Sada Vitali - Vitali set

V matematice je Vitaliho množina elementárním příkladem množiny reálných čísel, která není Lebesgueova měřitelná , kterou našel Giuseppe Vitali v roce 1905. Vitaliho věta je věta o existenci , že takové množiny existují. Vitalijských sad je nespočetně mnoho a jejich existence závisí na zvoleném axiomu . V roce 1970 vytvořil Robert Solovay model teorie množin Zermelo -Fraenkel bez axiomu volby, kde všechny sady reálných čísel jsou Lebesgueovy měřitelné, za předpokladu existence nepřístupného kardinála (viz.Solovayův model ).

Měřitelné sady

Některé sady mají určitou „délku“ nebo „hmotnost“. Například za interval [0, 1] se považuje délka 1; obecněji je interval [ a , b ], ab , považován za délku b  -  a . Pokud si představíme takové intervaly jako kovové tyče se stejnoměrnou hustotou, mají rovněž dobře definované hmotnosti. Množina [0, 1] ∪ [2, 3] se skládá ze dvou intervalů délky jedna, takže její celkovou délku vezmeme jako 2. Pokud jde o hmotnost, máme dva pruty o hmotnosti 1, takže celková hmotnost je 2.

Nabízí se zde přirozená otázka: je -li E libovolná podmnožina skutečné přímky, má „hmotnost“ nebo „celkovou délku“? Jako příklad bychom se mohli zeptat, jaká je hmotnost množiny racionálních čísel , vzhledem k tomu, že hmotnost intervalu [0, 1] je 1. Racionální hodnoty jsou ve skutečnosti husté , takže jakákoli hodnota mezi 0 a 1 včetně může vypadat rozumně.

Nejbližším zobecněním hmotnosti je však aditivita sigma , která vede k Lebesgueově míře . Přiřadí míru b - a intervalu [ a , b ], ale sadě racionálních čísel přiřadí míru 0, protože je spočitatelná . Každá množina, která má dobře definovanou Lebesgueovu míru, je údajně „měřitelná“, ale konstrukce Lebesgueovy míry (například pomocí Carathéodoryovy ​​věty o rozšíření ) nedává jasně najevo, zda existují neměřitelné množiny. Odpověď na tuto otázku zahrnuje axiom volby .

Konstrukce a důkaz

Vitali sada je podmnožinou v intervalu [0, 1] z reálných čísel tak, že pro každé reálné číslo , existuje právě jedno číslo takové, že je racionální číslo . Vitalijské sady existují, protože racionální čísla Q tvoří normální podskupinu reálných čísel R při sčítání , a to umožňuje konstrukci aditivní kvocientové skupiny R / Q těchto dvou skupin, což je skupina tvořená kosety racionálních čísel jako podskupina reálných čísel pod sčítáním. Tato skupina R / Q se skládá z disjunktních „posunul kopie“ z Q v tom smyslu, že každý prvek má tento faktor sestava je skupina ve tvaru Q + r pro některé r v R . Tyto nespočetně mnoho prvků R / Q dělicí R , a každý prvek je hustá v R . Každý prvek R / Q protíná [0, 1], a axiom výběru zaručuje existenci podskupiny [0, 1], který obsahuje přesně jeden zástupce z každého prvku R / Q . Takto vytvořená sada se nazývá sada Vitali.

Každá sada Vitali je nepočítatelná a pro všechny je iracionální .

Neměřitelnost

Možný výčet racionálních čísel

Sada Vitali je neměřitelná. Abychom to ukázali, předpokládáme, že V je měřitelný a odvozujeme rozpor. Nechť q 1 , q 2 , ... je výčet racionálních čísel v [−1, 1] (připomeňme, že racionální čísla jsou spočitatelná ). Z konstrukce V si všimněte, že přeložené množiny , k = 1, 2, ... jsou párově disjunktní, a dále si všimněte, že

.

Chcete -li vidět první zahrnutí, zvažte jakékoli reálné číslo r v [0, 1] a nechejte v být reprezentantem ve V pro třídu ekvivalence [ r ]; pak r - v = q i pro nějaké racionální číslo q i v [-1, 1], což znamená, že r je ve V i .

Aplikujte Lebesgueovu míru na tyto inkluze pomocí sigma aditivity :

Protože Lebesgueova míra je překladově invariantní, a proto

Ale to je nemožné. Součtem nekonečně mnoha kopií konstanty λ ( V ) se získá buď nula nebo nekonečno, podle toho, zda je konstanta nulová nebo kladná. V žádném případě není součet v [1, 3]. Takže V nemohl být koneckonců měřitelný, tj. Lebesgueova míra λ nesmí definovat žádnou hodnotu pro λ ( V ).

Viz také

Reference

Bibliografie