Příčná Mercatorova projekce - Transverse Mercator projection

Příčná Mercatorova projekce

Příčný Mercator mapa projekce je adaptací standardního Mercator projekci . Příčná verze je široce používána v národních a mezinárodních mapovacích systémech po celém světě, včetně Universal Transverse Mercator . Při spárování s vhodným geodetickým vztažným bodem poskytuje příčný Mercator vysokou přesnost v zónách méně než několik stupňů v rozsahu východ-západ.

Standardní a příčné aspekty

Porovnání tečných a sečných forem normálních, šikmých a příčných Mercatorových projekcí se standardními rovnoběžkami v červené barvě

Příčná Mercatorova projekce je příčným aspektem standardní (nebo normální ) Mercatorovy projekce. Sdílejí stejnou základní matematickou konstrukci a v důsledku toho příčný Mercator dědí mnoho vlastností od normálního Mercatoru:

  • Oba výstupky jsou válcové : u normálního Mercatoru se osa válce shoduje s polární osou a přímka tečnosti s rovníkem. Pro příčný Mercator leží osa válce v rovníkové rovině a tečnou je libovolný zvolený poledník, čímž je označen centrální poledník .
  • Oba výstupky mohou být upraveny do sekantních forem, což znamená, že měřítko bylo zmenšeno, takže válec prořezává modelářský glóbus.
  • Oba existují v sférických a elipsoidních verzích.
  • Oba výstupky jsou konformní , takže bodová stupnice je nezávislá na směru a místní tvary jsou dobře zachovány;
  • Oba výstupky mají konstantní měřítko na tečné čáře (rovník pro normální Mercator a centrální poledník pro příčný).

Protože centrální poledník příčného Mercatoru lze libovolně zvolit, lze jej použít ke konstrukci vysoce přesných map (úzké šířky) kdekoli na světě. Secant, elipsoidní forma příčného Mercatoru je nejpoužívanější ze všech projekcí pro přesné mapy ve velkém měřítku.

Sférický příčný Mercator

Při konstrukci mapy na jakékoli projekci je obvykle vybrána koule pro modelování Země, když rozsah mapované oblasti přesáhne několik stovek kilometrů na délku v obou rozměrech. U map menších oblastí je třeba zvolit elipsoidní model, pokud je požadována větší přesnost; viz další část. Sférická forma příčné Mercatorovy projekce byla jednou ze sedmi nových projekcí, které v roce 1772 představil Johann Heinrich Lambert . (Text je k dispozici také v moderním anglickém překladu.) Lambert své projekce nejmenoval; název příčný Mercator pochází z druhé poloviny devatenáctého století. Zde jsou uvedeny hlavní vlastnosti příčné projekce ve srovnání s vlastnostmi normální projekce.

