Torzní tenzor - Torsion tensor

Torze podél geodetické.

V diferenciální geometrii , pojem torze je způsob charakterizace kroucení nebo šroub o pohyblivého rámu kolem křivky. Torzní křivky , jak se jeví ve vzorcích Frenetův-Serret , například, kvantifikuje kroucení křivky o jeho tangenciálním vektorem jako křivky vyvíjí (nebo spíše otáčení Frenetův-Serret rámu kolem tangenciálním vektorem). V geometrii povrchů popisuje geodetická torze způsob, jakým se povrch otáčí kolem křivky na povrchu. Doprovodný pojem zakřivení měří, jak se pohybující se rámy „válejí“ po křivce „bez kroucení“.

Obecněji řečeno, na diferencovatelné potrubí vybaveného afinní spojení (to znamená, že spojení na svazku tangenty ), torzní a zakřivení forma dva základní invarianty připojení. V této souvislosti torze poskytuje vnitřní charakteristiku toho, jak se tečné prostory točí kolem křivky, když jsou paralelně transportovány ; zatímco zakřivení popisuje, jak se tečné prostory válí podél křivky. Torzi lze popsat konkrétně jako tenzor nebo jako vektorovou hodnotu 2-formy na potrubí. Pokud ∇ je afinní spojení na diferenciálním potrubí , pak je torzní tenzor definován, pokud jde o vektorová pole X a Y , pomocí

${\ displaystyle T (X, Y) = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y]}$

kde [ X , Y ] je Lieova závorka vektorových polí .

Torze je zvláště užitečná při studiu geometrie geodetiky . Vzhledem k systému parametrizovaných geodetik lze určit třídu afinních spojení, která mají tyto geodetiky, ale liší se jejich torzemi. Existuje jedinečné spojení, které absorbuje torzi a zevšeobecňuje spojení Levi-Civita na jiné, možná nemetrické situace (například Finslerova geometrie ). Rozdíl mezi spojením s kroucením a odpovídající spojkou bez kroucení je tenzor, nazývaný tenzor kontorce . Absorpce torze také hraje zásadní roli při studiu G-struktur a Cartanovy metody ekvivalence . Torze je také užitečná při studiu neparametrizovaných rodin geodetik prostřednictvím souvisejícího projektivního spojení . V teorii relativity byly takové myšlenky implementovány ve formě Einstein-Cartanovy teorie .

Torzní tenzor

Nechť M je potrubí s afinním spojením na tangenciálním svazku (aka kovariantním derivátem ) ∇. Torzní tensor (někdy nazývaného Cartanovy ( torzní ) tenzor ) z ∇ je vektor-hodnotou 2-forma definovány na vektorových polí X a Y podle

${\ displaystyle T (X, Y): = \ nabla _ {X} Y- \ nabla _ {Y} X- [X, Y]}$

kde [ X , Y ] je Lieova závorka dvou vektorových polí. V zásadě Leibnizovy , T ( fX , Y ) = T ( X , fy ) = fT ( X , Y ) pro jakékoli hladké funkce f . Takže T je tenzorový , přesto, že jsou definovány, pokud jde o spojení , která je prvního řádu diferenciální operátor: dává 2-formuláře na tečných vektorů, zatímco kovariantní derivace je definována pouze pro vektorová pole.

Součásti torzního tenzoru

Složky torzní tenzoru , pokud jde o lokální bázi ( e ₁ , ..., e _n ), z úseků ze svazku tangenty lze odvodit nastavením X = e _i , Y = e _j a zavedením komutátoru koeficienty y ^k _ij e _k  : = [ e _i , e _j ] . Složky torze jsou tedy ${\ displaystyle T ^ {c} {} _ {ab}}$

${\ displaystyle T ^ {k} {} _ {ij}: = \ Gamma ^ {k} {} _ {ij} - \ Gamma ^ {k} {} _ {ji} - \ gamma ^ {k} {} _ {ij}, \ quad i, j, k = 1,2, \ ldots, n.}$

Zde jsou koeficienty připojení definující připojení. Je-li základem je holonomní pak lež závorky zmizí, . Takže . Zejména (viz níže), zatímco geodetické rovnice určují symetrickou část spojení, torzní tenzor určuje antisymetrickou část. ${\ displaystyle {\ Gamma ^ {k}} _ {ij}}$${\ displaystyle \ gamma ^ {k} {} _ {ij} = 0}$${\ displaystyle T ^ {k} {} _ {ij} = 2 \ Gamma ^ {k} {} _ {[ij]}}$

