Vídeňský výtlakový zákon - Wien's displacement law

Záření černého tělesa jako funkce vlnové délky pro různé teploty. Každá teplotní křivka vrcholí na jiné vlnové délce a Wienův zákon popisuje posun tohoto píku.

Wienův výtlakový zákon uvádí, že křivka záření černého tělesa pro různé teploty bude vrcholit na různých vlnových délkách, které jsou nepřímo úměrné teplotě. Posun tohoto píku je přímým důsledkem Planckova radiačního zákona , který popisuje spektrální jas záření černého tělesa jako funkci vlnové délky při jakékoli dané teplotě. Byl však objeven Wilhelmem Wienem několik let předtím, než Max Planck vyvinul tuto obecnější rovnici a popisuje celý posun spektra záření černého tělesa směrem ke kratším vlnovým délkám při zvyšování teploty.

Formálně, Wien vysídlení zákon říká, že spektrální zář of záření absolutně černého tělesa na jednotku vlnové délky, píky při vlnové délce lambda _vrcholu dána vztahem:

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {peak}} = {\ frac {b} {T}}}$

kde T je absolutní teplota. b je konstanta proporcionality nazývaná Wienova posunovací konstanta , rovná se2,897 771 955 ... × 10 ⁻³  m⋅K , nebo b ≈ 2898 μm⋅K . Jedná se o inverzní vztah mezi vlnovou délkou a teplotou. Čím vyšší je teplota, tím kratší nebo menší je vlnová délka tepelného záření. Čím nižší je teplota, tím delší nebo větší je vlnová délka tepelného záření. Pro viditelné záření vydávají horké předměty modřejší světlo než chladné objekty. Pokud uvažujeme o špičce emise černého tělesa na jednotku frekvence nebo na poměrnou šířku pásma, musíme použít jinou konstantu proporcionality. Forma zákona však zůstává stejná: špičková vlnová délka je nepřímo úměrná teplotě a špičková frekvence je přímo úměrná teplotě.

Vídeňský výtlakový zákon může být označován jako „Wienův zákon“, termín, který se také používá pro vídeňskou aproximaci .

Příklady

Vídeňský zákon o výtlaku je relevantní pro některé každodenní zkušenosti:

• Kus kovu zahřátý vyfukovacím hořákem se nejprve „rozžhaví“, protože nejdelší viditelné vlnové délky vypadají červeně, poté se při zvýšení teploty stanou více oranžovočervené a při velmi vysokých teplotách by byly popsány jako „bíle horké“ jako v emisním spektru černého tělesa převládají stále kratší vlnové délky. Ještě předtím, než dosáhla teploty žhavé rudy, probíhala tepelná emise hlavně na delších infračervených vlnových délkách, které nejsou vidět; nicméně toto záření bylo cítit, protože zahřívá blízkou kůži.
• Lze snadno pozorovat změny barvy žárovky (která produkuje světlo tepelným zářením), protože teplota jejího vlákna se mění pomocí stmívače světla . Jak je světlo ztlumené a teplota vlákna klesá, distribuce barev se posouvá směrem k delším vlnovým délkám a světlo se jeví červenější, stejně jako stmívač.
• Požár dřeva při 1500 K vydává špičkové záření při asi 2000 nm. 98% jeho záření je na vlnových délkách delších než 1000 nm a jen malý podíl na viditelných vlnových délkách (390–700 nm). V důsledku toho může táborák jeden zahřát, ale je špatným zdrojem viditelného světla.
• Účinná teplota Slunce je 5778 K. Pomocí Wienova zákona zjistíme špičkové emise na nanometr (vlnové délky) na vlnové délce asi 500 nm, v zelené části spektra poblíž špičkové citlivosti lidského oka. Na druhou stranu, pokud jde o výkon na jednotku optické frekvence, je špičková emise Slunce 343 THz nebo vlnová délka 883 nm v blízké infračervené oblasti. Pokud jde o výkon na procentní šířku pásma, vrchol je asi 635 nm, červená vlnová délka. Bez ohledu na to, jak chceme vykreslit spektrum, asi polovina slunečního záření je na vlnových délkách kratších než 710 nm, což je hranice lidského vidění. Z toho asi 12% je na vlnových délkách kratších než 400 nm, ultrafialové vlnové délky, které jsou lidským okem neviditelné. Lze ocenit, že poměrně velké množství slunečního záření spadá do poměrně malého viditelného spektra .

