Vlasovova rovnice - Vlasov equation

Vlasov rovnice je diferenciální rovnice popisující časový vývoj distribuční funkce z plazmy sestávající z nabitých částic s dlouhým rozsahem interakce, např Coulombova . Rovnici poprvé navrhl pro popis plazmy Anatolij Vlasov v roce 1938 a později se jím podrobně zabýval v monografii.

Obtíže standardního kinetického přístupu

Za prvé, Vlasov tvrdí, že standardní kinetický přístup založený na Boltzmannově rovnici má potíže při aplikaci na popis plazmatu s Coulombovou interakcí s dlouhým dosahem . Zmiňuje následující problémy vznikající při aplikaci kinetické teorie založené na párových kolizích na dynamiku plazmy:

1. Teorie párových srážek nesouhlasí s objevem přirozených vibrací v elektronovém plazmatu Rayleighem , Irvingem Langmuirem a Lewi Tonksem .
2. Teorie párových srážek není formálně použitelná pro Coulombovu interakci kvůli divergenci kinetických výrazů.
3. Teorie párových srážek nedokáže vysvětlit experimenty Harrisona Merrilla a Harolda Webba na anomálním rozptylu elektronů v plynném plazmatu.

Vlasov naznačuje, že tyto potíže pocházejí z dalekonosného charakteru Coulombovy interakce. Začíná Boltzmannovou rovinou bez kolizí (někdy nazývanou Vlasovova rovnice, v tomto kontextu anachronicky), ve zobecněných souřadnicích :

${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} f (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)} {\ operatorname {d} t}} = 0,}$

výslovně PDE :

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t}}+{\ frac {\ jméno operátora {d} \ mathbf {r}} {\ jméno operátora {d} t}} \ cdot {\ frac {\ částečné f} {\ partial \ mathbf {r}}}+{\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p}} {\ operatorname {d} t}} \ cdot {\ frac {\ částečná f} {\ částečná \ mathbf {p}}} = 0,}$

a upravil jej pro případ plazmy, což vedlo k soustavám rovnic ukázaných níže. Zde f je obecná distribuční funkce částic s hybností p na souřadnicích r a daném čase t . Všimněte si, že termín je síla F působící na částici. ${\ displaystyle {\ frac {\ operatorname {d} \ mathbf {p}} {\ operatorname {d} t}}}$

Soustava rovnic Vlasov – Maxwell (gaussovské jednotky)

Místo kinetického popisu interakce nabitých částic v plazmě na základě kolize využívá Vlasov soběstačné kolektivní pole vytvořené nabitými částicemi plazmy. Takový popis využívá distribuční funkce a pro elektrony a (pozitivní) plazmatické ionty . Distribuční funkce pro druhy α popisuje počet částic druhu α, které mají přibližně hybnost poblíž polohy v čase t . Místo Boltzmannovy rovnice byla pro popis nabitých složek plazmatu (elektronů a kladných iontů) navržena následující soustava rovnic: ${\ Displaystyle f_ {e} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ Displaystyle f_ {i} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ Displaystyle f _ {\ alpha} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r}}$

${\ Displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {\ partial f_ {e}} {\ partial t}}+\ mathbf {v} _ {e} \ cdot \ nabla f_ {e} &-e \ left ( \ mathbf {E} +{\ frac {\ mathbf {v_ {e}}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot {\ frac {\ částečný f_ {e}} {\ částečný \ mathbf {p}}} = 0 \\ {\ frac {\ částečný f_ {i}} {\ částečný t}}+\ mathbf {v} _ {i} \ cdot \ nabla f_ {i} &+Z_ {i } e \ left (\ mathbf {E} +{\ frac {\ mathbf {v_ {i}}} {c}} \ times \ mathbf {B} \ right) \ cdot {\ frac {\ partial f_ {i} } {\ partial \ mathbf {p}}} = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf {B} & = {\ frac {4 \ pi \ mathbf {j}} {c}}+{\ frac {1} {c}} {\ frac {\ částečné \ mathbf {E}} {\ částečné t}} \\\ nabla \ times \ mathbf {E} & =-{\ frac {1} {c}} {\ frac { \ částečné \ mathbf {B}} {\ částečné t}} \\\ nabla \ cdot \ mathbf {E} & = 4 \ pi \ rho \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} & = 0 \\\ end {zarovnaný}}}$

${\ Displaystyle \ rho = e \ int (Z_ {i} f_ {i} -f_ {e}) d^{3} p, \ quad \ mathbf {j} = e \ int (Z_ {i} f_ {i } \ mathbf {v} _ {i} -f_ {e} \ mathbf {v} _ {e}) d^{3} p, \ quad \ mathbf {v} _ {\ alpha} = {\ frac {\ frac {\ mathbf {p}} {m _ {\ alpha}}} {\ left (1+{\ frac {p^{2}} {(m _ {\ alpha} c)^{2}}} \ right) ^{1/2}}}}$

