Rychlost - Velocity

Rychlost
Jelikož během zatáčení závodních vozů dochází ke změně směru, jejich rychlost není konstantní.
Společné symboly	v , v , v →
Ostatní jednotky	mph , ft / s
V základních jednotkách SI	m / s
Dimenze	L T -1

Část série na
Klasická mechanika
${\ displaystyle {\ textbf {F}} = {\ frac {d} {dt}} (m {\ textbf {v}})}$ Druhý zákon pohybu
Dějiny Časová osa Učebnice
Pobočky
Základy
Formulace
Klíčová témata
Otáčení
Vědci
Kategorie
proti t E

Rychlost objektu je rychlost změny jeho polohy s ohledem na referenční rámec , a je funkcí času. Rychlost je ekvivalentní specifikaci rychlosti a směru pohybu objektu (např 60  km / h na sever). Rychlost je základní pojem v kinematice , odvětví klasické mechaniky, která popisuje pohyb těles.

Rychlost je fyzická vektorová veličina ; k jeho definování je zapotřebí jak velikosti, tak směru. Skalární absolutní hodnota ( velikost ) rychlosti se nazývá rychlost , že je jednotka odvozená koherentní, jehož množství se měří v SI ( metrický systém ), jak je metrů za sekundu (m / s nebo m⋅s ^-1 ). Například „5 metrů za sekundu“ je skalární, zatímco „5 metrů za sekundu na východ“ je vektor. Pokud dojde ke změně rychlosti, směru nebo obou, pak má objekt měnící se rychlost a říká se, že prochází zrychlením .

Konstantní rychlost vs. zrychlení

Aby měl objekt konstantní rychlost , musí mít konstantní rychlost v konstantním směru. Konstantní směr omezuje objekt na pohyb po přímé dráze, konstantní rychlost tedy znamená pohyb po přímce konstantní rychlostí.

Například auto pohybující se konstantní rychlostí 20 kilometrů za hodinu po kruhové dráze má konstantní rychlost, ale nemá konstantní rychlost, protože se mění jeho směr. Proto se má za to, že vůz prochází zrychlením.

Rozdíl mezi rychlostí a rychlostí

Kinematické veličiny klasické částice: hmotnost m , poloha r , rychlost v , zrychlení a .

Rychlost, skalární velikost vektoru rychlosti, označuje pouze to, jak rychle se objekt pohybuje.

Pohybová rovnice

Průměrná rychlost

Rychlost je definována jako rychlost změny polohy vzhledem k času, která může být také označována jako okamžitá rychlost, aby se zdůraznil rozdíl od průměrné rychlosti. V některých aplikacích může být zapotřebí průměrná rychlost objektu, to znamená konstantní rychlost, která by poskytla stejné výsledné posunutí jako proměnná rychlost ve stejném časovém intervalu v ( t ) po určitou dobu Δ t . Průměrnou rychlost lze vypočítat jako:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ bar {v}}} = {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {x}}} {\ Delta {\ mathit {t}}}}.}$

Průměrná rychlost je vždy menší nebo rovna průměrné rychlosti objektu. To lze vidět tím, že si uvědomíte, že zatímco vzdálenost se vždy striktně zvyšuje, posun se může zvětšovat nebo zmenšovat a také měnit směr.

Z hlediska grafu posunutí-čas ( x vs. t ) lze okamžitou rychlost (nebo jednoduše rychlost) považovat za sklon tečny ke křivce v kterémkoli bodě a průměrnou rychlost jako sklon z secant linie mezi dvěma body se t polohu, která se rovná hranice časového období pro stanovení průměrné rychlosti.

