Wavelet - Wavelet

Vlnka je vlna -jako oscilace s amplitudou , která začíná na nule, se zvyšuje, a pak se sníží na nulu. Obvykle to lze vizualizovat jako „krátkou oscilaci“, jako je to zaznamenané seismografem nebo monitorem srdce . Vlnky jsou obecně záměrně vytvořeny tak, aby měly specifické vlastnosti, které je činí užitečnými pro zpracování signálu .

Seismická vlnovka

Například by mohla být vytvořena vlnka s frekvencí Middle C a krátkým trváním zhruba jednu desetinu sekundy. Pokud by měl být tento wavelet spojen se signálem vytvořeným ze záznamu melodie, pak by výsledný signál byl užitečný pro určení, kdy se v písni hraje nota středního C. Matematicky bude vlnka korelovat se signálem, pokud neznámý signál obsahuje informace o podobné frekvenci. Tento koncept korelace je jádrem mnoha praktických aplikací waveletové teorie.

Jako matematický nástroj lze vlnky použít k extrakci informací z mnoha různých druhů dat, mimo jiné včetně zvukových signálů a obrazů. K úplné analýze dat jsou obecně zapotřebí sady waveletů. Sada „komplementárních“ vlnek rozloží data bez mezer nebo překrývání, takže proces rozkladu je matematicky reverzibilní. Sady komplementárních vlnek jsou tedy užitečné v kompresních /dekompresních algoritmech založených na vlnkách, kde je žádoucí obnovit původní informace s minimální ztrátou.

Z formálního hlediska, toto zastoupení je wavelet série znázornění funkce čtvercového integrovatelná vzhledem k buď kompletní , ortonormální sadu základních funkcí , nebo overcomplete sadu nebo rámu vektorového prostoru , pro Hilbertova prostoru čtvercových integrovatelných funkcí. Toho je dosaženo prostřednictvím koherentních stavů .

V klasické fyzice je difrakční jev popsán Huygens -Fresnelovým principem, který považuje každý bod v šířící se vlně za soubor jednotlivých sférických vlnek . Charakteristický ohybový vzor je nejvýraznější, když se vlna z koherentního zdroje (jako je laser) setká se štěrbinou/aperturou, která je velikostí srovnatelná s její vlnovou délkou , jak ukazuje vložený obrázek. To je způsobeno přidáním nebo interferencí různých bodů na vlnoploše (nebo ekvivalentně každé vlnovce), které cestují cestami různých délek k registrační ploše. Pokud existuje více, těsně rozmístěných otvorů (např. Difrakční mřížka ), může dojít ke složitému vzoru různé intenzity.

Etymologie

Slovo wavelet se v digitálním zpracování signálu a průzkumné geofyzice používá již desítky let. Ekvivalentní francouzské slovo ondelette s významem „malá vlna“ používali Morlet a Grossmann na začátku 80. let minulého století.

Vlnková teorie

Waveletova teorie je použitelná pro několik předmětů. Všechny waveletové transformace mohou být považovány za formy časově-frekvenční reprezentace pro signály s kontinuálním časem (analogové), a proto souvisejí s harmonickou analýzou . Diskrétní vlnková transformace (spojitá v čase) signálu v diskrétním čase (vzorkovaná) pomocí diskrétních filtračních bank dyadické (oktávové pásmo) konfigurace je vlnková aproximace k tomuto signálu. Koeficienty takovéto filtrační banky se v nomenklatuře vlnky nazývají koeficienty posunu a škálování. Tyto filtrační banky mohou obsahovat filtry s konečnou impulsní odezvou (FIR) nebo s nekonečnou impulzní odezvou (IIR). Vlnky tvořící spojitou vlnovou transformaci (CWT) podléhají principu nejistoty Fourierovy analýzy příslušné teorie vzorkování: Vzhledem k signálu, v němž je nějaká událost, nelze této události současně přiřadit přesnou stupnici časové a frekvenční odezvy. Součin nejistot škály časové a frekvenční odezvy má spodní hranici. V měřítku spojité vlnkové transformace tohoto signálu tedy taková událost označí celou oblast v rovině časové škály, namísto pouze jednoho bodu. Rovněž diskrétní vlnkové základy mohou být zvažovány v kontextu jiných forem principu neurčitosti.

Vlnkové transformace jsou široce rozděleny do tří tříd: spojité, diskrétní a založené na více rozlišeních.