Barva hvězdy je podle Wienova zákona dána její teplotou. V souhvězdí Orionu lze porovnávat Betelgeuse ( T  ≈ 3300 K, vlevo nahoře), Rigel ( T  = 12100 K, vpravo dole), Bellatrix ( T  = 22000 K, vpravo nahoře) a Mintaka ( T  = 31800 K, úplně vpravo od 3 „hvězd pásu“ uprostřed).

• Převaha emise ve viditelném rozsahu však u většiny hvězd neplatí . Horký supergiant Rigel vyzařuje 60% svého světla v ultrafialovém záření, zatímco chladný superobří Betelgeuse emituje 85% svého světla na infračervených vlnových délkách. S oběma hvězdami prominentními v souhvězdí Orionu lze snadno ocenit barevný rozdíl mezi modrobílým Rigelem ( T  = 12100 K) a červeným Betelgeuse ( T  ≈ 3300 K). Zatímco několik hvězd je tak horkých jako Rigel, hvězdy chladnější než slunce nebo dokonce tak chladné jako Betelgeuse jsou velmi běžné.
• Savci s teplotou kůže asi 300 K vyzařují špičkové záření kolem 10 μm v daleko infračerveném spektru. Toto je tedy rozsah infračervených vlnových délek, které hadi zmijí a pasivní IR kamery musí vnímat.
• Při porovnávání zjevné barvy světelných zdrojů (včetně zářivkových světel , LED osvětlení , počítačových monitorů a fotoblesku ) je obvyklé uvádět teplotu barev . Ačkoli spektra těchto světel nejsou přesně popsána křivkou záření černého tělesa, je uvedena teplota barev, pro kterou by záření černého tělesa nejvíce odpovídalo subjektivní barvě tohoto zdroje. Například modrobílé fluorescenční světlo někdy používané v kanceláři může mít barevnou teplotu 6500 K, zatímco načervenalý odstín tlumeného žárovkového světla může mít barevnou teplotu (a skutečnou teplotu vlákna) 2000 K. neformální popis první (namodralé) barvy jako „chladné“ a druhé (načervenalé) jako „teplé“ je přesně opačný ke skutečné změně teploty, která je součástí záření černého tělesa.

Objev

Zákon je pojmenován po Wilhelmu Wienovi , který jej odvodil v roce 1893 na základě termodynamického argumentu. Wien považovala adiabatickou expanzi dutiny obsahující vlny světla v tepelné rovnováze. Ukázal, že při pomalé expanzi nebo smršťování se energie světla odrážejícího se od stěn mění přesně stejným způsobem jako frekvence. Obecným principem termodynamiky je, že stav tepelné rovnováhy, když se velmi pomalu rozpíná, zůstává v tepelné rovnováze.

Sám Wien tento zákon teoreticky odvodil v roce 1893 podle Boltzmannovy termodynamické úvahy. Předtím to alespoň semikvantitativně pozoroval americký astronom Langley. Tento posun vzhůru v νmax u T zná každý - když se v ohni zahřeje žehlička, první viditelné záření (kolem 900 K) je tmavě červené, což je viditelné světlo s nejnižší frekvencí. Další zvýšení T způsobí, že se barva změní na oranžovou, pak žlutou a nakonec modrou při velmi vysokých teplotách (10 000 K nebo více), u nichž se vrchol intenzity záření posunul mimo viditelné do ultrafialového záření.

Adiabatický princip dovolil Wienovi dojít k závěru, že pro každý režim je adiabatická invariantní energie/frekvence pouze funkcí druhého adiabatického invariantu, frekvence/teploty. Moderní variantu Wienova odvození najdete v učebnici Wanniera a v příspěvku E. Buckinghama

Důsledkem je, že tvar radiační funkce černého tělesa (který dosud nebyl pochopen) by se úměrně posunul ve frekvenci (nebo nepřímo úměrně ve vlnové délce) s teplotou. Když Max Planck později formuloval správnou funkci radiace černého tělesa, výslovně nezahrnovala Wienovu konstantu b . Planckova konstanta h byla spíše vytvořena a zavedena do jeho nového vzorce. Z Planckovy konstanty h a Boltzmannovy konstanty k lze získat Wienovu konstantu b .

