Eulerovy úhly - Euler angles

Geometrická definice klasických Eulerových úhlů. Systém xyz (pevný) je zobrazen modře, systém XYZ (otočený) je zobrazen červeně. Linie uzlů ( N ) je uveden v zelené

Tyto úhly Eulerovy jsou tři úhly zavedené Leonhard Euler popsat orientaci o tělesa s ohledem na pevnou souřadnicového systému .

Mohou také představovat orientaci mobilního referenčního rámce ve fyzice nebo orientaci obecného základu v 3-dimenzionální lineární algebře. Alternativní formy později zavedli Peter Guthrie Tait a George H. Bryan určené pro použití v letectví a strojírenství.

Ekvivalence řetězových rotací

Lze dosáhnout jakékoli cílové orientace, počínaje známou referenční orientací, pomocí specifické sekvence vnitřních rotací, jejichž velikosti jsou Eulerovy úhly cílové orientace. Tento příklad používá sekvenci zx'-z ″ .

Eulerovy úhly lze definovat elementární geometrií nebo složením rotací. Geometrická definice ukazuje, že tři složené elementární rotace (rotace kolem os souřadného systému ) jsou vždy dostatečné k dosažení libovolného cílového rámce.

Tyto tři elementární rotace mohou být vnější (rotace kolem os xyz původního souřadného systému, u kterého se předpokládá, že zůstane nehybné), nebo vnitřní (rotace kolem os rotujícího souřadného systému XYZ , solidární s pohybujícím se tělesem, které mění jeho orientace po každé elementární rotaci).

Eulerovy úhly jsou obvykle označovány jako α , β , γ nebo ψ , θ , φ . Různí autoři mohou k definování Eulerových úhlů použít různé sady os otáčení nebo různé názvy pro stejné úhly. Proto každé diskusi využívající Eulerovy úhly by měla vždy předcházet jejich definice.

Bez ohledu na možnost použití dvou různých konvencí pro definování os rotace (vnitřní nebo vnější) existuje dvanáct možných sekvencí os rotace, rozdělených do dvou skupin:

• Správné Eulerovy úhly ( z - x - z , x - y - x , y - z - y , z - y - z , x - z - x , y - x - y )
• Tait – Bryanovy úhly ( x - y - z , y - z - x , z - x - y , x - z - y , z - y - x , y - x - z ) .

Úhly Tait -Bryan se také nazývají úhly Cardan ; námořní úhly ; směr , nadmořská výška a břeh ; nebo zatáčení, stoupání a kutálení . Někdy se oba druhy sekvencí nazývají „Eulerovy úhly“. V takovém případě se sekvence první skupiny nazývají vlastní nebo klasické Eulerovy úhly.

Správné Eulerovy úhly

Vlevo: gimbal sada, ukazující Z - x - Z otáčení sekvence. Vnější rámeček je zobrazen na základně. Vnitřní osy v červené barvě. Vpravo: Jednoduchý diagram ukazující podobné Eulerovy úhly v diagramu.

Geometrická definice

Osy původního rámce jsou označeny jako x , y , z, a osami otočeném rámce, jako X , Y , Z . Geometrické definice (někdy označované jako statické) začíná definováním řadu uzlů (N), jak je průsečíkem roviny xy a XY (může být také definována jako společný kolmo na os Z a Z , a pak zapsána jako vektorový součin N = z Z ). Pomocí ní lze tři Eulerovy úhly definovat následovně: ${\ displaystyle \ times}$

• ${\ Displaystyle \ alpha}$(nebo ) je znaménkový úhel mezi osou x a osou N ( x -konvence -lze ji také definovat mezi y a N , nazývanou y -konvence).${\ Displaystyle \ varphi}$
• ${\ displaystyle \ beta}$(nebo ) je úhel mezi osou z a osou Z.${\ displaystyle \ theta}$
• ${\ displaystyle \ gamma}$(nebo ) je znaménkový úhel mezi osou N a osou X ( x -konvence).${\ Displaystyle \ psi}$

Eulerovy úhly mezi dvěma referenčními rámci jsou definovány pouze v případě, že oba rámce mají stejnou rukojeť .

Konvence vnitřní rotací

Vnitřní rotace jsou elementární rotace, ke kterým dochází kolem os souřadného systému XYZ připojeného k pohybujícímu se tělu. Po každé elementární rotaci proto mění svou orientaci. Systém XYZ se otáčí, zatímco xyz je pevný. Počínaje XYZ překrývajícím se xyz lze použít kompozici tří vlastních rotací k dosažení jakékoli cílové orientace pro XYZ .