Spojité vlnkové transformace (parametry kontinuálního posunu a měřítka)

V kontinuálních wavelet transformace , daný signál konečných energie se promítá na kontinuální rodině kmitočtových pásem (nebo podobné podprostorů v L p funkce prostor L 2 ( R )). Signál může být například reprezentován v každém frekvenčním pásmu formy [ f , 2 f ] pro všechny kladné frekvence f > 0. Potom může být původní signál rekonstruován vhodnou integrací přes všechny výsledné frekvenční složky.

Frekvenční pásma nebo podprostory (dílčí pásma) jsou škálovanými verzemi podprostoru v měřítku 1. Tento podprostor je zase ve většině situací generován posuny jedné generující funkce ψ v L 2 ( R ), mateřské vlně . Pro příklad měřítka jednoho frekvenčního pásma [1, 2] tato funkce je

s (normalizovanou) funkcí sinc . Meyerův a dva další příklady mateřských vlnek jsou:

Subprostor měřítka a nebo frekvenčního pásma [1/ a , 2/ a ] je generován funkcemi (někdy se jim říká podřízené vlnky )

kde a je kladné a definuje měřítko a b je jakékoli skutečné číslo a definuje posun. Dvojice ( , b ) definuje bod v pravém halfplane R + x R .

Projekce funkce x do podprostoru měřítka a pak má tvar

s vlnovými koeficienty

Pro analýzu signálu x je možné sestavit vlnkové koeficienty do měřítka signálu.

Podívejte se na seznam některých spojitých vlnek .

Diskrétní vlnkové transformace (diskrétní parametry posunu a měřítka, spojité v čase)

Je výpočetně nemožné analyzovat signál pomocí všech vlnkových koeficientů, a tak se lze ptát, zda stačí vybrat diskrétní podmnožinu horní poloviční roviny, aby bylo možné rekonstruovat signál z odpovídajících vlnkových koeficientů. Jeden takový systém je afinní systém pro některé reálné parametry > 1, b > 0. Odpovídající diskrétní podmnožinou halfplane se skládá ze všech bodů ( v m , na m b ) s m , n v Z . Odpovídající podřízené vlnky jsou nyní uvedeny jako

Dostatečná podmínka pro rekonstrukci libovolného signálu x konečné energie podle vzorce

je, že funkce tvoří ortonormální báze a L 2 ( R ).

Diskrétní vlnkové transformace založené na více rozlišeních (průběžné v čase)

Wavelet D4

V jakékoli diskrétní vlnkové transformaci existuje pouze konečný počet vlnkových koeficientů pro každou ohraničenou obdélníkovou oblast v horní polovině roviny. Přesto každý koeficient vyžaduje vyhodnocení integrálu. Ve zvláštních situacích lze této numerické složitosti zabránit, pokud škálované a posunuté vlnky vytvoří multirezoluční analýzu . To znamená, že musí existovat pomocná funkce , otcovská vlnka φ v L 2 ( R ), a že a je celé číslo. Typická volba je a = 2 a b = 1. Nejslavnější dvojice otcovských a mateřských vlnek je 4-tap wavelet Daubechies . Všimněte si, že ne každý ortonormální diskrétní waveletový základ může být spojen s multiresoluční analýzou; například Journe wavelet nepřipouští žádnou multiresoluční analýzu.

Z vlnky matky a otce se vytvoří podprostory

Otcovská vlnka zachovává vlastnosti časové domény, zatímco mateřská vlnka zachovává vlastnosti frekvenční domény.

Z nich je požadováno, aby sekvence

tvoří analýza vícenásobných z L 2 a že podprostory jsou ortogonální „rozdíly“ výše uvedeného pořadí, to znamená, že W m je ortogonální doplněk V m uvnitř podprostoru V m -1 ,

Analogicky k vzorkovací teorém je možné učinit závěr, že prostor V m s vzorkovací vzdálenost 2 m více nebo méně zakrývá frekvenčního základního pásma 0-2 - m -1 . Jako ortogonální doplněk W m zhruba pokrývá pásmo [2 - m −1 , 2 - m ].

Z těchto inkluzí a ortogonality vztahů, a to zejména , vyplývá existence sekvencí a které splňují identity

tak to a
aby

Druhá identita prvního páru je rovnice upřesnění pro vlnovou vlnu φ. Oba páry identit tvoří základ pro algoritmus rychlé vlnkové transformace .