Normální a příčné sférické projekce

Normální Mercator Příčný Mercator
Sférický normální (ekvatoriální) Mercator (zkrácen na y  = ± π, což odpovídá přibližně 85 stupňům).
Sférický příčný Mercator (zkrácen na x  = ± π v jednotkách poloměru Země).
Centrální poledník promítá na přímku x  = 0. Ostatní poledníky promítají do přímek s  konstantou x . Centrální poledník promítá do přímky x  = 0. Meridiány 90 stupňů východně a západně od centrálního poledníku promítají do přímek  y přes projektované póly. Všechny ostatní meridiány se promítají do komplikovaných křivek.
Rovník promítá na přímku y  = 0 a rovnoběžné kružnice se promítají do přímek konstanty  y . Rovník promítá na přímku y  = 0, ale všechny ostatní rovnoběžky jsou komplikované uzavřené křivky.
Promítnuté meridiány a rovnoběžky se protínají v pravém úhlu. Promítnuté meridiány a rovnoběžky se protínají v pravém úhlu.
Projekce je ve směru y neomezená . Póly leží v nekonečnu. Projekce je ve směru x neomezená . Body na rovníku v devadesáti stupních od centrálního poledníku jsou promítány do nekonečna.
Projekce je konformní. Tvary malých prvků jsou dobře zachovány. Projekce je konformní. Tvary malých prvků jsou dobře zachovány.
S y se zkreslení zvyšuje  . Projekce není vhodná pro mapy světa. V blízkosti rovníku je zkreslení malé a projekce (zejména v elipsoidní formě) je vhodná pro přesné mapování rovníkových oblastí. Zkreslení se zvyšuje s  x . Projekce není vhodná pro mapy světa. V blízkosti centrálního poledníku je zkreslení malé a projekce (zejména v elipsoidní formě) je vhodná pro přesné mapování úzkých oblastí.
Grónsko je téměř tak velké jako Afrika; skutečná oblast je asi jedna čtrnáctá oproti Africe. Grónsko a Afrika jsou blízko centrálního poledníku; jejich tvary jsou dobré a poměr ploch je dobrou aproximací skutečných hodnot.
Faktor bodem stupnice je nezávislá na směru. Je to funkce  y na projekci. (Na sféře záleží pouze na zeměpisné šířce.) Měřítko platí na rovníku. Faktor měřítka bodů je nezávislý na směru. Je to funkce x na projekci. (Na sféře to závisí na zeměpisné šířce i délce.) Měřítko je pravdivé na centrálním poledníku.
Projekce je v blízkosti rovníku přiměřeně přesná. Měřítko v úhlové vzdálenosti 5 ° (v zeměpisné šířce) od rovníku je o méně než 0,4% větší než měřítko na rovníku a je o 1,54% větší při úhlové vzdálenosti 10 °. Projekce je přiměřeně přesná poblíž centrálního poledníku. Měřítko v úhlové vzdálenosti 5 ° (na délku) od centrálního poledníku je o méně než 0,4% větší než měřítko na středním poledníku a je asi 1,54% při úhlové vzdálenosti 10 °.
Ve verzi secant je měřítko na rovníku zmenšeno a platí to na dvou přímkách rovnoběžných s promítaným rovníkem (a odpovídajícím dvěma rovnoběžným kružnicím na kouli). U verze secant je měřítko zmenšeno na středním poledníku a platí to na dvou přímkách rovnoběžných s promítnutým středním poledníkem. (Tyto dva řádky nejsou poledníky.)
Konvergence (úhel mezi promítnutými meridiány a mřížkami s konstantou x ) je identicky nulová. Mřížka severu a pravý sever se shodují. Konvergence je na rovníku nula a všude jinde nenulová. S přiblížením k pólům se zvyšuje. Mřížka severu a pravý sever se neshodují.
Kosočtvercové přímky (konstantního azimutu na kouli) vyčnívají do přímek.

Elipsoidní příčný Mercator

Elipsoidní formu příčné Mercatorovy projekce vytvořil Carl Friedrich Gauss v roce 1825 a dále analyzovala Johann Heinrich Louis Krüger v roce 1912.

Projekce je známá pod několika názvy: (elipsoidní) příčný Mercator v USA; Gauss konformní nebo Gauss – Krüger v Evropě; nebo Gauss – Krügerův příčný Mercator obecněji. Kromě pouhého synonyma pro elipsoidní příčnou projekci Mercatorovy mapy lze termín Gauss – Krüger použít i jinými mírně odlišnými způsoby:

  • Někdy se termín používá pro konkrétní výpočetní metodu pro příčný Mercator: to znamená, jak převádět mezi zeměpisnou šířkou/délkou a projektovanými souřadnicemi. Když je Země modelována jako elipsoid, neexistuje žádný jednoduchý uzavřený vzorec. Ale Gauss-Krüger metoda dává stejný výsledek jako jinými metodami, alespoň pokud jste dostatečně blízko centrálního poledníku: méně než 100 stupňů zeměpisné délky, říkají. Dále jsou některé metody nepřesné.
  • Termín je také používán pro konkrétní soubor příčných Mercatorových projekcí používaných v úzkých zónách v Evropě a Jižní Americe, přinejmenším v Německu, Turecku, Rakousku, Slovinsku, Chorvatsku, Bosně a Hercegovině, Srbsku, Černé Hoře, Severní Makedonii, Finsku a Argentině . Tento systém Gauss – Krüger je podobný univerzálnímu příčnému systému Mercator , ale centrální meridiány zón Gauss – Krüger jsou od sebe vzdáleny pouze 3 °, na rozdíl od 6 ° v UTM.