Eulerovy úhly lze definovat vnitřními rotacemi. Otočený rám XYZ si lze představit tak, aby byl zpočátku zarovnán s xyz , než podstoupí tři elementární rotace reprezentované Eulerovými úhly. Jeho postupné orientace lze označit následovně:

• x - y - z , nebo x ₀ - y ₀ - z ₀ (počáteční)
• x ′ - y ′ - z ′ nebo x ₁ - y ₁ - z ₁ (po prvním otočení)
• x ″ - y ″ - z ″ nebo x ₂ - y ₂ - z ₂ (po druhém otočení)
• X - Y - Z nebo x ₃ - y ₃ - z ₃ (konečné)

Pro výše uvedenou sekvenci rotací lze řadu uzlů N jednoduše definovat jako orientaci X po první elementární rotaci. Proto lze N jednoduše označit x '. Navíc, jelikož třetí elementární rotace dochází k Z , to nic nemění orientaci Z . Z se tedy shoduje se z ″. To nám umožňuje zjednodušit definici Eulerových úhlů následovně:

• α (nebo ) představuje rotaci kolem osy z ,${\ Displaystyle \ varphi}$
• β (nebo ) představuje rotaci kolem osy x ',${\ displaystyle \ theta}$
• γ (nebo ) představuje rotaci kolem osy z ″.${\ Displaystyle \ psi}$

Konvence pomocí vnější rotace

Vnější rotace jsou elementární rotace, které se vyskytují kolem os xyz pevné soustavy souřadnic . Systém XYZ se otáčí, zatímco xyz je pevný. Počínaje XYZ překrývajícím se xyz lze použít kompozici tří vnějších rotací k dosažení jakékoli cílové orientace pro XYZ . Úhly Euler nebo Tait – Bryan ( α , β , γ ) jsou amplitudy těchto elementárních rotací. Cílové orientace lze například dosáhnout následujícím způsobem (všimněte si obráceného pořadí aplikace Eulerova úhlu):

• Systém XYZ se otáčí kolem osy z o γ . X osa je nyní pod úhlem y vzhledem k x ose.
• Systém XYZ se znovu otáčí, ale tentokrát kolem osy x o β . Z osa je nyní pod úhlem p vzhledem k z osy.
• Systém XYZ se otáčí potřetí, opět kolem osy z , o úhel α .

Celkově lze říci, že ke třem elementárním rotacím dochází z , x a z . Tato sekvence je často označována jako z - x - z (nebo 3-1-3). Sady rotačních os spojených jak se správnými Eulerovými úhly, tak s úhly Tait -Bryan jsou běžně pojmenovány pomocí tohoto zápisu (podrobnosti viz výše).

Znamení, rozsahy a konvence

Úhly jsou běžně definovány podle pravidla pravé ruky . Totiž, mají kladné hodnoty, když představují otáčení, které se objevuje ve směru hodinových ručiček při pohledu v kladném směru osy, a záporné hodnoty, když se otáčení objeví proti směru hodinových ručiček. Opačná konvence (pravidlo levé ruky) je přijímána méně často.

O rozsazích (pomocí intervalového zápisu ):

• pro α a γ je rozsah definován modulo 2 π radiánů . Platný rozsah může být například [ - π ,  π ] .
• pro β rozsah pokrývá π radiánů (ale nelze říci, že je modulo  π ). Může to být například [0,  π ] nebo [ - π /2,  π /2] .

Úhly α , β a γ jsou jednoznačně určeny s výjimkou singulárního případu, kdy jsou roviny xy a XY identické, tj. Když osa z a osa Z mají stejný nebo opačný směr. Pokud jsou osa z a osa Z stejné, β  = 0 a pouze ( α  +  γ ) je jednoznačně definována (nikoli jednotlivé hodnoty) a podobně, pokud jsou osy z a osa Z opačné, β  =  π a pouze ( α  -  γ ) je jednoznačně definován (nikoli jednotlivé hodnoty). Tyto nejasnosti jsou v aplikacích známé jako kardanový zámek .