Z multirezoluční analýzy je odvozen ortogonální rozklad prostoru L 2 jako

Pro jakýkoli signál nebo funkci to dává reprezentaci v základních funkcích odpovídajících podprostorů jako

kde jsou koeficienty

a

Matka wavelet

Z praktických aplikací az důvodů efektivity upřednostňujeme spojitě diferencovatelné funkce s kompaktní podporou jako mateřská (prototypová) vlnka (funkce). Aby však byly uspokojeny analytické požadavky (v kontinuálním WT) a obecně z teoretických důvodů, volíme vlnkové funkce z podprostoru prostoru. Toto je prostor Lebesgueových měřitelných funkcí, které jsou absolutně integrovatelné i čtvercově integrovatelné v tom smyslu, že

a

Být v tomto prostoru zajišťuje, že lze formulovat podmínky nulového průměru a čtvercové normy jedna:

je podmínkou nulového průměru a
je podmínkou čtvercové normy jedna.

Aby byl ψ vlnovetem pro spojitou vlnovou transformaci (přesné vyjádření viz zde), musí mateřská vlnka splňovat kritérium přípustnosti (volně řečeno, jakousi napůl diferencovatelnost), aby získala stabilně invertovatelnou transformaci.

Pro diskrétní vlnovou transformaci je zapotřebí alespoň podmínka, že vlnková řada je reprezentací identity v prostoru L 2 ( R ). Většina konstrukcí diskrétního WT využívá multiresoluční analýzu , která definuje vlnovku funkcí škálování. Tato funkce škálování sama o sobě je řešením funkční rovnice.

Ve většině situací je užitečné omezit ψ na spojitou funkci s vyšším počtem M mizejících momentů, tj. Pro všechna celá čísla m < M

Mateřská vlnka je zvětšena (nebo rozšířena) o faktor a a přeložena (nebo posunuta) o faktor b pro získání (podle Morletovy původní formulace):

U spojitého WT se dvojice ( a , b ) mění v celé polorovině R + × R ; pro diskrétní WT se tento pár liší v jeho diskrétní podmnožině, která se také nazývá afinní skupina .

Tyto funkce jsou často nesprávně označovány jako základní funkce (spojité) transformace. Ve skutečnosti, stejně jako v kontinuální Fourierově transformaci, neexistuje žádný základ v kontinuální vlnkové transformaci. Interpretace času a frekvence používá jemně odlišnou formulaci (po Delpratu).

Omezení:

  1. když a1 = aab1 = b,
  2. má konečný časový interval

Porovnání s Fourierovou transformací (spojitý čas)

Vlnková transformace je často srovnávána s Fourierovou transformací , ve které jsou signály reprezentovány jako součet sinusoidů. Ve skutečnosti lze na Fourierovu transformaci pohlížet jako na speciální případ spojité vlnkové transformace s výběrem mateřské vlnovky . Hlavní rozdíl obecně spočívá v tom, že vlnky jsou lokalizovány v čase i frekvenci, zatímco standardní Fourierova transformace je lokalizována pouze ve frekvenci . Krátkodobá Fourierova transformace (STFT) je podobná vlnkové transformace v tom, že je také čas a frekvence lokalizované, ale tam jsou problémy s frekvencí / času rozlišení trade-off.

Zejména za předpokladu obdélníkové oblasti okna lze STFT považovat za transformaci s mírně odlišným jádrem

kde lze často zapsat jako , kde a u příslušně označují délku a časový posun funkce oken. Pomocí Parsevalovy věty lze definovat vlnovou energii jako

Z toho je čtverec časové podpory okenního posunu o čas u dán vztahem

a druhou mocninu spektrální podpory okna působícího na frekvenci

Násobení obdélníkovým oknem v časové oblasti odpovídá konvoluci s funkcí ve frekvenční oblasti, což má za následek falešné vyzváněcí artefakty pro krátká/lokalizovaná časová okna. S Fourierovou transformací s nepřetržitým časem a tato konvoluce je s funkcí delta ve Fourierově prostoru, což má za následek skutečnou Fourierovu transformaci signálu . Funkce okna může být nějaký jiný apodizingový filtr , například Gaussian . Volba funkce okénkování ovlivní chybu aproximace vzhledem ke skutečné Fourierově transformaci.

Součin časové šířky pásma dané buňky rozlišení nesmí být u STFT překročen. Všechny prvky základny STFT udržují jednotnou spektrální a časovou podporu pro všechny časové posuny nebo posuny, čímž dosahují stejného časového rozlišení pro nižší a vyšší frekvence. Rozlišení je čistě určeno šířkou vzorkování.

Naproti tomu multirezoluční vlastnosti waveletové transformace umožňují velké časové podpory pro nižší frekvence při zachování krátkých časových šířek pro vyšší frekvence pomocí vlastností škálování waveletové transformace. Tato vlastnost rozšiřuje konvenční časově-frekvenční analýzu na analýzu v časovém měřítku.

