Vektorový model atomu - Vector model of the atom

Část série na
Kvantová mechanika
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ částečné} {\ částečné t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Schrödingerova rovnice
Úvod Glosář Dějiny Učebnice
Pozadí Klasická mechanika Stará kvantová teorie Braketová notace Hamiltonian Rušení
Základy Narozené pravidlo Comptonova vlnová délka Soudržnost Decoherence Doplňkovost Úroveň energie Zapletení Hamiltonian Princip nejistoty Základní stav Amplituda pravděpodobnosti Rozdělení pravděpodobnosti Rušení Měření Slabé měření Nelokálnost Pozorovatelný Operátor Kvantové Kvantová fluktuace Kvantové číslo Kvantový šum Kvantový stav Kvantový systém Kvantová teleportace Qubit Roztočit Superpozice Stav kvantového vakua Symetrie (Spontánní) narušení symetrie Stav vakua Šíření vln Vlnová funkce Sbalení vlnové funkce Dualita vln-částic Vlna hmoty Bariéra obdélníkového potenciálu Fockový prostor
Účinky Zeemanův efekt Stark efekt Aharonov – Bohmův efekt Landau kvantování Kvantový Hallův efekt Kvantový zeno efekt Kvantové tunelování Fotoelektrický efekt Kazimírův efekt
Experimenty Bellova nerovnost Davisson – Germer Double-slit Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Nerovnost Leggett – Garg Mach – Zehnder Popper Kvantová guma  ( zpožděná volba ) Schrödingerova kočka Stern – Gerlach Wheelerova zpožděná volba
Formulace Přehled Dynamické obrázky ( Heisenberg ; Interakce ; Schrödinger ) Matice Fázový prostor Sum-over-histories (cesta-integrál)
Rovnice Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Funkční integrace
Výklady Přehled Bayesian Konzistentní historie Kodaň de Broglie – Bohm Soubor Skrytá proměnná Mnoho světů Objektivní kolaps Kvantová logika Relační Transakční
Pokročilá témata Hypotéza termalizace vlastního stavu Kvantové žíhání Kvantový chaos Kvantové výpočty Kvantová geometrie Matice hustoty Teorie kvantového pole Frakční kvantová mechanika Kvantová gravitace Kvantová informační věda Kvantové strojové učení Poruchová teorie (kvantová mechanika) Relativistická kvantová mechanika Teorie rozptylu Teorie supratekutého vakua Spontánní parametrická down-konverze Kvantová statistická mechanika
Vědci Aharonov Zvonek Blackett Bloch Bohm Bohr narozený Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli jehněčí Landau Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Rydberg Schrödinger Sommerfeld von Neumann Weyl Vídeň Vůdce Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
Kategorie ► Kvantová mechanika
proti t E

V fyziky , konkrétně kvantové mechaniky je vektor model atomu je model, na atomu , pokud jde o momentu hybnosti . Lze jej považovat za rozšíření modelu atomu Rutherford – Bohr – Sommerfeld na atomy s více elektrony.

Úvod

Ilustrace vektorového modelu orbitálního momentu hybnosti.

Tento model je vhodným znázorněním úhlového momentu elektronů v atomu. Moment hybnosti je vždy rozdělen na orbitální L , spin S a celkový J :

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}$

Vzhledem k tomu, že v kvantové mechanice je moment hybnosti kvantován a existuje složka nejistoty pro komponenty každého vektoru, je znázornění poměrně jednoduché (i když základní matematika je poměrně složitá). Geometricky se jedná o diskrétní sadu pravokruhových kuželů bez kruhové základny, ve které jsou osy všech kuželů seřazeny na společnou osu, konvenčně osa z pro trojrozměrné karteziánské souřadnice. Následuje pozadí této konstrukce.

Matematické pozadí úhlového momentu

Kužele točivého momentu hybnosti, zde zobrazené pro částici spin-1/2

Komutátor znamená, že pro každou z L , S a J lze měřit v kterémkoli okamžiku pouze jednu složku libovolného vektoru momentu hybnosti; zároveň jsou další dva neurčité. Komutátor libovolných dvou operátorů momentu hybnosti (odpovídající směrům složek) je nenulový. Následuje shrnutí příslušné matematiky při konstrukci vektorového modelu.

