Metoda přenosové matice (optika) - Transfer-matrix method (optics)

Šíření paprsku vrstvou

Metoda přenosové matice je metoda používaná v optice a akustice k analýze šíření elektromagnetických nebo akustických vln prostřednictvím stratifikovaného média . To je například relevantní pro konstrukci antireflexních vrstev a dielektrických zrcadel .

Odraz o světla z jediného rozhraní mezi dvěma médii je popsán pomocí rovnice Fresnelovy . Když však existuje více rozhraní , jako na obrázku, jsou také částečně přeneseny a poté částečně odraženy samotné odrazy. V závislosti na přesné délce cesty mohou tyto odrazy zasahovat destruktivně nebo konstruktivně. Celkový odraz struktury vrstvy je součtem nekonečného počtu odrazů.

Metoda přenosové matice je založena na skutečnosti, že podle Maxwellových rovnic existují jednoduché podmínky spojitosti elektrického pole přes hranice od jednoho média k druhému. Pokud je pole známé na začátku vrstvy, lze pole na konci vrstvy odvodit z jednoduché maticové operace. Stoh vrstev pak může být reprezentován jako systémová matice, která je součinem matic jednotlivých vrstev. Poslední krok metody zahrnuje převod matice systému zpět na koeficienty odrazu a přenosu .

Formalismus pro elektromagnetické vlny

Níže je popsáno, jak je přenosová matice aplikována na elektromagnetické vlny (například světlo) dané frekvence šířící se hromadou vrstev při normálním dopadu . Lze jej zobecnit, aby se vypořádal s výskytem pod úhlem, absorbujícím médiem a médii s magnetickými vlastnostmi . Předpokládáme, že vrstvy zásobníku jsou kolmé k ose a že pole v jedné vrstvě může být reprezentováno jako superpozice vlevo a vpravo se pohybující vlny s vlnovým číslem , ${\ displaystyle z \,}$ ${\ displaystyle k \,}$

${\ Displaystyle E (z) = E_ {r} e^{ikz}+E_ {l} e^{-ikz} \,}$.

Protože z Maxwellovy rovnice vyplývá, že a musí být spojité přes hranici, je vhodné reprezentovat pole jako vektor , kde ${\ displaystyle E \,}$${\ Displaystyle H = 1/ikZ_ {c} dE/dz \,}$${\ Displaystyle (E (z), H (z)) \,}$

${\ Displaystyle H (z) = 1/Z_ {c} E_ {r} e^{ikz} -1/Z_ {c} E_ {l} e^{-ikz} \,}$.

Vzhledem k tomu, existují dvě rovnice vztahující se i na a tyto dvě reprezentace jsou rovnocenné. V nové reprezentaci je šíření na vzdálenost do kladného směru popsáno unimodulární maticí${\ displaystyle E \,}$${\ displaystyle H \,}$${\ displaystyle E_ {r} \,}$${\ displaystyle E_ {l} \,}$${\ displaystyle L \,}$${\ displaystyle z \,}$

${\ Displaystyle M = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos kL & iZ_ {c} \ sin kL \\ {\ frac {i} {Z_ {c}}} \ sin kL & \ cos kL \ end { pole}} \ vpravo),}$

a

${\ Displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} E (z+L) \\ H (z+L) \ end {array}} \ right) = M \ cdot \ left ({\ begin {array } {c} E (z) \\ H (z) \ end {array}} \ right)}$

Taková matice může představovat šíření přes vrstvu, pokud je číslo vlny v médiu a tloušťka vrstvy: U systému s vrstvami má každá vrstva přenosovou matici , kde se zvyšuje směrem k vyšším hodnotám. Matice přenosu systému je pak ${\ displaystyle k \,}$${\ displaystyle L \,}$${\ displaystyle N \,}$${\ displaystyle j \,}$${\ displaystyle M_ {j} \,}$${\ displaystyle j \,}$${\ displaystyle z \,}$

${\ Displaystyle M_ {s} = M_ {N} \ cdot \ ldots \ cdot M_ {2} \ cdot M_ {1}.}$

Typicky by někdo chtěl znát odrazivost a propustnost struktury vrstvy. Pokud vrstva vrstev začíná na , pak pro záporné pole je popsáno jako ${\ displaystyle z = 0 \,}$${\ displaystyle z \,}$

${\ Displaystyle E_ {L} (z) = E_ {0} e^{ik_ {L} z}+rE_ {0} e^{-ik_ {L} z}, \ qquad z <0,}$

kde je amplituda přicházející vlny, číslo vlny v levém médiu a je koeficient odrazivosti amplitudy (ne intenzity!) struktury vrstvy. Na druhé straně struktury vrstvy se pole skládá z přenášeného pole šířícího se doprava ${\ displaystyle E_ {0} \,}$${\ displaystyle k_ {L} \,}$${\ displaystyle r \,}$

${\ Displaystyle E_ {R} (z) = tE_ {0} e^{ik_ {R} z}, \ qquad z> L ',}$

kde je amplitudová propustnost, je číslo vlny v médiu nejvíce vpravo a je celková tloušťka. Pokud a , pak můžeme vyřešit ${\ displaystyle t \,}$${\ displaystyle k_ {R} \,}$${\ displaystyle L '}$${\ displaystyle H_ {L} = 1/ikZ_ {c} dE_ {L}/dz \,}$${\ Displaystyle H_ {R} = 1/ikZ_ {c} dE_ {R}/dz \,}$

${\ Displaystyle \ left ({\ begin {array} {c} E (z_ {R}) \\ H (z_ {R}) \ end {array}} \ right) = M \ cdot \ left ({\ begin {array} {c} E (0) \\ H (0) \ end {array}} \ right)}$

z hlediska maticových prvků systémové matice a získat ${\ displaystyle M_ {mn} \,}$${\ displaystyle M_ {s} \,}$

${\ Displaystyle t = 2ik_ {L} e^{-ik_ {R} L} \ left [{\ frac {1} {-M_ {21}+k_ {L} k_ {R} M_ {12}+i ( k_ {R} M_ {11}+k_ {L} M_ {22})}} \ right]}$

a

${\ Displaystyle r = \ left [{\ frac {(M_ {21}+k_ {L} k_ {R} M_ {12})+i (k_ {L} M_ {22} -k_ {R} M_ {11 })} {(-M_ {21}+k_ {L} k_ {R} M_ {12})+i (k_ {L} M_ {22}+k_ {R} M_ {11})}} \ vpravo] }$.

Transmitance a reflektance (tj frakce intenzity dopadajícího procházejícím a odraženém vrstvou) jsou často více praktické využití a jsou dány a , v tomto pořadí (při kolmém dopadu). ${\ displaystyle \ left | E_ {0} \ right |^{2}}$${\ Displaystyle T = {\ frac {k_ {R}} {k_ {L}}} | t |^{2} \,}$${\ displaystyle R = | r |^{2} \,}$

Příklad

Pro ilustraci uvažujme jednu vrstvu skla s indexem lomu n a tloušťkou d zavěšenou ve vzduchu s vlnovým číslem k (ve vzduchu). Ve skle je číslo vlny . Přenosová matice je ${\ Displaystyle k '= nk \,}$

${\ Displaystyle M = \ left ({\ begin {array} {cc} \ cos k'd & \ sin (k'd)/k '\\-k' \ sin k'd & \ cos k'd \ end { pole}} \ vpravo)}$.

Součinitel odrazu amplitudy lze zjednodušit na

${\ Displaystyle r = {\ frac {(1/nn) \ sin (k'd)} {(n+1/n) \ sin (k'd)+2i \ cos (k'd)}}}}$.

Tato konfigurace efektivně popisuje Fabry -Pérotův interferometr nebo etalon: protože odraz zmizí. ${\ Displaystyle k'd = 0, \ pi, 2 \ pi, \ cdots \,}$

Akustické vlny

Na zvukové vlny je možné použít metodu přenosové matice. Místo elektrického pole E a jeho derivace F by měl být použit posun u a napětí , kde je modul vlny p . ${\ Displaystyle \ sigma = Cdu/dz}$${\ displaystyle C}$

Abelesův maticový formalismus

Odraz od stratifikovaného rozhraní

Metoda Abeles matrice je výpočetně rychlý a snadný způsob pro výpočet zrcadlové odrazivosti z vrstevnatého rozhraní, jako funkce kolmého přenosu hybnosti , Q _z :

${\ Displaystyle Q_ {z} = {\ frac {4 \ pi} {\ lambda}} \ sin \ theta = 2k_ {z}}$

kde θ je úhel dopadu/odrazu dopadajícího záření a λ je vlnová délka záření. Naměřená odrazivost závisí na kolísání profilu hustoty rozptylové délky (SLD), ρ ( z ). Přestože profil hustoty rozptylové délky je obvykle spojitě se měnící funkcí, mezifázovou strukturu lze často dobře aproximovat deskovým modelem, ve kterém jsou vrstvy tloušťky ( d _n ), hustota rozptylové délky ( ρ _n ) a drsnosti (σ _{n, n+ 1} ) jsou vloženy mezi super- a sub-fáze. Poté se pomocí postupu upřesnění minimalizují rozdíly mezi teoretickými a měřenými křivkami odrazivosti změnou parametrů, které popisují každou vrstvu.