Existuje šest možností výběru os rotace pro správné Eulerovy úhly. Ve všech jsou první a třetí osa otáčení stejné. Šest možných sekvencí je:

1. z ₁ - x ′ - z ₂ ″ (vnitřní rotace) nebo z ₂ - x - z ₁ (vnější rotace)
2. x ₁ - y ′ - x ₂ ″ (vnitřní rotace) nebo x ₂ - y - x ₁ (vnější rotace)
3. y ₁ - z ′ - y ₂ ″ (vnitřní rotace) nebo y ₂ - z - y ₁ (vnější rotace)
4. z ₁ - y ′ - z ₂ ″ (vnitřní rotace) nebo z ₂ - y - z ₁ (vnější rotace)
5. x ₁ - z ′ - x ₂ ″ (vnitřní rotace) nebo x ₂ - z - x ₁ (vnější rotace)
6. y ₁ - x ′ - y ₂ ″ (vnitřní rotace) nebo y ₂ - x - y ₁ (vnější rotace)

Precese, nutace a vnitřní rotace

Eulerovy základní pohyby Země. Vnitřní (zelená), Precese (modrá) a Nutation (červená)

Precese , nutace a vnitřní rotace (spin) jsou definovány jako pohyby získané změnou jednoho z Eulerových úhlů, zatímco ostatní dva zůstávají konstantní. Tyto pohyby nejsou vyjádřeny z hlediska vnějšího rámce ani z hlediska společně se pohybujícího otočeného rámce těla, ale ze směsi. Představují smíšený systém rotace os , kde první úhel pohybuje linií uzlů kolem vnější osy z , druhý se otáčí kolem linie uzlů N a třetí je vnitřní rotací kolem Z , osy pevné v těle že se pohybuje.

Statická definice znamená, že:

• α (precese) představuje rotaci kolem osy z ,
• β (nutace) představuje rotaci kolem osy N nebo x ',
• γ (vnitřní rotace) představuje rotaci kolem osy Z nebo z ″.

Pokud je β nula, rotace kolem N neexistuje . V důsledku toho se Z shoduje se z , α a γ představují rotace kolem stejné osy ( z ) a konečnou orientaci lze získat jediným otočením o z o úhel rovný α + γ .

Jako příklad zvažte top . Vrchol se otáčí kolem vlastní osy symetrie; to odpovídá jeho vnitřní rotaci. Také se otáčí kolem své osy otáčení, přičemž její střed hmoty obíhá kolem osy otáčení; tato rotace je precese. Konečně se vršek může kolébat nahoru a dolů; úhel sklonu je nutační úhel. Stejný příklad lze vidět s pohyby Země.

Ačkoli všechny tři pohyby mohou být v nějakém rámci reprezentovány operátorem otáčení s konstantními koeficienty, nemohou být těmito operátory reprezentovány všechny současně. Vzhledem k referenčnímu rámci bude nejvýše jeden z nich bez koeficientů. Pouze precesi lze obecně vyjádřit jako matici na základě prostoru bez závislostí ostatních úhlů.

Tyto pohyby se také chovají jako kardanový komplet. Předpokládáme -li množinu rámců, schopných přesouvat každý s ohledem na první podle pouze jednoho úhlu, jako kardan, bude existovat externí pevný rámec, jeden konečný rámec a dva rámce uprostřed, které se nazývají „mezilehlé“. rámy “. Dva uprostřed fungují jako dva kardanové prstence, které umožňují poslednímu snímku dosáhnout jakékoli orientace v prostoru.

Úhly Tait – Bryan

Úhly Tait – Bryan. sekvence z - y ' - x ' (vnitřní rotace; N se shoduje s y ' ). Sekvence rotace úhlu je ψ , θ , φ . Všimněte si, že v tomto případě ψ > 90 ° a θ je záporný úhel.

Druhý typ formalismu se nazývá Tait – Bryan angles , po Peteru Guthrie Taitovi a George H. Bryanovi . Je to konvence běžně používaná pro letecké aplikace, takže nula stupňů převýšení představuje horizontální polohu. Úhly Tait – Bryan představují orientaci letadla s ohledem na světový rámec. Při jednání s jinými vozidly jsou možné různé konvence os .

Definice

Úhly Tait – Bryan. sekvence z - x ′ - y ″ (vnitřní rotace; N se shoduje s x ′)

Definice a zápisy používané pro Tait-Bryan úhly jsou podobné těm, které je popsáno výše pro správné Eulerovy úhly ( geometrický definice , vnitřní definice otáčení , vnější definice rotace ). Jediným rozdílem je, že úhly Tait – Bryan představují rotace kolem tří různých os (např. X - y - z nebo x - y ′ - z ″), zatímco správné Eulerovy úhly používají stejnou osu pro první i třetí elementární rotaci ( např. z - x - z nebo z - x ′ - z ″).

To znamená jinou definici pro linii uzlů v geometrické konstrukci. V případě správných Eulerových úhlů byl definován jako průnik mezi dvěma homologními karteziánskými rovinami (rovnoběžné, když jsou Eulerovy úhly nulové; např. Xy a XY ). V případě Tait-Bryanových úhlů je definován jako průsečík dvou nehomologních rovin (kolmé, když jsou Eulerovy úhly nulové; např. Xy a YZ ).

