Překlad (geometrie) - Translation (geometry)

Překlad posune každý bod obrázku nebo prostoru o stejnou hodnotu v daném směru.

Odraz červené tvaru proti osy následuje odraz Výsledný zelený tvaru proti druhé osy, rovnoběžné s první výsledky v celkovém pohybu, který je překlad červeného tvaru do polohy modré tvaru.

V euklidovské geometrii , je překlad je geometrické transformace , která se pohybuje každý bod postavy nebo mezerou stejné vzdálenosti v daném směru. Překlad může být rovněž interpretována jako přidání konstantního vektoru pro každý bod, nebo jako posunutí původ z souřadnicového systému . V euklidovském prostoru je jakýkoli překlad izometrií .

Jako funkci

Pokud je pevný vektor, známý jako translační vektor , a je počáteční polohou nějakého objektu, pak bude funkce překladu fungovat jako . ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}}}$${\ Displaystyle T _ {\ mathbf {v}} (\ mathbf {p}) = \ mathbf {p} +\ mathbf {v}}$

Pokud je překlad, pak se obraz podmnožiny pod funkce je přeložit z aplikace . Překlad by se často píše . ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T _ {\ mathbf {v}}}$${\ displaystyle A+\ mathbf {v}}$

Horizontální a vertikální překlady

V geometrii je vertikální překlad (také známý jako vertikální posun ) překlad geometrického objektu ve směru rovnoběžném se svislou osou kartézského souřadného systému .

Grafy různých pomocných funkcí funkce f ( x ) = 3 x ²  - 2. Všechny jsou navzájem svislými překlady.

Pro graf funkce jsou často zvažovány svislé překlady . Je -li f libovolná funkce  x , pak graf funkce f ( x ) +  c (jejíž hodnoty jsou dány přičtením konstanty c k hodnotám f ) lze získat svislým překladem grafu f ( x ) podle vzdálenosti c . Z tohoto důvodu je funkce f ( x ) +  c je někdy nazýván vertikální přeložit z f ( x ). Například, antiderivativa funkce se od sebe navzájem liší integrační konstantou, a proto se navzájem svisle překládají.

V funkce grafů , je horizontální překlad je transformace , která vede do grafu, který je ekvivalentní k posunu základní graf vlevo nebo vpravo ve směru x v ose. Graf je přeložen k jednotek vodorovně přesunutím každého bodu na k kladu vodorovně.

Pro základní funkci f ( x ) a konstantu k lze funkci danou g ( x ) =  f ( x  -  k ) načrtnout f ( x ) posunutou k jednotek vodorovně.

Pokud se o transformaci funkcí hovořilo z hlediska geometrických transformací, mohlo by být jasnější, proč se funkce překládají horizontálně tak, jak to dělají. Při řešení překladů v karteziánské rovině je přirozené zavádět překlady v tomto typu zápisu:

${\ Displaystyle (x, y) \ rightarrow (x+a, y+b)}$

nebo

${\ Displaystyle T (x, y) = (x+a, y+b)}$

kde a jsou horizontální a vertikální změny. ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Příklad

Vezmeme -li parabolu y  =  x ² , horizontální překlad o 5 jednotkách doprava by byl reprezentován T (( x ,  y )) = ( x + 5, y ). Nyní musíme tento transformační zápis spojit s algebraickým zápisem. Zvažte bod ( a ,  b ) na původní parabole, který se přesune do bodu ( c ,  d ) na přeložené parabole. Podle našeho překladu c  = a + 5 ad  = b . Bod na původní parabole byl b  = a ² . Náš nový bod lze popsat vztahem d a c ve stejné rovnici. b  = d a a  = c  - 5. Takže d  = b  = a ²  = ( c  - 5) ² . Protože to platí pro všechny body naší nové paraboly, nová rovnice je y  = ( x  - 5) ² .

Aplikace v klasické fyzice

V klasické fyzice je translační pohyb pohyb, který na rozdíl od rotace mění polohu předmětu . Například podle Whittaker:

Je -li těleso přesunuto z jedné polohy do druhé a jsou -li přímky spojující počáteční a konečný bod každého z bodů těla množinou rovnoběžných přímek o délce ℓ , takže orientace tělesa v prostoru je nezměněný, posunutí se nazývá překlad rovnoběžný se směrem přímek, přes vzdálenost ℓ .

-  ET Whittaker : Pojednání o analytické dynamice částic a tuhých těles , str. 1

Překlad je operace měnící polohy všech bodů objektu podle vzorce ${\ displaystyle (x, y, z)}$

${\ Displaystyle (x, y, z) \ to (x+\ Delta x, y+\ Delta y, z+\ Delta z)}$

kde je stejný vektor pro každý bod objektu. Translační vektor společný pro všechny body objektu popisuje konkrétní typ posunutí objektu, obvykle nazývaný lineární posun, aby se odlišil od posunů zahrnujících rotaci, nazývaných úhlové posunutí. ${\ Displaystyle (\ Delta x, \ \ Delta y, \ \ Delta z)}$${\ Displaystyle (\ Delta x, \ \ Delta y, \ \ Delta z)}$

Při zvažování časoprostoru je změna časové souřadnice považována za překlad.

