Ternární číselná soustava - Ternary numeral system

Ternární / t ɜːr n ər i / číselné soustavě (nazývané také základny 3 ) má tři jako jeho základně . Analogické s trochou , ternární číslice je trit ( tri nární dig to ). Jeden trit odpovídá logu 2  3 (asi 1,58496) bitů informací .

Ačkoli ternární nejčastěji odkazuje na systém, ve kterém jsou tři číslice nezáporná čísla; konkrétně 0 , 1 a 2 , přídavné jméno také propůjčuje svůj název vyváženému ternárnímu systému; obsahující číslice −1 , 0 a +1, používané ve srovnávací logice a ternárních počítačích .

Srovnání s jinými základnami

Ternární multiplikační tabulka
× 1 2 10 11 12 20 21 22 100
1 1 2 10 11 12 20 21 22 100
2 2 11 20 22 101 110 112 121 200
10 10 20 100 110 120 200 210 220 1000
11 11 22 110 121 202 220 1001 1012 1100
12 12 101 120 202 221 1010 1022 1111 1200
20 20 110 200 220 1010 1100 1120 1210 2000
21 21 112 210 1001 1022 1120 1211 2002 2100
22 22 121 220 1012 1111 1210 2002 2101 2200
100 100 200 1000 1100 1200 2000 2100 2200 10 000

Reprezentace celočíselných čísel v ternárních se nepohodlně prodlužují tak rychle jako v binárních . Například desetinná 365 nebo senarová 1405 odpovídá binárním 101101101 (devět číslic) a ternárním 111112 (šest číslic). Jsou však stále mnohem méně kompaktní než odpovídající reprezentace v bázích, jako je desítková  soustava - viz níže kompaktní způsob kodifikace ternárních pomocí nonárních a septemvigesimálních .

Čísla od 1 do 3 3 ve standardních ternárních
Trojice 1 2 10 11 12 20 21 22 100
Binární 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001
Senátní 1 2 3 4 5 10 11 12 13
Desetinný 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Trojice 101 102 110 111 112 120 121 122 200
Binární 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10 000 10001 10010
Senátní 14 15 20 21 22 23 24 25 30
Desetinný 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Trojice 201 202 210 211 212 220 221 222 1000
Binární 10011 10100 10101 10110 10111 11 000 11001 11010 11011
Senátní 31 32 33 34 35 40 41 42 43
Desetinný 19 20 21 22 23 24 25 26 27
Pravomoci 3 v ternární
Trojice 1 10 100 1000 10 000
Binární 1 11 1001 11011 1010001
Senátní 1 3 13 43 213
Desetinný 1 3 9 27 81
Napájení 3 0 3 1 3 2 3 3 3 4
Trojice 100 000 10 000 000 10 000 000 10 000 000 10 000 000 000
Binární 11110011 1011011001 100010001011 1100110100001 100110011100011
Senátní 1043 3213 14043 50213 231043
Desetinný 243 729 2187 6561 19683
Napájení 3 5 3 6 3 7 3 8 3 9

Pokud jde o racionální čísla , ternární nabízí pohodlný způsob reprezentace1/3stejný jako senární (na rozdíl od jeho těžkopádné reprezentace jako nekonečný řetězec opakujících se číslic v desítkové soustavě); ale hlavní nevýhodou je, že naopak ternární nenabízí konečné zastoupení pro1/2 (ani pro 1/4, 1/8atd.), protože 2 není hlavním faktorem báze; jako u základny dvě, desetina (desítková1/10, senátorský 1/14) není přesně reprezentovatelný (to by vyžadovalo např. desítkové); není ani jedna šestina (senátní1/10, desetinné 1/6).

Zlomky v ternární
Zlomek 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11 1/12 1/13
Trojice 0. 1 0,1 0. 02 0, 0121 0,0 1 0. 010212 0. 01 0,01 0. 0022 0. 00211 0,0 02 0. 002
Binární 0,1 0. 01 0,01 0. 0011 0,0 01 0. 001 0,001 0. 000111 0,0 0011 0 0001011101 0,00 01 0 000100111011
Senátní 0,3 0,2 0,13 0. 1 0,1 0. 05 0,043 0,04 0,0 3 0. 0313452421 0,03 0. 024340531215
Desetinný 0,5 0. 3 0,25 0,2 0,1 6 0. 142857 0,125 0. 1 0,1 0. 09 0,08 3 0, 076923

Součet číslic v ternárních na rozdíl od binárních

Hodnota binárního čísla s n bity, které jsou všechny 1, je 2 n  - 1 .

Podobně pro číslo N ( b , d ) s číslicemi základny b a d , z nichž všechna jsou maximální číslicovou hodnotou b  - 1 , můžeme zapsat:

N ( b , d ) = ( b  - 1) b d −1 + ( b  - 1) b d −2 +… + ( b  - 1) b 1 + ( b  - 1) b 0 ,
N ( b , d ) = ( b  - 1) ( b d −1 + b d −2 +… + b 1 + 1),
N ( b , d ) = ( b  - 1) M .
bM = b d + b d −1 +… + b 2 + b 1 a
- M = - b d −1  -  b d −2  -… - b 1  - 1 , takže
bM  -  M = b d  - 1 , nebo
M =b d  - 1/b  - 1.