Torzní forma

Forma torzní alternativní charakterizace kroucení, se vztahuje na rámu svazku F M rozdělovači M . Tento hlavní svazek je vybaven připojovacím tvarem ω , jedno-formou s hodnotou gl ( n ), která mapuje vertikální vektory na generátory správné akce v gl ( n ) a ekvivariantně prolíná správnou akci GL ( n ) na tangensový svazek F M s adjunkční reprezentací na gl ( n ). Svazek rámců také nese kanonický jeden tvar θ, s hodnotami v R ⁿ , definovanými v rámci u ∈ F _x M (považováno za lineární funkci u  : R ⁿ → T _x M )

${\ displaystyle \ theta (X) = u ^ {- 1} (\ pi _ {*} (X))}$

kde π  : F M → M je projekční mapování pro hlavní svazek a π ∗ je jeho posun vpřed. Torzní forma je tedy

${\ displaystyle \ Theta = d \ theta + \ omega \ klín \ theta.}$

Ekvivalentně, Θ = Dθ , kde D je vnější kovariantní derivace určená spojením.

Torzní forma je (horizontální) tenzorová forma s hodnotami v R ⁿ , což znamená, že při správném působení g ∈ Gl ( n ) se transformuje ekvivariantně :

${\ displaystyle R_ {g} ^ {*} \ Theta = g ^ {- 1} \ cdot \ Theta}$

kde g působí na pravé straně prostřednictvím svého adjunktního zastoupení na R ⁿ .

Torzní forma v rámu

Torzní forma může být vyjádřena jako forma spojení na základním potrubí M , zapsaná v konkrétním rámci tangenciálního svazku ( e ₁ , ..., e _n ) . Forma připojení vyjadřuje vnější kovariantní derivaci těchto základních sekcí:

${\ displaystyle D \ mathbf {e} _ {i} = \ mathbf {e} _ {j} {\ omega ^ {j}} _ {i}.}$

Pájka forma pro svazku tangenty (vzhledem k tomuto rámu) je dvojí základ θ ⁱ ∈ T ^* M z e _i , takže θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j (dále Kroneckerovo delta ). Pak má torzní 2-forma komponenty

${\ displaystyle \ Theta ^ {k} = d \ theta ^ {k} + {\ omega ^ {k}} _ {j} \ klín \ theta ^ {j} = {T ^ {k}} _ {ij} \ theta ^ {i} \ klín \ theta ^ {j}.}$

Ve výrazu úplně vpravo

${\ displaystyle {T ^ {k}} _ {ij} = \ theta ^ {k} \ left (\ nabla _ {\ mathbf {e} _ {i}} \ mathbf {e} _ {j} - \ nabla _ {\ mathbf {e} _ {j}} \ mathbf {e} _ {i} - \ left [\ mathbf {e} _ {i}, \ mathbf {e} _ {j} \ right] \ right) }$

jsou rámové komponenty torzního tenzoru, jak je uvedeno v předchozí definici.

Dá se snadno ukázat, že Θ ⁱ transformuje tensorially v tom smyslu, že v případě, že jiný rámeček

${\ displaystyle {\ tilde {\ mathbf {e}}} _ {i} = \ mathbf {e} _ {j} {g ^ {j}} _ {i}}$

pro nějakou funkci invertible matrix-valued function ( g ^j _i ), then

${\ displaystyle {\ tilde {\ Theta}} ^ {i} = {\ left (g ^ {- 1} \ right) ^ {i}} _ {j} \ Theta ^ {j}.}$

Jinými slovy, Θ je tenzor typu (1, 2) (nesoucí jeden kontravariantní a dva kovariantní indexy).

Alternativně lze pájecí formu charakterizovat způsobem nezávislým na rámu jako T M -hodnota jedné formy θ na M odpovídající endomorfismu identity tangentního svazku pod dualitním izomorfismem Konec (T M ) ≈ T M ⊗ T ^∗ M . Pak je torzní 2-forma průřez

${\ displaystyle \ Theta \ v {\ text {Hom}} \ vlevo ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {2} {\ rm {T}} M, {\ rm {T}} M \ vpravo)}$

dána

${\ displaystyle \ Theta = D \ theta,}$

kde D je vnější kovariantní derivace . ( Další podrobnosti viz formulář připojení .)

