Trojúhelník - Triangle

Rovnostranný trojúhelník
Pravidelný mnohoúhelník 3 s poznámkami. Svg
Pravidelný trojúhelník
Typ Pravidelný mnohoúhelník
Hrany a vrcholy 3
Symbol Schläfli {3}
Coxeterův diagram CDel uzel 1.pngCDel 3.pngCDel node.png
Skupina symetrie Vzepětí (D 3 ), pořadí 2 × 3
Vnitřní úhel ( stupně ) 60 °
Duální mnohoúhelník
Vlastnosti Konvexní , cyklické , rovnostranné , izogonální , izotoxické
Trojúhelník
Trojúhelníkový obrázek. Svg
Trojúhelník
Hrany a vrcholy 3
Symbol Schläfli {3} (pro rovnostranné)
Plocha různé metody;
viz. níže
Vnitřní úhel ( stupně ) 60 ° (pro rovnostranné)
trojúhelník, tri, tři, úhel
Trojúhelník = Tri (tři) + úhel

Trojúhelník je mnohoúhelník se třemi okraji a třemi vrcholy . Je to jeden ze základních tvarů v geometrii . Trojúhelník s vrcholy A , B a C je označen .

V euklidovské geometrii všechny tři body, pokud nejsou kolineární , určují jedinečný trojúhelník a současně jedinečnou rovinu (tj. Dvourozměrný euklidovský prostor ). Jinými slovy, existuje pouze jedna rovina, která obsahuje tento trojúhelník, a každý trojúhelník je obsažen v nějaké rovině. Pokud je celá geometrie pouze euklidovskou rovinou , existuje pouze jedna rovina a jsou v ní obsaženy všechny trojúhelníky; ve vyšších dimenzionálních euklidovských prostorech to však již neplatí. Tento článek je o trojúhelnících v euklidovské geometrii, a zejména o euklidovské rovině, pokud není uvedeno jinak.

Typy trojúhelníků

Eulerův diagram typů trojúhelníků pomocí definice, že rovnoramenné trojúhelníky mají alespoň 2 stejné strany (tj. Rovnostranné trojúhelníky jsou rovnoramenné).

Terminologie pro kategorizaci trojúhelníků je stará více než dva tisíce let a byla definována na první stránce Euclidových prvků . Názvy používané pro moderní klasifikaci jsou buď přímým přepisem euklidovské řečtiny, nebo jejich latinskými překlady.

Podle délek stran

Starověký řecký matematik Euclid definoval tři typy trojúhelníků podle délky jejich stran:

Řek : τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς , ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς , σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς , rozsvícený "Z trilaterálních obrazců je isopleuronský [rovnostranný] trojúhelník ten, který má tři stejné strany, rovnoramenný , který má dvě ze svých stran rovné, a scalene ten, který má své tři strany nerovné."

  • Rovnostranný trojúhelník ( řecký : ἰσόπλευρον , romanizedisópleuron , rozsvícený ‚rovné strany‘) má tři strany se stejnou délkou. Rovnostranný trojúhelník je také pravidelný mnohoúhelník se všemi úhly měřícími 60 °.
  • Rovnoramenný trojúhelník ( řecký : ἰσοσκελὲς , romanizedisoskelés , svítí ‚rovné nohy‘) má dva stejně dlouhé strany. Rovnoměrný trojúhelník má také dva úhly stejné míry, a to úhly opačné ke dvěma stranám stejné délky. Tato skutečnost je obsahem věty o rovnoramenných trojúhelnících , kterou znal Euclid . Někteří matematici definují rovnoramenný trojúhelník tak, aby měl přesně dvě stejné strany, zatímco jiní definují rovnoramenný trojúhelník jako jeden s alespoň dvěma stejnými stranami. Druhá definice by udělala ze všech rovnostranných trojúhelníků rovnoramenné trojúhelníky. Pravoúhlý trojúhelník 45–45–90, který se objevuje ve čtvercovém obkladu tetrakis , je rovnoramenný.
  • Scalene trojúhelník ( řecký : σκαληνὸν , romanizedskalinón , rozsvícený ‚nerovné‘), má všechny své strany různých délek. Ekvivalentně má všechny úhly různé míry.

Šrafovací značky , nazývané také zaškrtávací značky, se používají v diagramech trojúhelníků a jiných geometrických obrazců k identifikaci stejně dlouhých stran. Strana může být označena vzorem „klíšťat“, krátkých úseček ve formě značek shod ; dvě strany mají stejnou délku, pokud jsou obě označeny stejným vzorem. V trojúhelníku vzor obvykle nepřesahuje 3 klíšťata. Rovnostranný trojúhelník má stejný vzor na všech 3 stranách, rovnoramenný trojúhelník má stejný vzor pouze na 2 stranách a scalenový trojúhelník má na všech stranách různé vzory, protože žádné strany nejsou stejné.

Podobně se vzory 1, 2 nebo 3 soustředných oblouků uvnitř úhlů používají k označení stejných úhlů: rovnostranný trojúhelník má stejný vzor na všech 3 úhlech, rovnoramenný trojúhelník má stejný vzor na pouhých 2 úhlech a trojúhelník scalene má různé vzory ve všech úhlech, protože žádné úhly nejsou stejné.

Vnitřními úhly

První stránka Euclidových prvků , z první tištěné verze na světě (1482), zobrazující část „definice“ knihy I. Pravý trojúhelník je označen „ orthogonius “ a dva zobrazené úhly jsou „acutus“ a „angulus obtusus“ .

Trojúhelníky lze také klasifikovat podle jejich vnitřních úhlů , měřených zde ve stupních .