Pak

N ( b , d ) = ( b  - 1) M ,
N ( b , d ) =( b  - 1) ( b d  - 1)/b  - 1,
N ( b , d ) = b d  - 1.

Pro trojciferné ternární číslo N (3, 3) = 3 3-1  = 26 = 2 × 3 2 + 2 × 3 1 + 2 × 3 0 = 18 + 6 + 2 .

Kompaktní ternární zobrazení: základna 9 a 27

Nonary (základ 9, každá číslice jsou dvě ternární číslice) nebo septemvigesimal (základ 27, každá číslice jsou tři ternární číslice) lze použít pro kompaktní reprezentaci ternárních, podobně jako se používají osmičkové a hexadecimální systémy místo binárních .

Praktické využití

Použití ternárních čísel k vyrovnání neznámé celočíselné hmotnosti od 1 do 40 kg s váhami 1, 3, 9 a 27 kg (4 ternární číslice ve skutečnosti dávají 3 4 = 81 možných kombinací: −40 až +40, ale pouze kladné hodnoty jsou užitečné)

V určité analogové logice je stav obvodu často vyjádřen jako ternární. Nejčastěji je to vidět v obvodech CMOS a také v logice tranzistor-tranzistor s výstupem totemu. Říká se, že výstup je buď nízký (uzemněný), vysoký nebo otevřený ( vysoký- Z ). V této konfiguraci není výstup obvodu ve skutečnosti vůbec připojen k žádnému referenčnímu napětí. Tam, kde je signál obvykle uzemněn na určitou referenci nebo na určité úrovni napětí, se říká, že stav má vysokou impedanci, protože je otevřený a slouží vlastní referenci. Skutečná úroveň napětí je tedy někdy nepředvídatelná.

Vzácným „ternárním bodem“ v běžném používání je obranná statistika v americkém baseballu (obvykle jen pro nadhazovače), která označuje zlomkové části směny. Jelikož týmu v útoku jsou povoleny tři outy , každý out je považován za jednu třetinu obranné směny a je označen jako .1 . Pokud by například hráč položil všechny 4., 5. a 6. směnu a navíc dosáhl 2 výstupů v 7. směně, jeho sloupec pro směnu v této hře by byl uveden jako 3,2 , což odpovídá 3+2 / 3 (který je někdy používán jako alternativa některými držiteli záznamů). Při tomto použití je v ternární podobě zapsána pouze zlomková část čísla.

Ternární čísla lze pohodlně použít k přenosu podobných struktur, jako je Sierpinského trojúhelník nebo sada Cantor . Navíc se ukazuje, že ternární reprezentace je užitečná pro definování Cantorovy sady a souvisejících množin bodů, kvůli způsobu, jakým je Cantorova sada konstruována. Sada Cantor se skládá z bodů od 0 do 1, které mají ternární výraz, který neobsahuje žádnou instanci číslice 1. Jakákoli ukončující expanze v ternárním systému je ekvivalentní výrazu, který je identický až do výrazu předcházejícího poslednímu non -zero termín následovaný výrazem o jeden menší než poslední nenulový termín prvního výrazu, následovaný nekonečným ocasem dvojek. Například: 0.1020 je ekvivalentní 0.1012222 ... protože rozšíření jsou stejná až do „dvou“ prvního výrazu, ve druhém rozšíření byla tato dvě zmenšena a koncové nuly byly nahrazeny koncovými dvojkami ve druhém výrazu.

Ternární je celočíselná základna s nejnižší radixovou ekonomikou , těsně následovaná binární a kvartérní . Je to kvůli jeho blízkosti k e . Kvůli této účinnosti byl použit pro některé výpočetní systémy. Používá se také k reprezentaci stromů se třemi možnostmi , jako jsou systémy nabídek telefonu, které umožňují jednoduchou cestu k jakékoli větvi.

V softwaru a hardwaru na nízké úrovni se někdy používá forma redundantní binární reprezentace nazývaná binární číselný systém se znaménkovými číslicemi, forma reprezentace podepsaných číslic , která umožňuje rychlé sčítání celých čísel, protože může eliminovat přenosy.

Ternární s binárním kódováním

Simulace ternárních počítačů pomocí binárních počítačů nebo rozhraní mezi ternárními a binárními počítači může zahrnovat použití ternárních čísel s binárním kódováním (BCT), přičemž každý bit je použit ke kódování dvou bitů. BCT kódování je analogické s binárně kódovaným desetinným (BCD) kódováním. Pokud jsou tritové hodnoty 0, 1 a 2 kódovány 00, 01 a 10, lze převod v obou směrech mezi binárně kódovanými ternárními a binárními provést v logaritmickém čase . K dispozici je knihovna C kódu podporující BCT aritmetiku.

Tryte

Některé ternární počítače, jako například Setun, definovaly tryte jako šest bitů nebo přibližně 9,5 bitů (obsahujících více informací než de facto binární bajt ).

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy