Funkce vlny - Wave function

Porovnání koncepcí klasického a kvantového harmonického oscilátoru pro jednu bezpáteřovou částici. Tyto dva procesy se velmi liší. Klasický proces (A – B) je reprezentován jako pohyb částice po trajektorii. Kvantový proces (C – H) takovou trajektorii nemá. Je spíše reprezentována jako vlna; zde svislá osa ukazuje skutečnou část (modrá) a imaginární část (červená) vlnové funkce. Panely (C – F) ukazují čtyři různá řešení stojatých vln Schrödingerovy rovnice . Panely (G – H) dále ukazují dvě různé vlnové funkce, které jsou řešením Schrödingerovy rovnice, ale nikoli stojatými vlnami.

Vlnová funkce v kvantové fyziky je matematický popis kvantovém stavu izolovaného kvantového systému . Vlnová funkce je komplexní amplituda pravděpodobnosti a lze z ní odvodit pravděpodobnosti možných výsledků měření provedených v systému. Nejběžnějšími symboly pro vlnovou funkci jsou řecká písmena ψ a Ψ (malá písmena a velká psi ).

Vlnová funkce je funkce ze stupňů volnosti , které odpovídají nějaké maximální sadu dojíždění observables . Jakmile je zvolena taková reprezentace, vlnová funkce může být odvozena z kvantového stavu.

Pro daný systém, jehož volba stupňů dojíždění do volnosti použití není jedinečná, a odpovídajícím způsobem není doména vlnové funkce také jedinečná. Například to může být bráno jako funkce všech polohových souřadnic částic nad polohovým prostorem nebo hybnosti všech částic nad hybným prostorem ; ty dva jsou spojeny Fourierovou transformací . Některé částice, jako elektrony a fotony , mají nenulový spin a vlnová funkce pro takové částice zahrnuje spin jako vnitřní, diskrétní stupeň volnosti; mohou být zahrnuty i další diskrétní proměnné, například isospin . Když má systém vnitřní stupně volnosti, vlnová funkce v každém bodě spojitých stupňů volnosti (např. Bod v prostoru) přiřadí komplexní číslo pro každou možnou hodnotu diskrétních stupňů volnosti (např. Z-komponenta spin) - tyto hodnoty jsou často zobrazeny v sloupci matice (např 2 x 1 sloupcový vektor pro nerelativistické elektronu se spinem 1 / 2 ).

Podle principu superpozice kvantové mechaniky mohou být vlnové funkce sčítány a násobeny komplexními čísly za vzniku nových vlnových funkcí a vytvoření Hilbertova prostoru . Vnitřní součin mezi dvěma vlnovými funkcemi je mírou překrývání mezi odpovídajícími fyzickými stavy a používá se v foundational pravděpodobnostní interpretaci kvantové mechaniky, Bornově pravidlu , vztahujícím pravděpodobnosti přechodu k vnitřním součinům. Schrödingerova rovnice určuje, jak vlnové funkce vyvíjejí v čase, a vlnová funkce chová kvalitativně jako ostatní vln , jako jsou například vodní vlny nebo vlny na provázku, protože Schrödingerova rovnice je matematicky druh vlnové rovnice . To vysvětluje název „vlnová funkce“ a vede k dualitě vln a částic . Vlnová funkce v kvantové mechanice však popisuje jakýsi fyzikální jev, stále otevřený různým interpretacím , který se zásadně liší od klasických mechanických vln.

V Bornově statistické interpretaci v nerelativistické kvantové mechanice čtvercový modul vlnové funkce | ψ | 2 , je reálné číslo interpretována jako hustota pravděpodobnosti z měření částice jako v daném místě - nebo má danou hybnost - v daném okamžiku, a které mohou mít konečné hodnoty pro diskrétní stupňů volnosti. Integrál této veličiny, přes všechny stupně volnosti systému, musí být 1 v souladu s interpretací pravděpodobnosti. Tento obecný požadavek, který musí vlnová funkce splňovat, se nazývá normalizační podmínka . Jelikož je vlnová funkce komplexně hodnocena, lze měřit pouze její relativní fázi a relativní velikost - její hodnota izolovaně nevypovídá nic o velikostech nebo směrech měřitelných pozorovatelných; je třeba aplikovat kvantové operátory , jejichž vlastní čísla odpovídají souborům možných výsledků měření, na vlnovou funkci ψ a vypočítat statistické rozdělení pro měřitelné veličiny.

Historické pozadí

V roce 1905, Albert Einstein postuloval úměrnost mezi četností fotonu a jeho energie , , a v roce 1916 odpovídající vztah mezi fotonu hybnosti a vlnové délce , , kde je Planckova konstanta . V roce 1923 De Broglie jako první navrhl, že vztah , nyní nazývaný De Broglieho vztah , platí pro masivní částice, přičemž hlavním vodítkem je Lorentzova invariance , a to lze považovat za výchozí bod pro moderní vývoj kvantové mechaniky. Rovnice představují dualitu vln a částic pro bezhmotné i hmotné částice.

Ve 20. a 30. letech byla kvantová mechanika vyvinuta pomocí kalkulu a lineární algebry . Mezi techniky, které používaly kalkul, patřili Louis de Broglie , Erwin Schrödinger a další, kteří vyvíjeli „ vlnovou mechaniku “. Mezi ty, kteří aplikovali metody lineární algebry, patřili Werner Heisenberg , Max Born a další, kteří vyvíjeli „maticovou mechaniku“. Schrödinger následně ukázal, že oba přístupy jsou rovnocenné.

V roce 1926 vydal Schrödinger slavnou vlnovou rovnici, která je nyní po něm pojmenována, Schrödingerovu rovnici . Tato rovnice byla založena na klasické ochraně energie pomocí kvantových operátorů a de Broglieho vztazích a řešeními rovnice jsou vlnové funkce pro kvantový systém. Nikdo však neměl jasno v tom, jak to interpretovat . Nejprve si Schrödinger a další mysleli, že vlnové funkce představují částice, které jsou rozprostřeny, přičemž většina částic je tam, kde je vlnová funkce velká. Ukázalo se, že to je nekompatibilní s pružným rozptylem vlnového paketu (představujícího částici) mimo cíl; šíří se všemi směry. Rozptýlená částice se může rozptýlit v libovolném směru, ale nerozbije se a nevzlétne ve všech směrech. V roce 1926 poskytl Born perspektivu amplitudy pravděpodobnosti . To souvisí s výpočty kvantové mechaniky přímo s pravděpodobnostními experimentálními pozorováními. Je přijímán jako součást kodaňské interpretace kvantové mechaniky. Existuje mnoho dalších interpretací kvantové mechaniky . V roce 1927 udělali Hartree a Fock první krok ve snaze vyřešit vlnovou funkci N -těla a vyvinuli cyklus vlastní konzistence : iterační algoritmus pro přiblížení řešení. Nyní je také známá jako metoda Hartree -Fock . Slater determinant a trvalé (z matrice ) byl součástí metody, které poskytl John C. Slater .

Schrödinger se setkal s rovnicí pro vlnovou funkci, která uspokojila relativistickou úsporu energie, než publikoval nerelativistickou, ale zahodil ji, protože předpovídala negativní pravděpodobnosti a negativní energie . V roce 1927 jej našli také Klein , Gordon a Fock, ale začlenili elektromagnetickou interakci a dokázali, že je Lorentzův invariant . De Broglie také dospěl ke stejné rovnici v roce 1928. Tato relativistická vlnová rovnice je nyní nejčastěji známá jako Klein -Gordonova rovnice .

V roce 1927 Pauli fenomenologicky našel nerelativistickou rovnici k popisu částic spin-1/2 v elektromagnetických polích, nyní nazývanou Pauliho rovnice . Pauli zjistil, že vlnová funkce nebyla popsána jedinou komplexní funkcí prostoru a času, ale potřebovala dvě komplexní čísla, která odpovídala stavům rotace +1/2 a -1-2 fermionu. Brzy poté, co v roce 1928, našel Dirac rovnici z prvního úspěšného sjednocení speciální relativity a kvantové mechaniky aplikovanou na elektron , nyní nazývanou Diracova rovnice . V tomto případě je vlnová funkce spinorem reprezentovaným čtyřmi komplexně hodnotnými složkami: dvěma pro elektron a dvěma pro elektronovou antičástici , pozitron . V nerelativistickém limitu se Diracova vlnová funkce podobá vlnově funkci Pauli pro elektron. Později byly nalezeny další relativistické vlnové rovnice .

Vlnové funkce a vlnové rovnice v moderních teoriích

Všechny tyto vlnové rovnice mají trvalý význam. Schrödingerova rovnice a Pauliho rovnice jsou za mnoha okolností vynikající aproximací relativistických variant. Jejich řešení v praktických problémech je podstatně jednodušší než u relativistických protějšků.

Klein-Gordon rovnice a Dirac rovnice , přičemž je relativistická nepředstavují úplný soulad mezi kvantové mechaniky a speciální relativity. Obor kvantové mechaniky, kde jsou tyto rovnice studovány stejným způsobem jako Schrödingerova rovnice, často nazývaná relativistická kvantová mechanika , přestože je velmi úspěšná, má svá omezení (viz např. Lambův posun ) a koncepční problémy (viz např. Diracovo moře ).

Díky relativitě je nevyhnutelné, že počet částic v systému není konstantní. Pro úplné usmíření je zapotřebí kvantová teorie pole . V této teorii mají vlnové rovnice a vlnové funkce své místo, ale v poněkud jiném podání. Hlavními objekty zájmu nejsou vlnové funkce, ale spíše operátory, takzvané polní operátory (nebo jen pole, kde je chápán „operátor“) v Hilbertově prostoru stavů (bude popsáno v další části). Ukazuje se, že původní relativistické vlnové rovnice a jejich řešení jsou k vybudování Hilbertova prostoru stále potřeba. Navíc operátoři volných polí , tj. Když se předpokládá, že interakce neexistují, (formálně) uspokojí stejnou rovnici jako pole (vlnové funkce) v mnoha případech.

Tak Klein-Gordon rovnice (spin 0 ) a Dirac rovnice (spin 1 / 2 ) v této masce zůstávají v teorii. Vyšší analogy spin zahrnují Proca rovnice (odstřeďování 1 ), Rarita-Schwingerova rovnice (spin 3 / 2 ), a obecněji na rovnice Bargmann-Wigner . Pro bezhmotná volná pole jsou dva příklady Maxwellova rovnice volného pole (spin 1 ) a Einsteinova rovnice volného pole (spin 2 ) pro operátory pole. Všechny jsou v podstatě přímým důsledkem požadavku Lorentzovy invariance . Jejich řešení se musí transformovat pod Lorentzovou transformací předepsaným způsobem, tj. Pod konkrétní reprezentací Lorentzovy skupiny a že společně s několika dalšími rozumnými požadavky, např. Principem klastrového rozkladu , s důsledky pro kauzality, stačí k fixaci rovnic.

To platí pro rovnice volného pole; interakce nejsou zahrnuty. Pokud je k dispozici Lagrangeova hustota (včetně interakcí), pak Lagrangianův formalismus přinese pohybovou rovnici na klasické úrovni. Tato rovnice může být velmi složitá a nelze ji řešit. Jakékoli řešení by odkazovalo na pevný počet částic a neodpovídalo by výrazu „interakce“, jak se v těchto teoriích označuje, což zahrnuje vytváření a anihilaci částic, a nikoli vnější potenciály jako v běžné „první kvantované“ kvantové teorii.

V teorii strun je situace analogická. Například vlnová funkce v hybném prostoru má roli Fourierova expanzního koeficientu v obecném stavu částice (řetězce) s hybností, která není ostře definována.

Definice (jedna bezpáteřová částice v jedné dimenzi)

Cestující vlny volné částice.
Tyto reálné části funkce pozice vlna ln ( x ) a funkci hybnost vlny Φ ( p ) , a odpovídající hustoty pravděpodobnosti | Ψ ( x ) | 2 a | Φ ( p ) | 2 , pro jednu částici spin-0 v jedné dimenzi x nebo p . Barevná neprůhlednost částic odpovídá hustotě pravděpodobnosti ( nikoli vlnové funkci) nalezení částice v poloze x nebo hybnosti p .

Prozatím zvažte jednoduchý případ nerelativistické jednotlivé částice bez spinu v jedné prostorové dimenzi. Obecnější případy jsou diskutovány níže.

Funkce vlnové polohy a prostoru

Stav takové částice je zcela popsán její vlnovou funkcí,

kde x je poloha a t je čas. Jedná se o komplexní funkci dvou reálných proměnných x a t .

Pokud je pro jednu částici bez spinů v jedné dimenzi interpretována vlnová funkce jako amplituda pravděpodobnosti , čtvercový modul vlnové funkce, kladné reálné číslo

je interpretována jako hustota pravděpodobnosti , že částice je v x . Hvězdička označuje komplexní konjugát . Pokud se měří poloha částice , nelze její polohu určit z vlnové funkce, ale je popsána distribucí pravděpodobnosti .

Normalizace

Pravděpodobnost, že jeho poloha x bude v intervalu axb, je integrál hustoty v tomto intervalu:

kde t je čas, ve kterém byla částice měřena. To vede k normalizačním podmínkám :

protože pokud se částice měří, je 100% pravděpodobnost, že někde bude .