Atomy časové frekvence STFT (vlevo) a atomy časového měřítka DWT (vpravo). Atomy času a frekvence jsou čtyři různé základní funkce používané pro STFT (tj. Jsou vyžadovány čtyři samostatné Fourierovy transformace ). Atomy časového měřítka DWT dosahují malých časových šířek pro vysoké frekvence a dobrých časových šířek pro nízké frekvence pomocí jediné sady transformačních základen.

Diskrétní vlnková transformace je méně výpočetně složitá , přičemž pro rychlou Fourierovu transformaci trvá O ( N ) čas ve srovnání s O ( N  log  N ) . Tato výpočetní výhoda není vlastní transformaci, ale odráží volbu logaritmického rozdělení frekvence, na rozdíl od stejně rozložených frekvenčních dělení FFT (Fast Fourier Transform), která využívá stejné základní funkce jako DFT (Discrete Fourier Transform) . Je také důležité poznamenat, že tato složitost platí pouze tehdy, když velikost filtru nemá žádný vztah k velikosti signálu. Wavelet bez kompaktní podpory , jako je Shannonův wavelet, by vyžadoval O ( N 2 ). (Například logaritmická Fourierova transformace existuje také se složitostí O ( N ), ale původní signál musí být vzorkován logaritmicky v čase, což je užitečné pouze pro určité typy signálů.)

Definice vlnovky

Existuje několik způsobů, jak definovat wavelet (nebo rodinu waveletů).

Měřítko filtru

Ortogonální vlnovka je zcela definována škálovacím filtrem-nízkoprůchodovým filtrem s konečnou impulsní odezvou (FIR) o délce 2 N a součtu 1. V biortogonálních vlnkách jsou definovány oddělené rozkladné a rekonstrukční filtry.

Pro analýzu s ortogonálními vlnkami je horní propust vypočtena jako kvadraturní zrcadlový filtr dolní propusti a rekonstrukční filtry jsou časovým reverzem dekompozičních filtrů.

Vlnky Daubechies a Symlet lze definovat pomocí filtru škálování.

Funkce škálování

Vlnky jsou definovány vlnovou funkcí ψ ( t ) (tj. Mateřskou vlnovkou) a škálovací funkcí φ ( t ) (také nazývanou otcovská vlnovka) v časové oblasti.

Funkce wavelet je ve skutečnosti pásmový filtr a škálování, které pro každou úroveň snižuje šířku pásma na polovinu. To vytváří problém, že k pokrytí celého spektra by bylo zapotřebí nekonečné množství úrovní. Funkce škálování filtruje nejnižší úroveň transformace a zajišťuje pokrytí celého spektra. Viz podrobné vysvětlení.

U vlnovky s kompaktní podporou lze φ ( t ) považovat za konečnou délku a je ekvivalentní filtru měřítka g .

Meyerovy vlnky lze definovat pomocí funkcí škálování

Vlnková funkce

Wavelet má pouze funkci časové oblasti jako funkce wavelet ψ ( t ).

Například mexický klobouk lze definovat pomocí wavelet funkce. Podívejte se na seznam několika spojitých vlnek .

Dějiny

Vývoj vlnek lze spojit s několika samostatnými myšlenkovými pochody , počínaje Haarovou prací na počátku 20. století. Pozdější práce Dennise Gabora přinesly Gaborovy atomy (1946), které jsou konstruovány podobně jako vlnky a jsou aplikovány na podobné účely.

Významné příspěvky k teorii waveletů od té doby lze přičíst Zweigovu objevu spojité vlnkové transformace (CWT) v roce 1975 (původně se jí říkalo kochleární transformace a objevil se při studiu reakce ucha na zvuk), Pierre Goupillaud, Grossmann a Morlet formulace toho, co je nyní známé jako CWT (1982), raná práce Jana Olova Strömberga o diskrétních vlnkách (1983), vlnovka LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 vyvinutá Didierem Le Gallem a Ali J. Tabatabaiem ( 1988), ortogonální vlnovky Ingrid Daubechies s kompaktní podporou (1988), Mallatův multirezoluční rámec (1989), Ali Akansu 's Binomial QMF (1990), Nathalie Delpratova časově-frekvenční interpretace CWT (1991), Newlandova harmonická vlnovka transformace (1993) a nastavení rozdělení do hierarchických stromů (SPIHT) vyvinutých Amirem Saidem s Williamem A. Pearlmanem v roce 1996.

