Transcendentální funkce - Transcendental function

V matematiky , je transcendentní funkce je analytická funkce , která nemá uspokojit polynomické rovnice, na rozdíl k algebraické funkce . Jinými slovy, transcendentální funkce „překračuje“ algebru v tom smyslu, že ji nelze vyjádřit konečnou posloupností algebraických operací sčítání, odčítání, násobení, dělení, zvyšování na sílu a extrakci kořenů .

Mezi příklady transcendentálních funkcí patří exponenciální funkce , logaritmus a trigonometrické funkce .

Definice

Formálně je analytická funkce f ( z ) jedné reálné nebo komplexní proměnné z transcendentální, pokud je algebraicky nezávislá na této proměnné. To lze rozšířit na funkce několika proměnných.

Dějiny

Transcendentální funkce sine a kosinus byly tabelovány z fyzikálních měření ve starověku, jak dokazují Řecko ( Hipparchus ) a Indie ( jya a koti-jya ). Olaf Pedersen při popisu Ptolemaiovy tabulky akordů , ekvivalentní tabulce sinusů, napsal:

Matematický pojem kontinuity jako explicitního pojmu není Ptolemaiovi znám. To, že ve skutečnosti považuje tyto funkce za spojité, vyplývá z jeho nevysloveného předpokladu, že je možné určit hodnotu závislé proměnné odpovídající jakékoli hodnotě nezávislé proměnné jednoduchým procesem lineární interpolace .

Revoluční chápání těchto kruhových funkcí nastalo v 17. století a bylo vysvětleno Leonhardem Eulerem v roce 1748 v jeho Úvod do analýzy nekonečna . Tyto staří transcendentní funkce se stal známý jako spojité funkce prostřednictvím kvadratura z obdélníkového hyperboly xy = 1 podle Grégoirem de Saint-Vincent v roce 1647, dvě tisíciletí po Archimedův vyprodukovalo Kvadratura paraboly .

Ukázalo se, že oblast pod hyperbolou má vlastnost změny měřítka konstantní oblasti pro konstantní poměr hranic. Hyperbolické logaritmus funkce takto popsaný byl omezený provozu až do roku 1748, kdy Leonhard Euler to souvisí s funkcí, kde se konstantní zvýšenými na variabilní exponentem, jako je exponenciální funkce , kde je konstantní základna je e . Zavedením těchto transcendentálních funkcí a upozorněním na vlastnost bijekce, která implikuje inverzní funkci , bylo poskytnuto určité zařízení pro algebraické manipulace přirozeného logaritmu, i když nejde o algebraickou funkci.

Exponenciální funkce je zapsána . Euler to identifikoval s nekonečnou sérií , kde k ! označuje faktoriál o k . ${\ displaystyle \ exp (x) = e ^ {x}}$ ${\ textstyle \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} x ^ {k} / k!}$

Sudé a liché výrazy této řady poskytují součty označující cosh ( x ) a sinh ( x ), takže . Tyto transcendentální hyperbolické funkce lze převést na kruhové funkce sínus a kosinus zavedením (-1) ^k do řady, což má za následek střídání řad . Po Eulerovi, matematici nahlížejí na sinus a kosinus tímto způsobem, aby vztahovali transcendenci k logaritmu a exponentovým funkcím, často prostřednictvím Eulerova vzorce v aritmetice komplexních čísel . ${\ displaystyle e ^ {x} = \ cosh x + \ sinh x}$

Příklady

Následující funkce jsou transcendentální:

{\ displaystyle f_ {1} (x) = x ^ {\ pi}}

{\ displaystyle f_ {2} (x) = c ^ {x}}

{\ displaystyle f_ {3} (x) = x ^ {x}}

{\ displaystyle f_ {4} (x) = x ^ {\ frac {1} {x}} = {\ sqrt [{x}] {x}}}

{\ displaystyle f_ {5} (x) = \ log _ {c} x}

{\ displaystyle f_ {6} (x) = \ sin {x}}

Zejména pro f _2, pokud nastavíme c rovné e , základ přirozeného logaritmu , dostaneme, že e ^x je transcendentální funkce. Podobně, pokud nastavíme c rovné e ve f ₅ , dostaneme, že (tj. Přirozený logaritmus ) je transcendentální funkce. ${\ displaystyle f_ {5} (x) = \ log _ {e} x = \ ln x}$

Algebraické a transcendentální funkce

Nejznámějšími transcendentálními funkcemi jsou logaritmus , exponenciální (s jakoukoli netriviální základnou), trigonometrická a hyperbolická funkce a inverze všech těchto funkcí. Méně známé jsou speciální funkce z analýzy , jako je například gama , eliptické a zeta funkce , z nichž všechny jsou transcendentální. Tyto všeobecné Hypergeometrické a Besselovy funkce jsou transcendentální obecně, ale pro některé speciální algebraické hodnoty parametrů.

Funkce, která není transcendentální, je algebraická . Jednoduchými příklady algebraických funkcí jsou racionální funkce a funkce odmocniny , ale obecně nelze algebraické funkce definovat jako konečné vzorce elementárních funkcí.

