Trilineární interpolace - Trilinear interpolation

Trilineární interpolace je metoda vícerozměrné interpolace na trojrozměrné pravidelné mřížce . Aproximuje hodnotu funkce v mezilehlém bodě v místním axiálním obdélníkovém hranolu lineárně pomocí dat funkcí na mřížových bodech. Pro libovolnou nestrukturovanou síť (používanou při analýze konečných prvků ) je nutné použít jiné metody interpolace; pokud jsou všechny prvky sítě čtyřstěny (3D jednoduchosti ), pak barycentrické souřadnice poskytují přímý postup. ${\ displaystyle (x, y, z)}$

Trilineární interpolace se často používá v numerické analýze , analýze dat a počítačové grafice .

Ve srovnání s lineární a bilineární interpolací

Trilineární interpolace je rozšíření lineární interpolace , která pracuje v prostorech s dimenzí , a bilineární interpolace , která pracuje s dimenzí , do dimenze . Všechna tato interpolační schémata používají polynomy řádu 1, což dává přesnost řádu 2, a vyžaduje sousední předdefinované hodnoty obklopující interpolační bod. Existuje několik způsobů, jak dospět k trilineární interpolaci, která je ekvivalentní 3-dimenzionální tenzorové B-spline interpolaci řádu 1, a trilineární interpolační operátor je také tenzorovým produktem 3 lineárních interpolačních operátorů. ${\ displaystyle D = 1}$${\ displaystyle D = 2}$${\ displaystyle D = 3}$${\ displaystyle 2 ^ {D} = 8}$

Metoda

Osm rohových bodů na krychli obklopujících interpolační bod C.

Zobrazení 3D interpolace

Geometrická vizualizace trilineární interpolace. Součin hodnoty v požadovaném bodě a celého objemu se rovná součtu součinů hodnoty v každém rohu a částečného objemu úhlopříčně naproti rohu.

Periodicky a krychlové mřížky, nechal , a být rozdíly mezi jednotlivými , , a menší souřadnici souvisí, že je: ${\ displaystyle x _ {\ text {d}}}$${\ displaystyle y _ {\ text {d}}}$${\ displaystyle z _ {\ text {d}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x _ {\ text {d}} = {\ frac {x-x_ {0}} {x_ {1} -x_ {0}}} \\ y _ {\ text {d} } = {\ frac {y-y_ {0}} {y_ {1} -y_ {0}}} \\ z _ {\ text {d}} = {\ frac {z-z_ {0}} {z_ { 1} -z_ {0}}} \ end {zarovnáno}}}$

kde označuje mřížkový bod níže a označuje mřížový bod nahoře a podobně pro a . ${\ displaystyle x_ {0}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y_ {0}, y_ {1}, z_ {0}}$${\ displaystyle z_ {1}}$

Nejdříve interpolujeme (představme si, že „tlačíme“ tvář krychle definovanou pomocí k protilehlé ploše definované pomocí ) a dáváme: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle C_ {0jk}}$${\ displaystyle C_ {1jk}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} c_ {00} & = c_ {000} (1-x _ {\ text {d}}) + c_ {100} x _ {\ text {d}} \\ c_ {01} & = c_ {001} (1-x _ {\ text {d}}) + c_ {101} x _ {\ text {d}} \\ c_ {10} & = c_ {010} (1-x _ {\ text {d}}) + c_ {110} x _ {\ text {d}} \\ c_ {11} & = c_ {011} (1-x _ {\ text {d}}) + c_ {111} x _ {\ text {d}} \ end {aligned}}}$

Kde znamená hodnotu funkce Pak tyto hodnoty interpolujeme (podél , „tlačíme“ od do ) a dáváme: ${\ displaystyle c_ {000}}$${\ displaystyle (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0}).}$${\ displaystyle}$${\ displaystyle C_ {i0k}}$${\ displaystyle C_ {i1k}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} c_ {0} & = c_ {00} (1-y _ {\ text {d}}) + c_ {10} y _ {\ text {d}} \\ c_ {1} & = c_ {01} (1-y _ {\ text {d}}) + c_ {11} y _ {\ text {d}} \ end {zarovnáno}}}$

Nakonec tyto hodnoty interpolujeme (procházíme úsečkou): ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle c = c_ {0} (1-z _ {\ text {d}}) + c_ {1} z _ {\ text {d}}.}$

To nám dává předpokládanou hodnotu bodu.

