Věta o užitku Von Neumanna – Morgensterna - Von Neumann–Morgenstern utility theorem

V teorii rozhodování se von Neumann-Morgenstern ( Viet ) utility věta ukazuje, že za určitých axiomů z racionálního chování , rozhodnutí-výrobce čelí riskantní (pravděpodobnostní) výsledky různých možností se bude chovat, jako by on nebo ona je maximalizovat očekávanou hodnotu některé funkce definované nad potenciálními výsledky v určitém specifikovaném bodě v budoucnosti. Tato funkce je známá jako užitková funkce von Neumann – Morgenstern. Věta je základem pro očekávanou teorii užitku .

V roce 1947 John von Neumann a Oskar Morgenstern dokázali, že každý jedinec, jehož preference uspokojily čtyři axiomy, má užitnou funkci ; takové preference jednotlivce mohou být reprezentovány na intervalové škále a jedinec bude vždy preferovat akce, které maximalizují očekávanou užitečnost. To znamená, že dokázali, že agent je (VNM-) racionální právě tehdy, když existuje funkce s reálným oceněním u definovaná možnými výsledky tak, že každá preference agenta je charakterizována maximalizací očekávané hodnoty u , která pak může být definován jako nástroj VNM agenta (je jedinečný až po přidání konstanty a vynásobení kladným skalárem). Žádné tvrzení, že činidlo má „vědomou touhu“ maximalizovat u , jen to, že u existuje.

Očekává užitečnost hypotéza je, že racionalita může být modelován jako maximalizace očekávané hodnoty , která danou větu, lze shrnout jako „ racionalitu je VNM-racionalita “. Axiomy samotné však byly z různých důvodů kritizovány, což vedlo k dalšímu ospravedlnění axiomů.

Nástroj VNM je nástroj pro rozhodování , který se používá k popisu preferencí rozhodování . To se týká, ale není ekvivalentní s tzv E-inženýrských sítí (zkušenosti poplatků), pojmy nástroj určený k měření štěstí, jakým je Bentham je největší štěstí princip .

Založit

Ve větě se individuální agent potýká s možnostmi zvanými loterie . Vzhledem k některým vzájemně se vylučujícím výsledkům je loterie scénář, kde se každý výsledek stane s danou pravděpodobností , přičemž všechny pravděpodobnosti se sčítají do jedné. Například pro dva výsledky A a B ,

označuje scénář, kde P ( A ) = 25% je pravděpodobnost výskytu A a P ( B ) = 75% (a přesně jeden z nich nastane). Obecněji platí, že pro loterii s mnoha možnými výsledky A i píšeme:

se součtem s rovná 1.

Výsledky v loterii samy o sobě mohou být loterie mezi dalších výsledků, a rozšířená exprese se považuje za ekvivalentní loterie: 0,5 (0,5  + 0,5 B ) + 0,5 C = 0,25  + 0,25 B  + 0,50 C .

Pokud loterie M je přednostní přes loterie L , píšeme , nebo ekvivalentně, . Pokud je agent mezi LM lhostejný , napíšeme vztah lhostejnosti Je -li M buď upřednostňován, nebo zobrazován s lhostejností vůči L , napíšeme

Axiomy

Čtyři axiomy racionality VNM jsou pak úplnost , tranzitivnost , kontinuita a nezávislost .

Úplnost předpokládá, že jedinec má dobře definované preference:

Axiom 1 (úplnost) Pro všechny loterie L, M platí přesně jedna z následujících:
, Nebo

(buď je upřednostňován M , L je preferován, nebo je jedinec lhostejný).

Transitivita předpokládá, že preference jsou konzistentní ve všech třech možnostech:

Axiom 2 (Transitivita) If a then , and obdobně pro .

Kontinuita předpokládá, že existuje „bod zlomu“ mezi tím, být lepší než a horší než daná střední možnost:

Axiom 3 (Spojitost): Pokud , pak existuje pravděpodobnost taková, že

kde zápis na levé straně odkazuje na situaci, ve které je L přijato s pravděpodobností p a N je přijato s pravděpodobností (1– p ).