V tomto popisu je rozhraní rozděleno do n vrstev. Protože dopadající neutronový paprsek je lámán každou z vrstev, je vlnovač k ve vrstvě n dán vztahem:

${\ Displaystyle k_ {n} = {\ sqrt {{k_ {z}}^{2} -4 \ pi ({\ rho} _ {n}-{\ rho} _ {0})}}}$

Koeficient Fresnelova odrazu mezi vrstvou n a n+1 je pak dán vztahem:

${\ displaystyle r_ {n, n+1} = {\ frac {k_ {n} -k_ {n+1}} {k_ {n}+k_ {n+1}}}}}$

Protože je nepravděpodobné, že by rozhraní mezi každou vrstvou bylo dokonale hladké, drsnost/difuzivita každého rozhraní modifikuje Fresnelův koeficient a odpovídá za to chybová funkce , jak popsali Nevot a Croce (1980) .

${\ Displaystyle r_ {n, n+1} = {\ frac {k_ {n} -k_ {n+1}} {k_ {n}+k_ {n+1}}} \ \ exp (-2k_ {n} k_ {n+1} {\ sigma _ {n, n+1}}^{2})}$

Je zaveden fázový faktor β , který odpovídá tloušťce každé vrstvy.

${\ displaystyle \ beta _ {0} = 0}$

${\ displaystyle \ beta _ {n} = ik_ {n} d_ {n}}$

kde . Potom se pro každou vrstvu vypočítá charakteristická matice c _n . ${\ displaystyle i^{2} =-1}$

${\ Displaystyle c_ {n} = \ left [{\ begin {array} {cc} \ exp \ left (\ beta _ {n} \ right) & r_ {n, n+1} \ exp \ left (\ beta _ {n} \ right) \\ r_ {n, n+1} \ exp \ left (-\ beta _ {n} \ right) & \ exp \ left (-\ beta _ {n} \ right) \ end { pole}} \ vpravo]}$

Výsledná matice je definována jako součin těchto charakteristických matic

${\ Displaystyle M = \ prod _ {n} c_ {n}}$

ze kterého se vypočítá odrazivost jako:

${\ displaystyle R = \ left | {\ frac {M_ {10}} {M_ {00}}} \ right |^{2}}$

Viz také

• Neutronová reflektometrie
• Elipsometrie
• Jonesův kalkul
• Odrazivost rentgenového záření

Reference

Další čtení

• Vícevrstvá odrazivost: odvození pravděpodobností přenosu a odrazu z vícevrstevných principů z vícevrstvých se složitými indexy lomu.
• Vrstvené materiály a diagramy fotonických pásem (lekce 23) v otevřeném kurzu MIT Elektronické, optické a magnetické vlastnosti materiálů .
• Šíření EM vln tenkými filmy a vícevrstvými vrstvami (lekce 13) v otevřeném kurzu MIT Transportní procesy nano-to-makro . Obsahuje krátké diskusní akustické vlny.

externí odkazy

Existuje několik počítačových programů, které tento výpočet implementují:

• FreeSnell je samostatný počítačový program, který implementuje metodu přenosové matice, včetně pokročilejších aspektů, jako jsou zrnité filmy.
• Thinfilm je webové rozhraní, které implementuje metodu přenosové matice, produkující odrazové a přenosové koeficienty a také elipsometrické parametry Psi a Delta.
• Luxpop.com je další webové rozhraní, které implementuje metodu přenosové matice.
• Programy pro výpočet přenosové matice v Pythonu a v Mathematice .
• Software EMPy („Elektromagnetický Python“) .
• motofit je program pro analýzu neutronových a rentgenových reflektometrických dat.
• OpenFilters je program pro navrhování optických filtrů.
• Py_matrix je open source kód Pythonu, který implementuje metodu přenosové matice pro vícevrstvé s libovolnými dielektrickými tenzory. Byl vytvořen speciálně pro plazmonické a magnetoplasmonické výpočty.
• Kalkulátor v prohlížeči a instalatér Interaktivní kalkulačka odrazivosti Javascriptu pomocí maticové metody a aproximace drsnosti Nevot-Croce (jádro výpočtu převedeno z C přes Emscripten )