Vektorový počet - Vector calculus

Část série článků o
Počet
Základní věta Leibnizovo integrální pravidlo Limity funkcí Kontinuita Věta o střední hodnotě Rollova věta
Rozdíl Definice Derivace  ( zobecnění ) Rozdíl infinitezimální funkce celkový Pojmy Diferenciační notace Druhá derivace Implicitní diferenciace Logaritmická diferenciace Související ceny Taylorova věta Pravidla a identity Součet Produkt Řetěz Napájení Kvocient Pravidlo L'Hôpital Inverzní Generál Leibniz Vzorec Faà di Bruna
Integrální Seznamy integrálů Integrální transformace Definice Antiderivativní Integrální  ( nevhodné ) Riemannův integrál Integrace Lebesgue Integrace obrysů Integrace inverzních funkcí Integrace od Díly Disky Válcové skořepiny Substituce  ( trigonometrická , Weierstrassova , Eulerova ) Eulerův vzorec Částečné zlomky Změna pořadí Redukční vzorce Rozlišování podle integrálního znaku Rischův algoritmus
Série Geometrický  ( aritmeticko-geometrický ) Harmonický Střídavě Napájení Binomický Taylor Konvergenční testy Limit součtu (termínový test) Poměr Vykořenit Integrální Přímé srovnání Porovnání limitů Střídající se série Cauchyho kondenzace Dirichlet Abel
Vektor Spád Divergence Kučera Laplacián Směrový derivát Identity Věty Spád Zelenina Stokes ' Divergence generalizované Stokes
Více proměnných Formalismy Matice Tensor Vnější Geometrický Definice Parciální derivace Vícenásobný integrál Liniový integrál Povrchový integrál Objemový integrál Jakobijský Hesián
Specializované Frakční Malliavin Stochastický Variace
Smíšený Precalculus Dějiny Glosář Seznam témat Integrace Bee Analýza
proti t E

Vektorový počet , nebo vektorové analýzy , se zabývá diferenciaci a integraci z vektorových polí , a to především v 3-dimenzionální euklidovském prostoru Termín „vektor počet“ je někdy používán jako synonymum pro širší předmět multivariable , který se rozkládá v vektorového počtu, jakož jako částečná diferenciace a vícenásobná integrace . Vektorový počet hraje důležitou roli v diferenciální geometrii a při studiu parciálních diferenciálních rovnic . Je široce používán ve fyzice a strojírenství , zejména při popisu elektromagnetických polí , gravitačních polí a proudění tekutin . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^{3}.}$

Vektorový kalkul byl vyvinut na základě quaternionové analýzy J. Willarda Gibbse a Olivera Heavisideho na konci 19. století a většinu notace a terminologie zavedli Gibbs a Edwin Bidwell Wilsonovi ve své knize Vector Analysis z roku 1901 . V konvenční formě využívající křížové produkty vektorový počet negeneralizuje do vyšších dimenzí, zatímco alternativní přístup geometrické algebry, který používá vnější produkty, ano (více viz § Generalizace níže).

Základní objekty

Skalární pole

Skalární pole přidružuje skalární hodnoty ke každému bodu v prostoru. Skalár je matematické číslo představující fyzickou veličinu . Příklady skalárních polí v aplikacích zahrnují distribuci teploty v prostoru, distribuci tlaku v tekutině a kvantová pole nulové rotace (známá jako skalární bosony ), jako je Higgsovo pole . Tato pole jsou předmětem teorie skalárních polí .

Vektorová pole

Vektorové pole je Přiřazení vektoru pro každý bod v prostoru . Vektorové pole v rovině může být například zobrazeno jako soubor šipek s danou velikostí a směrem, každý připojený k bodu v rovině. Vektorová pole se často používají k modelování například rychlosti a směru pohybující se tekutiny v celém prostoru nebo síly a směru nějaké síly , jako je magnetická nebo gravitační síla, jak se mění z bodu do bodu. Toho lze využít například k výpočtu práce provedené přes čáru.

