Dobře definovaný výraz - Well-defined expression

V matematice je dobře definovaný výraz nebo jednoznačný výraz výraz, jehož definice mu přiřazuje jedinečnou interpretaci nebo hodnotu. Jinak se říká, že výraz není dobře definovaný , špatně definovaný nebo nejednoznačný . Funkce je dobře definována, pokud poskytuje stejný výsledek při změně reprezentace vstupu beze změny hodnoty vstupu. Pokud například f bere jako vstup reálná čísla a pokud f (0,5) se nerovná f (1/2), pak f není dobře definováno (a tedy ani funkce). Výraz dobře definovaný lze také použít k označení, že logický výraz je jednoznačný nebo rozporuplný.

Funkce, která není dobře definována, není stejná jako funkce, která není definována . Například, v případě, f ( x ) = 1 / x , pak skutečnost, že f (0) není definována, neznamená, že se f je není dobře definována - ale, že 0 je prostě není v doméně o f .

Příklad

Nechť jsou sady, nechme a „definujeme“ jako kdyby a jestli . ${\ displaystyle A_ {0}, A_ {1}}$${\ displaystyle A = A_ {0} \ cup A_ {1}}$${\ Displaystyle f: A \ rightarrow \ {0,1 \}}$${\ displaystyle f (a) = 0}$${\ displaystyle a \ v A_ {0}}$${\ Displaystyle f (a) = 1}$${\ displaystyle a \ v A_ {1}}$

Pak je dobře definováno, zda . Například pokud a , pak by bylo dobře definováno a rovno . ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A_ {0} \ cap A_ {1} = \ emptyset \!}$${\ displaystyle A_ {0}: = \ {2,4 \}}$${\ displaystyle A_ {1}: = \ {3,5 \}}$${\ displaystyle f (a)}$${\ displaystyle \ operatorname {mod} (a, 2)}$

Nicméně, v případě , pak by neměl být dobře definován, protože je „nejednoznačný“ pro . Například pokud a , pak by muselo být 0 i 1, což je nejednoznačné. Výsledkem je, že tento není dobře definován, a proto není funkcí. ${\ Displaystyle A_ {0} \ cap A_ {1} \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f (a)}$${\ displaystyle a \ v A_ {0} \ cap A_ {1}}$${\ displaystyle A_ {0}: = \ {2 \}}$${\ displaystyle A_ {1}: = \ {2 \}}$${\ displaystyle f (2)}$${\ displaystyle f}$

„Definice“ jako očekávání definice

Aby se předešlo apostrofům kolem „definice“ v předchozím jednoduchém příkladu, „definice“ by mohla být rozdělena do dvou jednoduchých logických kroků: ${\ displaystyle f}$

Zatímco definice v kroku 1 je formulována se svobodou jakékoli definice a je určitě účinná (bez potřeby klasifikovat ji jako „dobře definovanou“), tvrzení v kroku 2 musí být prokázáno. To znamená, že je funkce tehdy a jen tehdy , když je v takovém případě - jako funkce - dobře definována. Na druhou stranu, je-li , pak , budeme mít, že i , který dělá binární relaci není funkční (jak je definováno v binární relace # speciální typy binárních relací ), a tudíž nejsou dobře definovány jako funkce. Hovorově je „funkce“ v bodě také nazývána nejednoznačná (ačkoli podle definice nikdy neexistuje „nejednoznačná funkce“) a původní „definice“ nemá smysl. Navzdory těmto jemným logickým problémům je zcela běžné, že pro „definice“ tohoto druhu předvídavě používáme termín definice (bez apostrofů) - ze tří důvodů: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A_ {0} \ cap A_ {1} = \ emptyset}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle A_ {0} \ cap A_ {1} \ neq \ emptyset}$${\ displaystyle a \ v A_ {0} \ cap A_ {1}}$${\ Displaystyle (a, 0) \ in f}$ ${\ Displaystyle (a, 1) \ in f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle a}$

1. Poskytuje praktickou zkratku dvoustupňového přístupu.
2. Příslušné matematické uvažování (tj. Krok 2) je v obou případech stejné.
3. V matematických textech je tvrzení „až 100%“ pravdivé.

Nezávislost zástupce

Otázka dobře definované funkce klasicky vyvstává, když definující rovnice funkce neodkazuje (pouze) na samotné argumenty, ale (také) na prvky argumentů, které slouží jako zástupci . To je někdy nevyhnutelné, když argumenty jsou kosety a rovnice se týká zástupců cosetů. Výsledek aplikace funkce pak nesmí záviset na volbě zástupce.