Pro daný systém tvoří sada všech možných normalizovatelných vlnových funkcí (v daném čase) abstraktní matematický vektorový prostor , což znamená, že je možné sčítat různé vlnové funkce a násobit vlnové funkce komplexními čísly (viz vektorový prostor pro podrobnosti). Technicky vzato, kvůli normalizačním podmínkám, vlnové funkce tvoří spíše projektivní prostor než obyčejný vektorový prostor. Tento vektorový prostor je nekonečně dimenzionální , protože neexistuje žádná konečná sada funkcí, které by bylo možné sčítat v různých kombinacích a vytvářet tak všechny možné funkce. Je to také Hilbertův prostor , protože vnitřní součin dvou vlnových funkcí Ψ 1 a Ψ 2 lze definovat jako komplexní číslo (v čase t )

Další podrobnosti jsou uvedeny níže . Ačkoli vnitřní součin dvou vlnových funkcí je komplexní číslo, vnitřní součin vlnové funkce Ψ se sebou samým,

je vždy kladné reálné číslo. Číslo || Ψ || (ne || Ψ || 2 ) se nazývá norma vlnové funkce Ψ .

Pokud (Ψ, Ψ) = 1 , pak Ψ je normalizováno. Pokud Ψ není normalizováno, pak vydělením jeho normou dostaneme normalizovanou funkci Ψ/|| Ψ || . Dvě vlnové funkce Ψ 1 a Ψ 2 jsou ortogonální, pokud 1 , Ψ 2 ) = 0 . Pokud jsou normalizované a ortogonální, jsou ortonormální . Ortogonalita (potažmo také ortonormalita) vlnových funkcí není nezbytnou podmínkou, kterou musí vlnové funkce splňovat, ale je poučné ji zvážit, protože to zaručuje lineární nezávislost funkcí. V lineární kombinaci ortogonálních vlnových funkcí Ψ n máme,

Pokud by vlnové funkce Ψ n byly neorthogonální, bylo by získání koeficientů méně jednoduché.

Kvantové stavy jako vektory

V kodaňské interpretaci dává modul čtverců vnitřního produktu (komplexní číslo) skutečné číslo

který, za předpokladu, že jsou obě vlnové funkce normalizovány, je interpretován jako pravděpodobnost, že se vlnová funkce Ψ 2 „zhroutí“ na novou vlnovou funkci Ψ 1 při měření pozorovatelného, ​​jehož vlastní čísla jsou možnými výsledky měření, přičemž Ψ 1 je vlastní vektor výsledné vlastní hodnoty. Toto je Bornovo pravidlo a je jedním ze základních postulátů kvantové mechaniky.

V určitém časovém okamžiku jsou všechny hodnoty vlnové funkce Ψ ( x , t ) složkami vektoru. Je jich nespočetně nekonečně mnoho a místo součtu se používá integrace. V Bra – ketově notaci je tento vektor zapsán

a je označován jako „vektor kvantového stavu“ nebo jednoduše „kvantový stav“. Chápání vlnových funkcí jako prvků abstraktního vektorového prostoru má několik výhod:

  • K manipulaci a porozumění vlnovým funkcím lze použít všechny mocné nástroje lineární algebry . Například:
    • Lineární algebra vysvětluje, jak lze vektorovému prostoru dát základ , a pak na tomto základě lze vyjádřit jakýkoli vektor ve vektorovém prostoru. To vysvětluje vztah mezi vlnovou funkcí v polohovém prostoru a vlnovou funkcí v hybném prostoru a naznačuje, že existují i ​​další možnosti.
    • K manipulaci s vlnovými funkcemi lze použít notaci Bra – ket .
  • Myšlenka, že kvantové stavy jsou vektory v abstraktním vektorovém prostoru, je zcela obecná ve všech aspektech kvantové mechaniky a teorie kvantového pole , zatímco představa, že kvantové stavy jsou komplexními „vlnovými“ funkcemi prostoru, je pravdivá pouze v určitých situacích.

Časový parametr je často potlačen a bude v následujícím. X souřadnic je kontinuální index. | x jsou základem vektory, které jsou ortonormální takže jejich skalární součin je funkce delta ;

tím pádem

a

který osvětluje operátora identity

Nalezení operátoru identity na základě umožňuje vyjádření abstraktního stavu explicitně v základě a více (v základu lze vyjádřit vnitřní součin mezi dvěma stavovými vektory a jinými operátory pro pozorovatelné).

Funkce hybnosti-prostorové vlny

Částice má také vlnovou funkci v hybném prostoru :

kde p je hybnost v jedné dimenzi, což může být jakákoli hodnota od −∞ do +∞ , a t je čas.

Analogicky s polohovým případem lze vnitřní součin dvou vlnových funkcí Φ 1 ( p , t ) a Φ 2 ( p , t ) definovat jako:

Jedno konkrétní řešení časově nezávislé Schrödingerovy rovnice je

rovinné vlny , který může být použit v popisu částice s hybnost přesně p , protože se jedná o vlastní funkce provozovatele hybnosti. Tyto funkce nelze normalizovat na jednotu (nelze je integrovat do čtverců), takže ve skutečnosti nejsou prvky fyzického Hilbertova prostoru. Sada

tvoří to, čemu se říká hybnost . Tento „základ“ není základem v obvyklém matematickém smyslu. Za prvé, protože funkce nejsou normalizovatelné, jsou místo toho normalizovány na delta funkci ,

Za druhé, i když jsou lineárně nezávislé, je jich příliš mnoho (tvoří nespočetnou množinu) na základ pro fyzický Hilbertův prostor. Stále je lze použít k vyjádření všech funkcí v něm pomocí Fourierových transformací, jak bude popsáno dále.

Vztahy mezi znázorněním polohy a hybnosti

K x a p reprezentace

Nyní vezměte projekci stavu Ψ na vlastní funkce hybnosti pomocí posledního výrazu ve dvou rovnicích,

Pak s využitím známého výrazu pro vhodně normalizované vlastní počty hybnosti v řešeních reprezentace polohy volné Schrödingerovy rovnice

jeden získá

Podobně pomocí vlastních funkcí polohy

Funkce vln polohy a prostoru a hybnosti a prostoru jsou tedy navzájem Fourierovy transformace . Tyto dvě vlnové funkce obsahují stejné informace a k výpočtu jakékoli vlastnosti částice stačí každá jedna. Jako zástupci prvků abstraktního fyzického Hilbertova prostoru, jehož prvky jsou možnými stavy uvažovaného systému, představují stejný stavový vektor, tedy identické fyzikální stavy , ale nejsou obecně stejné, pokud jsou vnímány jako funkce integrovatelné do čtverců.

V praxi se funkce pozice-prostorová vlna používá mnohem častěji než funkce hybnosti-prostorové vlny. Potenciál vstupující do příslušné rovnice (Schrödinger, Dirac atd.) Určuje, na jakém základě je popis nejjednodušší. Pro harmonický oscilátor , X a p vstoupit symetricky, takže nezáleží na tom, který popis jedno použití. Výsledkem je stejná rovnice (modulové konstanty). Z toho s trochou úvah vyplývá faktoid: Řešení vlnové rovnice harmonického oscilátoru jsou vlastní funkce Fourierovy transformace v L 2 .

Definice (ostatní případy)

Níže jsou uvedeny obecné formy vlnové funkce pro systémy ve vyšších dimenzích a s více částicemi a také s jinými stupni volnosti, než jsou souřadnice polohy nebo složky hybnosti.