Místo kontinuity lze předpokládat alternativní axiom, který nezahrnuje přesnou rovnost, nazývaný Archimedova vlastnost . Říká, že jakoukoli preferovanou separaci je možné udržovat pod dostatečně malou odchylkou pravděpodobností:

Axiom 3 '(archimédovská vlastnost): Pokud , pak existuje taková pravděpodobnost , že

Je třeba předpokládat pouze jeden z (3) nebo (3 ') a druhý bude implikován větou.

Nezávislost irelevantních alternativ předpokládá, že preference platí nezávisle na možnosti jiného výsledku:

Axiom 4 (nezávislost): Pro všechny a ,

Axiom nezávislosti implikuje axiom na redukci složených loterií:

Axióm 4 '(redukce sloučeniny loterií): Pro všechny loterií a jakýkoliv ,

Chcete -li zjistit, jak Axiom 4 implikuje Axiom 4 ', nastavte výraz ve Axiomu 4 a rozbalte.

Věta

Pro jakýkoli racionální agent VNM (tj. Splňující axiomy 1–4) existuje funkce u, která každému výsledku A přiřadí skutečné číslo u (A) tak, že pro jakékoli dvě loterie,

kde E (u (L)) , nebo stručněji Eu ( L ) je dáno vztahem

U lze jako takové jednoznačně určit (až do přidání konstanty a vynásobení kladným skalárem) preferencemi mezi jednoduchými loteriemi , což znamená, že mají formu pA  + (1 -  p ) B a mají pouze dva výsledky. Naopak každý agent jednající za účelem maximalizace očekávání funkce u bude dodržovat axiomy 1–4. Taková funkce se nazývá agentův nástroj von Neumann – Morgenstern (VNM) .

Důkaz skica

Důkaz je konstruktivní: ukazuje, jak lze vytvořit požadovanou funkci . Zde nastiňujeme postup stavby pro případ, kdy je počet jistých výsledků konečný.

Předpokládejme, že existují n jistý výsledky, . Všimněte si, že každý jistý výsledek lze považovat za loterii: je to degenerovaná loterie, ve které je výsledek vybrán s pravděpodobností 1. Díky axiomatům Úplnost a Transitivita je tedy možné uspořádat výsledky od nejhoršího po nejlepší:

Předpokládáme, že alespoň jedna z nerovností je přísná (jinak je funkce nástroje triviální - konstanta). Takže . Tyto dva extrémní výsledky - nejhorší a nejlepší - používáme jako jednotku škálování naší obslužné funkce a definujeme:

a

Pro každou pravděpodobnost definujte loterii, která vybere nejlepší výsledek s pravděpodobností a nejhorší výsledek:

Všimněte si toho a .

Podle axiomu spojitosti pro každý jistý výsledek existuje taková pravděpodobnost , že:

a

Pro každého je pomocná funkce pro výsledek definována jako

užitečnost každé loterie je tedy očekáváním u :

Chcete -li zjistit, proč má tato užitečná funkce smysl, zvažte loterii , která vybírá výsledek s pravděpodobností . Ale podle našeho předpokladu je rozhodovací činitel lhostejný mezi jistým výsledkem a loterií . Podle Axiomu redukce je mu tedy lhostejné mezi loterií a následující loterií:

Loterie je ve skutečnosti loterie, ve které se s pravděpodobností vyhraje nejlepší výsledek a v opačném případě nejhorší.

Pokud by tedy racionální rozhodovatel dal přednost loterii před loterií , protože to mu dává větší šanci vyhrát nejlepší výsledek.