  • Pravoúhlý trojúhelník (nebo pravoúhlý trojúhelník , dříve nazývaný rectangled trojúhelník ) má jeden z jeho vnitřních úhlů měření 90 ° C (na pravý úhel ). Strana opačná k pravému úhlu je přepona , nejdelší strana trojúhelníku. Další dvě strany se nazývají nohy nebo catheti (singulární: cathetus ) trojúhelníku. Pravoúhlé trojúhelníky se řídí Pythagorovou větou : součet čtverců délek obou nohou se rovná čtverci délky přepony: a 2 + b 2 = c 2 , kde a a b jsou délky nohou a c je délka přepony. Speciální pravé trojúhelníky jsou pravoúhlé trojúhelníky s dalšími vlastnostmi, které usnadňují jejich výpočty. Jedním ze dvou nejznámějších je trojúhelník 3–4–5, kde 3 2 + 4 2 = 5 2 . Trojúhelník 3–4–5 je také známý jako egyptský trojúhelník. V této situaci jsou 3, 4 a 5 pythagorejská trojka . Druhý je rovnoramenný trojúhelník, který má 2 úhly měřící 45 stupňů (trojúhelník 45–45–90).
  • Trojúhelník se všemi vnitřními úhly měřícími méně než 90 ° je trojúhelník s ostrým úhlem nebo trojúhelník s ostrým úhlem . Pokud c je délka nejdelší strany, pak a 2 + b 2 > c 2 , kde a a b jsou délky ostatních stran.
  • Trojúhelník s jedním vnitřním úhlem měřícím více než 90 ° je tupý trojúhelník nebo trojúhelník s tupým úhlem . Pokud c je délka nejdelší strany, pak a 2 + b 2 < c 2 , kde a a b jsou délky ostatních stran.
  • Trojúhelník s vnitřním úhlem 180 ° (a kolineární vrcholy) je zdegenerovaný . Pravý degenerovaný trojúhelník má kolineární vrcholy, z nichž dva jsou shodné.

Trojúhelník, který má dva úhly se stejnou mírou, má také dvě strany se stejnou délkou, a proto je rovnoramenný trojúhelník. Z toho vyplývá, že v trojúhelníku, kde všechny úhly mají stejnou míru, mají všechny tři strany stejnou délku, a proto je rovnostranný.

Pravoúhlý trojuhelník Tupý trojúhelník Akutní trojúhelník
Že jo Tupý Akutní
 
  Šikmý

Základní fakta

Trojúhelník ukazující vnější úhel d.

Předpokládá se, že trojúhelníky jsou dvojrozměrné rovinné figury , pokud kontext nestanoví jinak (viz Nerovinné trojúhelníky níže). Při přísné léčbě se proto trojúhelník nazývá 2- simplex (viz také Polytop ). Základní fakta o trojúhelnících představil Euclid v knihách 1–4 jeho Prvků , napsaných kolem roku 300 př. N. L.

Míry vnitřních úhlů trojúhelníku se vždy sčítají až o 180 stupňů (stejná barva, která poukazuje na to, že jsou stejné).

Součet opatření vnitřních úhlů trojúhelníku v euklidovském prostoru je vždy o 180 stupňů. Tato skutečnost je ekvivalentní Euclidovu paralelnímu postulátu . To umožňuje určení míry třetího úhlu libovolného trojúhelníku, vzhledem k míře dvou úhlů. Vnější úhel trojúhelníku je úhel, který je lineární dvojice (a tudíž doplňkový ) k vnitřnímu úhlu. Míra vnějšího úhlu trojúhelníku se rovná součtu rozměrů dvou vnitřních úhlů, které k němu nejsou přilehlé; toto je věta o vnějším úhlu . Součet měr tří vnějších úhlů (jeden pro každý vrchol) libovolného trojúhelníku je 360 ​​stupňů.

Podobnost a shoda

Dva trojúhelníky jsou prý podobné , pokud každý úhel jednoho trojúhelníku má stejnou míru jako odpovídající úhel v jiném trojúhelníku. Odpovídající strany podobných trojúhelníků mají délky, které jsou ve stejném poměru, a tato vlastnost je také dostačující pro stanovení podobnosti.

Některé základní věty o podobných trojúhelnících jsou:

  • Pokud a pouze pokud jeden pár vnitřních úhlů dvou trojúhelníků má stejnou míru jako každý jiný a další pár má také stejnou míru jako každý jiný, jsou trojúhelníky podobné.
  • Pokud a pouze pokud jsou jedna dvojice odpovídajících stran dvou trojúhelníků ve stejném poměru jako další dvojice odpovídajících stran a jejich zahrnuté úhly mají stejnou míru, pak jsou trojúhelníky podobné. ( Zahrnutý úhel pro libovolné dvě strany mnohoúhelníku je vnitřní úhel mezi těmito dvěma stranami.)
  • Pokud a pouze pokud jsou tři páry odpovídajících stran dvou trojúhelníků všechny ve stejném poměru, pak jsou trojúhelníky podobné.

Dva shodné trojúhelníky mají přesně stejnou velikost a tvar: všechny páry odpovídajících vnitřních úhlů jsou si měřeny stejně a všechny páry odpovídajících stran mají stejnou délku. (To je celkem šest rovností, ale tři jsou často dostačující k prokázání shody.)

Některé individuálně nutné a dostatečné podmínky pro to, aby dvojice trojúhelníků byla shodná, jsou:

  • Postulát SAS: Dvě strany v trojúhelníku mají stejnou délku jako dvě strany v druhém trojúhelníku a zahrnuté úhly mají stejnou míru.
  • ASA: Dva vnitřní úhly a zahrnutá strana v trojúhelníku mají stejnou míru a délku jako v druhém trojúhelníku. ( Zahrnutá strana pro pár úhlů je strana, která je jim společná.)
  • SSS: Každá strana trojúhelníku má stejnou délku jako odpovídající strana druhého trojúhelníku.
  • AAS: Dva úhly a odpovídající (nezahrnutá) strana v trojúhelníku mají stejnou míru a délku jako v druhém trojúhelníku. (Toto je někdy označováno jako AAcorrS a pak zahrnuje ASA výše.)

Některé individuálně dostatečné podmínky jsou:

  • Věta o hypotenze-noha (HL): Přepona a noha v pravoúhlém trojúhelníku mají stejnou délku jako v jiném pravoúhlém trojúhelníku. Toto se také nazývá RHS (pravý úhel, přepona, strana).
  • Věta o hypotenze-úhlu: Přepona a ostrý úhel v jednom pravoúhlém trojúhelníku mají stejnou délku a míru jako v druhém pravoúhlém trojúhelníku. Toto je jen konkrétní případ věty AAS.

