment hybnosti prostřednictvím přílivového tření na vlastní rotaci Měsíce, než se to stalo přílivově zablokováno . V té době, lze vypočítat změnu v Moon momentu hybnosti w stejným způsobem, jako u Q výše, kromě toho, že m a M je třeba je zapnutý, a by měl být nahrazen Měsíc poloměr si  = 1,7 x 10 6 metr. Vezmeme -li 10 −1 -10 −2 pro pevné planety a k  = 1, dojde ke zpomalení rotace Měsíce d ω /d t = -3 × 10 −17 -−3 × 10 −18 radiánů sec −2 . Pro 29,5 dnů dlouhé otáčení, to je ekvivalentní 1,5 - 15 minut v 1 rok, nebo 1 den 10 2 - 10 3 let. Měsíc se tak v astronomických časových intervalech velmi rychle zablokoval.

Vliv na pohyb satelitu kolem planety

Kvůli zachování hybnosti momentu je planeta na pohyb satelitu kolem planety vyvíjena točivým momentem stejné velikosti, jakou má satelit a opačného směru. Dalším efektem, který zde nebude řešen, jsou změny excentricity a sklonu orbity.

Moment setrvačnosti tohoto pohybu je m r 2 . Nyní však samotné r závisí na úhlové rychlosti, kterou zde označujeme n : podle newtonovské analýzy orbitálního pohybu :

Hybnost hybnosti družice na oběžné dráze ℓ tedy splňuje (zanedbává excentricitu ):

Navíc od té doby máme:

Všimněte si, že za předpokladu, že všechny rotace jsou ve stejném směru a Ω > ω , jak plyne čas, hybnost hybnosti planety klesá a tím se zvyšuje i oběžná dráha satelitu. Vzhledem ke svému vztahu k vzdálenosti planet-satelit se tato zvyšuje, takže úhlová rychlost oběžné dráhy satelitu klesá.

U systému Země-Měsíc d r /d t dává 1,212 × 10 −9 metru za sekundu (nebo nm/s), neboli 3,8247 cm za rok (nebo také m/cy) [ 24 ] . Jedná se o 1% nárůst vzdálenosti Země-Měsíc za 100 milionů let. Zpomalení Měsíce d n /d t je -1,2588 × 10 −23 radiánů s −2 nebo -25,858 “/cy 2 a po dobu 29,5 dnů (synodický měsíc) odpovídá nárůstu o 38 ms/ cy, nebo 7 minut za 1 milion let, nebo 1 den (tj. prodloužení lunárního období za 1 den) za 210 milionů let.

Účinek Slunce

Systém sluneční planety má dva přílivové třecí efekty. Jedním z efektů je, že Slunce vytváří na planetě přílivové tření, které snižuje jeho točivý moment hybnosti, a tím také zvyšuje jeho orbitální moment hybnosti kolem Slunce, a tím zvyšuje jeho vzdálenost a snižuje jeho úhlovou rychlost (za předpokladu orbitální úhlové rychlosti Slunce je menší než rotující planeta; jinak jsou směry změn opačné).

Pokud M S je hmotnost Slunce a D je jeho vzdálenost, pak je rychlost změny D dána, podobně jako ve výše uvedeném výpočtu, vztahem:

Orbitální úhlová rychlost planety, Ω S , se pak mění jako:

U systému Země-Slunce to dává 1 × 10 −13 metrů za sekundu, neboli 3 metry za 1 milion let. Jedná se o 1% nárůst vzdálenosti Země-Slunce za půl miliardy let. Zpomalení orbitální úhlové rychlosti Země je -2 × 10 −31 radiánů sec 2 nebo -410 × 10 −9 “/cy 2 , nebo ekvivalentně po dobu 1 roku, 1 sekundu za 1 miliardu let.