Frekvenčně závislá formulace

Pro spektrální tok uvažovaný na jednotku frekvence (v hertzech ) Wienův posunový zákon popisuje špičkové emise na optické frekvenci dané: ${\ Displaystyle d \ nu}$${\ displaystyle \ nu _ {\ text {peak}}}$

${\ Displaystyle \ nu _ {\ text {peak}} = {\ alpha \ přes h} kT \ cca (5,879 \ krát 10^{10} \ \ mathrm {Hz/K}) \ cdot T}$

nebo ekvivalentně

${\ Displaystyle h \ nu _ {\ text {peak}} = \ alpha kT \ cca (2,431 \ krát 10^{-4} \ \ mathrm {eV/K}) \ cdot T}$

kde α ≈2,821 439 372 122 078 893 ... je konstanta vyplývající z maximalizační rovnice, k je Boltzmannova konstanta , h je Planckova konstanta a T je teplota (v kelvinech ). S emisí nyní uvažovanou na jednotkovou frekvenci nyní tento vrchol odpovídá vlnové délce o 70% delší než vrchol uvažovaný na jednotku vlnové délky. Příslušná matematika je podrobně popsána v další části.

Odvození z Planckova zákona

Planckův zákon pro spektrum záření černého tělesa předpovídá Wienův posunový zákon a lze jej použít k numerickému vyhodnocení konstantní související teploty a maximální hodnoty parametru pro jakoukoli konkrétní parametrizaci. Běžně se používá parametrizace vlnové délky a v takovém případě je spektrální záření černého tělesa (výkon na vyzařovací oblast na pevný úhel):

${\ Displaystyle u _ {\ lambda} (\ lambda, T) = {2hc^{2} \ over \ lambda^{5}} {1 \ over e^{hc/\ lambda kT} -1}.}$

Rozlišením u (λ, T ) vzhledem k λ a nastavením derivace rovnající se nule získáte:

${\ Displaystyle {\ partial u \ over \ partial \ lambda} = 2hc^{2} \ left ({hc \ over kT \ lambda^{7}} {e^{hc/\ lambda kT} \ over \ left ( e^{hc/\ lambda kT} -1 \ right)^{2}}-{1 \ over \ lambda^{6}} {5 \ over e^{hc/\ lambda kT} -1} \ right) = 0,}$

které lze zjednodušeně poskytnout:

${\ Displaystyle {hc \ over \ lambda kT} {e^{hc/\ lambda kT} \ over e^{hc/\ lambda kT} -1} -5 = 0.}$

Definováním:

${\ Displaystyle x \ equiv {hc \ over \ lambda kT},}$

rovnice se stane jednou v jediné proměnné x :

${\ Displaystyle {xe^{x} \ over e^{x} -1} -5 = 0.}$

což odpovídá:

${\ Displaystyle (x-5) e^{x}+5 = 0.}$

Tuto rovnici lze snadno numericky vyřešit pomocí Newtonovy metody poskytující x =4,965 114 231 744 276 303 ... na dvojnásobnou přesnost s plovoucí desetinnou čárkou. Řešení pro vlnovou délku λ v milimetrech a použití kelvinů pro teplotní výtěžky:

λ _vrchol = hc / xkT = (2,897 771 955 185 172 661 ... mm K) / T.

Parametrizace podle frekvence

Další běžnou parametrizací je frekvence . Hodnota parametru píku odvozující maximální hodnotu je podobná, ale začíná formou Planckova zákona jako funkce frekvence ν:

${\ Displaystyle u _ {\ nu} (\ nu, T) = {2h \ nu^{3} \ over c^{2}} {1 \ over e^{h \ nu /kT} -1}.}$

Předchozí postup pomocí této rovnice poskytuje:

${\ Displaystyle -{h \ nu \ over kT} {e^{h \ nu /kT} \ over e^{h \ nu /kT} -1}+3 = 0.}$

Čistý výsledek je:

${\ Displaystyle (x-3) e^{x}+3 = 0.}$

Podobně je to řešeno Newtonovou metodou poskytující x =2,821 439 372 122 078 893 ... na dvojnásobnou přesnost s plovoucí desetinnou čárkou. Analytické řešení lze získat pomocí funkce Lambert W.