Komutační vztahy jsou (pomocí Einsteinovy ​​konvence součtu ):

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {L }} _ {c} \\ & [{\ hat {S}} _ {a}, {\ hat {S}} _ {b}] = i \ hbar \ varepsilon _ {abc} {\ hat {S} } _ {c} \\\ end {zarovnáno}}}$

kde

• L = ( L ₁ , L ₂ , L ₃ ), S = ( S ₁ , S ₂ , S ₃ ) a J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) (odpovídají L = ( L _x , L _y , L _z ), S = ( S _x , S _y , S _z ) a J = ( J _x , J _y , J _z ) v kartézských souřadnicích),
• a , b , c ∊ {1,2,3} jsou indexy označující složky úhlového momentu
• ε _abc je 3-indexový permutační tenzor ve 3-d.

Veličiny L , S a J však lze měřit současně, protože komutace čtverce operátoru momentu hybnosti (plný výsledník, nikoli komponenty) s libovolnou složkou je nulová, takže současné měření s , s a s uspokojením: ${\ displaystyle {\ hat {L}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {L}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {S}} ^ {2}}$${\ displaystyle {\ hat {J}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ hat {J}} ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & [{\ hat {L}} _ {a}, {\ hat {L}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {S}} _ { a}, {\ hat {S}} ^ {2}] = 0 \\ & [{\ hat {J}} _ {a}, {\ hat {J}} ^ {2}] = 0 \\\ konec {zarovnáno}}}$

Velikosti splňují všechny následující podmínky, pokud jde o operátory a vektorové komponenty:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & {\ hat {L}} ^ {2} = {\ hat {L}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {L}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {L} \ cdot \ mathbf {L} = L ^ {2} = L_ { x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat {S}} ^ {2} = {\ hat {S}} _ {x } ^ {2} + {\ hat {S}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {S}} _ {z} ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf { S} \ cdot \ mathbf {S} = S ^ {2} = S_ {x} ^ {2} + S_ {y} ^ {2} + S_ {z} ^ {2}, \\ & {\ hat { J}} ^ {2} = {\ hat {J}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {y} ^ {2} + {\ hat {J}} _ {z } ^ {2} \, \, \ rightleftharpoons \, \, \ mathbf {J} \ cdot \ mathbf {J} = J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2 } + J_ {z} ^ {2}, \\\ end {zarovnáno}}}$

a kvantová čísla:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & | \ mathbf {L} | = \ hbar {\ sqrt {\ ell (\ ell +1)}}, \ quad L_ {z} = m _ {\ ell} \ hbar, \\ & | \ mathbf {S} | = \ hbar {\ sqrt {s (s + 1)}}, \ quad S_ {z} = m_ {s} \ hbar, \\ & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}}, \ quad J_ {z} = m_ {j} \ hbar, \\\ konec {zarovnáno}}}$

kde

• ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$ , je azimutální kvantové číslo ,
• s , je spinové kvantové číslo vlastní typu částice,
• j , je celkové kvantové číslo momentu hybnosti ,

které respektují hodnoty:

${\ displaystyle {\ begin {zarovnáno} & m _ {\ ell} \ in \ {- \ ell, - (\ ell -1) \ cdots \ ell -1, \ ell \}, \ quad \ ell \ in \ {0 , 1 \ cdots n-1 \} \\ & m_ {s} \ in \ {- s, - (s-1) \ cdots s-1, s \}, \\ & m_ {j} \ in \ {- j , - (j-1) \ cdots j-1, j \}, \\ & m_ {j} = m _ {\ ell} + m_ {s}, \ quad j = | \ ell + s | \\\ end { zarovnaný}}}$

Tyto matematické skutečnosti naznačují kontinuum všech možných úhlových momentů pro odpovídající zadané kvantové číslo:

1. Jeden směr je konstantní, další dva jsou variabilní.
2. Velikost vektorů musí být konstantní (pro určitý stav odpovídající kvantovému číslu), takže dvě neurčité složky každého z vektorů musí být omezeny na kruh takovým způsobem, že měřitelné a neměřitelné složky ( v okamžiku) umožňují správnou konstrukci velikostí pro všechny možné neurčité komponenty.