Důležitou podmínkou je:

  • Boční Boční úhel (nebo úhel na straně na straně) stav: Jestliže dvě strany a odpovídajícími jinými než úhel trojúhelníku mají stejnou délku a míru, v daném pořadí, jsou ty, v jiném trojúhelníku, pak je to není dostatečné k prokázání shoda; ale pokud je daný úhel opačný k delší straně obou stran, pak jsou trojúhelníky shodné. Zvláštním případem tohoto kritéria je věta o hypotenze. Podmínka Side-Side-Angle sama o sobě nezaručuje, že jsou trojúhelníky shodné, protože jeden trojúhelník může mít tupý a druhý ostrý úhel.

Pomocí pravoúhlých trojúhelníků a konceptu podobnosti lze definovat goniometrické funkce sinus a kosinus. Jedná se o funkce úhlu, které jsou zkoumány v trigonometrii .

Pravoúhlé trojúhelníky

Pythagorova věta

Centrální větou je Pythagorova věta , která v libovolném pravoúhlém trojúhelníku uvádí , že čtverec délky přepony se rovná součtu čtverců délek dvou dalších stran. Pokud má přepona délku c a nohy mají délky a a b , pak to věta uvádí

Opak je pravdou: pokud délky stran trojúhelníku splňují výše uvedenou rovnici, pak má trojúhelník pravý úhel na opačné straně c .

Některá další fakta o pravoúhlých trojúhelnících:

  • Ostré úhly pravoúhlého trojúhelníku se doplňují .
  • Pokud mají nohy pravoúhlého trojúhelníku stejnou délku, pak úhly opačné k těmto nohám mají stejnou míru. Protože jsou tyto úhly komplementární, vyplývá z toho, že každý měří 45 stupňů. Podle Pythagorovy věty je délka přepony délka nohy krát 2 .
  • V pravoúhlém trojúhelníku s ostrými úhly měřícími 30 a 60 stupňů je přepona dvakrát delší než kratší strana a delší strana se rovná délce kratších bočních časů 3 :

U všech trojúhelníků jsou úhly a strany spojeny kosinovým zákonem a zákonem sinusů (nazývané také kosinusové pravidlo a sinusové pravidlo ).

Existence trojúhelníku

Stav na bocích

Tyto trojúhelník nerovnost uvádí, že součet délek jakýchkoliv dvou stran trojúhelníku, musí být větší nebo rovna délce třetího strany. Tento součet se může rovnat délce třetí strany pouze v případě degenerovaného trojúhelníku, jednoho s kolineárními vrcholy. Není možné, aby tato částka byla menší než délka třetí strany. Trojúhelník se třemi danými kladnými délkami stran existuje právě tehdy, pokud tyto délky stran splňují nerovnost trojúhelníku.

Podmínky na úhlech

Tři dané úhly tvoří nedegenerovaný trojúhelník (a skutečně jejich nekonečnost) právě tehdy, když platí obě tyto podmínky: (a) každý z úhlů je kladný a (b) úhel je součet 180 °. Pokud jsou povoleny degenerované trojúhelníky, jsou povoleny úhly 0 °.

Trigonometrické podmínky

Tři kladné úhly α , β a γ , z nichž každý je menší než 180 °, jsou úhly trojúhelníku právě tehdy, pokud platí některá z následujících podmínek:

poslední rovnost platí pouze v případě, že žádný z úhlů není 90 ° (takže hodnota tečné funkce je vždy konečná).

Body, čáry a kruhy spojené s trojúhelníkem

Existují tisíce různých konstrukcí, které nacházejí zvláštní bod spojený (a často uvnitř) s trojúhelníkem, čímž splňují některé jedinečné vlastnosti: jejich článek najdete v článku Encyklopedie center trojúhelníků . Často jsou konstruovány tak, že najdou tři čáry symetricky spojené se třemi stranami (nebo vrcholy) a poté dokážou, že se tyto tři čáry setkávají v jednom bodě: důležitým nástrojem pro prokázání jejich existence je Cevova věta , která dává Kritérium pro určení, kdy jsou tři takové linie souběžné . Podobně jsou čáry spojené s trojúhelníkem často konstruovány tak, že se prokáže, že tři symetricky sestrojené body jsou kolineární : zde dává Menelausova věta užitečné obecné kritérium. V této části je vysvětleno několik nejčastěji se vyskytujících konstrukcí.

Circumcenter je středem kružnice procházející přes tři vrcholy trojúhelníku.

Kolmá sečna ze strany trojúhelníku je přímka procházející středem bočního a je kolmá k ní, tedy tvoří pravý úhel s ní. Tří kolmých bisectors setkávají v jednom bodě, trojúhelníku circumcenter , obvykle označován O ; tento bod je středem kružnice , kružnice procházející všemi třemi vrcholy. Průměr tohoto kruhu, nazývaný circumdiameter , lze zjistit z výše uvedeného zákona sinusů. Poloměr kruhu je nazýván circumradius .

Thalesova věta naznačuje, že pokud je circumcenter umístěn na straně trojúhelníku, pak je opačný úhel pravý. Pokud je circumcenter umístěn uvnitř trojúhelníku, pak je trojúhelník akutní; pokud je circumcenter umístěn mimo trojúhelník, pak je trojúhelník tupý.

Průsečíkem výšek je ortocentrum .

Výška trojúhelníku je rovná čára přes vrchol a kolmé k (tj tvoří pravý úhel s) na stranu opačnou. Tato opačná strana se nazývá základna nadmořské výšky a bod, kde výška protíná základnu (nebo její prodloužení), se nazývá úpatí nadmořské výšky. Délka nadmořské výšky je vzdálenost mezi základnou a vrcholem. Tři výšky protínají v jediném bodě, volal orthocenter trojúhelníku, obvykle označován H . Ortocentrum leží uvnitř trojúhelníku právě tehdy, je -li trojúhelník akutní.

Průsečík úhlových půlíků je středem kruhového kruhu .

Osa úhlu trojúhelníku je rovná čára přes vrchol, který řeže odpovídající úhel na dvě poloviny. Tyto tři úhlové půlící body se protínají v jednom bodě, incenteru , obvykle označeném I , středem kruhového trojúhelníku . Incircle je kruh, který leží uvnitř trojúhelníku a dotýká se všech tří stran. Jeho poloměr se nazývá inradius . Existují další tři důležité kruhy, excircles ; leží mimo trojúhelník a dotýkají se jedné strany stejně jako prodloužení dalších dvou. Středy in- a excircles tvoří ortocentrický systém .

Průsečíkem mediánů je těžiště .