Dalším, relativně zanedbatelným, efektem je, že planeta vytváří ve Slunci slapové tření. To vytváří změnu vzdálenosti od Slunce a orbitální úhlové rychlosti kolem něj, stejně jako u satelitu v systému satelit-planeta. Pomocí stejných rovnic, ale nyní pro systém planeta-slunce, kde A S stojí pro poloměr Slunce (7 × 10 8 metrů), máme:

kde k S je faktor, pravděpodobně velmi malý, kvůli nerovnoměrnosti hustot hmoty Slunce. Za předpokladu, že tento faktor krát sin (2 α S ) být ne větší než to, co se nachází ve vnějších planet, tedy 10 -3 - 10 -5 , máme zanedbatelný příspěvek v tomto smyslu.

Podrobný výpočet pro systém Země -Měsíc

Potenciální porucha způsobená Měsícem na Zemi

Potenciál nebo potenciální energie na hmotnostní jednotku, kterou Měsíc vytváří na Zemi, jejíž střed se nachází ve vzdálenosti r 0 od Měsíce podél osy z , v referenčním rotačním systému Země – Měsíc a v souřadnicích se středem na Střed Země je:

kde je vzdálenost od Měsíce k těžišti soustavy Země – Měsíc, ω je úhlová rychlost Země kolem tohoto bodu (stejná jako měsíční orbitální úhlová rychlost). Druhý termín je efektivní potenciál způsobený odstředivou silou Země.

Rozšiřujeme potenciál v Taylorových sériích kolem bodu. Lineární člen musí zmizet (alespoň v průměru v čase), protože jinak by síla ve středu Země nezmizela. Tím pádem:

Přesunem na sférické souřadnice to dává:

kde jsou Legendrovy polynomy .

Konstantní člen nemá žádný mechanický význam, zatímco způsobuje pevnou dilataci, a není přímo zapojen do vytváření točivého momentu.

Soustředíme se tedy na ostatní termíny, jejichž součet označujeme , a hlavně na termín, který je největší, stejně jako je nejvýše poměr poloměru Země k její vzdálenosti od Měsíce, který je menší než 2%.

Forma vyboulení I: reakce na poruchový potenciál

S potenciálem vytvořeným Měsícem zacházíme jako s poruchou gravitačního potenciálu Země. Tak výšky na Zemi v místě s úhly , je:

kde a amplituda δ je úměrná poruchám. Rozšiřujeme δ v Legendrových polynomech, kde konstantní člen (což znamená dilataci) bude ignorován, protože nás to nezajímá. Tím pádem:

kde δ n jsou neznámé konstanty, které bychom chtěli najít.

Předpokládáme prozatím celkovou rovnováhu, stejně jako žádnou rigiditu na Zemi (např. Jako na kapalné Zemi). Proto je jeho povrch ekvipotenciální , a tak je konstantní, kde je potenciál Země na jednotku hmotnosti. Protože δ je úměrné , což je mnohem menší než V E , lze to rozšířit v δ . Upuštění nelineárních výrazů, které máme:

Všimněte si, že je to síla na jednotku hmotnosti od zemské gravitace, tj. Je to pouze gravitační zrychlení g .

Vzhledem k tomu, že Legendreovy polynomy jsou ortogonální , můžeme srovnat jejich koeficienty na obou stranách rovnice, přičemž:

Výška je tedy poměrem mezi poruchovým potenciálem a silou z narušeného potenciálu.

Forma boule II: deformace vytvářející poruchový potenciál

Doposud jsme zanedbávali skutečnost, že samotná deformace vytváří poruchový potenciál. Abychom to mohli vysvětlit, můžeme vypočítat tento poruchový potenciál, přepočítat deformaci a pokračovat iterativně.