Projekce je v souladu s konstantním měřítkem na centrálním poledníku. (Existují další konformní zobecnění příčného Mercatoru ze sféry na elipsoid, ale pouze Gauss-Krüger má konstantní měřítko na centrálním poledníku.) Během dvacátého století byl Gauss – Krügerův příčný Mercator přijat, v té či oné formě, mnoha národy (a mezinárodními orgány); navíc poskytuje základ pro projekci řady Universal Transverse Mercator . Gauss – Krügerova projekce je nyní nejpoužívanější projekcí v přesném velkoplošném mapování.

Projekce, jak ji vyvinuli Gauss a Krüger, byla vyjádřena pomocí výkonových řad nízkého řádu, u nichž se předpokládalo, že se rozcházejí ve směru východ-západ, přesně jako v sférické verzi. To se ukázalo jako nepravdivé britským kartografem EH Thompsonem, jehož nepublikovaná přesná (uzavřená forma) verze projekce, o níž informoval LP Lee v roce 1976, ukázala, že elipsoidní projekce je konečná (níže). Toto je nejvýraznější rozdíl mezi sférickými a elipsoidními verzemi příčné Mercatorovy projekce: Gauss – Krüger dává rozumnou projekci celého elipsoidu do roviny, ačkoli jeho hlavní aplikací je přesné mapování ve velkém měřítku „blízko“ středu poledník.

Elipsoidní příčný Mercator: konečná projekce.

Funkce

  • V blízkosti centrálního poledníku (ve výše uvedeném příkladu Greenwich) má projekce nízké zkreslení a tvary Afriky, západní Evropy, Britských ostrovů, Grónska a Antarktidy jsou příznivě srovnatelné se zeměkoulí.
  • Centrální oblasti příčných projekcí na kouli a elipsoidu jsou na zde zobrazených projekcích v malém měřítku nerozeznatelné.
  • Poledníky na 90 ° východně a západně od zvoleného centrálního poledníku vyčnívají na vodorovné čáry skrz póly. Vzdálenější polokoule se promítá nad severní pól a pod jižní pól.
  • Rovník půlí Afriku, překročí Jižní Ameriku a poté pokračuje na úplnou vnější hranici projekce; horní a dolní okraj a pravý a levý okraj musí být identifikovány (tj. představují stejné čáry na zeměkouli). (Indonésie je půlena.)
  • Zkreslení se zvyšuje směrem k pravé a levé hranici projekce, ale neroste do nekonečna. Všimněte si Galapágských ostrovů, kde se 90 ° západní poledník setkává s rovníkem vlevo dole.
  • Mapa je konformní. Čáry protínající se v libovolném zadaném úhlu na elipsoidním projektu do čar protínajících se ve stejném úhlu na projekci. Zejména rovnoběžky a meridiány se protínají pod úhlem 90 °.
  • Faktor bodové stupnice je nezávislý na směru v jakémkoli bodě, takže tvar malé oblasti je přiměřeně dobře zachován. Nutnou podmínkou je, aby se velikost faktoru měřítka v dané oblasti příliš nelišila. Všimněte si toho, že zatímco Jižní Amerika je značně zkreslená, ostrov Cejlon je dostatečně malý na to, aby měl přiměřený tvar, i když je daleko od centrálního poledníku.
  • Volba centrálního poledníku výrazně ovlivňuje vzhled projekce. Pokud je zvoleno 90 ° W, pak je rozumná celá Amerika. Pokud je zvoleno 145 ° východní délky, je Dálný východ dobrý a Austrálie je orientována severem nahoru.

Ve většině aplikací je souřadnicový systém Gauss – Krüger aplikován na úzký pás poblíž centrálních meridiánů, kde jsou rozdíly mezi sférickou a elipsoidní verzí malé, ale přesto důležité pro přesné mapování. Přímé řady pro měřítko, konvergenci a zkreslení jsou funkce excentricity a zeměpisné šířky i délky na elipsoidu: inverzní řady jsou funkce excentricity a x a y na projekci. Ve verzi sečna již řádky skutečného měřítka na projekci nejsou rovnoběžné se středním poledníkem; mírně křiví. Konvergenční úhel mezi projektovanými meridiány a přímkami x konstantní mřížky již není nulový (kromě rovníku), takže je nutné korigovat ložisko mřížky, aby se získal azimut z pravého severu. Rozdíl je malý, ale není zanedbatelný, zejména ve vysokých zeměpisných šířkách.