Střední trojúhelníku je rovná čára přes vrchol a střed na straně protilehlé, a rozděluje trojúhelník na dvě stejné oblasti. Tři mediány protínají v jediném bodě, trojúhelníku těžiště nebo geometrický těžiště, obvykle označován G . Těžiště tuhého trojúhelníkového předmětu (vyříznutého z tenké fólie o stejné hustotě) je také jeho těžištěm : objekt může být vyvážen na těžiště v rovnoměrném gravitačním poli. Těžiště snižuje každý medián v poměru 2: 1, tj. Vzdálenost mezi vrcholem a těžištěm je dvojnásobkem vzdálenosti mezi těžištěm a středem protější strany.

Devítibodový kruh ukazuje symetrii, kde šest bodů leží na okraji trojúhelníku.

Středy tří stran a nohy tří nadmořských výšek leží na jednom kruhu, devítibodovém kruhu trojúhelníku . Zbývající tři body, pro které je pojmenována, jsou středy části nadmořské výšky mezi vrcholy a ortocentrem . Poloměr devítibodové kružnice je poloviční než poloměr kruhu. Dotýká se incircle (v místě Feuerbach ) a tří excircles .

Eulerova čára je přímka procházející ortocentrem (modrá), středem devítibodového kruhu (červená), těžiště (oranžová) a circumcenter (zelená)

Ortocentrum (modrý bod), střed devítibodového kruhu (červený), těžiště (oranžový) a circumcenter (zelený) leží na jedné přímce, známé jako Eulerova čára (červená čára). Střed devítibodového kruhu leží ve středu mezi orthocentrem a circumcenterem a vzdálenost mezi těžištěm a circumcenterem je poloviční než mezi těžištěm a orthocenterem.

Střed kruhového kruhu se obecně nenachází na Eulerově linii.

Odráží -li člověk medián v úhlovém půlící úhlu, který prochází stejným vrcholem, získá symmediána . Tři symmediáni se protínají v jednom bodě, symmediánském bodu trojúhelníku.

Výpočet stran a úhlů

Existují různé standardní metody pro výpočet délky strany nebo míry úhlu. Určité metody jsou vhodné pro výpočet hodnot v pravoúhlém trojúhelníku; v jiných situacích mohou být vyžadovány složitější metody.

Trigonometrické poměry v pravoúhlých trojúhelnících

Pravoúhlý trojúhelník vždy zahrnuje (/ 2 radiány n) úhel 90 °, zde s označením C. Úhly A a B, se může lišit. Trigonometrické funkce určují vztahy mezi délkami stran a vnitřními úhly pravoúhlého trojúhelníku.

V pravoúhlých trojúhelnících lze goniometrické poměry sinus, kosinus a tangens použít k nalezení neznámých úhlů a délek neznámých stran. Strany trojúhelníku jsou známy následovně:

  • Přepona je strana protilehlá pravému úhlu, nebo je definována jako nejdelší strana trojúhelníku pravoúhlé, v tomto případě h .
  • Strana protilehlá je strana protilehlá úhlu máme zájem o, v tomto případě A .
  • Sousedící strana je strana, která je v kontaktu s úhlem Zajímáme a pravého úhlu, proto jeho jméno. V tomto případě je přilehlá strana b .

Sinus, kosinus a tangenta

Sinus úhlu je poměr délky strany protilehlé k délce přepony. V našem případě

Tento poměr nezávisí na konkrétním vybraném pravoúhlém trojúhelníku, pokud obsahuje úhel A , protože všechny tyto trojúhelníky jsou podobné .

Cosinus úhlu je poměr délky přilehlé strany k délce přepony. V našem případě

Tangenta úhlu je poměr délky strany protilehlé k délce přilehlé strany. V našem případě

Zkratka „ SOH-CAH-TOA “ je pro tyto poměry užitečnou mnemotechnickou pomůckou .

Inverzní funkce

Tyto inverzní goniometrické funkce mohou být použity pro výpočet vnitřní úhly pro pravoúhlého trojúhelníku s délkou libovolných dvou stran.

Arcsin lze použít k výpočtu úhlu z délky protilehlé strany a délky přepony.

Arccos lze použít k výpočtu úhlu z délky přilehlé strany a délky přepony.

Arctan lze použít k výpočtu úhlu z délky protilehlé strany a délky sousední strany.

V úvodních kurzech geometrie a trigonometrie se často místo arcsinu, arccosu atd. Používá notace sin −1 , cos −1 atd. Notace arcsin, arccos atd. Je však ve vyšší matematice standardem, kde je goniometrická funkce se běžně rozšiřují na mocniny, protože se tím zamezuje záměně mezi multiplikativní inverzí a inverzí kompozice .

Pravidla sinus, kosinus a tangenta

Trojúhelník se stranami délky a, b a c a úhly α, β a γ.

Sinová věta , nebo sinusové pravidla, uvádí, že poměr délky strany k sinu jeho odpovídající úhlu opačným je konstantní, to znamená

Tento poměr se rovná průměru ohraničené kružnice daného trojúhelníku. Další interpretace této věty je, že každý trojúhelník s úhly α, β a γ je podobný trojúhelníku s délkami stran rovnými sin α, sin β a sin γ. Tento trojúhelník lze sestrojit tak, že nejprve vytvoříme kruh o průměru 1 a vepsáme do něj dva úhly trojúhelníku. Délka stran tohoto trojúhelníku bude sin α, sin β a sin γ. Strana, jejíž délka je sin α, je opačná než úhel, jehož míra je α atd.

Zákon cosines nebo pravidlo cosinus, spojuje délku neznámého strany trojúhelníku na délku ostatních stran a úhel protilehlé neznámé strany. Podle zákona:

Pro trojúhelník s délkou stran a , b , c a úhly α, β, γ v uvedeném pořadí udávají dvě známé délky trojúhelníku a a b a úhel mezi dvěma známými stranami γ (nebo úhel opačný k neznámému strana c ), pro výpočet třetí strany c lze použít následující vzorec:

Pokud jsou známy délky všech tří stran libovolného trojúhelníku, lze vypočítat tři úhly:

Tangentová věta , nebo pravidlo tečné, může být použit k vyhledání stranu nebo pod úhlem, kdy jsou známy dvě strany a úhel nebo dva úhly a boční. Uvádí, že:

Řešení trojúhelníků

„Řešení trojúhelníků“ je hlavní trigonometrický problém: najít chybějící charakteristiky trojúhelníku (tři úhly, délky tří stran atd.), Když jsou uvedeny alespoň tři z těchto charakteristik. Trojúhelník může být umístěn na rovině nebo na kouli . Tento problém se často vyskytuje v různých trigonometrických aplikacích, jako je geodézie , astronomie , stavebnictví , navigace atd.