Proto:

kdyby a jen kdyby

Reakce

Von Neumann a Morgenstern očekávali překvapení nad silou jejich závěru. Podle nich ale důvod, proč jejich užitková funkce funguje, je ten, že je konstruován přesně tak, aby plnil roli něčeho, jehož očekávání je maximalizováno:

„Mnoho ekonomů bude mít pocit, že příliš mnoho předpokládáme ... Neukázali jsme příliš mnoho? ... Pokud vidíme, naše postuláty jsou věrohodné ... Prakticky jsme definovali numerickou užitečnost jako věc, pro kterou je počet matematických očekávání legitimní. “ - VNM 1953, § 3.1.1 s. 16 a § 3.7.1 s. 28

Obsah věty tedy je, že konstrukce u je možná, a o její povaze málo tvrdí.

Důsledky

Automatické zvažování averze k riziku

Často se stává, že člověk tváří v tvář hazardu s penězi v reálném světě nejedná tak, aby maximalizoval očekávanou hodnotu svých dolarových aktiv. Například člověk, který má pouze úspory 1 000 $, se zdráhá riskovat vše a 20% šance na výhru 10 000 $, přestože

Nicméně, pokud je osoba Viet-racionální Takové skutečnosti jsou automaticky účtovány v jejich užitnou funkci u . V tomto případě bychom to mohli uzavřít

kde částky dolaru zde skutečně představují výsledky (srov. „ hodnota “), tři možné situace, kterým by jednotlivec mohl čelit. Zejména u můžete vykazovat vlastnosti jako u ($ 1)+ u ($ 1) ≠ u ($ 2), aniž by to bylo v rozporu s racionalitou VNM. To vede ke kvantitativní teorii averze vůči měnovému riziku.

Důsledky pro očekávanou hypotézu užitku

V roce 1738 vydal Daniel Bernoulli pojednání, ve kterém se domnívá, že racionální chování lze popsat jako maximalizaci očekávání funkce u , která zejména nemusí mít peněžní hodnotu, což představuje averzi k riziku. Toto je očekávaná hypotéza užitečnosti . Jak již bylo řečeno, hypotéza se může jevit jako odvážné tvrzení. Cílem věty o očekávaném užitku je poskytnout „skromné ​​podmínky“ (tj. Axiomy) popisující, kdy platí očekávaná hypotéza užitku, kterou lze vyhodnotit přímo a intuitivně:

„Axiomy by neměly být příliš početné, jejich systém by měl být co nejjednodušší a nejtransparentnější a každý axiom by měl mít bezprostřední intuitivní význam, podle kterého by bylo možné přímo posoudit jeho vhodnost. V situaci, jako je ta naše, je tento poslední požadavek obzvláště důležitý navzdory své vágnosti: chceme vytvořit intuitivní koncept přístupný matematickému zpracování a co nejjasněji vidět, jaké hypotézy to vyžaduje. “ - VNM 1953 § 3.5.2, s. 25

Tvrzení, že očekávaná hypotéza užitečnosti necharakterizuje racionalitu, proto musí odmítnout jeden z axiomů VNM. Vznikla řada generalizovaných očekávaných užitkových teorií, z nichž většina upouští nebo uvolňuje axiom nezávislosti.

Důsledky pro etiku a morální filozofii

Protože věta nepředpokládá nic o povaze možných výsledků hazardních her, mohou to být morálně významné události, například zahrnující život, smrt, nemoc nebo zdraví ostatních. Racionální agent von Neumann – Morgenstern je schopen jednat s velkým zájmem o takové události, obětovat mnoho osobního bohatství nebo blahobytu, a všechny tyto akce budou mít vliv na konstrukci/definici VNM-užitkové funkce agenta. Jinými slovy, jak to, co je přirozeně vnímáno jako „osobní zisk“, tak to, co je přirozeně vnímáno jako „altruismus“, je implicitně vyváženo ve VNM-užitkové funkci racionálního jedince VNM. Díky různým funkcím obslužného programu VNM je tedy možný celý rozsah chování zaměřených na agenta až na agentově neutrální chování .