Průměrná rychlost je stejná jako rychlost zprůměrovaná v čase - to znamená její časově vážený průměr, který lze vypočítat jako časový integrál rychlosti:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ bar {v}}} = {1 \ over t_ {1} -t_ {0}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ boldsymbol {v }} (t) \ dt,}$

kde můžeme identifikovat

${\ displaystyle \ Delta {\ boldsymbol {x}} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} {\ boldsymbol {v}} (t) \ dt}$

a

${\ displaystyle \ Delta t = t_ {1} -t_ {0}.}$

Okamžitá rychlost

Příklad grafu rychlosti vs. času a vztahu mezi rychlostí v na ose y, zrychlením a (tři zelené tečné čáry představují hodnoty zrychlení v různých bodech podél křivky) a posunem s (žlutá oblast pod křivka.)

Pokud vezmeme v v jako rychlost a x jako vektor posunutí (změnu polohy), pak můžeme vyjádřit (okamžitou) rychlost částice nebo objektu v jakémkoli konkrétním čase t jako derivaci polohy vzhledem k času:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = \ lim _ {{\ Delta t} \ až 0} {\ frac {\ Delta {\ boldsymbol {x}}} {\ Delta t}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {x}}} {d {\ mathit {t}}}}.}$

Z této derivační rovnice je v jednorozměrném případě vidět, že oblast pod rychlostí vs. časem ( graf v vs. t ) je posunutí, x . Z hlediska počtu je integrálem funkce rychlosti v ( t ) funkce posunutí x ( t ) . Na obrázku to odpovídá žluté oblasti pod křivkou označenou s ( s je alternativní notace pro posunutí).

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = \ int {\ boldsymbol {v}} \ d {\ mathit {t}}.}$

Protože derivace polohy vzhledem k času udává změnu polohy (v metrech ) dělenou změnou času (v sekundách ), rychlost se měří v metrech za sekundu (m / s). I když by se koncept okamžité rychlosti mohl na první pohled zdát neintuitivní, lze jej považovat za rychlost, po které by objekt pokračoval v cestování, kdyby v tu chvíli přestal zrychlovat.

Vztah k zrychlení

Ačkoli rychlost je definována jako rychlost změny polohy, je často běžné začít s výrazem pro zrychlení objektu . Jak je vidět třemi zelenými tečen na obrázku, objekt je okamžité zrychlení v okamžiku je sklon k linky tangenty ke křivce v ( t ) grafu v tomto bodě. Jinými slovy, zrychlení je definováno jako derivace rychlosti vzhledem k času:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {a}} = {\ frac {d {\ boldsymbol {v}}} {d {\ mathit {t}}}}.}$

Odtud můžeme získat výraz pro rychlost jako plochu pod grafem zrychlení a ( t ) vs. čas. Jak je uvedeno výše, provádí se to pomocí konceptu integrálu:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = \ int {\ boldsymbol {a}} \ d {\ mathit {t}}.}$

Konstantní zrychlení

Ve zvláštním případě konstantního zrychlení lze rychlost studovat pomocí suvatových rovnic . Když považujeme a za rovné nějakému libovolnému konstantnímu vektoru, je triviální to ukázat

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = {\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {a}} t}$

s v jako rychlost v čase t a u jako rychlost v čase t = 0 . Kombinací této rovnice se SUVAT rovnice x = u t + t ² /2 , je možné vztáhnout na posunutí a průměrnou rychlost o

${\ displaystyle {\ boldsymbol {x}} = {\ frac {({\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {v}})} {2}} {\ mathit {t}} = {\ boldsymbol {\ lišta {v}}} {\ mathit {t}}}$ .

Je také možné odvodit výraz rychlosti nezávislý na čase, známý jako Torricelliho rovnice , následovně:

${\ displaystyle v ^ {2} = {\ boldsymbol {v}} \ cdot {\ boldsymbol {v}} = ({\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {a}} t) \ cdot ({\ boldsymbol {u}} + {\ boldsymbol {a}} t) = u ^ {2} + 2t ({\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {u}}) + a ^ {2} t ^ {2 }}$

${\ displaystyle (2 {\ boldsymbol {a}}) \ cdot {\ boldsymbol {x}} = (2 {\ boldsymbol {a}}) \ cdot ({\ boldsymbol {u}} t + {\ frac {1} {2}} {\ boldsymbol {a}} t ^ {2}) = 2t ({\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {u}}) + a ^ {2} t ^ {2} = v ^ {2} -u ^ {2}}$

${\ displaystyle \ proto v ^ {2} = u ^ {2} +2 ({\ boldsymbol {a}} \ cdot {\ boldsymbol {x}})}$

kde v = | v | atd.