Implementace Gauss – Krügerovy projekce

Krüger ve svém příspěvku z roku 1912 představil dvě odlišná řešení, která se zde vyznačují parametrem expanze:

  • Krüger– n (odstavce 5 až 8): Vzorce pro přímou projekci, udávající souřadnice x a y , jsou expanzí čtvrtého řádu z hlediska třetího zploštění, n (poměr rozdílu a součtu hlavní a vedlejší osy elipsoid). Koeficienty jsou vyjádřeny jako zeměpisná šířka ( φ ), zeměpisná délka ( λ ), hlavní osa ( a ) a excentricita ( e ). Inverzní vzorce pro φ a λ jsou také expanze čtvrtého řádu v n, ale s koeficienty vyjádřenými jako x , y , a a e .
  • Krüger- λ (body 13 a 14): Vzorce dávat projekční souřadnic x a y jsou expanze (zakázek 5 a 4, v uvedeném pořadí), pokud jde o délky lambda , vyjádřený v radiánech: koeficienty jsou vyjádřeny v cp , a e . Inverzní projekce pro φ a λ jsou expanze šestého řádu z hlediska poměru X/As koeficienty vyjádřenými jako y , a a e . (Viz řada Transverse Mercator: Redfearn .)

Jako první byly implementovány série Krüger – λ , možná proto, že je bylo mnohem snazší vyhodnotit na ručních kalkulačkách v polovině dvacátého století.

  • Lee – Redfearn – OSGB : V roce 1945 LP Lee potvrdil expanzi Krügera λ a navrhl jejich přijetí OSGB, ale Redfearn (1948) poukázal na to, že nejsou přesné kvůli (a) relativně vysokým zeměpisným šířkám Velké Británie a ( b) velká šířka mapované oblasti přes 10 stupňů zeměpisné délky. Redfearn rozšířil sérii na osmý řád a zkoumal, které termíny jsou nutné k dosažení přesnosti 1 mm (měření na zemi). Tyto série Keith Redfearn jsou stále základem mapových projekcí OSGB.
  • Thomas – UTM : Expanze λ Krügera také potvrdil Paul Thomas v roce 1952: jsou snadno dostupné ve Snyderu. Jeho projekční vzorce, zcela ekvivalentní těm, které představil Redfearn, byly přijaty agenturou United States Defense Mapping Agency jako základ pro UTM . Jsou také začleněny do převaděče souřadnic Geotrans, který dala k dispozici americká Národní geoprostorová zpravodajská agentura [3] .
  • Jiné země : Řady Redfearn jsou základem geodetického mapování v mnoha zemích: v Austrálii, Německu, Kanadě, Jižní Africe. (Seznam je uveden v dodatku A.1 Stuifbergen 2009.)
  • Bylo navrženo mnoho variant řady Redfearn, ale důležité jsou pouze ty, které přijaly národní kartografické agentury. Příklad úprav, které nemají tento stav, naleznete v Příčném Mercatoru: Série Bowring ). Všechny tyto modifikace byly zastíněny silou moderních počítačů a vývojem n -sérií vysokého řádu popsaných níže. Přesné řady Redfearn, i když nízkého řádu, nelze ignorovat, protože jsou stále zakotveny v kvazilegálních definicích OSGB a UTM atd.

Řadu Krüger– n implementovaly (do čtvrtého řádu v n ) následující národy.

  • Francie
  • Finsko
  • Švédsko
  • Japonsko

Verze Krüger - n vyšších řad byly implementovány do sedmého řádu společnostmi Ensager a Poder a do desátého řádu společností Kawase. Kromě rozšíření řady pro transformaci mezi zeměpisnou šířkou a konformní šířkou Karney implementovala sérii do třicátého řádu.

Přesný Gauss – Krüger a přesnost zkrácené série

Přesné řešení EH Thompsona popisuje LP Lee. Je konstruován z hlediska eliptických funkcí (definovaných v kapitolách 19 a 22 příručky NIST), které lze vypočítat s libovolnou přesností pomocí algebraických výpočetních systémů, jako je Maxima. Takovou implementaci přesného řešení popisuje Karney (2011).