Neredukovatelný rozklad

Torzní tenzor lze rozložit na dvě neredukovatelné části: část bez stop a další část, která obsahuje stopové členy. Pomocí indexové notace je stopa T dána vztahem

${\ displaystyle a_ {i} = T ^ {k} {} _ {ik},}$

a část bez stop je

${\ displaystyle B ^ {i} {} _ {jk} = T ^ {i} {} _ {jk} + {\ frac {1} {n-1}} \ delta ^ {i} {} _ {j } a_ {k} - {\ frac {1} {n-1}} \ delta ^ {i} {} _ {k} a_ {j},}$

kde δ ⁱ _j je Kroneckerova delta .

Jistě, jeden má

${\ displaystyle T \ in \ operatorname {Hom} \ left ({\ textstyle \ bigwedge} ^ {2} {\ rm {T}} M, {\ rm {T}} M \ right).}$

Stopa T , tr T , je prvek T ^∗ M definovaný následovně. Pro každý vektor fixovaný X ∈ T M , T definuje prvek T ( X ) Hom (T M , T M ) prostřednictvím

${\ displaystyle T (X): Y \ mapsto T (X \ klín Y).}$

Potom (tr T ) ( X ) je definována jako stopa tohoto endomorfismu. To znamená,

${\ displaystyle (\ operatorname {tr} \, T) (X) {\ stackrel {\ text {def}} {=}} \ operatorname {tr} (T (X)).}$

Část T bez stopy je tedy

${\ displaystyle T_ {0} = T - {\ frac {1} {n-1}} \ iota (\ operatorname {tr} \, T),}$

kde ι označuje produkt v interiéru .

Zakřivení a Bianchi identity

Zakřivení tensor z ∇ je mapování T M x T M → End (T M ) je definován na vektorových polí X , Y , a Z o

${\ displaystyle R (X, Y) Z = \ nabla _ {X} \ nabla _ {Y} Z- \ nabla _ {Y} \ nabla _ {X} Z- \ nabla _ {[X, Y]} Z .}$

U vektorů v bodě je tato definice nezávislá na tom, jak jsou vektory rozšířeny na vektorová pole od bodu (tedy definuje tenzor, podobně jako torze).

Tyto Bianchi identity se týkají zakřivení a torze následovně. Nechť značí cyklický součet nad X , Y , a Z . Například, ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ vlevo (R \ vlevo (X, Y \ vpravo) Z \ vpravo): = R (X, Y) Z + R (Y, Z) X + R (Z, X ) Y.}$

Pak platí následující identity

1. Bianchiho první identita:

   ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (R \ left (X, Y \ right) Z \ right) = {\ mathfrak {S}} \ left (T \ left (T (X, Y), Z \ right) + \ left (\ nabla _ {X} T \ right) \ left (Y, Z \ right) \ right)}$

2. Bianchiho druhá identita:

   ${\ displaystyle {\ mathfrak {S}} \ left (\ left (\ nabla _ {X} R \ right) \ left (Y, Z \ right) + R \ left (T \ left (X, Y \ right) , Z \ vpravo) \ vpravo) = 0}$

Forma zakřivení a Bianchi identity

Forma zakřivení je 2-forma s hodnotou gl ( n )

${\ displaystyle \ Omega = D \ omega = d \ omega + \ omega \ klín \ omega}$

kde D opět označuje vnější kovariantní derivaci. Pokud jde o formu zakřivení a formu torze, jsou odpovídající identity Bianchi

1. ${\ displaystyle D \ Theta = \ Omega \ klín \ theta}$
2. ${\ displaystyle D \ Omega = 0.}$

Kromě toho lze obnovit tenzory zakřivení a torze z forem zakřivení a torze následujícím způsobem. V bodě u F _x M má jeden

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} R (X, Y) Z & = u \ left (2 \ Omega \ left (\ pi ^ {- 1} (X), \ pi ^ {- 1} (Y) \ right) ) \ right) \ left (u ^ {- 1} (Z) \ right), \\ T (X, Y) & = u \ left (2 \ Theta \ left (\ pi ^ {- 1} (X) , \ pi ^ {- 1} (Y) \ right) \ right), \ end {zarovnáno}}}$

kde opět u  : R ⁿ → T _x M je funkce specifikující rámec ve vláknu a volba zdvihu vektorů pomocí π ⁻¹ je irelevantní, protože tvary zakřivení a kroucení jsou vodorovné (mizí na nejednoznačných svislých vektorech ).

Charakterizace a interpretace

V celé této části, M se předpokládá, že je diferencovatelná potrubí , a ∇ kovariantní derivace na svazku tangenty z M , pokud není uvedeno jinak.