Výsledek trilineární interpolace je nezávislý na pořadí kroků interpolace podél tří os: jakýkoli jiný řád, například podél , pak podél a nakonec podél , produkuje stejnou hodnotu. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle}$${\ displaystyle z}$

Výše uvedené operace lze vizualizovat takto: Nejprve najdeme osm rohů krychle, které obklopují náš bod zájmu. Tyto rohy mají hodnoty , , , , , , , . ${\ displaystyle c_ {000}}$${\ displaystyle c_ {100}}$${\ displaystyle c_ {010}}$${\ displaystyle c_ {110}}$${\ displaystyle c_ {001}}$${\ displaystyle c_ {101}}$${\ displaystyle c_ {011}}$${\ displaystyle c_ {111}}$

Dále provedeme lineární interpolaci mezi a najít , a najít , a najít , a najít . ${\ displaystyle c_ {000}}$${\ displaystyle c_ {100}}$${\ displaystyle c_ {00}}$${\ displaystyle c_ {001}}$${\ displaystyle c_ {101}}$${\ displaystyle c_ {01}}$${\ displaystyle c_ {011}}$${\ displaystyle c_ {111}}$${\ displaystyle c_ {11}}$${\ displaystyle c_ {010}}$${\ displaystyle c_ {110}}$${\ displaystyle c_ {10}}$

Teď děláme interpolace mezi a najít , a najít . Nakonec vypočítáme hodnotu lineární interpolací a${\ displaystyle c_ {00}}$${\ displaystyle c_ {10}}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {01}}$${\ displaystyle c_ {11}}$${\ displaystyle c_ {1}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle c_ {1}}$

V praxi je trilineární interpolace identická se dvěma bilineární interpolací kombinovanou s lineární interpolací:

${\ displaystyle c \ přibližně l \ vlevo (b (c_ {000}, c_ {010}, c_ {100}, c_ {110}), \, b (c_ {001}, c_ {011}, c_ {101 }, c_ {111}) \ vpravo)}$

Alternativní algoritmus

Alternativním způsobem, jak napsat řešení problému s interpolací, je

${\ displaystyle f (x, y, z) \ přibližně a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} y + a_ {3} z + a_ {4} xy + a_ {5} xz + a_ { 6} yz + a_ {7} xyz}$

kde jsou koeficienty nalezeny řešením lineárního systému

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ begin {bmatrix} 1 & x_ {0} & y_ {0} & z_ {0} & x_ {0} y_ {0} & x_ {0} z_ {0} & y_ {0} z_ {0 } & x_ {0} y_ {0} z_ {0} \\ 1 & x_ {1} & y_ {0} & z_ {0} & x_ {1} y_ {0} & x_ {1} z_ {0} & y_ {0} z_ {0 } & x_ {1} y_ {0} z_ {0} \\ 1 & x_ {0} & y_ {1} & z_ {0} & x_ {0} y_ {1} & x_ {0} z_ {0} & y_ {1} z_ {0 } & x_ {0} y_ {1} z_ {0} \\ 1 & x_ {1} & y_ {1} & z_ {0} & x_ {1} y_ {1} & x_ {1} z_ {0} & y_ {1} z_ {0 } & x_ {1} y_ {1} z_ {0} \\ 1 & x_ {0} & y_ {0} & z_ {1} & x_ {0} y_ {0} & x_ {0} z_ {1} & y_ {0} z_ {1 } & x_ {0} y_ {0} z_ {1} \\ 1 & x_ {1} & y_ {0} & z_ {1} & x_ {1} y_ {0} & x_ {1} z_ {1} & y_ {0} z_ {1 } & x_ {1} y_ {0} z_ {1} \\ 1 & x_ {0} & y_ {1} & z_ {1} & x_ {0} y_ {1} & x_ {0} z_ {1} & y_ {1} z_ {1 } & x_ {0} y_ {1} z_ {1} \\ 1 & x_ {1} & y_ {1} & z_ {1} & x_ {1} y_ {1} & x_ {1} z_ {1} & y_ {1} z_ {1 } & x_ {1} y_ {1} z_ {1} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} a_ {0} \\ a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \\ a_ {4} \\ a_ {5} \\ a_ {6} \\ a_ {7} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} c_ {000} \\ c_ {100} \\ c_ {010} \\ c_ {110} \\ c_ {001} \\ c_ {101} \\ c_ {011} \\ c_ {111} \ end {bmatrix}}, \ end {zarovnáno}}}$