Konvence

Směrové, výškové a náklonné úhly ( Z - Y ′ - X ″) pro letadlo využívající palubní osy ENU jak na palubě, tak pro pozemní sledovací stanici. Pevný referenční rámec x - y - z představuje takovou sledovací stanici. Palubní osy Y a Z nejsou zobrazeny. X zobrazeno zeleně. Tento obrázek nerespektuje pravidla RHS: osa y musí být obrácena, aby se vytvořil RHS s vyznačenými kladnými úhly.

Tyto tři elementární rotace mohou nastat buď kolem os původního souřadného systému, který zůstává nehybný ( vnější rotace ), nebo kolem os rotujícího souřadného systému, který mění svoji orientaci po každém elementárním otáčení ( vnitřní rotace ).

Existuje šest možností výběru os rotace pro úhly Tait – Bryan. Šest možných sekvencí je:

• x - y ′ - z ″ (vnitřní rotace) nebo z - y - x (vnější rotace)
• y - z ′ - x ″ (vnitřní rotace) nebo x - z - y (vnější rotace)
• z - x ′ - y ″ (vnitřní rotace) nebo y - x - z (vnější rotace)
• x - z ′ - y ″ (vnitřní rotace) nebo y - z - x (vnější rotace)
• z - y ′ - x ″ (vnitřní rotace) nebo x - y - z (vnější rotace): vlastní rotace jsou známé jako: zatáčení, rozteč a válec
• y - x ′ - z ″ (vnitřní rotace) nebo z - x - y (vnější rotace)

Znamení a rozsahy

Mezi hlavní osy z letadla podle letového normy DIN 9300. Všimněte si, že pevné a pohyblivé rámy musí být totožná s úhly nula. Tato norma by proto vynucovala také kompatibilní konvenci os v referenčním systému

Konvence Tait -Bryan je široce používána ve strojírenství s různými účely. V praxi existuje několik konvencí os pro výběr mobilní a pevné osy a tyto konvence určují znaky úhlů. Znaky proto musí být v každém případě pečlivě studovány.

Rozsah pro úhly ψ a φ pokrývá 2 π radiánů. Pro θ rozsah pokrývá π radiánů.

Alternativní názvy

Tyto úhly jsou obvykle brány jako jeden ve vnějším referenčním rámci ( směr , směr ), jeden ve vnitřním pohyblivém rámci ( banka ) a jeden ve středním rámu, což představuje převýšení nebo sklon vzhledem k horizontální rovině, což je ekvivalentní řada uzlů pro tento účel.

Mnemotechnické pomůcky k zapamatování názvů úhlů

Pokud jde o letadlo, lze je získat třemi otáčkami kolem hlavních os, pokud jsou provedeny ve správném pořadí. Vybočení získá ložisko, je rozteč přinese výšku a válec dává příčného sklonu. Proto se jim v letectví někdy říká zatáčení, rozteč a válec . Všimněte si, že to nebude fungovat, pokud jsou rotace použity v jiném pořadí nebo pokud osy letadla začínají v jakékoli poloze, která není ekvivalentní referenčnímu rámu.

Úhly Tait – Bryan, podle konvence z - y ′ - x ″ (vnitřní rotace), jsou také známé jako námořní úhly , protože je lze použít k popisu orientace lodi nebo letadla nebo Cardanových úhlů podle italského matematika a fyzik Gerolamo Cardano , který nejprve podrobně popsal kardanové zavěšení a kardanový kloub .

Úhly daného rámce

Projekce Z vektoru

Projekce vektoru Y

Běžným problémem je najít Eulerovy úhly daného rámce. Nejrychlejší způsob, jak je získat, je napsat tři dané vektory jako sloupce matice a porovnat je s vyjádřením teoretické matice (viz pozdější tabulka matic). Lze tedy vypočítat tři Eulerovy úhly. Přesto lze dosáhnout stejného výsledku vyhýbáním se maticové algebře a použitím pouze elementární geometrie. Zde uvádíme výsledky dvou nejčastěji používaných konvencí: ZXZ pro správné Eulerovy úhly a ZYX pro Tait – Bryana. Všimněte si, že jakékoli jiné konvence lze získat pouhou změnou názvu os.