Neurčitý integrál mnoha algebraických funkcí je transcendentální. Například funkce logaritmu vznikla z reciproční funkce ve snaze najít oblast hyperbolického sektoru .

Diferenciální algebra zkoumá, jak integrace často vytváří funkce, které jsou algebraicky nezávislé na nějaké třídě, například když jeden bere polynomy s trigonometrickými funkcemi jako proměnné.

Transcendentálně transcendentální funkce

Nejznámějšími transcendentálními funkcemi, včetně speciálních funkcí matematické fyziky, jsou řešení algebraických diferenciálních rovnic . Ty, které nejsou, jako jsou funkce gama a zeta , se nazývají transcendentálně transcendentální nebo hyperranscendentální funkce.

Výjimečná sada

Pokud je algebraická funkce a je algebraickým číslem, pak je také algebraickým číslem. Konverzace není pravdivá: existují celé transcendentální funkce , které jsou algebraickým číslem pro jakoukoli algebraiku. Pro danou transcendentální funkci se množina algebraických čísel poskytujících algebraické výsledky nazývá výjimečná množina této funkce. Formálně je definován: ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle f (\ alpha)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f (\ alpha)}$ ${\ displaystyle \ alpha.}$

{\ displaystyle {\ mathcal {E}} (f) = \ left \ {\ alpha \ in {\ overline {\ mathbf {Q}}} \,: \, f (\ alpha) \ in {\ overline {\ mathbf {Q}}} \ doprava \}.}

V mnoha případech je výjimečná sada poměrně malá. Například to dokázal Lindemann v roce 1882. Zejména $exp (1) =$ $e$ je transcendentální. Protože $exp ($ $iπ$ $) = -1$ je algebraický, víme, že $iπ$ nemůže být algebraický. Protože $i$ je algebraické, znamená to, že $π$ je transcendentální číslo . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (\ exp) = \ {0 \},}$

Obecně je nalezení výjimečné množiny funkcí obtížným problémem, ale pokud se dá vypočítat, může to často vést k výsledkům v teorii transcendentních čísel . Zde jsou některé další známé výjimečné sady:

Kleinova j - varianta ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (j) = \ left \ {\ alpha \ in \ mathbf {H} \,: \, [\ mathbf {Q} (\ alpha): \ mathbf {Q}] = 2 \ vpravo \},}$ kde H je horní polorovina , a [ Q ( α ): Q ] je stupeň tohoto pole čísla Q ( alfa ). Za tímto výsledkem stojí Theodor Schneider .
Exponenciální funkce v základně 2: ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (2 ^ {x}) = \ mathbf {Q},}$ Tento výsledek je důsledkem Gelfond-Schneiderovy věty , která uvádí, že pokud je algebraická, je algebraická a iracionální, je transcendentální. Funkce 2 ^x by tedy mohla být nahrazena c ^x pro jakékoli algebraické c, které se nerovná 0 nebo 1. Ve skutečnosti máme: ${\ displaystyle \ alpha \ neq 0,1}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ alpha ^ {\ beta}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} (x ^ {x}) = {\ mathcal {E}} \ vlevo (x ^ {\ frac {1} {x}} \ vpravo) = \ mathbf {Q} \ setminus \ {0 \}.}$
Důsledkem Schanuelova domněnky v teorii transcendentních čísel by to bylo . ${\ displaystyle {\ mathcal {E}} \ vlevo (e ^ {e ^ {x}} \ vpravo) = \ emptyset}$
Funkce s prázdnou výjimečnou sadou, která nevyžaduje za předpokladu, že Schanuelova domněnka je . ${\ displaystyle f (x) = \ exp (1+ \ pi x)}$

Při výpočtu výjimečnou sadu pro danou funkci, není snadné, ale je známo, že vzhledem k tomu některý podmnožina algebraických čísel, řekněme A existuje transcendentální funkce, jejichž výjimečná množina je . Podmnožina nemusí být správná, což znamená, že A může být množina algebraických čísel. To přímo znamená, že existují transcendentální funkce, které produkují transcendentální čísla pouze tehdy, jsou-li dána transcendentální čísla. Alex Wilkie také prokázal, že existují transcendentální funkce, pro které neexistují logické důkazy prvního řádu o jejich transcendenci, poskytnutím příkladné analytické funkce .

Dimenzionální analýza

V dimenzionální analýze jsou transcendentální funkce pozoruhodné, protože dávají smysl, pouze když je jejich argument bezrozměrný (možná po algebraické redukci). Z tohoto důvodu mohou být transcendentální funkce snadno rozpoznatelným zdrojem dimenzionálních chyb. Například log (5 metrů) je nesmyslný výraz, na rozdíl od log (5 metrů / 3 metry) nebo log (3) metrů. Dalo by se pokusit použít logaritmickou identitu a získat log (5) + log (metry), což zdůrazňuje problém: použití nealgebraické operace na dimenzi vytváří nesmyslné výsledky.

Viz také

Reference

externí odkazy

Definice „transcendentální funkce“ v encyklopedii matematiky

Languages

In other projects