Geometrickým výsledkem je kužel vektorů, vektor začíná na vrcholu kužele a jeho hrot dosahuje po obvodu kužele. Konvencí je použití složky z pro měřitelnou složku momentu hybnosti, takže osa kužele musí být osou z, směřující od vrcholu k rovině definované kruhovou základnou kužele, kolmo k rovině . Pro různá kvantová čísla jsou kužele odlišné. Existuje tedy diskrétní počet stavů, kterými může být úhlový moment, ovládaný výše uvedenými možnými hodnotami pro , s a j . Při použití předchozího nastavení vektoru jako součásti kužele musí každý stav odpovídat kuželu. To je pro zvýšení , s , a j , a snižuje , to , a j > Záporná čísla kvantová odpovídají kužely odráží v x - y rovině. Jeden z těchto stavů pro kvantové číslo rovnající se nule zjevně neodpovídá kuželu, pouze kružnici v rovině x - y . ${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$${\ displaystyle \ scriptstyle \ ell}$

Počet kuželů (včetně degenerované rovinného kruhu) se rovná mnohost států . ${\ displaystyle \ scriptstyle 2 \ ell +1}$

Bohrův model

Lze to považovat za rozšíření Bohrova modelu, protože Niels Bohr také navrhoval moment hybnosti byl kvantován podle:

${\ displaystyle L = m \ hbar}$

kde m je celé číslo, přineslo správné výsledky pro atom vodíku. Ačkoli Bohrův model se nevztahuje na atomy s více elektrony, jednalo se o první úspěšnou kvantizaci momentu hybnosti aplikovanou na atom před vektorovým modelem atomu.

Přidání úhlového momentu

Pro atomy s jedním elektronem (tj. Vodík) existuje pouze jedna sada čípků pro obíhající elektron. U atomů s více elektrony existuje mnoho stavů kvůli rostoucímu počtu elektronů.

Úhlový moment všech elektronů v atomu se sčítá vektorově . Většina atomových procesů, jak jaderných, tak chemických (elektronických) - s výjimkou absolutně stochastického procesu radioaktivního rozpadu - je určena spinovým párováním a vazbou úhlového momentu v důsledku sousedních nukleonů a elektronů. Termín „vazba“ v tomto kontextu znamená vektorovou superpozici úhlového momentu, to znamená, že jsou přidány velikosti a směry.

V atomech s více elektrony je vektorový součet dvou úhlových momentů:

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {J} _ {1} + \ mathbf {J} _ {2} \, \!}$

pro komponentu z jsou projektované hodnoty:

${\ displaystyle J_ {z} = J_ {1z} + J_ {2z} \, \!}$

kde

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & \ mathbf {J} _ {z} = m_ {j} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {1z} = m_ {j_ {1}} \ hbar \\ & \ mathbf {J} _ {2z} = m_ {j_ {2}} \ hbar \\\ end {zarovnáno}} \, \!}$

a velikosti jsou:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & | \ mathbf {J} | = \ hbar {\ sqrt {j (j + 1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {1} | = \ hbar { \ sqrt {j_ {1} (j_ {1} +1)}} \\ & | \ mathbf {J} _ {2} | = \ hbar {\ sqrt {j_ {2} (j_ {2} +1) }} \\\ end {zarovnáno}}}$

ve kterém

${\ displaystyle j \ in \ {| j_ {1} -j_ {2} |, | j_ {1} -j_ {2} | -1 \ cdots j_ {1} + j_ {2} -1, j_ {1 } + j_ {2} \} \, \!}$

Tento proces lze opakovat pro třetí elektron, poté čtvrtý atd., Dokud nebude nalezena celková momentová hybnost.

LS spojka

Ilustrace LS spojky. Celková moment hybnosti J je fialová, orbitální L je modrá a spin S je zelená.

Proces sčítání všech úhlových momentů dohromady je náročný úkol, protože výsledný moment není konečný, do výpočtu musí být zahrnuty celé kužele precesního momentu kolem osy z. To lze zjednodušit některými rozvinutými aproximacemi - například Russellovým-Saundersovým vazebním schématem v LS vazbě , pojmenovaným podle HN Russella a FA Saundersa (1925).

Viz také

• Clebsch – Gordanovy koeficienty
• LS spojka
• Diagramy momentu hybnosti (kvantová mechanika)
• Sférický základ

Reference

• Kvantová fyzika atomů, molekul, pevných látek, jader a částic (2. vydání) , R. Eisberg, R. Resnick, John Wiley & Sons, 1985, ISBN   978-0-471-87373-0

Další čtení

• Atomic Many-Body Theory , I. Lindgren, J. Morrison, Springer-Verlag Series in: Chemical Physics N ^o 13, 1982, ISBN, Monografie na úrovni absolventa o teorii mnoha těl v kontextu momentu hybnosti, s velkým důrazem na grafické znázornění a metody.
• Quantum Mechanics Demystified , D. McMahon, Mc Graw Hill, 2005, ISBN   0-07-145546-9