Jako operátor

Operátor překladu změní funkci původní polohy , v závislosti na konečné polohy . Jinými slovy, je definován tak, že tento operátor je více abstraktní než funkce, protože definuje vztah mezi dvěma funkcemi, nikoli samotnými podkladovými vektory. Translační operátor může působit na mnoho druhů funkcí, například když operátor translace působí na vlnovou funkci , která je studována v oblasti kvantové mechaniky. ${\ displaystyle f (\ mathbf {v})}$${\ Displaystyle f (\ mathbf {v} +\ mathbf {\ delta})}$${\ displaystyle T _ {\ mathbf {\ delta}}}$${\ Displaystyle T _ {\ mathbf {\ delta}} f (\ mathbf {v}) = f (\ mathbf {v} +\ mathbf {\ delta}).}$${\ displaystyle T _ {\ mathbf {\ delta}}}$

Jako skupina

Množina všech překladů tvoří skupinu překlad , který je isomorphic k prostoru samotného, a normální podskupiny ze skupiny euklidovské . Kvocient skupinou ze by je isomorphic k ortogonální skupiny : ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle E (n)}$${\ Displaystyle E (n)}$${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ ${\ Displaystyle O (n)}$

${\ Displaystyle E (n)/\ mathbb {T} \ cong O (n)}$

Protože překlad je komutativní, překladová skupina je abelianská . Možných překladů je nekonečný počet, takže skupina překladů je nekonečná skupina .

V teorii relativity mohou překlady v důsledku zpracování prostoru a času jako jediného časoprostoru odkazovat také na změny časové souřadnice . Například galilejská skupina a skupina Poincaré zahrnují překlady s ohledem na čas.

Mřížové skupiny

Jeden druh podskupiny trojrozměrné translační skupiny jsou mřížkové skupiny , které jsou nekonečnými skupinami , ale na rozdíl od translačních skupin jsou generovány konečným způsobem . To znamená, že konečná generující sada generuje celou skupinu.

Maticová reprezentace

Překlad je afinní zobrazení s no pevnými body . Násobení matic vždy mají původ jako pevný bod. Přesto existuje společné řešení pomocí homogenních souřadnic, které představují překlad vektorového prostoru s maticovým násobením : Napište trojrozměrný vektor pomocí 4 homogenních souřadnic jako . ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z})}$${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {x}, v_ {y}, v_ {z}, 1)}$

K překladu objektu pomocí vektoru lze každý homogenní vektor (zapsaný v homogenních souřadnicích) vynásobit touto translační maticí : ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$

${\ Displaystyle T _ {\ mathbf {v}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}}}$

Jak je uvedeno níže, násobení poskytne očekávaný výsledek:

${\ Displaystyle T _ {\ mathbf {v}} \ mathbf {p} = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 & v_ {x} \\ 0 & 1 & 0 & v_ {y} \\ 0 & 0 & 1 & v_ {z} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} p_ {x} \\ p_ {y} \\ p_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} p_ {x}+v_ {x} \\ p_ {y }+v_ {y} \\ p_ {z}+v_ {z} \\ 1 \ end {bmatrix}} = \ mathbf {p}+\ mathbf {v}}$

Inverzi translační matice lze získat obrácením směru vektoru:

${\ Displaystyle T _ {\ mathbf {v}}^{-1} = T _ {-\ mathbf {v}}. \!}$

Podobně je součin translačních matic dán přidáním vektorů:

${\ Displaystyle T _ {\ mathbf {v}} T _ {\ mathbf {w}} = T _ {\ mathbf {v} +\ mathbf {w}}. \!}$

Protože sčítání vektorů je komutativní , násobení translačních matic je tedy také komutativní (na rozdíl od násobení libovolných matic).

Překlad os

Zatímco na geometrický překlad je často pohlíženo jako na aktivní proces, který mění polohu geometrického objektu, podobného výsledku lze dosáhnout pasivní transformací, která přesune samotný souřadný systém, ale ponechá objekt pevný. Pasivní verze aktivního geometrického překladu je známá jako překlad os .

Translační symetrie

O předmětu, který vypadá stejně před a po překladu, se říká, že má translační symetrii . Běžným příkladem jsou periodické funkce , což jsou vlastní funkce překladového operátoru.

Viz také

externí odkazy

• Překlad Transformace na cut-the-uzel
• Geometric Translation (Interactive Animation) at Math Is Fun
• Pochopení 2D překladu a Porozumění 3D překladu Rogera Germundssona, The Wolfram Demonstrations Project .

Reference

• Zazkis, R., Liljedahl, P., & Gadowsky, K. Koncepce překladu funkcí: překážky, intuice a přesměrování. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Získáno 29. dubna 2014 z www.elsevier.com/locate/jmathb
• Transformace grafů: Horizontální překlady . (2006, 1. ledna). BioMath: Transformace grafů. Citováno 29. dubna 2014