Výpočet plochy trojúhelníku

Plochu trojúhelníku lze demonstrovat, například pomocí shody trojúhelníků , jako polovinu plochy rovnoběžníku, který má stejnou délku a výšku základny.
Grafické odvození vzorce, které se vyhýbá obvyklému postupu zdvojnásobení plochy trojúhelníku a jeho následného rozpůlení.

Výpočet plochy T trojúhelníku je elementární problém, se kterým se často setkáváme v mnoha různých situacích. Nejznámější a nejjednodušší vzorec je:

kde b je délka základny trojúhelníku a h je výška nebo nadmořská výška trojúhelníku. Termín „základna“ označuje jakoukoli stranu a „výška“ označuje délku kolmice od vrcholu opačného k základně na čáru obsahující základnu. V roce 499 n. L. Aryabhata použil tuto ilustrovanou metodu v Aryabhatiya (část 2.6).

Ačkoli je tento vzorec jednoduchý, je užitečný pouze tehdy, když lze výšku snadno zjistit, což není vždy pravda. Například pro geodeta v trojúhelníkovém poli může být relativně snadné změřit délku každé strany, ale relativně obtížné sestrojit „výšku“. V praxi lze použít různé metody v závislosti na tom, co je o trojúhelníku známo. Následuje výběr často používaných vzorců pro oblast trojúhelníku.

Pomocí trigonometrie

Použití trigonometrie k nalezení nadmořské výšky h .

Výšku trojúhelníku lze zjistit pomocí trigonometrie .

Knowing SAS : Pomocí štítků na obrázku vpravo, nadmořská výška je h = sin . Nahradíme -li to ve vzorci odvozeném výše, může být plocha trojúhelníku vyjádřena jako:

(kde α je vnitřní úhel v A , β je vnitřní úhel v B , je vnitřní úhel v C a c je přímka AB ).

Kromě toho, protože sin α = sin ( π - α) = sin (β + ) a podobně pro další dva úhly:

Vědět AAS :

a analogicky, pokud je známá strana a nebo c .

Vědět ASA :

a analogicky, pokud je známá strana b nebo c .

Pomocí Heronova vzorce

Tvar trojúhelníku je určen délkami stran. Plochu lze tedy také odvodit z délek stran. Podle Heronova vzorce :

kde je semiperimetr nebo polovina obvodu trojúhelníku.

Tři další ekvivalentní způsoby psaní Heronova vzorce jsou

Pomocí vektorů

Plochu rovnoběžníku vloženého do trojrozměrného euklidovského prostoru lze vypočítat pomocí vektorů . Ať vektorů AB a AC bod v daném pořadí od A k B a z A na C . Plocha rovnoběžníku ABDC je pak

což je velikost křížového součinu vektorů AB a AC . Plocha trojúhelníku ABC je poloviční,

Plochu trojúhelníku ABC lze také vyjádřit pomocí bodových produktů takto:

Ve dvojrozměrném euklidovském prostoru, vyjadřujícím vektor AB jako volný vektor v karteziánském prostoru rovný ( x 1 , y 1 ) a AC jako ( x 2 , y 2 ), to lze přepsat jako:

Použití souřadnic

Pokud je vrchol A umístěn na počátku (0, 0) kartézské souřadnicové soustavy a souřadnice ostatních dvou vrcholů jsou dány vztahy B = ( x B , y B ) a C = ( x C , y C ) , pak oblast může být vypočítán jako 1 / 2 násobku absolutní hodnoty v determinantu

Pro tři obecné vrcholy platí rovnice:

které lze zapsat jako

Pokud jsou body označeny postupně ve směru proti směru hodinových ručiček, výše uvedené determinantní výrazy jsou kladné a znaky absolutní hodnoty lze vynechat. Výše uvedený vzorec je známý jako vzorec tkaničky nebo vzorec geodeta.

Najdeme -li vrcholy v komplexní rovině a označíme je v pořadí proti směru hodinových ručiček jako a = x A + y A i , b = x B + y B i , a c = x C + y C i , a jejich komplexní konjugáty označíme jako ,, a potom vzorec

je ekvivalentní vzorci tkaničky.

Ve třech rozměrech je plocha obecného trojúhelníku A = ( x A , y A , z A ) , B = ( x B , y B , z B ) a C = ( x C , y C , z C ) Pythagorova součet ploch příslušných výstupků na tři hlavní roviny (tj x = 0, y = 0 a z = 0):

Použití liniových integrálů

Oblast v jakékoliv uzavřené křivky, jako je trojúhelník, je dán křivkový integrál kolem křivkou algebraické nebo podepsané vzdálenost bodu na křivce z libovolné orientované přímky L . Body napravo od L jako orientované se považují za záporné vzdálenosti od L , zatímco váha integrálu se považuje za součást délky oblouku rovnoběžně s L spíše než za délku samotného oblouku.

Tato metoda je vhodná pro výpočet plochy libovolného mnohoúhelníku . Vezmeme -li L jako osu x , přímka integrální mezi po sobě jdoucími vrcholy ( x i , y i ) a ( x i +1 , y i +1 ) je dána základními časy střední výšky, konkrétně ( x i +1 - x i ) ( y i + y i +1 )/2 . Znak oblasti je celkovým ukazatelem směru průchodu, přičemž záporná oblast označuje pohyb proti směru hodinových ručiček. Plocha trojúhelníku pak vypadne jako v případě mnohoúhelníku se třemi stranami.

Zatímco metoda liniového integrálu má s jinými metodami založenými na souřadnicích společnou libovolnou volbu souřadnicového systému, na rozdíl od ostatních nedělá libovolnou volbu vrcholu trojúhelníku jako počátku nebo strany jako základu. Kromě toho volba souřadnicového systému definovaného L zavazuje pouze dva stupně volnosti místo obvyklých tří, protože váha je lokální vzdálenost (např. X i +1 - x i ve výše uvedeném), odkud metoda nevyžaduje výběr osy kolmé k L .

