Míra transcendence - Transcendence degree

V algebře se transcendence stupeň o rozšíření pole L / K je určitá poměrně hrubá míra „velikost“ prodloužení. Konkrétně, je definována jako největší mohutnosti z o algebraicky nezávislé podmnožiny z L přes K .

Podmnožina S o L je transcendence základ z L / K , je-li algebraicky nezávislý přes K a je-li navíc L je algebraický rozšíření polní K ( S ) (oblasti získané sousedící prvky S až K ). Lze ukázat, že každé rozšíření pole má transcendenční základ a že všechny transcendenční základy mají stejnou mohutnost; tato mohutnost se rovná stupni transcendence prodloužení a označuje se trdeg _K  L nebo trdeg ( L / K ).

Není -li zadáno žádné pole K, je stupeň transcendence pole L jeho stupeň vzhledem k prvnímu poli stejné charakteristiky , tj. Q, pokud L má charakteristiku 0, a F _p, pokud L má charakteristiku p .

Rozšíření pole L / K je čistě transcendentní v případě, že je podmnožina S o L , která je algebraicky nezávislý přes K a tak, že L = K ( S ).

Příklady

• Rozšíření je algebraické právě tehdy, je -li jeho stupeň transcendence 0; prázdná množina slouží jako základ transcendence zde.
• Pole racionálních funkcí v n proměnných K ( x ₁ , ..., x _n ) je čistě transcendentální rozšíření se stupněm transcendence n nad K ; můžeme například vzít { x ₁ , ..., x _n } jako transcendenční základnu.
• Obecněji, transcendenci stupeň funkce pole L o o n rozměrné algebraické rozmanitosti přes pozemní pole K je n .
• Q ( √2 , e ) má stupeň transcendence 1 nad Q, protože √2 je algebraický, zatímco e je transcendentální .
• Míra transcendence C nebo R přes Q je mohutnost kontinua . (To vyplývá z toho, že jakýkoli prvek má v Q pouze spočitatelně mnoho algebraických prvků , protože Q je sám spočítatelný.)
• Stupeň transcendence Q ( e , π ) nad Q je buď 1 nebo 2; přesná odpověď je neznámá, protože není známo, zda e a π jsou algebraicky nezávislé.
• Pokud S je kompaktní Riemann povrch , pole C ( S ) z meromorfní funkce na S má Transcendenci stupeň 1 nad C .

Analogie s rozměry vektorového prostoru

Existuje analogie s teorií dimenzí vektorového prostoru . Analogie porovnává algebraicky nezávislé množiny s lineárně nezávislými množinami ; množiny S takové, že L je algebraické vůči K ( S ) s překlenovacími množinami ; transcendenční základy se základy ; a stupeň transcendence s dimenzí. Skutečnost, že transcendenční báze vždy existují (jako skutečnost, že báze vždy existují v lineární algebře), vyžaduje axiom volby . Důkaz, že jakékoli dvě báze mají stejnou mohutnost, závisí v každém nastavení na výměnném lemmatu .

Tuto analogii lze formalizovat pozorováním, že lineární nezávislost ve vektorových prostorech a algebraická nezávislost v rozšířeních polí tvoří příklady matroidů , nazývaných lineární matroidy, respektive algebraické matroidy. Stupeň transcendence je tedy hodnostní funkcí algebraického matroidu. Každý lineární matroid je izomorfní na algebraický matroid, ale ne naopak.

Fakta

Pokud M / L je rozšíření pole a L / K je další rozšíření pole, pak transcendenci stupeň M / K se rovná součtu transcendence stupňů M / L a L / K . To je prokázáno tím, že ukazuje, že transcendence základem M / K je možno získat tím, že se spojení o transcendence základě M / l , a jeden z L / K .

Aplikace

Transcendenční báze jsou užitečným nástrojem k prokázání různých tvrzení o existenci polních homomorfismů. Zde je příklad: Daný algebraicky uzavřené pole L , je podpole K a pole Automorphism f z K , existuje pole automorphism L , která se rozprostírá f (tj, jehož omezení na K , je f ). Pro důkaz, jeden začíná transcendence bázi S of L / K . Prvky K ( S ) jsou jen kvocienty polynomů v prvcích S s koeficienty v K ; proto automorfismus f lze rozšířit na jeden z K ( S ) odesláním každého prvku S k sobě. Pole L je algebraická uzávěr z K ( S ) a algebraické uzávěry jsou jedinečné až izomorfismus; To znamená, že automorphism lze dále rozšířit z K ( S ) k L .

Jako další aplikace, můžeme ukázat, že existují (mnoho) řádné subfields z pole komplexního čísla C , které jsou (jako pole) isomorfní C . K důkazu, se transcendence plošnou S o C / Q . S je nekonečná (i nepočitatelná) množina, takže existuje (mnoho) map f : S → S, které jsou injektivní, ale nejsou surjektivní . Každou takovou mapu lze rozšířit na polní homomorfismus Q ( S ) → Q ( S ), který není surjektivní. Takový polní homomorfismus může být následně rozšířen na algebraický uzávěr C a výsledné polní homomorfismy C → C nejsou surjektivní.

Stupeň transcendence může poskytnout intuitivní pochopení velikosti pole. Například Siegelova věta uvádí, že je -li X kompaktní, spojený, komplexní soubor dimenzí n a K ( X ), označuje na něm pole (globálně definovaných) meromorfních funkcí , pak trdeg _C ( K ( X )) ≤  n .

Reference