Stavy jedné částice v 3D pozičním prostoru

Funkce vlnová poloha-prostor jedné částice bez rotace ve třech prostorových dimenzích je podobná jako v případě jedné prostorové dimenze výše:

kde r je polohový vektor v trojrozměrném prostoru a t je čas. Jako vždy Ψ ( r ,  t ) je komplexní funkce reálných proměnných. Jako jediný vektor v Diracově notaci

Všechny předchozí poznámky o vnitřních produktech, hybných funkcích prostorových vln, Fourierových transformacích atd. Se rozšiřují do vyšších dimenzí.

U částice se spinem , ignorující poziční stupně volnosti, je vlnová funkce funkcí pouze spin (čas je parametr);

kde s z je kvantové číslo projekce spinů podél osy z . (Dále jen z osy, je věcí volby, jiné osy může být použit místo, je-li funkce vlnové transformovány vhodným způsobem, viz níže.) V s z parametrů, na rozdíl od r a t , je diskrétní proměnná . Například pro částici spin-1/2 může být s z pouze +1/2 nebo -1/2 , a nikoli jakákoli jiná hodnota. (Obecně platí, že pro spin s může s z být s , s - 1,…, - s + 1, - s ). Vložením každého kvantového čísla získáme komplexní a cennou funkci prostoru a času, existují 2 s + 1 z nich. Ty mohou být uspořádány do sloupcového vektoru

V zápisu bra -ket se tyto snadno uspořádají do složek vektoru

Celý vektor ξ je řešením Schrödingerovy rovnice (s vhodným hamiltonovským), která se odvíjí do spřaženého systému 2 s + 1 obyčejných diferenciálních rovnic s řešeními ξ ( s , t ), ξ ( s - 1, t ), …, Ξ ( - s , t ) . Někteří autoři používají termín „funkce spinu“ místo „funkce vlny“. To kontrastuje s řešením funkcí polohových prostorových vln, přičemž souřadnicemi polohy jsou spojité stupně volnosti, protože pak má Schrödingerova rovnice podobu vlnové rovnice.

Obecněji platí, že pro částici ve 3D s jakýmkoli spinem může být vlnová funkce zapsána v „prostoru – spinovém prostoru“ jako:

a ty mohou být také uspořádány do sloupcového vektoru

ve kterém je závislost spinu umístěna při indexování záznamů a vlnová funkce je komplexní vektorově oceněná funkce pouze prostoru a času.

Všechny hodnoty vlnové funkce, nejen pro diskrétní, ale i spojité proměnné, se shromažďují do jednoho vektoru

U jediné částice platí, že tenzorový součin vektoru jeho polohového stavu | cp a spin stavový vektor | £, poskytuje kompozitní polohy odstřeďování stavového vektoru

s identifikacemi

Faktorizace tenzorového produktu je možná pouze tehdy, jsou -li orbitální a spinové momenty částice oddělitelné v hamiltonovském operátoru, který je základem dynamiky systému (jinými slovy, hamiltonián lze rozdělit na součet orbitálních a spinových členů). Časovou závislost lze umístit do obou faktorů a časový vývoj každého z nich lze studovat samostatně. Faktorizace není možná u těch interakcí, kde se k rotaci připojí vnější pole nebo jakákoli veličina závislá na prostoru; příklady zahrnují částici v magnetickém poli a spojku rotace na oběžné dráze .

Předchozí diskuse není omezena na spin jako diskrétní proměnnou, lze také použít celkový moment hybnosti J. Jiné diskrétní stupně volnosti, jako isospin , mohou být vyjádřeny podobně jako v případě rotace výše.

Stavy mnoha částic v 3D pozičním prostoru

Cestující vlny dvou volných částic, přičemž dvě ze tří dimenzí jsou potlačeny. Nahoře je funkce vlnová poloha-prostorová vlna, dole je hybná-prostorová vlnová funkce s odpovídajícími hustotami pravděpodobnosti.

Pokud existuje mnoho částic, obecně existuje pouze jedna vlnová funkce, nikoli samostatná vlnová funkce pro každou částici. Skutečnost, že jedna vlnová funkce popisuje mnoho částic, umožňuje kvantové zapletení a paradox EPR . Funkce vlnová poloha-prostor pro částice N je zapsána:

kde r i je poloha i té částice v trojrozměrném prostoru, a t je čas. Celkově se jedná o komplexní funkci 3 N + 1 reálných proměnných.

V kvantové mechanice existuje zásadní rozdíl mezi identickými částicemi a rozlišitelnými částicemi. Například jakékoli dva elektrony jsou identické a v zásadě se od sebe neliší; fyzikální zákony znemožňují „razítkovat identifikační číslo“ na určitý elektron, aby bylo možné jej sledovat. To se promítá do požadavku na vlnovou funkci pro systém identických částic:

kde znaménko + nastane, pokud jsou částice všechny bosony a - znaménko, pokud jsou všechny fermiony . Jinými slovy, vlnová funkce je buď zcela symetrická v polohách bosonů, nebo zcela antisymetrická v polohách fermionů. Fyzická výměna částic odpovídá matematicky přepínacím argumentům ve vlnové funkci. Funkce antisymetrie funkcí fermionických vln vede k Pauliho principu . Obecně jsou bosonické a fermionické požadavky na symetrii projevem statistiky částic a jsou přítomny v jiných formalismech kvantového stavu.

U N rozlišitelných částic (žádné dvě nejsou identické , tj. Žádné dvě mají stejnou sadu kvantových čísel) neexistuje požadavek, aby vlnová funkce byla buď symetrická nebo antisymetrická.

Pro soubor částic, některé shodné se souřadnicemi r 1 , r 2 , ... a další rozlišitelné x 1 , x 2 , ... (nejsou navzájem identické a nejsou identické s výše uvedenými identickými částicemi), vlna funkce je symetrická nebo antisymetrická pouze ve shodných souřadnicích částic r i :

Opět neexistuje žádný požadavek symetrie pro rozlišitelné souřadnice částic x i .

Vlnová funkce pro N částic, z nichž každá má spin, je komplexní funkcí

Shromáždění všech těchto složek do jednoho vektoru,

U identických částic se požadavky na symetrii vztahují na argumenty polohy i rotace vlnové funkce, takže má celkovou správnou symetrii.

Vzorce pro vnitřní produkty jsou integrály přes všechny souřadnice nebo hybnosti a součty pro všechna spinová kvantová čísla. Pro obecný případ N částic se spinem ve 3d,

toto je celkem N trojrozměrných integrálů objemu a N součtů přes otočení. Diferenční objemové prvky d 3 r i se zapisují také „ dV i “ nebo „ dx i dy i dz i “.

Multidimenzionální Fourierovy transformace funkcí prostorové nebo polohové - spinové vesmírné vlnové funkce poskytují hybnost nebo hybnost – spinové prostorové vlnové funkce.