Při práci v polárních souřadnicích není nutné převádět na kartézské souřadnice, aby se použila integrace přímek, protože je dána přímka integrálu mezi po sobě jdoucími vrcholy ( r i , θ i ) a ( r i +1 , θ i +1 ) mnohoúhelníku přímo r i r i +1 sin (θ i +1 - θ i )/2 . To platí pro všechny hodnoty θ, s určitým poklesem numerické přesnosti, když | θ | je mnoho řádů větší než π. S touto formulací negativní oblast označuje pohyb ve směru hodinových ručiček, což je třeba mít na paměti při míchání polárních a kartézských souřadnic. Stejně jako volba y -osy ( x = 0 ) je pro integraci čar v kartézských souřadnicích nepodstatná, je zde i volba nulového záhlaví ( θ = 0 ) nehmotná.

Vzorce připomínající Heronův vzorec

Tři vzorce mají stejnou strukturu jako Heronův vzorec, ale jsou vyjádřeny pomocí různých proměnných. Nejprve označíme mediány ze stran a , b , a c v uvedeném pořadí jako m a , m b a m c a jejich poloviční součet ( m a + m b + m c )/2 jako σ, máme

Dále označující nadmořské výšky ze stran a , b , a c v uvedeném pořadí jako h a , h b , a h c , a označující poloviční součet vzájemných hodnot nadmořských výšek, jak máme

A označující poloviční součet sinusů úhlů jako S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 , máme

kde D je průměr kruhového kruhu:

Použití Pickovy věty

Techniku ​​pro hledání oblasti libovolného mnohoúhelníkového polygonu (ten nakreslený na mřížce se svisle a vodorovně sousedícími mřížkovými body ve stejných vzdálenostech a s vrcholy na mřížových bodech) najdete v Pickově větě .

Věta říká:

kde je počet bodů vnitřní mřížky a B je počet bodů mřížky ležících na hranici mnohoúhelníku.

Další vzorce oblastí

Existuje řada dalších vzorců oblastí, jako například

kde r je inradius a s je semiperimetr (ve skutečnosti tento vzorec platí pro všechny tangenciální polygony ) a

kde jsou poloměry excirklů tečné ke stranám a, b, c .

Také máme

a

pro obvod D ; a

pro úhel α ≠ 90 °.

Oblast lze také vyjádřit jako

V roce 1885, Baker dal sbírku více než sto různých oblastí vzorce pro trojúhelník. Tyto zahrnují:

pro circumradius (poloměr circumcircle) R , a

Horní hranice oblasti

Plocha T libovolného trojúhelníku s obvodem p splňuje

při zachování rovnosti právě tehdy, je -li trojúhelník rovnostranný.

Další horní hranice oblasti T jsou dány vztahem

a

oba opět drží právě tehdy, je -li trojúhelník rovnostranný.

Půlení oblasti

Existuje nekonečně mnoho čar, které půlí oblast trojúhelníku . Tři z nich jsou mediány, což jsou jediné plošné půlící body, které procházejí těžištěm. Tři další plošné úsečky jsou rovnoběžné se stranami trojúhelníku.

Jakákoli čára procházející trojúhelníkem, která rozděluje jak plochu trojúhelníku, tak jeho obvod na polovinu, prochází incenterem trojúhelníku. Pro jakýkoli daný trojúhelník může být jeden, dva nebo tři z nich.

Další vzorce pro obecné euklidovské trojúhelníky

Vzorce v této části platí pro všechny euklidovské trojúhelníky.

Mediány, úhlové půlící značky, kolmé boční půlící značky a nadmořské výšky

Mediány a boky jsou příbuzné

a

,

a ekvivalentně pro m b a m c .

Pro úhel A protilehlá strana a je délka vnitřního úhlového půlícího ústrojí dána vztahem

u semiperimetrů s , kde je délka úsečky měřena od vrcholu k místu, kde se setkává s opačnou stranou.

Vnitřní kolmé úsečky jsou dány vztahem

kde jsou strany a oblast

Nadmořská výška například ze strany délky a je

Circumradius a inradius

Následující vzorce zahrnují circumradius R a inradius r :

kde h a atd. jsou nadmořské výšky k upsaným stranám;

a

.

Součin dvou stran trojúhelníku se rovná nadmořské výšce na třetí stranu krát průměru D kružnice:

Sousední trojúhelníky

Předpokládejme, že dva sousední, ale nepřekrývající se trojúhelníky sdílejí stejnou stranu délky f a sdílejí stejný obvod, takže strana délky f je akordem kruhu a trojúhelníky mají délky stran ( a , b , f ) a ( c , d , f ), přičemž dva trojúhelníky dohromady tvoří cyklický čtyřúhelník s délkami stran v pořadí ( a , b , c , d ). Pak

Těžiště

Nechť G je těžiště trojúhelníku s vrcholy A , B a C a P je libovolný vnitřní bod. Poté jsou vzdálenosti mezi body vztaženy k

Součet čtverců stran trojúhelníku se rovná trojnásobku součtu čtvercových vzdáleností těžiště od vrcholů:

Nechť q a , q b a q c jsou vzdálenosti od těžiště ke stranám délek a , b a c . Pak

a

pro oblast T .

Circumcenter, incenter a orthocenter

Carnotova věta říká, že součet vzdáleností od circumcenteru ke třem stranám se rovná součtu circumradius a inradius. Zde je délka segmentu považována za zápornou právě tehdy, pokud segment leží zcela mimo trojúhelník. Tato metoda je zvláště užitečná pro odvozování vlastností abstraktnějších forem trojúhelníků, jako jsou ty, které jsou indukovány Lieovými algebrami , které mají jinak stejné vlastnosti jako obvyklé trojúhelníky.

Eulerova věta říká, že vzdálenost d mezi circumcenter a incenter je dána vztahem

nebo ekvivalentně

kde R je circumradius a r je inradius. Tedy pro všechny trojúhelníky R ≥ 2 r , přičemž rovnost platí pro rovnostranné trojúhelníky.

Označíme -li, že ortocentrum rozděluje jednu nadmořskou výšku na segmenty délek u a v , další výšku na segmentové délky w a x a třetí nadmořskou výšku na segmentové délky y a z , pak uv = wx = yz .

