Transponovat - Transpose

Transpozici A ^T matice A lze získat odrazem prvků podél její hlavní diagonály. Opakováním postupu na transponované matici se prvky vrátí do původní polohy.

V lineární algebře se přemístit z matrice je operátor, který otočí matici nad jeho úhlopříčka; to znamená, že přepíná indexy řádků a sloupců matice $A$ vytvářením další matice, často označované $A T$ (mimo jiné notace).

Transpozici matice zavedl v roce 1858 britský matematik Arthur Cayley . V případě, že logické matice reprezentující binární relaci R, přemístit odpovídá opačném vztahu R ^T .

Transpozice matice

Definice

Přemístit matice $A$ , označený $A T$ , $⊤$ , $⊤$ , , $A '$ , $tr$ , $t$ $A$ a $A$ $t$ , mohou být konstruovány podle jednoho z následujících způsobů: ${\ displaystyle A^{\ intercal}}$

Odražením $A$ přes jeho hlavní úhlopříčku (která probíhá zleva nahoře vpravo dole) získáte $A T$
Napište řádky $A$ jako sloupce $A T$
Napište sloupce $A$ jak řad $A T$

Formálně $i$ tého řádku, $j$ -tý sloupec prvkem $A T$ je $j$ -tý řádek, $i$ -tý sloupec prvek $A$ :

{\ Displaystyle \ left [\ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} \ right] _ {ij} = \ left [\ mathbf {A} \ right] _ {ji}.}

Pokud $A$ je matice $m \times n$ , pak $A T$ je matice $n \times m$ .

V případě čtvercových matic, $T$ může také naznačovat $t$ th sílu matice $A$ . Pro zamezení možného zmatení, mnozí autoři používají levou upperscripts, to znamená, že označují přemístit jako $T-$ $A$ . Výhodou tohoto zápisu je, že nejsou zahrnuty žádné závorky, pokud jsou zahrnuty exponenty: jako $($ $T$ $A$ $)$ $n$ $=$ $T$ $($ $A$ $n$ $)$ , zápis $T$ $A$ $n$ není dvojznačný.

V tomto článku se tomuto zmatku vyhnete tím, že nikdy nepoužijete symbol $T$ jako název proměnné .

Definice matic zahrnující transpozici

Čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná sobě, se nazývá symetrická matice ; to znamená, že $A$ je symetrické, pokud

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} = \ mathbf {A}.}

Čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná jejímu negativu, se nazývá šikmá symetrická matice ; to znamená, že $A$ je šikmo symetrické, pokud

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} =-\ mathbf {A}.}

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je stejná jako matice, přičemž každý záznam je nahrazen jejím komplexním konjugátem (zde označeným nadlinkou), se nazývá hermitovská matice (ekvivalent matice, která se rovná její konjugované transpozici ); to znamená, že $A$ je Hermitian, pokud

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} = {\ overline {\ mathbf {A}}}.}

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice se rovná negaci jejího komplexního konjugátu, se nazývá šikmo-hermitovská matice ; to znamená, že $A$ je šikmo-hermitovské, pokud

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} =-{\ overline {\ mathbf {A}}}.}

Čtvercová matice, jejíž transpozice se rovná její inverzní, se nazývá ortogonální matice ; to znamená, že $A$ je ortogonální, pokud

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} = \ mathbf {A} ^{-1}.}

Čtvercová komplexní matice, jejíž transpozice je stejná jako její konjugovaná inverze, se nazývá unitární matice ; to znamená, že $A$ je unitární, pokud

{\ displaystyle \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} = {\ overline {\ mathbf {A} ^{-1}}}.}

Příklady

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \ end {bmatrix}}^{\ operatorname {T}} = \, {\ begin {bmatrix} 1 \\ 2 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \ end {bmatrix}}^{\ operatorname {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \ end {bmatrix}}}$

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \ end {bmatrix}}^{\ operatorname {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \ end {bmatrix}}}}$

Vlastnosti

Nechť $A$ a $B$ jsou matice a $c$ je skalární .