Vektory a pseudovektory

Při pokročilejších úpravách se dále rozlišují pseudovektorová pole a pseudoskalární pole, která jsou identická s vektorovými poli a skalárními poli, kromě toho, že mění znaménko pod mapou obracející orientaci: například zvlnění vektorového pole je pseudovektorové pole, a pokud jeden odráží vektorové pole, zvlnění ukazuje opačným směrem. Toto rozlišení je objasněno a rozpracováno v geometrické algebře , jak je popsáno níže.

Vektorové algebry

Algebraické (nediferenciální) operace ve vektorovém počtu se označují jako vektorová algebra , jsou definovány pro vektorový prostor a poté globálně aplikovány na vektorové pole. Základní algebraické operace se skládají z:

Zápisy ve vektorovém počtu

Úkon	Zápis	Popis
Vektorové přidání	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1}+\ mathbf {v} _ {2}}$	Přidáním dvou vektorů se získá vektor.
Skalární násobení	${\ displaystyle a \ mathbf {v}}$	Násobení skalárního a vektoru, čímž se získá vektor.
Tečkovaný produkt	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}$	Násobení dvou vektorů, čímž se získá skalární.
Křížový produkt	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ mathbf {v} _ {2}}$	Násobení dvou vektorů za vzniku (pseudo) vektoru. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Běžně se také používají dva trojité produkty :

Trojité produkty kalkulu vektoru

Úkon	Zápis	Popis
Skalární trojitý produkt	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	Tečkový součin křížového součinu dvou vektorů.
Vektorový trojitý produkt	${\ Displaystyle \ mathbf {v} _ {1} \ times \ left (\ mathbf {v} _ {2} \ times \ mathbf {v} _ {3} \ right)}$	Křížový součin křížového součinu dvou vektorů.

Operátory a věty

Diferenciální operátory

Vektorový kalkul studuje různé diferenciální operátory definované na skalárních nebo vektorových polích, která jsou obvykle vyjádřena del operátorem ( ), známým také jako „nabla“. Tři základní vektorové operátory jsou: ${\ displaystyle \ nabla}$

Diferenciální operátory ve vektorovém počtu

Úkon	Zápis	Popis	Notační analogie	Doména/Rozsah
Spád	${\ displaystyle \ operatorname {grad} (f) = \ nabla f}$	Měří rychlost a směr změny ve skalárním poli.	Skalární násobení	Mapuje skalární pole na vektorová pole.
Divergence	${\ displaystyle \ operatorname {div} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ cdot \ mathbf {F}}$	Měří skalár zdroje nebo jímky v daném bodě vektorového pole.	Tečkovaný produkt	Mapuje vektorová pole na skalární pole.
Kučera	${\ displaystyle \ operatorname {curl} (\ mathbf {F}) = \ nabla \ times \ mathbf {F}}$	Měří tendenci otáčet se kolem bodu ve vektorovém poli v . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$	Křížový produkt	Mapuje vektorová pole na (pseudo) vektorová pole.
f označuje skalární pole a F označuje vektorové pole

Běžně se používají také dva Laplaceovy operátory:

Laplaceovy operátory ve vektorovém počtu

Úkon	Zápis	Popis	Doména/Rozsah
Laplacián	${\ Displaystyle \ Delta f = \ nabla ^{2} f = \ nabla \ cdot \ nabla f}$	Měří rozdíl mezi hodnotou skalárního pole a jeho průměrem na nekonečně malých koulích.	Mapy mezi skalárními poli.
Vektor Laplacian	${\ Displaystyle \ nabla ^{2} \ mathbf {F} = \ nabla (\ nabla \ cdot \ mathbf {F})-\ nabla \ times (\ nabla \ times \ mathbf {F})}$	Měří rozdíl mezi hodnotou vektorového pole a jeho průměrem na nekonečně malých koulích.	Mapy mezi vektorovými poli.
f označuje skalární pole a F označuje vektorové pole

Veličina zvaná jakobijská matice je užitečná pro studium funkcí, když je doména i rozsah funkce více proměnných, jako je změna proměnných během integrace.