Kroutění referenčních rámců

V klasické diferenciální geometrie křivek , jsou vzorce Frenetův-Serret popisují, jak konkrétní pohyblivý rám (rám Frenetův-Serret) nitě po křivce. Z fyzikálního hlediska odpovídá torze momentu hybnosti idealizovaného vrcholu směřujícího podél tečny křivky.

Případ potrubí s (metrickým) připojením připouští analogickou interpretaci. Předpokládejme, že se pozorovatel pohybuje podél geodetické vazby pro připojení. O takovém pozorovateli se obvykle uvažuje jako o setrvačnosti, protože nezažije žádné zrychlení . Předpokládejme, že navíc má pozorovatel u sebe systém tuhých přímých měřicích tyčí ( souřadnicový systém ). Každá tyč je přímý segment; geodetická . Předpokládejme, že každá tyč je paralelně transportována po trajektorii. Skutečnost, že tyto tyče jsou fyzicky neseny podél trajektorie, znamená, že jsou vlečeny lží nebo se šíří tak, že lhův derivát každé tyče podél tangenty zmizí. Mohou však zažít točivý moment (nebo torzní síly) analogický kroutícímu momentu pociťovanému horní částí rámu Frenet-Serret. Tato síla se měří kroucením.

Přesněji předpokládejme, že se pozorovatel pohybuje po geodetické dráze γ ( t ) a nese po ní měřicí tyč. Když se pozorovatel pohybuje po dráze, tyč vymetá povrch. Na této ploše jsou přirozené souřadnice ( t , x ) , kde t je doba parametru pozorovatele a x je poloha podél měřicí tyče. Podmínka, že tečna tyče by měla být rovnoběžně přeložena podél křivky, je

${\ displaystyle \ left. \ nabla _ {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} \ pravé | _ {x = 0} = 0.}$

V důsledku toho je torze dána vztahem

${\ displaystyle \ left.T \ left ({\ frac {\ částečné} {\ částečné x}}, {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ pravé) \ pravé | _ {x = 0} = \ vlevo. \ nabla _ {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} \ pravé | _ {x = 0}.}$

Pokud to není nula, pak označené body na tyči ( x = konstantní křivky) budou místo geodetik vysledovat helixy. Budou mít tendenci se otáčet kolem pozorovatele. Všimněte si, že pro tento argument nebylo podstatné, že jde o geodetiku. Jakákoli křivka by fungovala. ${\ displaystyle \ gamma (t)}$

Tato interpretace torze hraje roli v teorii teleparallelismu , také známé jako Einstein – Cartanova teorie , alternativní formulace teorie relativity .

Torze vlákna

Ve vědě o materiálech , zejména v teorii pružnosti , hrají důležitou roli také myšlenky torze. Jeden problém modeluje růst vinné révy a zaměřuje se na otázku, jak se vinicím daří kroužit kolem objektů. Samotná réva je modelována jako pár elastických vláken kroucených kolem sebe. Ve stavu minimalizace energie réva přirozeně roste ve tvaru šroubovice . Révu však lze také natáhnout, aby se maximalizoval její rozsah (nebo délka). V tomto případě torze révy souvisí s torzí dvojice vláken (nebo ekvivalentně s povrchovou torzí pásky spojující vlákna) a odráží rozdíl mezi délkově maximalizující (geodetickou) konfigurací révy a jeho konfigurace minimalizující energii.

Torze a vířivost

V dynamice tekutin je torze přirozeně spojena s vírovými čarami .

Geodetika a absorpce kroucení

Předpokládejme, že γ ( t ) je křivka na M . Pak γ je afinně parametrizovaná geodetika za předpokladu, že

${\ displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} (t) = 0}$

po celou dobu t v doméně γ . (Zde tečka označuje diferenciaci s ohledem na t , která se spojuje s y s tangenciálním vektorem směřující podél ní.) Každý geodetické je jednoznačně určena jeho počátečním tangenciálním vektorem v čase t = 0 , . ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (0)}$

Jedna aplikace torze spojení zahrnuje geodetický sprej spojení: zhruba rodina všech afinně parametrizovaných geodetik. Torze je nejednoznačnost klasifikace spojení z hlediska jejich geodetických postřiků:

• Dvě spojení ∇ a ∇ ′, která mají stejnou afinně parametrizovanou geodetiku (tj. Stejný geodetický sprej), se liší pouze torzí.