přináší výsledek

${\ displaystyle {\ begin {aligned} a_ {0} = {} & {\ frac {-c_ {000} x_ {1} y_ {1} z_ {1} + c_ {001} x_ {1} y_ {1 } z_ {0} + c_ {010} x_ {1} y_ {0} z_ {1} -c_ {011} x_ {1} y_ {0} z_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1 }) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}} + {} \\ & {\ frac {c_ {100} x_ {0} y_ {1} z_ { 1} -c_ {101} x_ {0} y_ {1} z_ {0} -c_ {110} x_ {0} y_ {0} z_ {1} + c_ {111} x_ {0} y_ {0} z_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}}, \\ [4pt] a_ {1} = {} & {\ frac {c_ {000} y_ {1} z_ {1} -c_ {001} y_ {1} z_ {0} -c_ {010} y_ {0} z_ {1} + c_ {011 } y_ {0} z_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}} + {} \ \ & {\ frac {-c_ {100} y_ {1} z_ {1} + c_ {101} y_ {1} z_ {0} + c_ {110} y_ {0} z_ {1} -c_ {111} y_ {0} z_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}}, \\ [4 b. ] a_ {2} = {} & {\ frac {c_ {000} x_ {1} z_ {1} -c_ {001} x_ {1} z_ {0} -c_ {010} x_ {1} z_ {1 } + c_ {011} x_ {1} z_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})} } + {} \\ & {\ frac {-c_ {100} x_ {0} z_ {1} + c_ {101} x_ {0} z_ {0} + c_ {110} x_ {0} z_ {1} -c_ {111} x_ {0} z_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}} , \\ [4pt] a_ {3} = {} & {\ frac {c_ {000} x_ {1} y_ {1} -c_ {001} x_ {1} y_ {1} -c_ {010} x_ { 1} y_ {0} + c_ {011} x_ {1} y_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}} + {} \\ & {\ frac {-c_ {100} x_ {0} y_ {1} + c_ {101} x_ {0} y_ {1} + c_ {110} x_ {0 } y_ {0} -c_ {111} x_ {0} y_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ { 1})}}, \\ [4pt] a_ {4} = {} & {\ frac {-c_ {000} z_ {1} + c_ {001} z_ {0} + c_ {010} z_ {1} -c_ {011} z_ {0} + c_ {100} z_ {1} -c_ {101} z_ {0} -c_ {110} z_ {1} + c_ {111} z_ {0}} {(x_ { 0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}}, \\ [4pt] a_ {5} = & {\ frac {-c_ {000} y_ {1} + c_ {001} y_ {1} + c_ {010} y_ {0} -c_ {011} y_ {0} + c_ {100} y_ {1} -c_ {101} y_ { 1} -c_ {110} y_ {0} + c_ {111} y_ {0}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} - z_ {1})}}, \\ [4pt] a_ {6} = {} & {\ frac {-c_ {000} x_ {1} + c_ {001} x_ {1} + c_ {010} x_ { 1} -c_ {011} x_ {1} + c_ {100} x_ {0} -c_ {101} x_ {0} -c_ {110} x_ {0} + c_ {111} x_ {0}} {( x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}}, \\ [4pt] a_ {7} = {} & {\ frac {c_ {000} -c_ {001} -c_ {010} + c_ {011} -c_ {100} + c_ {101} + c_ {110} -c_ {111}} {(x_ {0} -x_ {1}) (y_ {0} -y_ {1}) (z_ {0} -z_ {1})}}. \ End {zarovnáno}}}$

Viz také

• Lineární interpolace
• Bilineární interpolace
• Tricubická interpolace
• Radiální interpolace
• Čtyřboká interpolace

externí odkazy

• pseudokód z NASA , popisuje iterativní inverzní trilineární interpolaci (vzhledem k vrcholům a hodnotě C find Xd, Yd a Zd).
• Paul Bourke, Interpolation methods , 1999. Obsahuje velmi chytrou a jednoduchou metodu k nalezení trilineární interpolace, která je založena na binární logice a lze ji rozšířit na jakoukoli dimenzi (Tetralinear, Pentalinear, ...).
• Kenwright, volná forma čtyřstěnné deformace. Mezinárodní sympozium o vizuálních počítačích. Springer International Publishing, 2015 [1] .