Interpretace pravděpodobnosti

Pro obecný případ N částic se spinem ve 3d, pokud Ψ je interpretováno jako amplituda pravděpodobnosti, je hustota pravděpodobnosti

a pravděpodobnost, že částice 1 je v oblasti R 1 se spinem s Z 1 = m 1 a částic 2 je v oblasti R 2 se spinem s Z 2 = m 2 atd. v čase t je integrál hustoty pravděpodobnosti přes tyto regiony a vyhodnoceno při těchto tocích:

Časová závislost

U systémů s časově nezávislými potenciály lze vlnovou funkci vždy zapsat jako funkci stupňů volnosti vynásobených časově závislým fázovým faktorem, jehož forma je dána Schrödingerovou rovnicí. U N částic s ohledem pouze na jejich polohy a potlačení jiných stupňů volnosti,

kde E je vlastní číslo energie systému odpovídající vlastnímu stavu Ψ . Vlnové funkce této formy se nazývají stacionární stavy .

Časovou závislost kvantového stavu a operátorů lze umístit podle unitárních transformací na operátory a stavy. Pro jakýkoli kvantový stav | Ψ⟩ a operátor O se na Schrödingerově obrázku | Ψ ( t )⟩ mění s časem podle Schrödingerovy rovnice, zatímco O je konstantní. Na Heisenbergově obrázku je to naopak, | Ψ⟩ je konstantní, zatímco O ( t ) se vyvíjí s časem podle Heisenbergovy pohybové rovnice. Diracův (nebo interakční) obraz je střední, časová závislost je místa v operátorech i stavech, které se vyvíjejí podle pohybových rovnic. To je užitečné zejména při výpočtu S-prvky matice .

Nerelativistické příklady

Následuje řešení Schrödingerovy rovnice pro jednu nerelativistickou bezpáteřovou částici.

Konečná potenciální bariéra

Rozptyl na bariéře konečného potenciálu výšky V 0 . Udávají se amplitudy a směr levých a pravých pohybujících se vln. V červené barvě jsou tyto vlny použity pro odvození amplitudy odrazu a přenosu. E > V 0 pro tuto ilustraci.

Jednou z nejvýraznějších vlastností vlnové mechaniky je možnost částice dosáhnout místa s nepřiměřeným (v klasické mechanice) silovým potenciálem . Běžným modelem je „ potenciální bariéra “, jednorozměrný případ má potenciál

a řešení ustáleného stavu vlnové rovnice mají tvar (pro některé konstanty k , κ )

Tyto vlnové funkce nejsou normalizovány; viz teorii rozptylu k diskusi.

Standardní interpretace je jako proud částic vypalovaných v kroku zleva (směr záporného x ): nastavení A r = 1 odpovídá vypalování částic jednotlivě; termíny obsahující A r a C r znamenají pohyb doprava, zatímco A l a C l - doleva. Při této interpretaci paprsku dejte C l = 0, protože zprava žádné částice nepřicházejí. Aplikováním spojitosti vlnových funkcí a jejich derivací na hranicích je tedy možné určit výše uvedené konstanty.

Funkce 3D uzavřených elektronových vln v kvantové tečce. Zde jsou zobrazeny kvantové tečky obdélníkového a trojúhelníkového tvaru. Energetické stavy v obdélníkových bodech jsou více typu s a p . V trojúhelníkové tečce jsou však vlnové funkce smíšené kvůli symetrii uvěznění. (Kliknutím spustíte animaci)

V polovodičovém krystalitě, jehož poloměr je menší než velikost jeho poloměru excitace Bohr , jsou excitony stlačeny, což vede ke kvantovému uvěznění . Energetické hladiny pak lze modelovat pomocí částice v krabicovém modelu, ve kterém je energie různých stavů závislá na délce krabice.

Kvantový harmonický oscilátor

Vlnové funkce pro kvantový harmonický oscilátor lze vyjádřit pomocí Hermitových polynomů H n , jsou

kde n = 0, 1, 2,… .

Elektronová hustota pravděpodobnosti pro prvních několik atomu vodíku elektronovými orbitaly znázorněných jako průřezů. Tyto orbitaly tvoří ortonormální základ pro vlnovou funkci elektronu. Různé orbitaly jsou znázorněny v různém měřítku.

Atom vodíku

Vlnové funkce elektronu v atomu vodíku jsou vyjádřeny pomocí sférických harmonických a generalizovaných Laguerrových polynomů (ty jsou různými autory definovány odlišně - viz hlavní článek o nich a atomu vodíku).

Je vhodné použít sférické souřadnice a vlnovou funkci lze rozdělit na funkce každé souřadnice,

kde R jsou radiální funkce a Ym
( θ , φ )
jsou sférické harmonické stupně a řádu m . Toto je jediný atom, pro který byla Schrödingerova rovnice přesně vyřešena. Atomy s více elektrony vyžadují přibližné metody. Rodina řešení je:

kde a 0 = 4 πε 0 ħ 2 / m e e 2 je Bohrův poloměr , L2 + 1
n - - 1
jsou generalizované Laguerrovy polynomy stupně n - litrů, - 1 , n = 1, 2, ... je hlavní kvantové číslo , = 0, 1, ... n - 1 azimutální kvantové číslo , m = - , - + 1, ..., - 1 magnetické kvantové číslo . Atomy podobné vodíku mají velmi podobná řešení.

Toto řešení nebere v úvahu otáčení elektronu.

Na obrázku orbitálů vodíku je 19 dílčích obrazů obrazů vlnových funkcí v polohovém prostoru (jejich norma na druhou). Vlnové funkce představují abstraktní stav charakterizovaný trojicí kvantových čísel ( n , l , m ) v pravém dolním rohu každého obrázku. Jedná se o hlavní kvantové číslo, kvantové číslo orbitální hybnosti a magnetické kvantové číslo. Spolu s jedním kvantovým číslem elektronu spinové projekce je to kompletní soubor pozorovatelných.

Obrázek může sloužit k ilustraci některých dalších vlastností funkčních prostorů vlnových funkcí.

  • V tomto případě jsou vlnové funkce čtvercově integrovatelné. Funkční prostor lze zpočátku brát jako prostor čtvercových integrovatelných funkcí, obvykle označovaných L 2 .
  • Zobrazené funkce jsou řešením Schrödingerovy rovnice. Je zřejmé, že ne každá funkce v L 2 splňuje Schrödingerovu rovnici pro atom vodíku. Funkční prostor je tedy podprostorem L 2 .
  • Zobrazené funkce jsou součástí základu funkčního prostoru. Každé trojici ( n , l , m ) odpovídá funkce základní vlny. Pokud vezmeme v úvahu spin, existují pro každé triple dvě základní funkce. Funkční prostor má tedy spočitatelný základ .
  • Základní funkce jsou vzájemně ortonormální .

