Trichotomie (matematika) - Trichotomy (mathematics)

V matematice zákon trichotomie říká, že každé reálné číslo je buď kladné, záporné nebo nulové.

Obecněji řečeno, binární vztah R na množině X je trichotomický, pokud pro všechna x a y v X platí přesně jedna z xRy , yRx a x  =  y . Psaní R jako <, to je uvedeno ve formální logice jako:

${\ Displaystyle \ forall x \ in X \, \ forall y \ in X \, ([x <y \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, \ lnot (x = y) ] \, \ lor \, [\ lnot (x <y) \, \ land \, y <x \, \ land \, \ lnot (x = y)] \, \ lor \, [\ lnot (x < y) \, \ land \, \ lnot (y <x) \, \ land \, x = y]) \ ,.}$

Vlastnosti

• Relace je trichotomická tehdy a jen tehdy, je-li asymetrická a spojená .
• Pokud je trichotomický vztah také tranzitivní, pak jde o přísné celkové pořadí ; toto je zvláštní případ přísného slabého řádu .

Příklady

• Na množině X = { a , b , c } je vztah R = {( a , b ), ( a , c ), ( b , c )} přechodný a trichotomický, a tedy přísný celkový řád .
• Na stejné množině je cyklický vztah R = {( a , b ), ( b , c ), ( c , a )} trichotomický, ale nikoli tranzitivní; je dokonce antitransitivní .

Trichotomie na číslech

Zákon trichotomii na nějakém set X čísel obvykle vyjadřuje, že některé mlčky dané uspořádání relace na X je trichotomous jeden. Příkladem je zákon „Pro libovolných reálná čísla x a y , přesně jeden z x < y , y < x , a x  =  y platí“; někteří autoři dokonce fixují y na nulu a spoléhají se na aditivní lineární uspořádání skupiny reálného čísla . Druhá skupina je skupina vybavená trichotomickým řádem.

V klasické logice platí tento axiom trichotomie pro běžné srovnání mezi reálnými čísly, a tedy také pro srovnání mezi celými čísly a mezi racionálními čísly . Zákon obecně neplatí v intuitivní logice .

V Zermelo – Fraenkelově teorii množin a Bernaysově teorii množin platí zákon trichotomie mezi základními čísly dobře uspořádatelných množin i bez axiomu volby . Pokud platí axiom výběru, pak platí trichotomie mezi libovolnými základními čísly (protože v takovém případě jsou všechny dobře uspořádatelné).

Viz také

• Begriffsschrift obsahuje časnou formulaci zákona trichotomie
• Dichotomie
• Zákon o nerozporu
• Zákon vyloučeného středu
• Třícestné srovnání

Reference