Zde e je elementární náboj ( ), c je rychlost světla , m _i je hmotnost iontu a představuje kolektivní, konzistentní elektromagnetické pole vytvořené v bodě v časovém okamžiku t všemi částicemi plazmy. Zásadní rozdíl tohoto systému rovnic od rovnic pro částice ve vnějším elektromagnetickém poli spočívá v tom, že samo-konzistentní elektromagnetické pole závisí komplexně na distribučních funkcích elektronů a iontů a . ${\ displaystyle e> 0}$${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t)}$${\ displaystyle \ mathbf {r}}$${\ Displaystyle f_ {e} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$${\ Displaystyle f_ {i} (\ mathbf {r}, \ mathbf {p}, t)}$

Vlasov – Poissonova rovnice

Vlasov – Poissonovy rovnice jsou aproximací rovnic Vlasov – Maxwell v nerelativistickém limitu nulového magnetického pole:

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný f _ {\ alpha}} {\ částečný t}}+\ mathbf {v} _ {\ alpha} \ cdot {\ frac {\ částečný f _ {\ alpha}} {\ částečný \ mathbf {x}}}+{\ frac {q _ {\ alpha} \ mathbf {E}} {m _ {\ alpha}}} \ cdot {\ frac {\ částečný f _ {\ alpha}} {\ částečný \ mathbf { v}}} = 0,}$

a Poissonova rovnice pro self-konzistentní elektrické pole:

${\ Displaystyle \ nabla ^{2} \ phi +\ rho = 0.}$

Zde q _α je elektrický náboj částice, m _α je hmotnost částice, je self-konzistentní elektrické pole , self-konzistentní elektrický potenciál a ρ je hustota elektrického náboje . ${\ displaystyle \ mathbf {E} (\ mathbf {x}, t)}$${\ Displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t)}$

Vlasov – Poissonovy rovnice se používají k popisu různých jevů v plazmatu, zejména Landauova tlumení a distribuce ve dvouvrstvém plazmatu, kde jsou nezbytně silně neak-maxwellovské , a proto pro tekutinové modely nepřístupné.

Momentové rovnice

V tekutých popisech plazmatu (viz plazmové modelování a magnetohydrodynamika (MHD)) se nebere v úvahu distribuce rychlosti. Toho je dosaženo nahrazením plazmatickými momenty, jako je hustota čísel n , rychlost proudění u a tlak p . Nazývají se plazmové momenty, protože n -tý moment lze nalézt integrací přes rychlost. Tyto proměnné jsou pouze funkcí polohy a času, což znamená, že jsou ztraceny některé informace. V teorii více tekutin jsou různé druhy částic považovány za různé tekutiny s různými tlaky, hustotami a rychlostmi proudění. Rovnice řídící momenty plazmy se nazývají momentové nebo tekutinové rovnice. ${\ Displaystyle f (\ mathbf {r}, \ mathbf {v}, t)}$ ${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle v^{n} f}$

Níže jsou uvedeny dvě nejpoužívanější momentové rovnice (v jednotkách SI ). Odvození momentových rovnic z Vlasovovy rovnice nevyžaduje žádné předpoklady o distribuční funkci.

Rovnice spojitosti

Rovnice kontinuity popisuje, jak se hustota mění s časem. Lze jej nalézt integrací Vlasovovy rovnice v celém rychlostním prostoru.

${\ Displaystyle \ int {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} fd^{3} v = \ int \ left ({\ frac {\ partial} {\ partial t}} f+ (\ mathbf {v} \ cdot \ nabla _ {r}) f+(\ mathbf {a} \ cdot \ nabla _ {v}) f \ right) d^{3} v = 0}$

Po několika výpočtech jeden skončí s

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} n+\ nabla \ cdot (n \ mathbf {u}) = 0.}$

Hustota čísel n a hustota hybnosti n u jsou nulové momenty a momenty prvního řádu:

${\ Displaystyle n = \ int fd^{3} v}$

${\ Displaystyle n \ mathbf {u} = \ int \ mathbf {v} fd^{3} v}$

Rovnice hybnosti

Rychlost změny hybnosti částice je dána Lorentzovou rovnicí:

${\ Displaystyle m {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} = q (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) }$

Použitím této rovnice a Vlasovovy rovnice se stane rovnice hybnosti pro každou tekutinu

${\ Displaystyle mn {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} \ mathbf {u} =-\ nabla \ cdot {\ mathcal {P}} +qn \ mathbf {E} +qn \ mathbf {u} \ times \ mathbf {B}}$,

kde je tenzor tlaku. Materiál derivát je ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {D}} {\ mathrm {D} t}} = {\ frac {\ partial} {\ partial t}}+\ mathbf {u} \ cdot \ nabla.}$

Tenzor tlaku je definován jako hmotnost částic krát kovarianční matice rychlosti:

${\ Displaystyle p_ {ij} = m \ int (v_ {i} -u_ {i}) (v_ {j} -u_ {j}) fd^{3} v.}$

Zmrazená aproximace

Pokud jde o ideální MHD , lze plazmu považovat za vázanou na magnetické siločáry, pokud jsou splněny určité podmínky. Často se říká, že linie magnetického pole jsou zmrazeny do plazmy. Podmínky zmrazení lze odvodit z Vlasovovy rovnice.