Správné Eulerovy úhly

Za předpokladu rámce s jednotkovými vektory ( X , Y , Z ) danými jejich souřadnicemi jako v hlavním diagramu, je vidět, že:

${\ displaystyle \ cos (\ beta) = Z_ {3}.}$

A od té doby

${\ Displaystyle \ sin ^{2} x = 1- \ cos ^{2} x,}$

protože máme ${\ Displaystyle 0 <x <\ pi}$

${\ Displaystyle \ sin (\ beta) = {\ sqrt {1-Z_ {3}^{2}}}.}$

Stejně jako dvojitá projekce unitárního vektoru, ${\ displaystyle Z_ {2}}$

${\ Displaystyle \ cos (\ alpha) \ cdot \ sin (\ beta) =-Z_ {2},}$

${\ Displaystyle \ cos (\ alpha) =-Z_ {2}/{\ sqrt {1-Z_ {3}^{2}}}.}$

Existuje podobná konstrukce pro , promítání nejprve přes rovinu definovanou osou z a linií uzlů. Protože úhel mezi rovinami je a , vede to k: ${\ displaystyle Y_ {3}}$${\ displaystyle \ pi /2- \ beta}$${\ Displaystyle \ cos (\ pi /2- \ beta) = \ sin (\ beta)}$

${\ Displaystyle \ sin (\ beta) \ cdot \ cos (\ gamma) = Y_ {3},}$

${\ displaystyle \ cos (\ gamma) = Y_ {3}/{\ sqrt {1-Z_ {3}^{2}}},}$

a konečně, za použití inverzní kosinové funkce,

${\ Displaystyle \ alpha = \ arccos \ left (-Z_ {2}/{\ sqrt {1-Z_ {3}^{2}}} \ right),}$

${\ displaystyle \ beta = \ arccos \ left (Z_ {3} \ right),}$

${\ Displaystyle \ gamma = \ arccos \ left (Y_ {3}/{\ sqrt {1-Z_ {3}^{2}}} \ right).}$

Úhly Tait – Bryan

Projekce osy x po třech rotacích Tait – Bryan. Všimněte si, že theta je negativní rotace kolem osy y '.

Za předpokladu rámce s jednotkovými vektory ( X , Y , Z ) danými jejich souřadnicemi jako v tomto novém diagramu (všimněte si, že úhel theta je záporný), je vidět, že:

${\ Displaystyle \ sin (\ theta) =-X_ {3}}$

Jako dříve,

${\ Displaystyle \ cos ^{2} x = 1- \ sin ^{2} x,}$

protože máme ${\ Displaystyle -\ pi /2 <x <\ pi /2}$

${\ Displaystyle \ cos (\ theta) = {\ sqrt {1-X_ {3}^{2}}}.}$

způsobem analogickým tomu předchozímu:

${\ Displaystyle \ sin (\ psi) = X_ {2}/{\ sqrt {1-X_ {3}^{2}}}.}$

${\ Displaystyle \ sin (\ phi) = Y_ {3}/{\ sqrt {1-X_ {3}^{2}}}.}$

Hledáme podobné výrazy jako ty předchozí:

${\ Displaystyle \ psi = \ arcsin \ left (X_ {2}/{\ sqrt {1-X_ {3}^{2}}} \ right),}$

${\ displaystyle \ theta = \ arcsin (-X_ {3}),}$

${\ Displaystyle \ phi = \ arcsin \ left (Y_ {3}/{\ sqrt {1-X_ {3}^{2}}} \ right).}$

Poslední poznámky

Všimněte si, že inverzní funkce sinus a kosinus poskytují pro argument dvě možné hodnoty. V tomto geometrickém popisu je platné pouze jedno z řešení. Když jsou Eulerovy úhly definovány jako posloupnost otáčení, všechna řešení mohou být platná, ale v rozsahu úhlů bude pouze jeden. Důvodem je, že posloupnost otočení k dosažení cílového rámce není jedinečná, pokud rozsahy nejsou definovány dříve.

Pro výpočetní účely může být užitečné znázornit úhly pomocí atan2 ( y , x ) . Například v případě správných Eulerových úhlů:

${\ displaystyle \ alpha = \ operatorname {atan2} (Z_ {1},-Z_ {2}),}$

${\ displaystyle \ gamma = \ operatorname {atan2} (X_ {3}, Y_ {3}).}$

Převod na jiné orientační reprezentace

Eulerovy úhly jsou jedním ze způsobů, jak reprezentovat orientace. Existují další a je možné je změnit na jiné konvence a z nich. K popisu orientací v 3-dimenzionálním euklidovském prostoru jsou vždy zapotřebí tři parametry . Mohou být poskytnuty několika způsoby, přičemž Eulerovy úhly jsou jedním z nich; viz tabulky pro SO (3) pro ostatní.