Standard JPEG 2000 byl vyvinut v letech 1997 až 2000 výborem Joint Photographic Experts Group (JPEG), kterému předsedal Touradj Ebrahimi (pozdější prezident JPEG). Na rozdíl od algoritmu DCT použil původní JPEG formátu JPEG 2000 místo toho používá diskrétní vlnková transformace (DWT) algoritmy. Pro svůj algoritmus ztrátové komprese používá vlnovou transformaci CDF 9/7 (vyvinutou Ingrid Daubechies v roce 1992) a vlnovou transformaci LeGall-Tabatabai (LGT) 5/3 (vyvinutou Didierem Le Gallem a Ali J. Tabatabaiem v roce 1988) za jeho bezeztrátový kompresní algoritmus. V roce 2004 byla jako standard kódování videa pro digitální kino vybrána technologie JPEG 2000 , která zahrnuje rozšíření Motion JPEG 2000 .

Časová osa

Wavelet transformuje

Vlnka je matematická funkce používaná k rozdělení dané funkce nebo signálu spojitého času na různé složky měřítka. Obvykle je možné přiřadit frekvenční rozsah každé složce měřítka. Každou složku měřítka lze poté studovat s rozlišením, které odpovídá jejímu měřítku. Vlnková transformace je reprezentace funkce vlnovky. Vlnky jsou zmenšeny a přeloženy kopie (známé jako „dceřiné vlnovky“) oscilačního průběhu konečné délky nebo rychle se rozpadajícího (známé jako „mateřská vlnka“). Vlnkové transformace mají oproti tradičním Fourierovým transformacím výhody v tom, že představují funkce, které mají nespojitosti a ostré špičky, a přesně dekonstruují a rekonstruují konečné, neperiodické a/nebo nestacionární signály.

Vlnkové transformace se dělí na diskrétní vlnkové transformace (DWT) a kontinuální vlnkové transformace (CWT). Všimněte si, že DWT i CWT jsou transformace s nepřetržitým časem (analogové). Mohou být použity k reprezentaci signálů spojitého času (analogové). CWT fungují v každém možném měřítku a překladu, zatímco DWT používají konkrétní podmnožinu hodnot měřítka a překladu nebo mřížku reprezentace.

Existuje velké množství waveletových transformací, z nichž každá je vhodná pro různé aplikace. Úplný seznam najdete v seznamu transformací souvisejících s waveletem, ale běžné jsou uvedeny níže:

Zobecněné transformace

Existuje řada generalizovaných transformací, z nichž speciální je vlnová transformace. Například Yosef Joseph Segman zavedl měřítko do Heisenbergovy skupiny , čímž vznikl prostor pro kontinuální transformaci, který je funkcí času, měřítka a frekvence. CWT je dvourozměrný řez skrz výsledný objem 3D časové škály a frekvence.

Dalším příkladem generalizované transformace je chirpletová transformace, ve které je CWT také dvourozměrný řez chirpletovou transformací.

Důležitá aplikační oblast pro generalizované transformace zahrnuje systémy, ve kterých je rozhodující vysokofrekvenční rozlišení. Například optické transformace elektronů v tmavém poli meziprodukt mezi přímým a recipročním prostorem byly široce používány v harmonické analýze shlukování atomů, tj. Při studiu krystalů a defektů krystalů . Nyní, když transmisní elektronové mikroskopy jsou schopné poskytovat digitálních snímků s informacemi pikometr měřítku na atomovém periodicitě v nanostruktury všeho druhu, rozsahu rozpoznávání a napětí / metrologických aplikací pro středně pokročilé transformace s rozlišením vysoké frekvence (jako brushlets a ridgelets) roste rychle.

Frakční waveletová transformace (FRWT) je zobecněním klasické vlnkové transformace ve frakčních doménách Fourierovy transformace. Tato transformace je schopna poskytovat informace o časové a zlomkové doméně současně a reprezentovat signály v rovině časově zlomkové frekvence.

Aplikace vlnkové transformace

Pro kompresi dat se obecně používá přiblížení k DWT, pokud je signál již vzorkován, a CWT pro analýzu signálu . Aproximace DWT se tedy běžně používá ve strojírenství a informatice a CWT ve vědeckém výzkumu.

Stejně jako některé jiné transformace lze waveletové transformace použít k transformaci dat, poté k transformaci transformovaných dat, což má za následek efektivní kompresi. Například JPEG 2000 je standard komprese obrazu, který používá biortogonální vlnovky. To znamená, že ačkoliv je snímek překompletní, jedná se o těsný rámec (viz typy rámců vektorového prostoru ) a stejné funkce rámce (kromě konjugace v případě komplexních vlnkových vln) se používají jak pro analýzu, tak pro syntézu, tzn. v dopředné i obrácené transformaci. Podrobnosti viz komprese vlnky .

