War of Attrition (hra) - War of attrition (game)

V teorii her je válka vyhlazování dynamická hra s načasováním, ve které si hráči zvolí čas, kdy se zastaví, a zásadním způsobem zkompromitují strategické zisky z přežití ostatních hráčů a skutečné náklady vynaložené v průběhu času. Jejím pravým opakem je hra o předkupní právo , ve které si hráči zvolí čas na zastavení a zásadním způsobem vykompenzují strategické náklady z přežití ostatních hráčů a skutečné zisky plynoucí z plynutí času. Model původně formuloval John Maynard Smith ; smíšená evolučně stabilní strategie (ESS) byla určena společností Bishop & Cannings. Příkladem je aukce typu all-pay za druhou cenu , ve které cenu získá hráč s nejvyšší nabídkou a každý hráč zaplatí nízkou nabídku poraženého (což z něj činí aukci druhé ceny se zapečetěnou nabídkou se zaplacením za celou cenu ).

Zkoumání hry

Chcete-li vidět, jak vyhlazovací války prací, za aukci vše odměňování: Předpokládejme, že každý hráč dělá nabídku na položky, a ten, kdo přikáže nejvyšší vyhraje zdroj hodnotového V . Každý hráč platí svou nabídku. Jinými slovy, pokud hráč nabídne b , pak je jeho výplata -b, pokud prohraje, a Vb, pokud vyhraje. Nakonec předpokládejme, že pokud oba hráči nabídnou stejnou částku b , pak rozdělí hodnotu V , přičemž každý získá V /2- b . Nakonec uvažujte o nabídce b jako o čase, a tím se stává vyhlazovací válka, protože vyšší nabídka je nákladná, ale vyšší nabídka vyhrává cenu.

Předpoklad, že hráči mohou nabízet libovolné číslo, je důležitý pro analýzu aukce druhé ceny za zaplacení, zapečetěné nabídky. Nabídka může dokonce překročit hodnotu zdroje, o který se vede spor. Zpočátku se to zdá být iracionální, zdánlivě pošetilé platit více za zdroj, než je jeho hodnota; pamatujte však, že každý uchazeč platí pouze nízkou nabídku. Zdá se tedy, že je v nejlepším zájmu každého hráče nabídnout maximální možnou částku spíše než částku rovnající se nebo nižší než hodnota zdroje.

Má to však háček; pokud oba hráči podají vyšší nabídku než V , uchazeč s vysokou nabídkou nevyhraje ani neprohraje. Hráč, který nabídne nižší hodnotu b, ztratí b a ten, kdo nabídne více, ztratí b - V (kde v tomto scénáři b> V). Tato situace se běžně označuje jako Pyrrhovo vítězství . Pro remízu tak, že b > V /2, oba prohrají b - V /2. Luce a Raiffa označovali druhou situaci jako „zničující situaci“; oba hráči trpí a není vítěz.

Z této pseudo-matice lze vyvodit závěr, že neexistuje žádná hodnota nabídky, která je výhodná ve všech případech, takže neexistuje dominantní strategie . V čistých strategiích však existuje několik asymetrických slabých Nashových rovnováh . Například jeden hráč mohl zavázat k jakýmkoli bid b ≥ V . Nejlepší odpovědí druhé hráčky je nabídnout nulu, protože neexistuje nabídka, se kterou by mohla vyhrát cenu a získat pozitivní odměnu. Hráč s kladnou nabídkou neplatí nic v rovnováze. Nemá tedy motivaci nabízet méně. Tato rovnováha je dokonalá hra .

K dispozici je také symetrická rovnováha ve smíšených strategiích .

Symetrická Nashova rovnováha

Další populární formulace vyhlazovací války je následující: dva hráči jsou zapojeni do sporu. Hodnota předmětu pro každého hráče je . Čas je modelován jako spojitá proměnná, která začíná na nule a běží neomezeně. Každý hráč si zvolí, kdy předmět předá druhému hráči. V případě nerozhodného výsledku obdrží každý hráč pomůcku. Čas je cenný, každý hráč používá jednu jednotku užitečnosti za časové období. Tato formulace je o něco složitější, protože umožňuje každému hráči přiřadit objektu jinou hodnotu. Předpokládáme, že oba hráči znají ocenění druhého hráče. Hra je tedy kompletní informační hrou. ${\ displaystyle v_ {i}> 0}$${\ displaystyle v_ {i}/2}$

Unikátní symetrická Nashova rovnováha je definována následující funkcí přežití pro t :

${\ Displaystyle S_ {i} (x) = e^{(-x/V_ {j})}}$

Hodnota pro hráče i, jehož soupeř hodnotí zdroj v čase t , je pravděpodobnost, že t ≥ x . Tato strategie nezaručuje výhru ani jednomu z hráčů. Je to spíše optimální strategie vzhledem k tomu, že váš soupeř také hraje strategii stejné formy. Všimněte si, že pokud , ${\ displaystyle S_ {i} (x)}$${\ displaystyle V_ {j}}$${\ displaystyle V_ {1}> V_ {2}}$

${\ Displaystyle S_ {1} (x) = e^{(-x/V_ {2})} <e^{(-x/V_ {1})} = S_ {2} (x)}$

Hráč s nižší hodnotou tedy vydrží déle než hráč s vyšší hodnotou. To znamená, že hráč s nižší hodnotou má vyšší pravděpodobnost vítězství ve válce. Všimněte si, že neexistuje žádné x takové, že funkce přežití se rovná nule. Distribuce nabídek má tedy plnou podporu. Oba hráči navíc obdrží očekávanou odměnu nula, protože jejich výplata je nulová při t = 0 a jejich očekávaná výplata musí být stejná při každé hodnotě t .

Dynamická formulace a evolučně stabilní strategie

Unikátní evolučně stabilní strategie se shoduje se symetrickou Nashovou rovnováhou. To vyplývá ze skutečnosti, že jakýkoli ESS musí být Nashovou rovnováhou, a ze skutečnosti, že ESS nemůže být žádný čistý čas perzistence. Že žádná čistá doba trvání není ESS, lze prokázat jednoduše zvážením domnělé nabídky ESS x , která bude poražena nabídkou x+${\ Displaystyle \ delta}$ .

Ukázalo se také, že i když jednotlivci mohou hrát pouze čisté strategie, časový průměr hodnoty strategie všech jednotlivců konverguje přesně k vypočítané ESS. V takovém prostředí lze pozorovat cyklické chování konkurenčních jedinců.

Viz také

• Evoluční teorie her
• Bishop-Canningsova věta
• Model vyjednávání Rubinstein
• Hra jestřábí holubice
• Dolarová aukce
• Válčení

Reference