Nejpoužívanější orientační reprezentací jsou rotační matice , úhel osy a kvaterniony , také známé jako parametry Euler – Rodrigues , které poskytují další mechanismus pro reprezentaci 3D rotací. To je ekvivalentní zvláštnímu popisu unitární skupiny.

Vyjádření rotací ve 3D jako jednotkových kvaternionů namísto matic má některé výhody:

• Zřetězení rotací je výpočetně rychlejší a numericky stabilnější.
• Vyjmutí úhlu a osy otáčení je jednodušší.
• Interpolace je přímočařejší. Viz například slerp .
• Quaternioni netrpí kardanovým zámkem jako Eulerovy úhly.

Bez ohledu na to je výpočet rotační matice prvním krokem k získání dalších dvou reprezentací.

Rotační matice

Libovolné orientace lze dosáhnout složením tří elementárních rotací, počínaje známou standardní orientací. Ekvivalentně každá matice rotace R může být rozložen jako produkt tří elementárních otáčení matic. Například:

${\ Displaystyle R = X (\ alpha) Y (\ beta) Z (\ gamma)}$

je rotační matice, která může být použita k reprezentaci složení vnější rotace kolem os z , y , x , (v tomto pořadí), nebo složení vnitřních rotací kolem os x - y ′ - z ″ (v tomto pořadí). Jak definice elementárních rotačních matic X , Y , Z , tak jejich pořadí násobení závisí na volbách, které uživatel učinil ohledně definice obou rotačních matic a Eulerových úhlů (viz například Nejasnosti v definici rotace matice ). Uživatelé v různých kontextech bohužel přebírají různé sady konvencí. Následující tabulka byla vytvořena podle této sady konvencí:

1. Každá matice má fungovat pomocí předem vynásobených sloupcových vektorů (viz Nejasnosti v definici rotačních matic )${\ textstyle {\ begin {bmatrix} x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}$
2. Každá matice má představovat aktivní rotaci (skládající se a složená matice má působit na souřadnice vektorů definovaných v počátečním pevném referenčním rámci a v důsledku toho dávat souřadnice otočeného vektoru definovaného ve stejném referenčním rámci).
3. Každá matice má představovat především složení vnitřních rotací (kolem os rotujícího referenčního rámce) a sekundárně složení tří vnějších rotací (což odpovídá konstruktivnímu hodnocení matice R vynásobením tří skutečně elementární matice, v obráceném pořadí).
4. Jsou přijaty referenční rámce pro praváky a pro určení znaménka úhlů α , β , γ je použito pravidlo pravé ruky .

V zájmu jednoduchosti používá následující tabulka maticových produktů následující nomenklaturu:

1. 1, 2, 3 představují úhly α , β a γ , tj. Úhly odpovídající první, druhé a třetí elementární rotaci.
2. X , Y , Z jsou matice představující elementární rotace kolem os x , y , z pevného rámce (např. X ₁ představuje rotaci o x o úhel α ).
3. s a c představují sinus a kosinus (např. s ₁ představuje sinus α ).