Předpokládejme, že hmotnostní hustota je rovnoměrná. Protože δ je mnohem menší než A , lze deformaci považovat za tenkou skořápku přidanou k hmotnosti Země, kde má plášť povrchovou hmotnostní hustotu ρ δ (a může být také záporná), přičemž ρ je hmotnostní hustota ( není -li hmotnostní hustota rovnoměrná, pak změna tvaru planety vytváří rozdíly v rozložení hmotnosti ve všech hloubkách, a to je také třeba vzít v úvahu). Protože gravitační potenciál má stejnou formu jako elektrický potenciál, jedná se v elektrostatice o jednoduchý problém . Pro analogický elektrostatický problém má potenciál vytvořený pláštěm tvar:

kde hustota povrchového náboje je úměrná nespojitosti v gradientu potenciálu:

je permitivita vakua , konstanta relevantní pro elektrostatiku, vztahující se k rovnici . Analogická gravitační rovnice je , takže pokud je hustota náboje nahrazena hustotou hmotnosti, měla by být nahrazena .

V gravitačním problému tedy máme:

Takže opět kvůli ortogonalitě Legendrových polynomů:

Perturbační potenciál na jednotku hmotnosti pro je tedy:

Jelikož hmotnostní hustota Země ve skutečnosti není rovnoměrná, musí být tento výsledek vynásoben faktorem, který je zhruba poměrem hustoty výdutí a průměrné hmotnosti Země, přibližně 0,18. Skutečný faktor je o něco větší, protože v hlubších pevných vrstvách Země dochází také k určité deformaci. Označme tento faktor x . Tuhost také snižuje x , i když to je pro většinu boule, vyrobené z mořské vody, méně relevantní.

Deformace byla vytvořena poruchovým potenciálem velikosti . Pro každý koeficient je tedy poměr původního poruchového potenciálu k sekundárně vytvořenému deformací:

s x  = 1 pro dokonale netuhou uniformní planetu.

Tento sekundární poruchový potenciál vytváří další deformaci, která opět vytváří poruchový potenciál a tak dále ad infinitum, takže celková deformace má velikost:

Pro každý režim je poměr k δ n , naivní odhad deformace, a je označen jako Love číslo . U dokonale netuhé rovnoměrné planety (např. Kapalné Země nestlačitelné kapaliny) je to rovno a pro hlavní režim n  = 2 je 5/2.

Podobně n -tý režim slapového poruchového potenciálu na jednotku hmotnosti vytvořené Zemí při r = A je Love číslo k n krát odpovídající člen v původním lunárním přílivovém poruchovém potenciálu, kde pro rovnoměrnou hustotu hmoty planeta nulové tuhosti k n je:

U dokonale netuhé rovnoměrné planety (např. Tekuté Země nestlačitelné kapaliny) se to rovná 3/2. Ve skutečnosti je pro hlavní režim n   2 skutečná hodnota Země pětina, konkrétně k 2 = 0,3 (což odpovídá c 2 = 0,23 nebo x = 0,38, což je zhruba dvojnásobek hustotních poměrů 0,18).

Výpočet točivého momentu

Namísto výpočtu točivého momentu vyvíjeného Měsícem na deformaci Země vypočítáme reciproční točivý moment vyvíjený deformací Země na Měsíc; obojí musí být stejné.

Potenciál vytvořený vyboulením Země je poruchový potenciál, o kterém jsme diskutovali výše. Na jednotku hmotnosti pro r = A je to stejné jako lunární poruchový potenciál vytvářející bouli, přičemž každý režim je vynásoben k n , přičemž  potenciál n = 2 zdaleka dominuje potenciálu. Takže při r  =  A je vyboulený poruchový potenciál na jednotku hmotnosti:

protože n -režim klesá jako r -( n +1) pro r  >  A , máme mimo Zemi:

V důsledku rotace Země však vyboulení ve skutečnosti zaostává pod úhlem α vzhledem ke směru na Měsíc. Máme tedy:

Měsíc má r  =  r 0 , θ  = 0. Potenciál na jednotku hmotnosti na Měsíci je tedy:

Zanedbáním excentricity a osového náklonu získáme točivý moment vyvíjený boulí na Měsíci vynásobením: hmotností Měsíce m a diferenciací vzhledem k θ v místě Měsíce. To je ekvivalentní diferenciaci s ohledem na α a dává:

Jedná se o stejný vzorec použitý výše , s r  =  r 0 a k tam definované jako 2 K 2 /3.

Viz také

Reference

externí odkazy