Integrální věty

Tři základní vektorové operátory mají odpovídající věty, které zobecňují základní větu počtu na vyšší dimenze:

Integrální věty vektorového počtu

Teorém	Tvrzení	Popis
Přechodová věta	${\ Displaystyle \ int _ {L \ subset \ mathbb {R} ^{n}} \! \! \! \ nabla \ varphi \ cdot d \ mathbf {r} \ = \ \ varphi \ left (\ mathbf {q } \ right)-\ varphi \ left (\ mathbf {p} \ right) \ \ {\ text {for}} \ \ L = L [p \ to q]}$	Linie integrální gradientu skalárního pole přes křivky L je rovna změně skalární pole mezi koncovými body p a q křivky.
Divergenční věta	${\ Displaystyle \ underbrace {\ int \! \ cdots \! \ int _ {V \ subset \ mathbb {R} ^{n}}} _ {n} (\ nabla \ cdot \ mathbf {F}) \, dV \ = \ \ underbrace {\ mast \! \ cdots \! \ mast _ {\ částečný V}} _ {n-1} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {S}}$	Integrál divergence vektorového pole nad n -rozměrným tělesem V je roven toku vektorového pole přes ( n -1) -dimenzionální uzavřený hraniční povrch tělesa.
Curlova (Kelvin – Stokesova) věta	${\ Displaystyle \ iint _ {\ Sigma \, \ subset \ mathbb {R} ^{3}} (\ nabla \ times \ mathbf {F}) \ cdot d \ mathbf {\ Sigma} \ = \ \ mast _ { \! \! \! \ částečná \ Sigma} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {r}}$	Integrál zvlnění vektorového pole nad povrchem Σ in se rovná oběhu vektorového pole kolem uzavřené křivky ohraničující povrch. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$
${\ Displaystyle \ varphi}$označuje skalární pole a F označuje vektorové pole

Ve dvou dimenzích se divergenční a curl věty redukují na Greenovu větu:

Greenova věta vektorového počtu

Teorém	Tvrzení	Popis
Greenova věta	${\ Displaystyle \ iint _ {A \, \ subset \ mathbb {R} ^{2}} \ left ({\ frac {\ částečná M} {\ částečná x}}-{\ frac {\ částečná L} {\ částečné y}} \ vpravo) dA \ = \ \ mast _ {\ částečné A} \ vlevo (L \, dx+M \, dy \ right)}$	Integrál divergence (nebo zvlnění) vektorového pole nad nějakou oblastí A v se rovná toku (nebo oběhu) vektorového pole přes uzavřenou křivku ohraničující oblast. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}}$
Pro divergenci platí F = ( M , - L ) . Pro zvlnění platí F = ( L , M , 0) . L a M jsou funkce ( x , y ) .

Aplikace

Lineární aproximace

Lineární aproximace se používají k nahrazení komplikovaných funkcí lineárními funkcemi, které jsou téměř stejné. Vzhledem k diferencovatelné funkci f ( x , y ) se skutečnými hodnotami lze f ( x , y ) pro ( x , y ) aproximovat podle ( a , b ) podle vzorce

${\ Displaystyle f (x, y) \ \ zhruba \ f (a, b)+{\ tfrac {\ částečný f} {\ částečný x}} (a, b) \, (xa)+{\ tfrac {\ částečné f} {\ částečné y}} (a, b) \, (yb).}$

Pravá strana je rovnicí roviny tečné ke grafu z = f ( x , y ) v ( a , b ) .

Optimalizace

Pro spojitě diferencovatelnou funkci několika reálných proměnných je kritický bod P (tj. Soubor hodnot pro vstupní proměnné, na který se pohlíží jako na bod v R ⁿ ), pokud jsou všechny parciální derivace funkce nulové v P , nebo ekvivalentně, pokud je její gradient nula. Kritické hodnoty jsou hodnoty funkce v kritických bodech.