${\ displaystyle \ left (\ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} \ right) ^{\ operatorname {T}} = \ mathbf {A}.}$
Operace převzetí transpozice je involuce (vlastní inverze ).
${\ Displaystyle \ left (\ mathbf {A} +\ mathbf {B} \ right) ^{\ operatorname {T}} = \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} +\ mathbf {B} ^{ \ operatorname {T}}.}$
Transpozice respektuje přidání .
${\ Displaystyle \ left (\ mathbf {AB} \ right) ^{\ operatorname {T}} = \ mathbf {B} ^{\ operatorname {T}} \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} }$
Pořadí faktorů se obrací. Z toho lze odvodit, že čtvercová matice $A$ je invertibilní právě tehdy, je -li $A T$ invertibilní, a v tomto případě máme $(A -1) T = (A T) -1$ . Indukcí se tento výsledek rozšíří na obecný případ více matic, kde zjistíme, že $(A 1 A 2 ... A k -1 A k) T = A k T A k -1 T \dots A 2 T A 1 T$ .
${\ Displaystyle \ left (c \ mathbf {A} \ right) ^{\ operatorname {T}} = c \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}}.}$
Transpozice skalárního je stejný skalární. Společně s (2), tato uvádí, že přemístit se o lineární mapa od prostoru z $m x n$ matic do prostoru všech $n \times m$ matric.
${\ Displaystyle \ det \ left (\ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} \ right) = \ det (\ mathbf {A}).}$
Determinant čtvercové matice je stejná jako determinant jeho přemístit.
Skalární součin dvou vektorů kolony a $b$ může být vypočítána jako jediného produktu matice:
${\ Displaystyle \ left [\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \ right] = \ mathbf {a} ^{\ operatorname {T}} \ mathbf {b},}$
který je zapsán jako $a i b i$ v Einsteinově součtové konvenci .
Pokud $A$ má pouze skutečné záznamy, pak $A T A$ je pozitivně semidefinitní matice .
${\ Displaystyle \ left (\ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} \ right) ^{-1} = \ left (\ mathbf {A} ^{-1} \ right) ^{\ operatorname {T }}.}$
Transpozice invertibilní matice je také invertibilní a její inverzní je transpozice inverzní matice původní matice. Zápis $A -T$ se někdy používá k vyjádření některého z těchto ekvivalentních výrazů.
Pokud $A$ je čtvercová matice, pak se její vlastní čísla rovnají vlastním číslům její transpozice, protože sdílejí stejný charakteristický polynom .

produkty

Pokud $A$ je matice $m \times n$ a $A T$ je její transpozice, pak výsledek násobení matice těmito dvěma maticemi dává dvě čtvercové matice: $AA T$ je $m \times m$ a $A T A$ je $n \times n$ . Kromě toho jsou tyto produkty symetrickými maticemi . Ve skutečnosti, se matrice produktu $AA T$ má vstupy, které jsou vnitřní produkt z řady $A,$ se sloupcem $A T$ . Ale sloupce $A T$ jsou řady $A$ , takže položka odpovídá vnitřní součin dvou řadách $A$ . Pokud $p i j$ je vstup výrobku, který je získán z řad $i$ a $j$ v $A$ . Položka $p j i$ je také získána z těchto řádků, tedy $p i j = p j i$ , a matice produktu ( $p i j$ ) je symetrická. Podobně součin $A T A$ je symetrická matice.

Rychlý důkaz symetrie $AA T$ vyplývá ze skutečnosti, že jde o vlastní transpozici:

{\ Displaystyle \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} \ right) ^{\ operatorname {T}} = \ left (\ mathbf {A} ^{\ operatorname {T }} \ right) ^{\ operatorname {T}} \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}} = \ mathbf {A} \ mathbf {A} ^{\ operatorname {T}}.}

Implementace transpozice matice na počítačích

Ilustrace řádkové a sloupcové hlavní objednávky

Na počítači se často lze vyhnout explicitnímu provedení matice v paměti prostým přístupem ke stejným datům v jiném pořadí. Například softwarové knihovny pro lineární algebry , jako BLAS , obvykle poskytují možnosti, jak určit, že určité matrice je třeba vykládat v transponované, aby se zabránilo nutnosti přesunu dat.

Existuje však řada okolností, za kterých je nutné nebo žádoucí fyzicky změnit pořadí matice v paměti na její transponované uspořádání. Například u matice uložené v pořadí hlavní řádky jsou řádky matice v paměti souvislé a sloupce nesouvislé. Pokud je třeba na sloupcích provádět opakované operace, například v rychlém algoritmu Fourierovy transformace , transpozice matice v paměti (aby byly sloupce souvislé) může zlepšit výkon zvýšením lokality paměti .

V ideálním případě by se dalo doufat, že transponujeme matici s minimálním dodatečným úložištěm. To vede k problému transpozice matice n × m na místě , s O (1) dodatečným úložištěm nebo nejvýše úložištěm mnohem menším než mn . Pro n ≠ m to zahrnuje komplikovanou permutaci datových prvků, jejíž implementace na místě není triviální. Účinná transpozice matice na místě byla proto předmětem mnoha výzkumných publikací v oblasti počítačové vědy , počínaje koncem padesátých let minulého století a bylo vyvinuto několik algoritmů.

Transponuje lineární mapy a bilineární formy

Připomeňme, že matice lze umístit do korespondence jeden s jedním s lineárními operátory . Transpozici lineárního operátoru lze definovat, aniž by bylo nutné uvažovat o jeho maticové reprezentaci. To vede k mnohem obecnější definici transpozice, kterou lze použít na lineární operátory, které nemohou být reprezentovány maticemi (např. Zahrnující mnoho nekonečných dimenzionálních vektorových prostorů).