Přesněji řečeno, pokud X a Y jsou dvojice tečných vektorů v p ∈ M , pak nechť

${\ displaystyle \ Delta (X, Y) = \ nabla _ {X} {\ tilde {Y}} - \ nabla '_ {X} {\ tilde {Y}}}$

je rozdíl dvou spojení, počítaný z hlediska libovolného rozšíření X a Y od p . Podle pravidla produktu Leibniz je vidět, že Δ ve skutečnosti nezávisí na tom, jak jsou X a Y ′ rozšířeny (takže definuje tenzor na M ). Nechť S a A jsou symetrické a střídavé části Δ:

${\ displaystyle S (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ vlevo (\ Delta (X, Y) + \ Delta (Y, X) \ vpravo)}$

${\ displaystyle A (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ vlevo (\ Delta (X, Y) - \ Delta (Y, X) \ vpravo)}$

Pak

• ${\ displaystyle A (X, Y) = {\ tfrac {1} {2}} \ vlevo (T (X, Y) -T '(X, Y) \ vpravo)}$ je rozdíl torzních tenzorů.
• ∇ a ∇ ′ definují stejné rodiny afinně parametrizovaných geodetik právě tehdy, když S ( X , Y ) = 0 .

Jinými slovy, symetrická část rozdílu dvou spojů určuje, zda mají stejnou parametrizovanou geodetiku, zatímco šikmá část rozdílu je určena relativními torzemi obou spojů. Dalším důsledkem je:

• Vzhledem k jakémukoli afinnímu spojení ∇ existuje jedinečné torzní spojení ∇ ′ se stejnou rodinou afinně parametrizovaných geodetik. Rozdíl mezi těmito dvěma spojeními je ve skutečnosti tenzor, tenzor kontorze .

Toto je zobecnění základní věty o Riemannově geometrii na obecné afinní (možná nemetrické) spojení. Výběr jedinečného spojení bez kroucení podřízeného rodině parametrizovaných geodetik je známé jako absorpce kroucení a je to jedna z fází metody Cartanovy ekvivalence .

Viz také

• Contorsion tensor
• Přímé pole
• Tenzor zakřivení
• Připojení Levi-Civita
• Torzní koeficient
• Torze křivek

Poznámky

Reference

• Bishop, RL ; Goldberg, SI (1980), Tenzorová analýza na potrubích , Dover Publications
• Cartan, É. (1923), „Sur les variétés àconnexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)“ , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412
• Cartan, É. (1924), „Sur les variétés àconnexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)“ , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25
• Elzanowski, M .; Epstein, M. (1985), „Geometrická charakterizace hyperelastické uniformity“, Archiv pro racionální mechaniku a analýzu , 88 (4): 347–357, Bibcode : 1985ArRMA..88..347E , doi : 10,1007 / BF00250871
• Goriely, A .; Robertson-Tessi, M .; Tabor, M .; Vandiver, R. (2006), „Elastic growth models“ (PDF) , BIOMAT-2006 , Springer-Verlag , archivovány z originálu (PDF) 29. 12. 2006
• Hehl, FW; von der Heyde, P .; Kerlick, GD; Nester, JM (1976), „Obecná teorie relativity s rotací a torzí: základy a vyhlídky“ , Rev. Mod. Phys. , 48 , Bibcode : 1976RvMP ... 48..393H , doi : 10.1103 / revmodphys.48.393, 393.
• Kibble, TWB (1961), „Lorentzova invariance a gravitační pole“, J. Math. Phys. , 2 : 212–221, Bibcode : 1961JMP ..... 2..212K , doi : 10,1063 / 1,1703702212.
• Kobayashi, S .; Nomizu, K. (1963), Foundations of Differential Geometry , 1 & 2 (New ed.), Wiley-Interscience (publikováno 1996), ISBN 0-471-15733-3
• Poplawski, NJ (2009), Časoprostor a pole , arXiv : 0911.0334 , Bibcode : 2009arXiv0911.0334P
• Schouten, JA (1954), Ricci Calculus , Springer-Verlag
• Schrödinger, E. (1950), časoprostorová struktura , Cambridge University Press
• Sciama, DW (1964), „Fyzická struktura obecné relativity“ , Rev. Mod. Phys. , 36 : 463, Bibcode : 1964RvMP ... 36..463S , doi : 10,1103 / RevModPhys.36.463
• Spivak, M. (1999), A komplexní úvod do diferenciální geometrie, svazek II , Houston, Texas: Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3