Pokud je funkce plynulá nebo alespoň dvakrát spojitě diferencovatelná, může být kritickým bodem buď lokální maximum , lokální minimum nebo sedlový bod . Jednotlivé případy mohou být rozlišeny s ohledem na vlastní čísla z pytloviny matice druhých derivátů.

Podle Fermatovy věty se všechna lokální maxima a minima odlišitelné funkce vyskytují v kritických bodech. Abychom tedy našli lokální maxima a minima, teoreticky stačí spočítat nuly gradientu a vlastní čísla hesenské matice na těchto nulách.

Fyzika a inženýrství

Vektorový počet je obzvláště užitečný při studiu:

• Těžiště
• Teorie pole
• Kinematika
• Maxwellovy rovnice

Zobecnění

Různé 3-rozdělovače

Vektorový počet je zpočátku definován pro euklidovský 3-prostor , který má další strukturu nad rámec pouhého bytí 3-dimenzionálního skutečného vektorového prostoru, a to: normu (udávající pojem délky) definovanou prostřednictvím vnitřního produktu ( bodový součin ), který v otočení dává představu o úhlu a orientaci , která dává představu o levákovi a pravákovi. Tyto struktury dávají vznik objemové formě a také křížovému součinu , který se všudypřítomně používá ve vektorovém počtu. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3},}$

Gradient a divergence vyžadují pouze vnitřní součin, zatímco zvinutí a křížový součin také vyžadují, aby byla vzata v úvahu ručnost souřadnicového systému (podrobněji viz křížový součin a ručnost ).

Vektorový počet lze definovat na jiných 3-dimenzionálních reálných vektorových prostorech, pokud mají vnitřní součin (nebo obecněji symetrickou nedegenerovanou formu ) a orientaci; Všimněte si, že toto je méně dat než izomorfismus k euklidovskému prostoru, protože nevyžaduje sadu souřadnic (referenční rámec), což odráží skutečnost, že vektorový počet je při rotacích neměnný ( speciální ortogonální skupina SO (3)) .

Obecněji lze vektorový počet definovat na jakémkoli 3-dimenzionálně orientovaném riemannianském potrubí nebo obecněji pseudo-riemannianském potrubí . Tato struktura jednoduše znamená, že tečný prostor v každém bodě má vnitřní součin (obecněji symetrický nedegenerovaný tvar) a orientaci, nebo globálněji, že existuje symetrický nedegenerovaný metrický tenzor a orientace, a funguje, protože je definován vektorový počet z hlediska tečných vektorů v každém bodě.

Jiné rozměry

Většina analytických výsledků je snadno srozumitelná, v obecnější formě, pomocí aparátu diferenciální geometrie , jehož vektorový počet tvoří podmnožinu. Grad a div okamžitě zobecňují na jiné dimenze, stejně jako gradientová věta, divergenční věta a Laplacian (poskytuje harmonickou analýzu ), zatímco zvlnění a křížový součin negeneralizují tak přímo.

Z obecného hlediska jsou různá pole v (3-dimenzionálním) vektorovém počtu jednotně považována za k -vektorová pole: skalární pole jsou 0-vektorová pole, vektorová pole jsou 1-vektorová pole, pseudovektorová pole jsou 2-vektorová pole a pseudoskalární pole jsou 3-vektorová pole. Ve vyšších dimenzích existují další typy polí (skalární/vektor/pseudovektor/pseudoskalár odpovídající rozměrům 0/1/ n −1/ n , což je vyčerpávající v dimenzi 3), takže nelze pracovat pouze s (pseudo) skaláry a ( pseudo) vektory.