Transponujte lineární mapu

Nechť $X #$ označuje algebraické duální prostor a jako $R$ - modul $X$ . Nechť $X$ a $Y$ jsou $R$ -moduly. Pokud $u : X \to Y$ je lineární mapa , pak její algebraický adjoint nebo duální je mapa $# u : Y # \to X #$ definovaná $f \mapsto f \circ u$ . Výsledný funkční $u # (f)$ , se nazývá stáhnout zpět o $f$ o $u$ . Následující vztah charakterizuje algebraický adjuktu $u$

⟨ U # (f), x ⟩ = ⟨ f, u (x)⟩

pro všechny

f \in Y'

a

x \in X

kde $⟨•, •⟩$ je přírodní párování (tj definován $⟨ Z, h ⟩: = H (z)$ ). Tato definice také platí beze změny pro levé moduly a pro vektorové mezery.

Definici transpozice lze považovat za nezávislou na jakékoli bilineární formě na modulech, na rozdíl od pomocné ( níže ).

Kontinuální duální prostor z topologické vektorovém prostoru (TVS) $X$ je označen $X'$ . Pokud $X$ a $Y$ jsou TVS, pak lineární mapa $u : X \to Y$ je slabě spojitá právě tehdy, když $u # (Y') \subseteq X'$ , v takovém případě necháme $t u : Y' \to X'$ označit omezení $u #$ až $Y'$ . Mapa $t u$ se nazývá transpozice o $u$ .

V případě, že matice popisuje lineární mapu s ohledem na bází z $V$ a $W$ , potom se matice $T$ popisuje přemístit této lineární mapu s ohledem na dvojí bází .

Transponujte bilineární formu

Každá lineární mapa do duálního prostoru $u : X \to X #$ definuje bilineární formu $B : X \times X \to F$ , se vztahem $B (x, y) = u (x) (y)$ . Definováním transpozice této bilineární formy jako bilineární formy $t B$ definované transpozicí $t u : X ## \to X #$ tj. $T B (y, x) = t u (Ψ (y)) (x)$ najdeme že $B (x, y) = t B (y, x)$ . Zde $Ψ$ je přirozený homomorfismus $X \to X ##$ do dvojitého duálu .

Adjoint

V případě, že vektorové prostory $X$ a $Y$ mají v tomto pořadí nedegenerovaného bilineární formy $B X$ a $B Y$ , což je pojem známý jako adjoint , který úzce souvisí s přemístit, může být definován:

Pokud se $u : X \to Y$ je lineární mapu mezi vektorové prostory $X$ a $Y$ , definujeme $g$ jako adjoint o $u$ , pokud $g : Y \to X$ splňuje

{\ displaystyle B_ {X} {\ velký (} x, g (y) {\ velký)} = B_ {Y} {\ velký (} u (x), y {\ velký)}}

pro všechna

x \in X

a

Y \in Y

.

Tyto bilineární formy definují izomorfismus mezi $X$ a $X #$ a mezi $Y$ a $Y #$ , což má za následek izomorfismus mezi transpozicí a adjunktem $u$ . Matice pomocného bodu mapy je transponovaná matice pouze v případě, že jsou základny ortonormální vzhledem k jejich bilineárním formám. V této souvislosti mnoho autorů používá termín transpozice k označení pomocného bodu, jak je zde definován.

Adjoint nám umožňuje posoudit, zda $g : Y \to X$ je rovno $U -1 : Y \to X$ . Zejména to umožňuje, aby byla ortogonální skupina nad vektorovým prostorem $X$ s kvadratickou formou definována bez odkazu na matice (ani na jejich součásti) jako množinu všech lineárních map $X \to X,$ pro které se pomocný bod rovná inverzní.

V komplexním vektorovém prostoru se často pracuje s sesquilineárními formami (konjugát-lineární v jednom argumentu) místo bilineárních forem. Sdružený operátor na mapě mezi těmito prostory je definován podobně, a matice sdružený operátor je dán konjugovat přemístit matice v případě, že základy jsou ortonormální.

Viz také

Adjugovaná matice , transpozice matice kofaktoru
Transponovat konjugát
Pseudoinverse Moore -Penrose
Projekce (lineární algebra)

Reference

Další čtení

Bourbaki, Nicolas (1989) [1970]. Algebra I, kapitoly 1-3 [ Algèbre: Chapitres 1 à 3 ] (PDF) . Éléments de mathématique . Berlín New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC 18588156 .

Halmos, Paul (1974), Konečné dimenzionální vektorové prostory , Springer, ISBN 978-0-387-90093-3.
Maruskin, Jared M. (2012). Základní lineární algebra . San José: Solar Crest. s. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6.
Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory . GTM . 8 (druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Schwartz, Jacob T. (2001). Úvod do matic a vektorů . Mineola: Dover. s. 126–132. ISBN 0-486-42000-0.

externí odkazy

Gilbert Strang (jaro 2010) Lineární algebra z MIT Open Courseware

Languages

In other projects