Správné Eulerovy úhly	Úhly Tait – Bryan
${\ Displaystyle X_ {1} Z_ {2} X_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {2} &-c_ {3} s_ {2} & s_ {2} s_ {3} \\ c_ {1} s_ {2} & c_ {1} c_ {2} c_ {3} -s_ {1} s_ {3} &-c_ {3} s_ {1} -c_ {1} c_ {2} s_ {3} \\ s_ {1} s_ {2} & c_ {1} s_ {3}+c_ {2} c_ {3} s_ {1} & c_ {1} c_ {3} -c_ {2} s_ {1} s_ {3} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle X_ {1} Z_ {2} Y_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {2} c_ {3} &-s_ {2} & c_ {2} s_ {3} \\ s_ {1} s_ {3}+c_ {1} c_ {3} s_ {2} & c_ {1} c_ {2} & c_ {1} s_ {2} s_ {3} -c_ {3} s_ {1} \\ c_ { 3} s_ {1} s_ {2} -c_ {1} s_ {3} & c_ {2} s_ {1} & c_ {1} c_ {3}+s_ {1} s_ {2} s_ {3} \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle X_ {1} Y_ {2} X_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {2} & s_ {2} s_ {3} & c_ {3} s_ {2} \\ s_ {1} s_ { 2} & c_ {1} c_ {3} -c_ {2} s_ {1} s_ {3} &-c_ {1} s_ {3} -c_ {2} c_ {3} s_ {1} \\-c_ {1} s_ {2} & c_ {3} s_ {1}+c_ {1} c_ {2} s_ {3} & c_ {1} c_ {2} c_ {3} -s_ {1} s_ {3} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle X_ {1} Y_ {2} Z_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {2} c_ {3} &-c_ {2} s_ {3} & s_ {2} \\ c_ {1} s_ {3}+c_ {3} s_ {1} s_ {2} & c_ {1} c_ {3} -s_ {1} s_ {2} s_ {3} &-c_ {2} s_ {1} \\ s_ {1} s_ {3} -c_ {1} c_ {3} s_ {2} & c_ {3} s_ {1}+c_ {1} s_ {2} s_ {3} & c_ {1} c_ {2} \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle Y_ {1} X_ {2} Y_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} c_ {3} -c_ {2} s_ {1} s_ {3} & s_ {1} s_ {2 } & c_ {1} s_ {3}+c_ {2} c_ {3} s_ {1} \\ s_ {2} s_ {3} & c_ {2} &-c_ {3} s_ {2} \\-c_ {3} s_ {1} -c_ {1} c_ {2} s_ {3} & c_ {1} s_ {2} & c_ {1} c_ {2} c_ {3} -s_ {1} s_ {3} \ end {bmatrix}}}$	${\ displaystyle Y_ {1} X_ {2} Z_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} c_ {3}+s_ {1} s_ {2} s_ {3} & c_ {3} s_ {1 } s_ {2} -c_ {1} s_ {3} & c_ {2} s_ {1} \\ c_ {2} s_ {3} & c_ {2} c_ {3} &-s_ {2} \\ c_ { 1} s_ {2} s_ {3} -c_ {3} s_ {1} & c_ {1} c_ {3} s_ {2}+s_ {1} s_ {3} & c_ {1} c_ {2} \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle Y_ {1} Z_ {2} Y_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} c_ {2} c_ {3} -s_ {1} s_ {3} &-c_ {1} s_ {2} & c_ {3} s_ {1}+c_ {1} c_ {2} s_ {3} \\ c_ {3} s_ {2} & c_ {2} & s_ {2} s_ {3} \\-c_ {1} s_ {3} -c_ {2} c_ {3} s_ {1} & s_ {1} s_ {2} & c_ {1} c_ {3} -c_ {2} s_ {1} s_ {3} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle Y_ {1} Z_ {2} X_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} c_ {2} & s_ {1} s_ {3} -c_ {1} c_ {3} s_ {2 } & c_ {3} s_ {1}+c_ {1} s_ {2} s_ {3} \\ s_ {2} & c_ {2} c_ {3} &-c_ {2} s_ {3} \\-c_ {2} s_ {1} & c_ {1} s_ {3}+c_ {3} s_ {1} s_ {2} & c_ {1} c_ {3} -s_ {1} s_ {2} s_ {3} \ end {bmatrix}}}$
${\ displaystyle Z_ {1} Y_ {2} Z_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} c_ {2} c_ {3} -s_ {1} s_ {3} &-c_ {3} s_ {1} -c_ {1} c_ {2} s_ {3} & c_ {1} s_ {2} \\ c_ {1} s_ {3}+c_ {2} c_ {3} s_ {1} a c_ {1 } c_ {3} -c_ {2} s_ {1} s_ {3} & s_ {1} s_ {2} \\-c_ {3} s_ {2} & s_ {2} s_ {3} & c_ {2} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle Z_ {1} Y_ {2} X_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} c_ {2} & c_ {1} s_ {2} s_ {3} -c_ {3} s_ {1 } & s_ {1} s_ {3}+c_ {1} c_ {3} s_ {2} \\ c_ {2} s_ {1} & c_ {1} c_ {3}+s_ {1} s_ {2} s_ {3} & c_ {3} s_ {1} s_ {2} -c_ {1} s_ {3} \\-s_ {2} & c_ {2} s_ {3} & c_ {2} c_ {3} \ end { bmatrix}}}$
${\ Displaystyle Z_ {1} X_ {2} Z_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} c_ {3} -c_ {2} s_ {1} s_ {3} &-c_ {1} s_ {3} -c_ {2} c_ {3} s_ {1} & s_ {1} s_ {2} \\ c_ {3} s_ {1}+c_ {1} c_ {2} s_ {3} a c_ {1 } c_ {2} c_ {3} -s_ {1} s_ {3} &-c_ {1} s_ {2} \\ s_ {2} s_ {3} & c_ {3} s_ {2} & c_ {2} \ end {bmatrix}}}$	${\ Displaystyle Z_ {1} X_ {2} Y_ {3} = {\ begin {bmatrix} c_ {1} c_ {3} -s_ {1} s_ {2} s_ {3} &-c_ {2} s_ {1} & c_ {1} s_ {3}+c_ {3} s_ {1} s_ {2} \\ c_ {3} s_ {1}+c_ {1} s_ {2} s_ {3} & c_ {1 } c_ {2} & s_ {1} s_ {3} -c_ {1} c_ {3} s_ {2} \\-c_ {2} s_ {3} & s_ {2} & c_ {2} c_ {3} \ end {bmatrix}}}$