Související použití je pro vyhlazování/odšumování dat na základě prahování vlnových koeficientů, nazývaných také vlnkové smrštění. Adaptivním prahováním vlnových koeficientů, které odpovídají nežádoucím frekvenčním složkám, lze provádět operace vyhlazování a/nebo odšumování.

Waveletové transformace se začínají využívat také pro komunikační aplikace. Wavelet OFDM je základní modulační schéma používané v HD-PLC ( komunikační technologie elektrického vedení vyvinutá společností Panasonic ) a v jednom z volitelných režimů zahrnutých ve standardu IEEE 1901 . Wavelet OFDM může dosáhnout hlubších zářezů než tradiční FFT OFDM a wavelet OFDM nevyžaduje ochranný interval (což obvykle představuje významnou režii v systémech FFT OFDM).

Jako reprezentace signálu

Signály lze často dobře reprezentovat jako součet sinusoidů. Zvažte však nesouvislý signál s náhlou nespojitostí; tento signál může být stále reprezentován jako součet sinusoidů, ale vyžaduje nekonečné číslo, což je pozorování známé jako Gibbsův jev . To pak vyžaduje nekonečný počet Fourierových koeficientů, což není praktické pro mnoho aplikací, jako je například komprese. Vlnky jsou pro popis těchto signálů s diskontinuitami užitečnější kvůli jejich časově lokalizovanému chování (Fourierova i waveletová transformace jsou lokalizovány na frekvenci, ale vlnky mají další vlastnost časové lokalizace). Z tohoto důvodu mnoho typů signálů v praxi může být ve Fourierově doméně řídkých, ale ve vlnovkové oblasti velmi řídkých. To je zvláště užitečné při rekonstrukci signálu, zejména v nedávno populární oblasti komprimovaného snímání . (Všimněte si, že krátkodobá Fourierova transformace (STFT) je také lokalizována v čase a frekvenci, ale často dochází k problémům s kompromisem mezi rozlišením frekvence a času. Vlnky jsou lepší reprezentací signálu kvůli multiresoluční analýze .)

To motivuje, proč jsou nyní vlnovkové transformace přijímány pro velké množství aplikací, které často nahrazují konvenční Fourierovu transformaci . V mnoha oblastech fyziky došlo k posunu tohoto paradigmatu, včetně molekulární dynamiky , teorie chaosu , ab initio výpočtů, astrofyziky , analýzy přechodových dat gravitačních vln , lokalizace matice hustoty , seismologie , optiky , turbulence a kvantové mechaniky . Tato změna nastala také ve zpracování obrazu , EEG , EMG , analýze EKG , mozkových rytmech , analýze DNA, analýze proteinů , klimatologii , analýze sexuální odpovědi člověka, obecném zpracování signálu , rozpoznávání řeči , akustice, vibračních signálech, počítačové grafice , multifunkční analýze , a řídké kódování . V počítačovém vidění a zpracování obrazu je pojem reprezentace měřítka prostoru a Gaussových derivačních operátorů považován za kanonickou reprezentaci ve více měřítcích.

Denoisování vlnky

Denoisování signálu prahovou vlnovou transformací

Předpokládejme, že měříme hlučný signál . Předpokládejme, že s má v určitých vlnkových základnách řídké zastoupení, a

Takže .

Většina prvků v p je 0 nebo téměř 0 a

Protože W je ortogonální, problém odhadu se rovná obnově signálu v iid Gaussově šumu . Protože p je řídké, je jednou z metod použití Gaussova modelu směsi pro p.

Předpokládejme prior , je rozptyl „významných“ koeficientů a je rozptylem „nevýznamných“ koeficientů.

Potom , se nazývá smrštění faktor, který závisí na předchozí odchylky a . Efekt smršťovacího faktoru je ten, že malé koeficienty jsou nastaveny brzy na 0 a velké koeficienty se nezmění.

Malé koeficienty jsou většinou zvuky a velké koeficienty obsahují skutečný signál.

Nakonec použijte inverzní vlnovou transformaci, abyste získali

Wavelet Neural Network (WNN)

WNN je model hlubokého učení. Jeho hlavní vlastností je, že WNN může snížit šum nebo nadbytečná data, aby se zlepšila přesnost. V tomto případě je WNN široce používán v různých oblastech, včetně zpracování signálu, strojírenství, počítačového vidění a financí.