Pokud je užitečnost je , von Neumann – Morgensternův racionální agent musí být lhostejný mezi a . Racionální agent von Neumann – Morgenstern zaměřený na agenta proto nemůže upřednostňovat rovnější nebo „spravedlivější“ rozdělení užitku mezi svým vlastním možným budoucím já.

Odlišnost od ostatních pojmů užitečnosti

Některé utilitární morální teorie se zabývají veličinami nazývanými „celková užitečnost“ a „průměrná užitečnost“ kolektivů a charakterizují morálku z hlediska upřednostňování prospěšnosti nebo štěstí druhých bez ohledu na vlastní. Tyto pojmy mohou souviset s nástrojem VNM, ale jsou od něj odlišné:

  • 1) Nástroj VNM je nástroj pro rozhodování : je to to, podle čeho se člověk rozhoduje, a tedy podle definice nemůže být něčím, co ignoruje.
  • 2) Nástroj VNM není kanonicky aditivní u více jednotlivců (viz Omezení), takže „celkový nástroj VNM“ a „průměrný nástroj VNM“ nemají bezprostřední význam (je vyžadován nějaký předpoklad normalizace).

Pojem E-nástroj pro „zkušenosti užitečnosti“ byl vytvořen, aby se vztahují na typy „požitkářský“ utility jako to Bentham ‚s největší princip štěstí . Protože morálka ovlivňuje rozhodnutí, morálka agenta VNM-racionálního agenta ovlivní definici jeho vlastní užitkové funkce (viz výše). Morálku VNM-racionálního agenta lze tedy charakterizovat vzájemnou korelací VNM-nástroje agenta s VNM-utilitou, E-utilitou nebo „štěstím“ druhých, mimo jiné, ale ne ignorováním vlastního agenta Nástroj VNM, rozpor v pojmech.

Omezení

Vnořené hazardní hry

Protože pokud L a M jsou loterie, pak je pL  + (1 -  p ) M jednoduše „rozšířeno“ a považováno za samotnou loterii, formalismus VNM ignoruje to, co lze vnímat jako „vnořené hazardní hry“. To souvisí s Ellsbergovým problémem, kdy se lidé rozhodnou vyhnout se vnímání rizik spojených s riziky . Von Neumann a Morgenstern uznali toto omezení:

"... pojmy jako specifický nástroj hazardu nelze na této úrovni formulovat tak, aby byly v rozporu. To se může zdát jako paradoxní tvrzení. Ale každý, kdo se vážně pokusil tento nepolapitelný koncept axiomatizovat, s ním pravděpodobně bude souhlasit." - VNM 1953 § 3.7.1, s. 28 .

Nesrovnatelnost mezi agenty

Protože pro jakékoli dva VNM-agenty X a Y jsou jejich funkce VNM-utility u X a u Y určeny pouze do aditivních konstant a multiplikativních pozitivních skalárů, věta neposkytuje žádný kanonický způsob, jak tyto dva porovnat. Proto výrazy jako u X ( L ) + u Y ( L ) a u X ( L ) -  u Y ( L ) nejsou kanonicky definovány, ani srovnání jako u X ( L ) <  u Y ( L ) kanonicky pravdivé nebo nepravdivé . Zejména výše zmíněné „celkové využití VNM“ a „průměrné využití VNM“ populace nemá kanonicky smysl bez předpokladů normalizace.

Aplikovatelnost na ekonomii

U sady empirických experimentů založených na laboratoři, jako je Allaisův paradox, se ukazuje, že předpokládaná hypotéza užitečnosti má omezenou prediktivní přesnost . Což vede některé lidi k tomu, aby to interpretovali jako důkaz

  • lidé nejsou vždy racionální, příp
  • Racionalita VNM není vhodnou charakteristikou racionality, popř
  • nějaká kombinace obou, popř
  • lidé se chovají VNM racionálně, ale objektivní hodnocení u a konstrukce u jsou neřešitelné problémy.

Reference a další čtení