Vlnové funkce a funkční mezery

Pojem funkčních prostorů přirozeně vstupuje do diskuse o vlnových funkcích. Prostor funkcí je sada funkcí, obvykle s určitými definujícími požadavky na funkce (v daném případě, že jsou čtvercově integrovatelné ), někdy s algebraickou strukturou na množině (v daném případě struktura vektorového prostoru s vnitřním součinem ), spolu s topologií na sadě. Ten se zde bude používat jen řídce, je zapotřebí pouze k získání přesné definice toho, co znamená, že se podmnožina funkčního prostoru uzavře . Níže bude vyvozeno, že funkční prostor vlnových funkcí je Hilbertův prostor . Toto pozorování je základem převládající matematické formulace kvantové mechaniky.

Vektorová struktura prostoru

Vlnová funkce je prvek funkčního prostoru, který je částečně charakterizován následujícími konkrétními a abstraktními popisy.

  • Schrödingerova rovnice je lineární. To znamená, že jeho řešení, vlnové funkce, lze přidat a znásobit skaláry a vytvořit nové řešení. Množina řešení Schrödingerovy rovnice je vektorový prostor.
  • Princip superpozice kvantové mechaniky. Pokud Ψ a Φ jsou dva stavy v abstraktním prostoru stavů kvantově mechanického systému a a a b jsou libovolná dvě komplexní čísla, pak a Ψ + b Φ je také platný stav. (Zda nulovým vektorem počítá jako platný stavu ( „žádný systém tohoto“) je záležitostí definice. Nulová vektor se nebude v každém případě popsat vakuového stavu v kvantové teorii pole.) Množina povolených stavů je vektorový prostor .

Tato podobnost samozřejmě není náhodná. Existuje také rozdíl mezi prostory, které je třeba mít na paměti.

Zastoupení

Základní stavy jsou charakterizovány množinou kvantových čísel. Jedná se o sadu vlastních čísel o maximální sady o dojíždění rozpoznatelnosti . Fyzické pozorovatelné jsou ve vektorovém prostoru reprezentovány lineárními operátory, nazývanými také pozorovatelné. Maximalita znamená, že do sady nelze přidat žádné další algebraicky nezávislé pozorovatelné, které dojíždějí s těmi, které již jsou přítomny. Volba takové sady může být nazývána volbou reprezentace .

  • Je to postulát kvantové mechaniky, že fyzicky pozorovatelné množství systému, jako je poloha, hybnost nebo spin, je reprezentováno lineárním hermitovským operátorem na stavovém prostoru. Možnými výsledky měření veličiny jsou vlastní hodnoty operátora. Na hlubší úrovni většina pozorovatelných, snad všech, vzniká jako generátory symetrií .
  • Fyzikální interpretace je taková, že taková množina představuje to, co lze - teoreticky - současně měřit s libovolnou přesností. Relace neucitosti nejistota zakazuje současně přesné měření dva non-dojíždění rozpoznatelnosti.
  • Sada není jedinečná. Může to být například pro systém s jednou částicí, poloha a spin z -projekce, ( x , S z ) , nebo to může být hybnost a spin y -projekce, ( p , S y ) . V tomto případě operátor odpovídající poloze ( operátor násobení v reprezentaci polohy) a operátor odpovídající hybnosti ( diferenciální operátor v reprezentaci polohy) nedojíždí.
  • Jakmile je vybrána reprezentace, stále existuje libovolnost. Zbývá zvolit souřadnicový systém. To může například odpovídat volbě osy x , y - a z nebo volbě křivočarých souřadnic, jak je doloženo sférickými souřadnicemi použitými pro funkce atomové vlny vodíku. Tato konečná volba také fixuje základ v abstraktním Hilbertově prostoru. Základní stavy jsou označeny kvantovými čísly odpovídajícími maximální sadě dojíždějících pozorovatelných a příslušnému souřadnému systému.

Abstraktní stavy jsou „abstraktní“ pouze v tom smyslu, že není dána libovolná volba nezbytná pro jeho konkrétní explicitní popis. To je stejné jako tvrzení, že nebyl dán výběr z maximální sady pozorovatelných dojíždějících osob. To je analogické s vektorovým prostorem bez zadaného základu. Vlnové funkce odpovídající stavu proto nejsou jedinečné. Tato nejedinečnost odráží nejedinečnost při výběru maximální sady pozorovatelných dojíždění. Pro jednu spinovou částici v jedné dimenzi odpovídají určitému stavu dvě vlnové funkce, Ψ ( x , S z ) a Ψ ( p , S y ) , obě popisující stejný stav.

  • Pro každou volbu maximálních dojíždějících sad pozorovatelných pro abstraktní stavový prostor existuje odpovídající reprezentace, která je spojena s funkčním prostorem vlnových funkcí.
  • Mezi všemi těmito různými funkčními prostory a abstraktním stavovým prostorem existuje vzájemná korespondence (zde bez ohledu na normalizaci a nepozorovatelné fázové faktory), přičemž společným jmenovatelem je zde konkrétní abstraktní stav. Vztah mezi hybností a polohovou funkcí prostorových vln, například popisující stejný stav, je Fourierova transformace .

Každá volba reprezentace by měla být chápána tak, že specifikuje jedinečný funkční prostor, ve kterém žijí vlnové funkce odpovídající této volbě reprezentace. Toto rozlišení je nejlépe zachováno, i když by někdo mohl tvrdit, že dva takové funkční prostory jsou matematicky stejné, např. Je to soubor čtvercových integrovatelných funkcí. Poté lze uvažovat o funkčních prostorech jako o dvou odlišných kopiích této sady.

Vnitřní výrobek

Ve vektorových prostorech vlnových funkcí a v abstraktním stavovém prostoru existuje další algebraická struktura.

  • Fyzicky jsou různé vlnové funkce interpretovány tak, aby se do určité míry překrývaly. Systém, ve státní cp který nemá není překrytí se státní cp nemůže být zjištěno, že je ve stavu cp při měření. Pokud se však Φ 1 , Φ 2 , ... do určité míry překrývají Ψ , existuje šance, že měření systému popsaného pomocí Ψ bude nalezeno ve stavech Φ 1 , Φ 2 ,… . Platí také pravidla výběru . Ty jsou obvykle formulovány při zachování některých kvantových čísel. To znamená, že určité procesy přípustné z určitých perspektiv (např. Zachování energie a hybnosti) se nevyskytují, protože funkce počáteční a konečné celkové vlny se nepřekrývají.
  • Matematicky se ukazuje, že řešení Schrödingerovy rovnice pro konkrétní potenciály jsou nějakým způsobem ortogonální , což je obvykle popsáno integrálem
kde m , n jsou (sady) indexů (kvantových čísel) označujících různá řešení, přísně pozitivní funkce w se nazývá váhová funkce a δ mn je Kroneckerova delta . Integrace převezme veškerý relevantní prostor.