${\ Displaystyle x = 3+W (0, -3e^{-3})}$

Řešení pro ν produkuje:

ν _vrchol = xkT / h = (0,058 789 257 576 468 249 46 ... THz K ⁻¹ ) · T.

Maxima se liší podle parametrizace

Všimněte si, že pro danou teplotu parametrizace podle frekvence znamená jinou maximální vlnovou délku než parametrizace podle vlnové délky.

Například při použití T = 6000 K a parametrizaci podle vlnové délky je vlnová délka pro maximální spektrální záření λ = 482,962 nm s odpovídající frekvencí ν = 620,737 THz . Pro stejnou teplotu, ale parametrizující podle frekvence, je frekvence pro maximální spektrální záření ν = 352,735 THz s odpovídající vlnovou délkou λ = 849,907 nm .

Tyto funkce jsou funkce hustoty záření , což jsou funkce hustoty pravděpodobnosti škálované tak, aby poskytovaly jednotky záření. Funkce hustoty má různé tvary pro různé parametrizace v závislosti na relativním roztažení nebo stlačení úsečky, která měří změnu hustoty pravděpodobnosti vzhledem k lineární změně v daném parametru. Protože vlnová délka a frekvence mají vzájemný vztah, představují vůči sobě významně nelineární posuny hustoty pravděpodobnosti.

Celkové záření je integrálem rozdělení na všechny kladné hodnoty a je neměnné pro danou teplotu při jakékoli parametrizaci. Navíc pro danou teplotu musí být záře skládající se ze všech fotonů mezi dvěma vlnovými délkami stejná bez ohledu na to, jakou distribuci použijete. To znamená, že integrace distribuce vlnových délek od λ ₁ do λ ₂ bude mít stejnou hodnotu jako integrace distribuce frekvence mezi dvěma frekvencemi, které odpovídají λ ₁ a λ ₂ , jmenovitě od c / λ ₂ do c / λ ₁ . Tvar distribuce však závisí na parametrizaci a pro jinou parametrizaci bude mít distribuce obvykle jinou hustotu píku, jak ukazují tyto výpočty.

Použití hodnoty 4 k vyřešení implicitní rovnice poskytne vrchol ve funkci hustoty spektrálního záření vyjádřené v parametru záření na proporcionální šířku pásma . Toto je možná intuitivnější způsob prezentace „vlnové délky špičkové emise“. To dává x =3,920 690 394 872 886 343 ... na dvojnásobnou přesnost s plovoucí desetinnou čárkou.

Důležitým bodem Wienova zákona však je, že jakýkoli takový marker vlnové délky, včetně střední vlnové délky (nebo alternativně vlnové délky, pod kterou se vyskytuje jakékoli určené procento emise) je úměrný reciproční teplotě. To znamená, že tvar distribuce pro danou parametrizaci měří a překládá podle teploty a lze jej vypočítat jednou pro kanonickou teplotu, poté vhodně posunout a změnit měřítko, aby se získalo rozdělení pro jinou teplotu. Je to důsledek silného prohlášení Wienova zákona.

Viz také

• Wienská aproximace
• Emisivita
• Sakuma – Hattoriho rovnice
• Stefan – Boltzmannův zákon
• Teploměr
• Ultrafialová katastrofa

Poznámky

Reference

Další čtení

• Soffer, BH; Lynch, DK (1999). „Některé paradoxy, chyby a rozlišení týkající se spektrální optimalizace lidského vidění“ . American Journal of Physics . 67 (11): 946–953. Bibcode : 1999AmJPh..67..946S . doi : 10,1119/1,19170 .
• Heald, MA (2003). „Kde je‚ vídeňský vrchol ‘?“. American Journal of Physics . 71 (12): 1322–1323. Bibcode : 2003AmJPh..71.1322H . doi : 10,1119/1,1604387 .

externí odkazy

• Svět fyziky Erica Weissteina