Úvod

Nelineární sítě jsou velmi užitečné pro modelování a identifikaci systému. Tuto přibližnou metodu lze například použít pro rozpoznávání nelineárních systémů v černé skříňce. Nedávno byly neurální sítě zavedeny jako obecný aproximační nástroj pro přizpůsobení nelineárních modelů ze vstupních/výstupních dat. Práce G. Cybenka, Carolla a Dickinsona stanovila univerzální aproximační vlastnosti pro takové sítě. Na druhou stranu se nedávno představený dekompozice vlnky stala novým mocným aproximačním nástrojem. Fakta prokázala, že struktura této přibližné struktury je velmi podobná struktuře implementované neuronovou sítí vrstvy (1+$). Nedávný vývoj zejména ukázal existenci ortogonálních vlnkových základen, ze kterých lze získat rychlost konvergence aproximace vlnové sítě. Tento článek, inspirovaný dopřednými neuronovými sítěmi a rozkladem waveletů, navrhuje nový typ sítě zvané waveletová síť. Je navržen algoritmus zpětné propagace a jsou uvedeny experimentální výsledky.

Struktura a parametrizace

Forma struktury sítě, ve které jsou zavedeny další (a nadbytečné) parametry g, které pomáhají vypořádat se s nenulovými průměrnými funkcemi přes konečná pole. Vezměte prosím na vědomí, že protože expanze a překlad jsou nastavitelné, je tento formulář ekvivalentní tvaru až do konstantní g. Kromě toho, abychom kompenzovali směrovou selektivitu expanze, kombinujeme rotaci s každou afinní transformací, aby byla síť flexibilnější.

kde

  • Doplňkový parametr 9 je zaveden, aby bylo jednodušší sblížit funkce s nenulovým průměrem, protože vlnka a (x) je nulový průměr;
  • Dilatační matice D, 's jsou diagonální matice vytvořené z dilatačních vektorů, zatímco R' s jsou rotační matice.

Analýza

Je navržena a diskutována struktura vlnkové sítě. Sítě Wavelet mají obvykle podobu třívrstvé sítě. Dolní vrstva představuje vstupní vrstvu, střední vrstva představuje skrytou vrstvu a horní vrstva představuje výstupní vrstvu. V naší implementaci je použita vícedimenzionální waveletová síť s lineárním propojením mezi waveletem a výstupem. Kromě toho existuje přímé připojení ze vstupní vrstvy na výstupní, což pomůže síti dobře fungovat v lineárních aplikacích.

Kromě toho jsou diskutovány také fáze inicializace, fáze tréninku a podmínky zastavení. Inicializace parametrů je ve waveletových sítích velmi důležitá, protože může výrazně zkrátit dobu tréninku. Vyvinutá inicializační metoda extrahuje užitečné informace z waveletové analýzy. Nejjednodušší metodou je heuristická metoda. Pro efektivní inicializaci lze použít složitější metody (jako je selekce založená na zbytcích, selekce pomocí ortogonalizace a zpětné eliminace). Naše výsledky analýzy ukazují, že zpětná eliminace je výrazně lepší než jiné metody. Výsledky dvou případů simulace ukazují, že pomocí metody zpětné eliminace poskytuje waveletová síť tvarově velmi blízký funkci reálného základu. Je však výpočetně dražší než jiné metody. Pro školení v síti se používá metoda backpropagation. Iterativně aktualizujte váhy sítě podle pravidel přírůstkového učení, kde se používá rychlost učení a hybnost. Trénujte váhy sítě, abyste minimalizovali funkci průměrných kvadratických nákladů. Trénink bude pokračovat, dokud nebude splněna jedna z podmínek zastavení.


Vyšetřování potenciálního problému s autorskými právy

Upozorňujeme, že se jedná o text tohoto článku Wikipedie; nemělo by být bráno v úvahu úvahy o předmětu tohoto článku.

Neobnovujte ani neupravujte prázdný obsah na této stránce, dokud problém nevyřeší správce , referent autorských práv nebo agent OTRS .

Pokud jste právě označili tuto stránku jako potenciální problém s autorskými právy, postupujte podle pokynů pro podání ve spodní části pole.

Předchozí obsah této stránky nebo sekce byl identifikován jako potenciální problém s autorskými právy , jako kopie nebo úprava textu z níže uvedených zdrojů a nyní je uveden v části Problémy s autorskými právy ( výpis ) :

Pokud není vyjasněn stav autorských práv k textu této stránky nebo sekce a není -li rozhodnuto, že je kompatibilní s licencí obsahu Wikipedie, může být problematický text a revize nebo celá stránka odstraněna jeden týden po jejím zařazení (tj. Po 16:29) , 24. října 2021 (UTC)).