To motivuje zavedení vnitřního produktu do vektorového prostoru abstraktních kvantových stavů, kompatibilního s výše uvedenými matematickými pozorováními při přechodu do reprezentace. Označuje se (Ψ, Φ) nebo v Bra – ketově notaci ⟨Ψ | Φ⟩ . Výsledkem je komplexní číslo. U vnitřního produktu je funkční prostor vnitřním produktovým prostorem . Explicitní vzhled vnitřního produktu (obvykle integrál nebo součet integrálů) závisí na volbě reprezentace, ale komplexní číslo (Ψ, Φ) nikoli. Velká část fyzikální interpretace kvantové mechaniky vychází z Bornova pravidla . Uvádí, že pravděpodobnost p nalezení po měření stavu Φ daná systémem je ve stavu Ψ je

kde Φ a Ψ se předpokládají normalizované. Zvažte rozptylový experiment . Pokud v kvantové teorii pole popisuje Φ out stav ve „vzdálené budoucnosti“ („stav out“) poté, co interakce mezi rozptylovými částicemi ustaly, a Ψ ve „stavu“ ve „vzdálené minulosti“, pak veličiny out , Ψ in ) , s Φ out a Ψ in varying přes kompletní sadu in států a out států, v daném pořadí, se nazývá S-matice nebo rozptylová matice . Znalost toho je, po vyřešení teorie po ruce, přinejmenším pokud jde o předpovědi. Měřitelné veličiny, jako jsou rychlosti rozpadu a rozptylové průřezy, lze vypočítat ze S-matice.

Hilbertův prostor

Výše uvedená pozorování zapouzdřují podstatu funkčních prostorů, jejichž vlnovými funkcemi jsou prvky. Popis však ještě není úplný. Existuje další technický požadavek na funkční prostor, úplnost , který umožňuje člověku přijmout limity posloupností ve funkčním prostoru a zajistit, že pokud limit existuje, je to prvek funkčního prostoru. Kompletní vnitřní produktový prostor se nazývá Hilbertův prostor . Vlastnost úplnosti je zásadní v pokročilých úpravách a aplikacích kvantové mechaniky. Například existence operátorů projekce nebo ortogonálních projekcí závisí na úplnosti prostoru. Tyto operátory projekce jsou zase zásadní pro tvrzení a důkaz mnoha užitečných vět, např. Spektrální věty . V úvodní kvantové mechanice to není příliš důležité a technické detaily a odkazy lze nalézt v poznámkách pod čarou, jako je ten, který následuje. Prostor L 2 je Hilbertův prostor s vnitřním součinem představeným později. Funkční prostor příkladu obrázku je podprostor L 2 . Subprostor Hilbertova prostoru je Hilbertův prostor, pokud je uzavřený.

Souhrnně řečeno, soubor všech možných normalizovatelných vlnových funkcí pro systém s konkrétní volbou základu spolu s nulovým vektorem tvoří Hilbertův prostor.

Ne všechny funkce, které nás zajímají, jsou prvky nějakého Hilbertova prostoru, řekněme L 2 . Nejkřiklavějším příkladem je množina funkcí e 2 πi p · xh . Jedná se o řešení s rovinnými vlnami Schrödingerovy rovnice pro volné částice, ale nejsou normalizovatelná, proto nejsou v L 2 . Ale přesto jsou pro popis zásadní. Lze pomocí nich vyjádřit funkce, které jsou normalizovatelné pomocí vlnových paketů . Jsou v jistém smyslu základem (ale nikoli Hilbertovým vesmírným základem ani Hamelským základem ), ve kterém lze vyjádřit zájmové vlnové funkce. Existuje také artefakt „normalizace na delta funkci“, který se často používá pro notové pohodlí, viz níže. Samotné funkce delta nejsou čtvercové integrovatelné.

Výše uvedený popis funkčního prostoru obsahujícího vlnové funkce je většinou matematicky motivovaný. Prostory funkcí jsou v důsledku úplnosti v určitém smyslu velmi velké . Ne všechny funkce jsou realistické popisy jakéhokoli fyzického systému. Například ve funkčním prostoru L 2 lze najít funkci, která nabývá hodnoty 0 pro všechna racionální čísla a - i pro iracionální v intervalu [0, 1] . Toto je čtvercově integrovatelné, ale jen stěží může představovat fyzický stav.

Společné Hilbertovy prostory

Zatímco prostor řešení jako celek je Hilbertovým prostorem, existuje mnoho dalších Hilbertových prostorů, které se běžně vyskytují jako přísady.

  • Čtvercově integrovatelné komplexní oceňované funkce na intervalu [0, 2 π ] . Množina { e int /2 π , n ∈ ℤ} je Hilbertův prostorový základ, tj. Maximální ortonormální množina.
  • Fourierova transformace se funkce ve výše uvedeném prostoru prvků l 2 (ℤ) , prostor čtverečních summable funkcí ℤ → ℂ . Druhý prostor je Hilbertův prostor a Fourierova transformace je izomorfismus Hilbertových prostorů. Jeho základ je { e i , i ∈ ℤ} s e i ( j ) = δ ij , i , j ∈ ℤ .
  • Nejzákladnější příklad překlenutí polynomů je v prostoru čtvercových integrovatelných funkcí na intervalu [–1, 1], pro který jsou Legendreovy polynomy základem Hilbertova prostoru (kompletní ortonormální množina).
  • Čtvercové integrovatelné funkce na jednotkové sféře S 2 je Hilbertův prostor. Základními funkcemi jsou v tomto případě sférické harmonické . Polynomy Legendre jsou přísadami sférických harmonických. Většina problémů s rotační symetrií bude mít „stejné“ (známé) řešení s ohledem na tuto symetrii, takže původní problém je redukován na problém nižší dimenzionality.
  • Tyto spojené Laguerrovy polynomy objeví v hydrogenic vlnové funkce problému po vytknutí sférické harmonických. Ty pokrývají Hilbertův prostor čtvercových integrovatelných funkcí na semi-nekonečném intervalu [0, ∞) .

Obecněji lze uvažovat o jednotném zpracování všech polynomiálních řešení druhého řádu pro Sturm -Liouvilleovy rovnice v nastavení Hilbertova prostoru. Patří sem legendy Legendre a Laguerre, dále Chebyshevovy polynomy , Jacobiho polynomy a Hermitovy polynomy . Všechny tyto skutečnosti se objevují ve fyzických problémech, ty poslední v harmonickém oscilátoru , a co je jinak matoucí bludiště vlastností speciálních funkcí, se stává organizovaným souborem faktů. K tomu viz Byron & Fuller (1992 , kapitola 5).

Vyskytují se také Hilbertovy prostory konečných rozměrů. Prostor n je Hilbertův prostor dimenze n . Vnitřní produkt je standardním vnitřním produktem v těchto prostorech. V něm sídlí „spinová část“ funkce jedné částicové vlny.

  • V nerelativistickém popisu elektronu má jeden n = 2 a celková vlnová funkce je řešením Pauliho rovnice .
  • Při odpovídajícím relativistickém zpracování n = 4 a vlnová funkce řeší Diracovu rovnici .