Přesné řešení je cenným nástrojem při posuzování přesnosti zkrácených řad n a λ. Například původní řada 1912 Krüger– n je velmi příznivě srovnatelná s přesnými hodnotami: liší se o méně než 0,31 μm do 1000 km od centrálního poledníku a o méně než 1 mm na 6000 km. Na druhou stranu je rozdíl v sérii Redfearn, kterou používá Geotrans, a přesného řešení menší než 1 mm od rozdílu délky 3 stupně, což odpovídá vzdálenosti 334 km od centrálního poledníku na rovníku, ale pouhých 35 km na severní hranici zóny UTM. Série Krüger– n je tedy mnohem lepší než řada Redfearn λ.

S rozšiřováním zóny se série Redfearn stává mnohem horší. Karney pojednává o Grónsku jako o poučném příkladu. Dlouhá tenká pevnina je soustředěna na 42 W a v nejširším místě není od tohoto poledníku vzdálena více než 750 km, zatímco rozpětí v zeměpisné délce dosahuje téměř 50 stupňů. Krüger– n má přesnost 1 mm, ale verze Redfearn řady Krüger– λ má maximální chybu 1 kilometr.

Karneyova vlastní řada 8. řádu (v n ) má přesnost 5 nm do 3900 km od centrálního poledníku.

Vzorce pro sférický příčný Mercator

Sférický normální Mercator znovu navštíven

Normální aspekt tečné válcové projekce koule

Normální válcové výstupky jsou popsány ve vztahu k válci tangenciálnímu na rovníku s osou podél polární osy koule. Válcové výstupky jsou konstruovány tak, že všechny body na poledníku jsou promítány do bodů s x  =  a y s předepsanou funkcí φ . Pro tečnou projekci Normal Mercator jsou (jedinečné) vzorce, které zaručují shodu, následující:

Shoda znamená, že bodová stupnice , k , je nezávislá na směru: je to funkce pouze zeměpisné šířky:

Pro sečnou verzi projekce existuje faktor k 0 na pravé straně všech těchto rovnic: to zajišťuje, že měřítko se rovná k 0 na rovníku.

Normální a příčné mřížky

Příčné mercatorové mřížky

Obrázek vlevo ukazuje, jak souvisí příčný válec s konvenční mřížkou na kouli. Je tangenciální k jakémukoli libovolně zvolenému poledníku a jeho osa je kolmá na osu koule. X - a y -axes definované na obrázku se vztahují k rovníku a centrálního poledníku přesně tak, jak jsou pro normální projekci. Na obrázku vpravo je otočná mřížka vztažena k příčnému válci stejným způsobem, jako normální válec souvisí se standardní mřížkou. 'Rovník', 'póly' (E a ​​W) a 'meridiány' otočené mřížky jsou identifikovány se zvoleným centrálním poledníkem, body na rovníku 90 stupňů východně a západně od centrálního poledníku a velké kruhy skrz tyto body.

Příčná geometrie mercatoru

Pozici libovolného bodu ( φ , λ ) na standardní mřížce lze také identifikovat z hlediska úhlů na otočné mřížce: φ ′ (úhel M'CP) je efektivní zeměpisná šířka a - λ ′ (úhel M′CO) se stává efektivní délkou. (Znaménko minus je nutné, aby ( φ ′ , λ ′ ) souvisely s otočenou mřížkou stejným způsobem, jako ( φ , λ ) souvisí se standardní mřížkou). Kartézské ( x ' , y' ) osy souvisejí s otočenou mřížkou stejným způsobem jako osy ( x , y ) souvisí se standardní mřížkou.

Tečná příčná Mercatorova projekce definuje souřadnice ( x ′ , y ′ ) ve smyslu - λ ′ a φ ′ pomocí transformačních vzorců tečné normální Mercatorovy projekce:

Tato transformace promítá centrální poledník na přímku konečné délky a zároveň promítá velké kruhy přes E a W (které zahrnují rovník) do nekonečných přímek kolmých na centrální poledník. Skutečné rovnoběžky a meridiány (jiné než rovník a centrální poledník) nemají žádný jednoduchý vztah k otočné mřížce a vyčnívají do komplikovaných křivek.