Vzdálenost od jedné strany k cirkcentru se rovná polovině vzdálenosti od opačného vrcholu k ortocentru.

Součet čtverců vzdáleností od vrcholů k ortocentru H plus součet čtverců stran se rovná dvanáctinásobku čtverce circumradius:

Úhly

Kromě zákona o sinech , zákona kosinů , zákona tečen a podmínek trigonometrické existence uvedených dříve pro jakýkoli trojúhelník

Morleyova trisektorová věta

Morleyův trojúhelník, který je výsledkem trojúhelníku každého vnitřního úhlu. Toto je příklad konečného pravidla dělení .

Morleyova trisektorová věta uvádí, že v každém trojúhelníku tři body průsečíku sousedních úhlových trisektorů tvoří rovnostranný trojúhelník, nazývaný Morleyův trojúhelník.

Postavy vepsané do trojúhelníku

Kuželové

Jak bylo diskutováno výše, každý trojúhelník má jedinečný vepsaný kruh (kruh), který je vnitřkem trojúhelníku a dotýká se všech tří stran.

Každý trojúhelník má jedinečnou Steinerovu inellipse, která je vnitřkem trojúhelníku a tečnou ve středech stran. Mardenova věta ukazuje, jak najít ohniska této elipsy . Tato elipsa má největší plochu ze všech elips dotýkajících se všech tří stran trojúhelníku.

Mandart inellipse trojúhelníku je elipsa vepsaný v trojúhelníku tangenty na svých stran na kontaktních místech svých excircles.

Pro každý elipsy vepsaný v trojúhelníku ABC , ať ložiska je P a Q . Pak

Konvexní mnohoúhelník

Každý konvexní polygon s oblasti T může být vepsán do trojúhelníku oblasti nanejvýš rovna 2 T . Rovnost platí (výlučně) pro rovnoběžník .

Šestiúhelník

Lemoine šestiúhelník je cyklický šestiúhelník s vrcholy danými šesti průsečíků stran trojúhelníku se třemi řádky, které jsou rovnoběžné se stranami a které procházejí jeho symmedian bodu . Lemoine šestiúhelník je buď ve své jednoduché formě, nebo v jeho protínající se formě , vnitřkem trojúhelníku se dvěma vrcholy na každé straně trojúhelníku.

Čtverce

Každý ostrý trojúhelník má tři vepsané čtverce (čtverce v jeho interiéru tak, že všechny čtyři vrcholy čtverce leží na straně trojúhelníku, takže dva z nich leží na stejné straně, a proto se jedna strana čtverce shoduje s částí strany trojúhelníku). V pravoúhlém trojúhelníku se dvě čtverce shodují a mají vrchol v pravém úhlu trojúhelníku, takže pravoúhlý trojúhelník má pouze dvě odlišná vepsaná pole. Tupý trojúhelník má pouze jeden vepsaný čtverec, přičemž strana se shoduje s částí nejdelší strany trojúhelníku. V rámci daného trojúhelníku je delší společná strana spojena s menším vepsaným čtvercem. Pokud má zapsaný čtverec stranu délky q a a trojúhelník má stranu délky a , jejíž část se shoduje se stranou čtverce, pak q a , a , výška h a ze strany a a trojúhelník je oblast T souvisí podle

Největší možný poměr plochy vepsaného čtverce k ploše trojúhelníku je 1/2, ke kterému dochází, když a 2 = 2 T , q = a /2 a výška trojúhelníku od základny délky a je rovná . Nejmenší možný poměr strany jednoho vepsaného čtverce ke straně druhého ve stejném neotupném trojúhelníku je Oba tyto extrémní případy se vyskytují u rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníku.

Trojúhelníky

Z vnitřního bodu referenčního trojúhelníku slouží nejbližší body na třech stranách jako vrcholy pedálového trojúhelníku tohoto bodu. Pokud je vnitřní bod circumcenter referenčního trojúhelníku, vrcholy pedálového trojúhelníku jsou středy stran referenčního trojúhelníku, a tak se pedálovému trojúhelníku říká středový trojúhelník nebo mediální trojúhelník. Středový trojúhelník rozděluje referenční trojúhelník na čtyři shodné trojúhelníky, které jsou podobné referenčnímu trojúhelníku.

Gergonne trojúhelník nebo intouch trojúhelník referenčního trojúhelníku má své vrcholy na třech místech dotyku stran referenčního trojúhelníku s jeho incircle. Extouch trojúhelník referenčního trojúhelníku má své vrcholy v místech dotyku z excircles referenčního trojúhelník s jejími stranami (prodlouženo).

Postavy ohraničené kolem trojúhelníku

Tangenciální trojúhelník referenčního trojúhelníku (jiného než pravoúhlého trojúhelníku) je trojúhelník, jehož strany jsou na tečen k circumcircle referenčního trojúhelníku v jeho vrcholů.

Jak již bylo uvedeno výše, každý trojúhelník má jedinečný kruh, kruh procházející všemi třemi vrcholy, jehož středem je průsečík kolmých úseček stran trojúhelníku.

Kromě toho má každý trojúhelník jedinečnou Steinerovu obrysovou tužku , která prochází vrcholy trojúhelníku a má střed ve středu těžiště trojúhelníku. Ze všech elips procházejících vrcholy trojúhelníku má nejmenší plochu.

Kiepert hyperbola je jedinečný kónický , která prochází trojúhelníku tří vrcholů, jeho těžiště a jeho circumcenter.

Ze všech trojúhelníků obsažených v daném konvexním polygonu existuje trojúhelník s maximální plochou, jehož vrcholy jsou všechny vrcholy daného polygonu.

Určení umístění bodu v trojúhelníku

Jedním ze způsobů, jak identifikovat umístění bodů v (nebo mimo) trojúhelníku, je umístit trojúhelník na libovolné místo a orientaci v karteziánské rovině a použít karteziánské souřadnice. I když je tento přístup vhodný pro mnoho účelů, má tu nevýhodu, že hodnoty souřadnic všech bodů jsou závislé na libovolném umístění v rovině.