Funkce s jedním argumentem

Zvažte například následující funkci

${\ displaystyle {\ begin {matrix} f: & \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z} & \ to & \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z} \\ & {\ overline {n}} _ {8} & \ mapsto & {\ overline {n}} _ {4}, \ end {matrix}}}$

kde a jsou celých čísel m a označuje třídu kongruenci z n mod m . ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z}, m \ in \ {4,8 \}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /m \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {m}}$

Poznámka: je odkazem na prvek a je argumentem . ${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {4}}$${\ displaystyle n \ in {\ overline {n}} _ {8}}$${\ displaystyle {\ overline {n}} _ {8}}$${\ displaystyle f}$

Funkce je dobře definována, protože ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle n \ equiv n '{\ bmod {8}} \; \ Leftrightarrow \; 8 {\ text {divides}} (n-n') \ Rightarrow \; 4 {\ text {divides}} (n- n ') \; \ Leftrightarrow \; n \ equiv n' {\ bmod {4}}.}$

Jako protipól je to opačná definice

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} g: & \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z} & \ to & \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z} \\ & {\ overline {n}} _ {4} & \ mapsto & {\ overline {n}} _ {8}, \ end {matrix}}}$

nevede k dobře definované funkce, protože například rovná v , ale první bude mapována na , zatímco druhý by být mapovány na a a jsou nestejné . ${\ displaystyle {\ overline {1}} _ {4}}$${\ displaystyle {\ overline {5}} _ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /4 \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle {\ overline {1}} _ {8}}$${\ displaystyle {\ overline {5}} _ {8}}$${\ displaystyle {\ overline {1}} _ {8}}$${\ displaystyle {\ overline {5}} _ {8}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} /8 \ mathbb {Z}}$

Operace

Zejména termín dobře definovaný se používá s ohledem na (binární) operace na kosetech. V tomto případě lze operaci zobrazit jako funkci dvou proměnných a vlastnost dobře definované je stejná jako u funkce. Například sčítání na modulech celých čísel n může být definováno přirozeně pomocí sčítání celých čísel.

${\ Displaystyle [a] \ oplus [b] = [a+b]}$

Skutečnost, že toto je dobře definována vyplývá ze skutečnosti, že můžeme psát jakýkoli zástupce jako , kde je celé číslo. Proto, ${\ displaystyle [a]}$${\ displaystyle a+kn}$${\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle [a] \ oplus [b] = [a+kn] \ oplus [b] = [(a+kn)+b] = [(a+b)+kn] = [a+b];}$

a podobně pro jakéhokoli zástupce , čímž učiní totéž bez ohledu na výběr zástupce. ${\ displaystyle [b]}$${\ displaystyle [a+b]}$

Dobře definovaný zápis

Pro reálná čísla je součin jednoznačný, protože (a proto se říká, že notace je dobře definovaná ). Tato vlastnost, známá také jako asociativita násobení, zaručuje, že výsledek nezávisí na posloupnosti násobení, takže specifikaci sekvence lze vynechat. ${\ displaystyle a \ times b \ times c}$${\ Displaystyle (a \ times b) \ times c = a \ times (b \ times c)}$

Operace odčítání na druhé straně není asociativní. Existuje však zkratka , a proto je „dobře definovaná“. ${\ displaystyle abc}$${\ displaystyle (ab) -c}$

Divize je také neasociativní. V případě , že konvence v závorkách nejsou tak dobře zavedené, takže tento výraz je často považován za špatně definovaný . ${\ Displaystyle a/b/c}$

Na rozdíl od funkcí lze notační nejasnosti překonat více či méně snadno pomocí dalších definic (např. Pravidla přednosti , asociativita operátora). Například v programovacím jazyce C je operátor -pro odčítání zleva doprava asociativní , což znamená, že a-b-cje definován jako (a-b)-c, a operátor =pro přiřazení je asociativní zprava doleva , což znamená, že a=b=cje definován jako a=(b=c). V programovacím jazyce APL existuje pouze jedno pravidlo: zprava doleva - ale nejprve závorky.

Další použití výrazu

Říká se, že řešení parciální diferenciální rovnice je dobře definováno, pokud je určováno okrajovými podmínkami spojitým způsobem při změně okrajových podmínek.

Viz také

• Vztah ekvivalence § Dobře definovaná podle vztahu ekvivalence
• Definice
• Existence
• Jedinečnost
• Kvantifikace jedinečnosti
• Nedefinováno

Reference

Poznámky

Prameny

• Contemporary Abstract Algebra , Joseph A. Gallian, 6. vydání, Houghlin Mifflin, 2006, ISBN  0-618-51471-6 .
• Algebra: Kapitola 0 , Paolo Aluffi, ISBN  978-0821847817 . Strana 16.
• Abstrakt Algebra , Dummit a Foote, 3. vydání, ISBN  978-0471433347 . Strana 1.