Vztah mezi mřížemi

Úhly těchto dvou mřížek souvisí pomocí sférické trigonometrie na sférickém trojúhelníku NM'P definovaném skutečným poledníkem přes počátek, OM'N, pravým poledníkem přes libovolný bod, MPN a velkým kruhem WM'PE. Výsledky jsou:

Přímé transformační vzorce

Přímé vzorce udávající karteziánské souřadnice ( x , y ) vyplývají bezprostředně z výše uvedeného. Nastavení x  =  y ' a y  = - x' (a obnovující faktory k 0 pro přizpůsobení verzím secant)

Výše uvedené výrazy jsou uvedeny v Lambert a také (bez odvození) v Snyder, Maling a Osborne (s úplnými podrobnostmi).

Inverzní transformační vzorce

Invertování výše uvedených rovnic dává

Bodová stupnice

Co se týče souřadnic vzhledem k otočné mřížce, faktor faktoru bodu je dán k  = s  φ ′ : to lze vyjádřit buď zeměpisnými souřadnicemi, nebo souřadnicemi projekce:

Druhý výraz ukazuje, že faktor měřítka je jednoduše funkcí vzdálenosti od centrálního poledníku projekce. Typická hodnota měřítka je k 0  = 0,9996, takže k  = 1, když x je přibližně 180 km. Když x je přibližně 255 km a k 0  = 1 0004: faktor měřítka je v rozmezí 0,04% jednoty na pásu širokém asi 510 km.

Konvergence

Úhel konvergence

Konvergenční úhel γ v bodě projekce je definován úhlem měřeným od promítnutého poledníku, který definuje skutečný sever, k přímce mřížky s konstantou x , definující sever mřížky. Proto je γ kladné v kvadrantu severně od rovníku a na východ od centrálního poledníku a také v kvadrantu jižně od rovníku a západně od centrálního poledníku. Konvergenci je třeba přidat k mřížkovému ložisku, aby se získalo ložisko ze skutečného severu. Sečanový příčný Mercator může být konvergence vyjádřena buď zeměpisnými souřadnicemi, nebo souřadnicemi projekce:

Vzorce pro elipsoidní příčný Mercator

Podrobnosti o skutečných implementacích

Souřadnice, mřížky, východy a severy

Souřadnicové projekce vyplývající z různých vývojů elipsoidního příčného Mercatoru jsou karteziánské souřadnice tak, že centrální poledník odpovídá ose x a rovník odpovídá ose y . Oba x a y jsou definovány pro všechny hodnoty λ a ϕ . Projekce nedefinuje mřížku: mřížka je nezávislá konstrukce, kterou lze definovat libovolně. V praxi národní implementace a UTM používají mřížky zarovnané s karteziánskými osami projekce, ale jsou omezeného rozsahu, jejichž počátky se nemusí shodovat s průsečíkem centrálního poledníku s rovníkem.

Pravda mřížka původ je vždy přijata na centrální poledník, takže mřížka poloha bude negativní na západ od centrálního poledníku. Aby se předešlo těmto negativním souřadnic mříže, běžná praxe definuje falešný původ na západ (a případně na sever nebo jih) z mřížky původu: souřadnicemi vzhledem k falešnému původu definovat eastings a northings který bude vždy pozitivní. False východní souřadnice , E 0 , je vzdálenost pravého grid původu východně od falešného původu. False northing , N 0 , je vzdálenost pravého grid původu severu falešného původu. Pokud je skutečný původ mřížky na zeměpisné šířce φ 0 na centrálním poledníku a faktor měřítka je centrální poledník k 0, pak tyto definice udávají východy a severy podle:

Výrazy „východy“ a „severy“ neznamenají přísný směr na východ a na sever. Mřížkové linie příčné projekce, jiné než osy x a y , nevedou severojižně nebo východozápadně, jak je definováno rovnoběžkami a poledníky. To je zřejmé z výše uvedených globálních projekcí. V blízkosti centrálního poledníku jsou rozdíly malé, ale měřitelné. Rozdíl mezi severojižními mřížkami a skutečnými poledníky je úhel konvergence .

Viz také

Reference

externí odkazy