Dva systémy se této funkci vyhýbají, takže souřadnice bodu nejsou ovlivněny posunutím trojúhelníku, jeho otáčením nebo jeho odrazem jako v zrcadle, z nichž každý dává shodný trojúhelník, nebo dokonce jeho změnou měřítka tak, aby vznikl podobný trojúhelník :

  • Trilineární souřadnice určují relativní vzdálenosti bodu od stran, takže souřadnice udávají, že poměr vzdálenosti bodu od první strany k jeho vzdálenosti od druhé strany je atd.
  • Barycentrické souřadnice formuláře určují polohu bodu relativními váhami, které by musely být vloženy na tři vrcholy, aby se vyrovnal jinak beztížný trojúhelník v daném bodě.

Nerovinné trojúhelníky

Nerovinný trojúhelník je trojúhelník, který není obsažen v (ploché) rovině. Některé příklady neplanárních trojúhelníků v neeuklidovských geometriích jsou sférické trojúhelníky v sférické geometrii a hyperbolické trojúhelníky v hyperbolické geometrii .

Zatímco míry vnitřních úhlů v rovinných trojúhelnících jsou vždy 180 °, hyperbolický trojúhelník má míry úhlů, které jsou menší než 180 °, a sférický trojúhelník má míry úhlů, které jsou součtem více než 180 °. Hyperbolický trojúhelník lze získat kresbou na negativně zakřivený povrch, jako je sedlový povrch , a sférický trojúhelník lze získat nakreslením na pozitivně zakřivený povrch, jako je koule . Pokud tedy někdo nakreslí obří trojúhelník na povrch Země, zjistí, že součet měr jeho úhlů je větší než 180 °; ve skutečnosti to bude mezi 180 ° a 540 °. Zejména je možné na kouli nakreslit trojúhelník tak, aby míra každého z jeho vnitřních úhlů byla rovna 90 °, což dohromady odpovídá 270 °.

Konkrétně na kouli je součet úhlů trojúhelníku

180 ° × (1 + 4 f ),

kde f je zlomek oblasti koule, který je uzavřen trojúhelníkem. Předpokládejme například, že na zemský povrch nakreslíme trojúhelník s vrcholy na severním pólu, v bodě na rovníku na 0 ° zeměpisné délky a bodem na rovníku na 90 ° západní délky . Velký kruh čára mezi výše uvedenými dvěma body je rovník, a velký kruh čára mezi jeden z těchto bodů a severní pól je řada délky; takže ve dvou bodech na rovníku jsou pravé úhly. Úhel na severním pólu je navíc také 90 °, protože další dva vrcholy se liší o 90 ° zeměpisné délky. Součet úhlů v tomto trojúhelníku je tedy 90 ° + 90 ° + 90 ° = 270 ° . Trojúhelník ohraničuje 1/4 severní polokoule (90 °/360 ° při pohledu ze severního pólu) a tedy 1/8 zemského povrchu, takže ve vzorci f = 1/8 ; vzorec tedy dává součet úhlů trojúhelníku 270 °.

Z výše uvedeného vzorce součtu úhlů můžeme také vidět, že povrch Země je místně plochý: Pokud nakreslíme libovolně malý trojúhelník v sousedství jednoho bodu na povrchu Země, zlomek f zemského povrchu, který je uzavřen trojúhelníkem, bude být libovolně blízko nule. V tomto případě se vzorec součtu úhlů zjednodušuje na 180 °, což víme, co nám euklidovská geometrie říká pro trojúhelníky na rovném povrchu.

Trojúhelníky ve stavebnictví

Budova Flatiron v New Yorku má tvar trojúhelníkového hranolu

Obdélníky jsou nejoblíbenější a nejběžnější geometrickou formou pro budovy, protože tvar lze snadno stohovat a organizovat; standardně je snadné navrhnout nábytek a příslušenství tak, aby se vešly do budov obdélníkového tvaru. Trojúhelníky, přestože jsou koncepčně obtížněji použitelné, poskytují velkou sílu. Vzhledem k tomu, že počítačová technologie pomáhá architektům navrhovat kreativní nové budovy, jsou trojúhelníkové tvary stále častějšími součástmi budov a primárními tvary některých typů mrakodrapů a stavebních materiálů. V Tokiu v roce 1989 architekti přemýšleli, zda je možné postavit 500patrovou věž, která by poskytla cenově dostupné kancelářské prostory pro toto hustě zaplněné město, ale s nebezpečím pro budovy způsobené zemětřesením architekti usoudili , že pokud by takový měla být postavena budova.

V New Yorku , jak Broadway protíná hlavní třídy, jsou výsledné bloky rozřezány jako trojúhelníky a na těchto tvarech byly postaveny budovy; jednou takovou budovou je budova Flatiron s trojúhelníkovým tvarem, o níž lidé z oblasti nemovitostí přiznávají, že má „řadu nepohodlných prostor, do kterých se snadno nevejde moderní kancelářský nábytek“, ale to nezabránilo tomu, aby se struktura stala ikonou. Designéři vyrobili domy v Norsku pomocí trojúhelníkových motivů. Trojúhelníkové tvary se objevily v kostelech i veřejných budovách včetně vysokých škol a také jako podpora pro inovativní návrhy domů.

Trojúhelníky jsou robustní; zatímco obdélník se může z tlaku na jeden ze svých bodů zhroutit do rovnoběžníku , trojúhelníky mají přirozenou pevnost, která podporuje struktury proti bočním tlakům. Trojúhelník nezmění tvar, pokud jeho strany nejsou ohnuté nebo prodloužené nebo zlomené nebo pokud se jeho klouby zlomí; v podstatě každá ze tří stran podporuje další dvě. Naproti tomu obdélník je ve strukturálním smyslu více závislý na síle jeho spojů. Někteří inovativní návrháři navrhli vyrábět cihly nikoli z obdélníků, ale s trojúhelníkovými tvary, které lze kombinovat ve třech rozměrech. Je pravděpodobné, že trojúhelníky budou stále častěji používány novými způsoby, protože architektura roste ve složitosti. Je důležité si uvědomit, že trojúhelníky jsou silné z hlediska tuhosti, ale přestože jsou zabaleny do teselačního uspořádání, trojúhelníky nejsou tak silné jako šestiúhelníky při stlačení (proto je v přírodě převládající hexagonální forma ). Teselované trojúhelníky si přesto zachovávají vynikající pevnost pro konzolové převádění , a to je základem pro jednu z nejsilnějších uměle vytvořených struktur, čtyřboký vazník .

Viz také

Poznámky

Reference

externí odkazy