Výše uvedené rovnice platí jak pro newtonovskou mechaniku, tak pro speciální relativitu . Kde se newtonovská mechanika a speciální relativita liší, je to, jak by různí pozorovatelé popsali stejnou situaci. Zejména v newtonovské mechanice se všichni pozorovatelé shodují na hodnotě t a pravidla transformace pro pozici vytvářejí situaci, ve které by všichni neaktivní pozorovatelé popsali zrychlení objektu se stejnými hodnotami. Ani to neplatí pro speciální relativitu. Jinými slovy lze vypočítat pouze relativní rychlost.

Veličiny, které jsou závislé na rychlosti

Kinetické energie pohybujícího se objektu závisí na jeho rychlosti a je dána rovnicí

${\ displaystyle E _ {\ text {k}} = {\ tfrac {1} {2}} mv ^ {2}}$

ignorování speciální relativity , kde E _k je kinetická energie am je hmotnost. Kinetická energie je skalární veličina, protože závisí na druhé mocnině rychlosti, nicméně související veličina, hybnost , je vektor a je definována

${\ displaystyle {\ boldsymbol {p}} = m {\ boldsymbol {v}}}$

Ve speciální relativitě se často vyskytuje bezrozměrný Lorentzův faktor , který je dán

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

kde γ je Lorentzův faktor ac je rychlost světla.

Úniková rychlost je minimální rychlost, kterou balistický objekt potřebuje k úniku z masivního tělesa, jako je Země. Představuje kinetickou energii, která se po přidání k gravitační potenciální energii objektu (která je vždy záporná) rovná nule. Obecný vzorec pro únikovou rychlost objektu ve vzdálenosti r od středu planety s hmotností M. je

${\ displaystyle v _ {\ text {e}} = {\ sqrt {\ frac {2GM} {r}}} = {\ sqrt {2gr}},}$

kde G je gravitační konstanta , a g je gravitační zrychlení . Úniková rychlost z povrchu Země je asi 11 200 m / s a ​​je bez ohledu na směr objektu. Díky tomu je „úniková rychlost“ poněkud nesprávným pojmenováním, protože správnějším pojmem by byla „úniková rychlost“: jakýkoli objekt dosahující rychlosti této velikosti, bez ohledu na atmosféru, opustí okolí základního tělesa, pokud to neudělá. neprotínají se s něčím, co mu stojí v cestě.

Relativní rychlost

Relativní rychlost je měření rychlosti mezi dvěma objekty, jak je stanoveno v jediném souřadnicovém systému. Relativní rychlost je zásadní v klasické i moderní fyzice, protože mnoho systémů ve fyzice se zabývá relativním pohybem dvou nebo více částic. V newtonovské mechanice je relativní rychlost nezávislá na zvoleném inerciálním referenčním rámci. To již neplatí pro speciální relativitu, ve které rychlosti závisí na volbě referenčního rámce.

Pokud se objekt A pohybuje s vektorem rychlosti v a objekt B s vektorem rychlosti w , pak je rychlost objektu A vzhledem k objektu B definována jako rozdíl dvou vektorů rychlosti:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {A {\ text {vzhledem k}} B} = {\ boldsymbol {v}} - {\ boldsymbol {w}}}$

Podobně relativní rychlost objektu B pohybujícího se rychlostí w vzhledem k objektu A pohybujícího se rychlostí v je:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {B {\ text {vzhledem k}} A} = {\ boldsymbol {w}} - {\ boldsymbol {v}}}$

Obvykle je zvolen setrvačný rámec, ve kterém je druhý ze dvou zmíněných objektů v klidu.