S více částicemi jsou situace komplikovanější. Jeden má použít tensor produkty a teorie použití znázornění symetrie skupin zapojených (dále skupině otáčení a skupiny Lorentzova respektive) extrahovat z tensor produktu prostory, v nichž se (celkem) Funkce spin vlnové bydliště. (Další problémy vznikají v relativistickém případě, pokud částice nejsou volné. Viz rovnice Bethe – Salpeter .) Odpovídající poznámky platí pro koncept isospinu , pro který je skupina symetrie SU (2) . Modely jaderných sil šedesátých let (dodnes užitečné, viz jaderná síla ) používaly skupinu symetrie SU (3) . V tomto případě také část vlnových funkcí, která odpovídá vnitřní symetrii, sídlí v některých n nebo podprostorech tenzorových produktů těchto prostorů.

  • V kvantové teorii pole je základním Hilbertovým prostorem Fockův prostor . Je postaven z volných stavů jedné částice, tj. Vlnových funkcí, když je zvolena reprezentace, a může pojmout jakýkoli konečný, ne nutně konstantní časový počet částic. Zajímavá (nebo spíše traktovatelná ) dynamika nespočívá ve vlnových funkcích, ale v polních operátorech, které jsou operátory působícími na Fockův prostor. Tak Heisenberg obraz je nejčastější volbou (stálé stavy, doba se mění operátory).

Vzhledem k nekonečně dimenzionální povaze systému jsou vhodnými matematickými nástroji objekty studia ve funkční analýze .

Zjednodušený popis

Spojitost vlnové funkce a její první prostorová derivace (ve směru x nejsou zobrazeny souřadnice y a z ), v určitém čase t .

Ne všechny úvodní učebnice mají dlouhou trasu a představují celou Hilbertovu vesmírnou mašinérii, ale důraz je kladen na nerelativistickou Schrödingerovu rovnici v reprezentaci polohy pro určité standardní potenciály. Následující omezení vlnové funkce jsou někdy explicitně formulována, aby výpočty a fyzikální interpretace dávaly smysl:

  • Vlnová funkce musí být čtvercová integrovatelná . To je motivováno kodaňskou interpretací vlnové funkce jako amplitudy pravděpodobnosti.
  • Musí být všude spojitý a všude spojitě diferencovatelný . To je motivováno výskytem Schrödingerovy rovnice pro většinu fyzicky rozumných potenciálů.

Pro zvláštní účely je možné tyto podmínky poněkud uvolnit. Pokud tyto požadavky nejsou splněny, není možné vlnovou funkci interpretovat jako amplitudu pravděpodobnosti.

To nemění strukturu Hilbertova prostoru, který tyto konkrétní vlnové funkce obývají, ale podprostor čtvercově integrovatelných funkcí L 2 , což je Hilbertův prostor, splňující druhý požadavek, není v L 2 uzavřen , tudíž není Hilbertův. prostor sám o sobě. Funkce, které nesplňují požadavky, jsou stále potřebné z technických i praktických důvodů.

Více o vlnových funkcích a abstraktním stavovém prostoru

Jak bylo ukázáno, soubor všech možných vlnových funkcí v nějaké reprezentaci pro systém tvoří obecně nekonečně dimenzionální Hilbertův prostor. Vzhledem k mnoha možným volbám reprezentačního základu nejsou tyto Hilbertovy prostory jedinečné. Mluví se tedy o abstraktním Hilbertově prostoru, stavovém prostoru , kde je výběr reprezentace a základu ponechán neurčený. Konkrétně je každý stav reprezentován jako abstraktní vektor ve stavovém prostoru. Kvantový stav | Ψ⟩ v jakékoli reprezentaci je obecně vyjádřen jako vektor

kde

  • | α , omega : základní vektory zvoleného znázornění
  • d m ω = 1 2 ... m a „ prvek diferenciálního objemu “ v spojitých stupních volnosti
  • Ψ ( α , ω , t ) složka vektoru | Ψ⟩ , nazývaná vlnová funkce systému
  • α = ( α 1 , α 2 , ..., α n ) bezrozměrná diskrétní kvantová čísla
  • ω = ( ω 1 , ω 2 , ..., ω m ) spojité proměnné (nemusí být bezrozměrné)

Tato kvantová čísla indexují složky stavového vektoru. Navíc všechny α jsou v n -rozměrné sadě A = A 1 × A 2 × ... A n kde každé A i je množina povolených hodnot pro α i ; všechny ω jsou v m rozměrné "objemu" Ω ⊆ ℝ m , kde Ω = Ω 1 x Ω 2 x ... Ω m a každý Ω i ⊆ ℝ je množina povolených hodnot pro ω i , v podskupině na skutečné čísla . Protože obecnost n a m nejsou nutně stejné.

Příklad:

(a) Pro jednu částici ve 3D se spiny s , zanedbání dalších stupňů volnosti, pomocí kartézských souřadnic, bychom mohli vzít α = ( s z ) pro kvantové číslo otáčení částice ve směru z a ω = ( x ( y , z ) pro souřadnice polohy částice. Zde A = { - s , - s + 1, ..., s - 1, s } je množina povolených kvantových čísel otáčení a Ω = ℝ 3 je množina všech možných poloh částic v celém 3D pozičním prostoru.

(b) Alternativní volbou je α = ( s y ) pro kvantové číslo spin ve směru y a ω = ( p x , p y , p z ) pro složky hybnosti částice. V tomto případě jsou A a Ω stejné jako dříve.

Hustoty pravděpodobnosti nalezení systému v čase při stavu | α , omega znamená

Pravděpodobnost nalezení systému s α v některých nebo všech možných konfiguracích diskrétních proměnných, DA a ω v některých nebo všech možných konfiguracích spojitých proměnných, C ⊆ Ω , je součet a integrál přes hustotu,

Protože součet všech pravděpodobností musí být 1, podmínka normalizace

musí platit po celou dobu vývoje systému.

Normalizační podmínka vyžaduje, aby ρ d m ω bylo bezrozměrné, podle rozměrové analýzy Ψ musí mít stejné jednotky jako ( ω 1 ω 2 ... ω m ) −1/2 .

Ontologie

Zda vlnová funkce skutečně existuje a co představuje, jsou hlavní otázky při interpretaci kvantové mechaniky . Nad tímto problémem si lámalo hlavu mnoho slavných fyziků předchozí generace, například Schrödinger , Einstein a Bohr . Někteří zastávají formulace nebo varianty kodaňské interpretace (např. Bohr, Wigner a von Neumann ), zatímco jiní, jako Wheeler nebo Jaynes , zaujímají klasičtější přístup a považují vlnovou funkci za reprezentující informaci v mysli pozorovatele, tj. Míru našeho poznání reality. Někteří, včetně Schrödingera, Bohma a Everetta a dalších, tvrdili, že vlnová funkce musí mít objektivní, fyzickou existenci. Einstein si myslel, že úplný popis fyzické reality by se měl vztahovat přímo na fyzický prostor a čas, na rozdíl od vlnové funkce, která odkazuje na abstraktní matematický prostor.

Viz také

Poznámky

Citace

Obecné zdroje

Další čtení

externí odkazy