V jakékoli dimenzi za předpokladu nedegenerované formy je gradem skalární funkce vektorové pole a div vektorového pole je skalární funkcí, ale pouze v dimenzi 3 nebo 7 (a triviálně v dimenzi 0 nebo 1) je stočení vektorového pole a vektorové pole a pouze ve 3 nebo 7 rozměrech lze definovat křížový součin (zobecnění v jiných dimenzích buď vyžaduje vektory k získání 1 vektoru, nebo jde o alternativní Lieovy algebry , což jsou obecnější antisymetrické bilineární produkty). Zobecnění gradu a divu a způsob generalizace zvlnění je popsán v Curl: Generalizations ; ve stručnosti, zvlnění vektorového pole je bivektorové pole, které lze interpretovat jako speciální ortogonální Lieovu algebru nekonečně malých rotací; toto však nelze identifikovat pomocí vektorového pole, protože rozměry se liší - existují 3 rozměry otáčení ve 3 rozměrech, ale 6 rozměrů otáčení ve 4 rozměrech (a obecněji rozměry otáčení v n rozměrech). ${\ displaystyle n-1}$${\ displaystyle \ textstyle {{\ binom {n} {2}} = {\ frac {1} {2}} n (n-1)}}$

Existují dvě důležité alternativní zobecnění vektorového počtu. První, geometrická algebra , používá místo vektorových polí k -vektorová pole (ve 3 nebo méně dimenzích lze každé k -vektorové pole identifikovat skalární funkcí nebo vektorovým polem, ale ve vyšších dimenzích to neplatí). Tím se nahradí součin, který je specifický pro 3 dimenze, přičemž vezmeme dvě vektorová pole a poskytneme jako výstup vektorové pole, vnějším produktem , který existuje ve všech rozměrech a vezme dvě vektorová pole, přičemž jako výstup bude uveden bivektor (2 -vector) pole. Tento produkt poskytuje Cliffordovy algebry jako algebraickou strukturu ve vektorových prostorech (s orientací a nedegenerovanou formou). Geometrická algebra se většinou používá při generalizaci fyziky a dalších aplikovaných polí do vyšších dimenzí.

Druhá generalizace používá diferenciální formy ( k -pole vektoru) namísto vektorových polí nebo k -vektorových polí a je široce používána v matematice, zejména v diferenciální geometrii , geometrické topologii a harmonické analýze , zejména při získání Hodgeovy teorie o orientovaných pseudo- Riemannian potrubí. Z tohoto hlediska grad, curl a div odpovídají vnější derivaci 0-forem, 1-forem a 2-forem, respektive, a klíčové věty vektorového počtu jsou speciální případy obecné formy Stokes 'věta .

Z hlediska obou těchto generalizací vektorový počet implicitně identifikuje matematicky odlišné objekty, což činí prezentaci jednodušší, ale základní matematická struktura a generalizace jsou méně jasné. Z hlediska geometrické algebry vektorový počet implicitně identifikuje k -vektorová pole s vektorovými poli nebo skalárními funkcemi: 0 vektorů a 3 vektory se skaláry, 1 vektory a 2 vektory s vektory. Z hlediska diferenciálních forem vektorový počet implicitně identifikuje k -formy se skalárními poli nebo vektorová pole: 0-formy a 3-formy se skalárními poli, 1-formy a 2-formy s vektorovými poli. Tak například zvlnění přirozeně bere jako vstup vektorové pole nebo 1-formu, ale přirozeně má jako výstup 2-vektorové pole nebo 2-formu (tedy pseudovektorové pole), které je pak interpretováno jako vektorové pole, nikoli přímo vektorové pole na vektorové pole; to se odráží ve zvlnění vektorového pole ve vyšších dimenzích, které nemají jako výstup vektorové pole.

Viz také

Reference

Citace

Prameny

externí odkazy

• "Vektorová analýza" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Vector algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Průzkum nesprávného použití ∇ ve vektorové analýze (1994) Tai, Chen-To
• Vektorová analýza: učebnice pro studenty matematiky a fyziky (na základě přednášek Willarda Gibbse ) od Edwina Bidwella Wilsona , vydaná v roce 1902.
• Nejstarší známá použití některých slov matematiky: vektorová analýza