Skalární rychlosti

V jednorozměrném případě jsou rychlosti skalární a rovnice je buď:

${\ displaystyle \, v_ {rel} = v - (- w)}$ , pokud se oba objekty pohybují v opačných směrech, nebo:

${\ displaystyle \, v_ {rel} = v - (+ w)}$ , pokud se oba objekty pohybují stejným směrem.

Polární souřadnice

Reprezentace radiálních a tangenciálních složek rychlosti v různých okamžicích lineárního pohybu s konstantní rychlostí objektu kolem pozorovatele O (odpovídá například průjezdu automobilu po rovné ulici kolem chodce stojícího na chodníku). Radiální složku lze pozorovat díky Dopplerovu jevu , tangenciální složka způsobuje viditelné změny polohy objektu.

V polárních souřadnicích je dvourozměrná rychlost popsána radiální rychlostí , která je definována jako složka rychlosti od počátku nebo k počátku (známá také jako dobrá rychlost ) a úhlová rychlost , což je rychlost otáčení kolem počátek (s kladnými veličinami představujícími otáčení proti směru hodinových ručiček a zápornými veličinami představujícími otáčení ve směru hodinových ručiček, v pravotočivém souřadném systému).

Radiální a úhlové rychlosti lze odvodit z kartézských vektorů rychlosti a posunutí rozložením vektoru rychlosti na radiální a příčnou složku. Příčná rychlost je složka rychlosti na kružnici se středem v počátku.

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} = {\ boldsymbol {v}} _ {T} + {\ boldsymbol {v}} _ {R}}$

kde

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {T}}$ je příčná rychlost

${\ displaystyle {\ boldsymbol {v}} _ {R}}$ je radiální rychlost.

Velikost radiální rychlosti je skalární součin vektoru rychlosti a jednotkový vektor ve směru posunutí.

${\ displaystyle v_ {R} = {\ frac {{\ boldsymbol {v}} \ cdot {\ boldsymbol {r}}} {\ left | {\ boldsymbol {r}} \ right |}}}$

kde

${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}}}$ je posunutí.

Velikost rychlosti příčného je to, že o součin jednotkového vektoru ve směru posunu a vektoru rychlosti. Je to také součin úhlové rychlosti a velikosti posunutí. ${\ displaystyle \ omega}$

${\ displaystyle v_ {T} = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} \ times {\ boldsymbol {v}} |} {| {\ boldsymbol {r}} |}} = \ omega | {\ boldsymbol {r}} |}$

takhle

${\ displaystyle \ omega = {\ frac {| {\ boldsymbol {r}} \ times {\ boldsymbol {v}} |} {| {\ boldsymbol {r}} | ^ {2}}}.}$

Moment hybnosti ve skalárním tvaru je hmotnost krát vzdálenost vzdálenosti od počátku krát příčná rychlost, nebo ekvivalentně hmotnost krát vzdálenost na druhou krát úhlová rychlost. Znaménková konvence pro moment hybnosti je stejná jako u úhlové rychlosti.

${\ displaystyle L = mrv_ {T} = mr ^ {2} \ omega \,}$

kde

${\ displaystyle m \,}$ je hmotnost

${\ displaystyle r = \ | {\ boldsymbol {r}} \ |.}$

Výraz je znám jako moment setrvačnosti . Pokud jsou síly v radiálním směru pouze s inverzní čtvercovou závislostí, jako je tomu v případě gravitační dráhy , je moment hybnosti konstantní a příčná rychlost je nepřímo úměrná vzdálenosti, úhlová rychlost je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti a rychlost, kterou je oblast zametena, je konstantní. Tyto vztahy jsou známé jako Keplerovy zákony planetárního pohybu . ${\ displaystyle mr ^ {2}}$

Viz také

Poznámky

Reference

• Robert Resnick a Jearl Walker, Základy fyziky , Wiley; 7. dílčí vydání (16. června 2004). ISBN   0-471-23231-9 .

externí odkazy

• physicsabout.com , Rychlost a rychlost
• Rychlost a zrychlení
• Úvod do mechanismů ( Carnegie Mellon University )