Dočasně je původní příspěvek stále přístupný pro prohlížení v historii stránek .

Můžete pomoci vyřešit tento problém?
Pokud jste držitelem autorských práv k tomuto textu, můžete jej licencovat způsobem, který umožňuje jeho použití na Wikipedii. Chcete -li zjistit, jak na to, klikněte na „Zobrazit“.
  1. Musíte povolit použití vašeho materiálu za podmínek Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Unported License (CC BY-SA 3.0) a GNU Free Documentation License (GFDL) (bez verze, bez invariantních sekcí, textů na titulní straně, nebo texty na zadní straně obalu).
  2. Vysvětlete svůj záměr licencovat obsah na diskusní stránce tohoto článku .
  3. Chcete-li potvrdit své svolení, můžete buď zobrazit oznámení v tomto smyslu na místě původní publikace, nebo poslat e-mail z adresy spojené s původní publikací na permissions-en @wikimedia.org nebo poštovní dopis nadaci Wikimedia Foundation . Tyto zprávy musí výslovně povolit použití podle CC BY-SA a GFDL. Viz Wikipedie: Darování materiálů chráněných autorskými právy .
  4. Pamatujte, že články na Wikipedii musí být psány z neutrálního úhlu pohledu a musí být ověřitelné ve zveřejněných zdrojích třetích stran; zvažte, zda váš text není stranou, pokud jde o autorská práva, vhodný pro zařazení do Wikipedie.
Můžete prokázat, že tento text je volným dílem nebo je již pod licencí vhodnou pro Wikipedii. Chcete -li zjistit, jak na to, klikněte na „Zobrazit“.
Vysvětlete to na diskusní stránce tohoto článku s odkazem na důkazy. Wikipedia: Public domain a Wikipedia: Kompatibilní licence může pomoci při určování stavu.
V opačném případě můžete tuto stránku přepsat bez materiálu porušujícího autorská práva. Kliknutím na „Zobrazit“ si přečtete, kde a jak.

Váš přepis by měl být umístěn na tuto stránku, kde bude k dispozici administrátorovi nebo úředníkovi, aby jej mohl na konci období zápisu zkontrolovat. Pomocí tohoto odkazu vytvoříte dočasnou podstránku .

  • Pouhá úprava textu chráněného autorskými právy nestačí k zamezení porušování autorských práv - pokud původní porušení autorských práv nelze čistě odstranit nebo článek vrátit na předchozí verzi, je nejlepší napsat článek úplně od začátku. (Viz Wikipedie: Zavřít parafrázování .)
  • Aby byla dodržena licence, musí být veškerý obsah použitý z původního článku řádně přiřazen; pokud používáte obsah z originálu, zanechte prosím v horní části přepisu poznámku, která říká tolik. Můžete duplikovat text, který není v rozporu s právy, kterým jste sami přispěli.
  • Při přepisování je vždy dobré identifikovat bod, do kterého byl obsah chráněný autorskými právy importován do Wikipedie, a zkontrolovat, zda přispěvatel nepřidal obsah importovaný z jiných zdrojů. Při uzavírání vyšetřování mohou úředníci a správci najít jiné problémy s autorskými právy, než které byly identifikovány. Pokud je tento materiál v navrhovaném přepisu a nelze jej snadno odstranit, přepis nemusí být použitelný.
Na diskusní stránce tohoto článku uveďte, že jste vytvořili přepis .
O importu textu na Wikipedii
  • Zveřejňování materiálu chráněného autorskými právy bez výslovného svolení držitele autorských práv je považováno za porušení autorských práv , což je nezákonné i proti zásadám Wikipedie .
  • Pokud máte výslovné svolení, musí to být ověřeno buď výslovným zveřejněním u zdroje, nebo e-mailem nebo dopisem nadaci Wikimedia Foundation. Pro všechny dotazy viz Wikipedie: Prohlášení o souhlasu .
  • Zásady vyžadují, abychom zablokovali ty, kteří opakovaně zveřejňují materiál chráněný autorskými právy bez výslovného svolení.
Pokyny k podání

Pokud jste označili článek pro vyšetřování, proveďte prosím následující kroky:

Seznam vlnek

Diskrétní vlnky

Spojité vlnky

Skutečná hodnota

Komplexní

Viz také

Reference

Další čtení

externí odkazy