Představujeme měřítka T, L a V pro čas, vzdálenost a rychlost. Představují velikosti různých parametrů, které způsobují velké změny v . Celkově to myslíme ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ částečný f} {\ částečný t}} T \ sim f \ quad \ left | {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {r}}} \ vpravo | L \ sim f \ quad \ left | {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {v}}} \ vpravo | V \ sim f.}$

Pak píšeme

${\ Displaystyle t ^{\ prime} = {\ frac {t} {T}} \ quad \ mathbf {r} ^{\ prime} = {\ frac {\ mathbf {r}} {L}} \ quad \ mathbf {v} ^{\ prime} = {\ frac {\ mathbf {v}} {V}}.}$

Vlasovovu rovnici lze nyní zapsat

${\ Displaystyle {\ frac {1} {T}} {\ frac {\ částečný f} {\ částečný t ^{\ prime}}}+{\ frac {V} {L}} \ mathbf {v} ^{ \ prime} \ cdot {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {r} ^{\ prime}}} +{\ frac {q} {mV}} (\ mathbf {E} +V \ mathbf { v} ^{\ prime} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {v} ^{\ prime}}} = 0.}$

Doposud nebyly provedeny žádné aproximace. Abychom mohli pokračovat, nastavíme , kde je frekvence gyroskopu a R je gyroradius . Vydělením ω _g dostaneme ${\ displaystyle V = R \ omega _ {g}}$${\ Displaystyle \ omega _ {g} = qB/m}$

${\ Displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {g} T}} {\ frac {\ částečné f} {\ částečné t^{\ prime}}}+{\ frac {R} {L}} \ mathbf {v} ^{\ prime} \ cdot {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {r} ^{\ prime}}}+\ left ({\ frac {\ mathbf {E}} {VB }}+\ mathbf {v} ^{\ prime} \ times {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ right) \ cdot {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {v} ^{\ prime}}} = 0}$

Pokud a , budou první dva termíny mnohem méně než od té doby a kvůli definicím T, L a V výše. Jelikož je poslední člen řádu , můžeme první dva termíny zanedbat a psát ${\ Displaystyle 1/\ omega _ {g} \ ll T}$${\ Displaystyle R \ ll L}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ částečná f/\ částečná t^{\ prime} \ sim f, v^{\ prime} \ lesssim 1}$${\ Displaystyle \ částečná f/\ částečná \ mathbf {r} ^{\ prime} \ sim f}$${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ left ({\ frac {\ mathbf {E}} {VB}}+\ mathbf {v} ^{\ prime} \ times {\ frac {\ mathbf {B}} {B}} \ right) \ cdot {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {v} ^{\ prime}}} \ cca 0 \ Rightarrow (\ mathbf {E} +\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {v}}} \ cca 0}$

Tuto rovnici lze rozložit na pole zarovnané a kolmé části:

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ | | {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {v} _ {\ |}}}+(\ mathbf {E} _ {\ perp}+\ mathbf {v} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ cca 0}$

Dalším krokem je napsat , kde ${\ Displaystyle \ mathbf {v} = \ mathbf {v} _ {0}+\ Delta \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0} \ times \ mathbf {B} =-\ mathbf {E} _ {\ perp}}$

Brzy bude jasné, proč se to dělá. S touto náhradou dostaneme

${\ Displaystyle \ mathbf {E} _ {\ | | {\ frac {\ částečné f} {\ částečné \ mathbf {v} _ {\ |}}}+(\ Delta \ mathbf {v} _ {\ perp} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ částečný f} {\ částečný \ mathbf {v} _ {\ perp}}}} \ cca 0}$

Pokud je paralelní elektrické pole malé,

${\ Displaystyle (\ Delta \ mathbf {v} _ {\ perp} \ times \ mathbf {B}) \ cdot {\ frac {\ částečné f} {\ částečné \ mathbf {v} _ {\ perp}}} \ přibližně 0}$

Tato rovnice znamená, že rozdělení je gyrotropní. Průměrná rychlost gyrotropního rozdělení je nulová. Proto je totožné se střední rychlostí, u , a máme ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {0}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {E} +\ mathbf {u} \ times \ mathbf {B} \ cca 0}$

Abychom to shrnuli, gyroskopická perioda a poloměr gyroskopu musí být mnohem menší než typické časy a délky, které způsobují velké změny v distribuční funkci. Poloměr gyroskop se často odhaduje nahrazením V s tepelným rychlost nebo rychlost Alfvén . V druhém případě se R často nazývá setrvačná délka. Podmínky zmrazení musí být vyhodnoceny pro každý druh částic samostatně. Vzhledem k tomu, že elektrony mají mnohem menší gyroskopickou periodu a poloměr gyroskopu než ionty, budou podmínky zamrznutí častěji splněny.

Viz také

• Seznam článků z fyziky plazmatu
• Fokkerova -Planckova rovnice

Reference

Další čtení

• Vlasov, AA (1961). „Teorie mnoha částic a její aplikace na plazmu“. New York . Bibcode : 1961temc.book ..... V .