Tyto tabulkové výsledky jsou k dispozici v mnoha učebnicích. Poslední řádek pro každý sloupec představuje nejčastěji používanou konvenci.

Chcete -li změnit vzorce pro pasivní rotace (nebo najít reverzní aktivní rotaci), transponujte matice (poté každá matice transformuje počáteční souřadnice vektoru, který zůstává pevný na souřadnice stejného vektoru měřeného v otočeném referenčním systému; stejná osa rotace, stejná úhly, ale nyní se souřadnicový systém otáčí spíše než vektor).

Následující tabulka obsahuje vzorce pro úhly α , β a γ z prvků rotační matice . ${\ displaystyle R}$

Správné Eulerovy úhly		Tait-Bryanovy úhly
${\ displaystyle X_ {1} Z_ {2} X_ {3}}$	${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {31}} {R_ {21}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {\ sqrt {1 -R_ {11}^{2}}} {R_ {11}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {13}} {-R_ {12}}}) \ end {zarovnáno }}}$	${\ displaystyle X_ {1} Z_ {2} Y_ {3}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {32}} {R_ {22}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {-R_ {12 }} {\ sqrt {1-R_ {12}^{2}}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {13}} {R_ {11}}}) \ end {zarovnáno }}}$
${\ displaystyle X_ {1} Y_ {2} X_ {3}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {21}} {-R_ {31}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {\ sqrt { 1-R_ {11}^{2}}} {R_ {11}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {12}} {R_ {13}}}) \ end {zarovnáno }}}$	${\ displaystyle X_ {1} Y_ {2} Z_ {3}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {-R_ {23}} {R_ {33}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {R_ {13 }} {\ sqrt {1-R_ {13}^{2}}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {-R_ {12}} {R_ {11}}}) \ end { zarovnaný}}}$
${\ displaystyle Y_ {1} X_ {2} Y_ {3}}$	${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {12}} {R_ {32}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {\ sqrt {1 -R_ {22}^{2}}} {R_ {22}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {21}} {-R_ {23}}})) \ end {zarovnáno }}}$	${\ displaystyle Y_ {1} X_ {2} Z_ {3}}$	${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {13}} {R_ {33}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {-R_ {23 }} {\ sqrt {1-R_ {23}^{2}}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {21}} {R_ {22}}}) \ end {zarovnáno }}}$
${\ displaystyle Y_ {1} Z_ {2} Y_ {3}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {32}} {-R_ {12}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {\ sqrt { 1-R_ {22}^{2}}} {R_ {22}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {23}} {R_ {21}}}) \ end {zarovnáno }}}$	${\ displaystyle Y_ {1} Z_ {2} X_ {3}}$	${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {-R_ {31}} {R_ {11}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {R_ {21 }} {\ sqrt {1-R_ {21}^{2}}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {-R_ {23}} {R_ {22}}}) \ end { zarovnaný}}}$
${\ displaystyle Z_ {1} Y_ {2} Z_ {3}}$	${\ Displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {23}} {R_ {13}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {\ sqrt {1 -R_ {33}^{2}}} {R_ {33}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {32}} {-R_ {31}}}) \ end {zarovnáno }}}$	${\ displaystyle Z_ {1} Y_ {2} X_ {3}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {21}} {R_ {11}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {-R_ {31 }} {\ sqrt {1-R_ {31}^{2}}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {32}} {R_ {33}}}) \ end {zarovnáno }}}$
${\ displaystyle Z_ {1} X_ {2} Z_ {3}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {R_ {13}} {-R_ {23}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {\ sqrt { 1-R_ {33}^{2}}} {R_ {33}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {R_ {31}} {R_ {32}}}) \ end {zarovnáno }}}$	${\ displaystyle Z_ {1} X_ {2} Y_ {3}}$	${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = \ arctan ({\ frac {-R_ {12}} {R_ {22}}}) \\\ beta & = \ arctan ({\ frac {R_ {32 }} {\ sqrt {1-R_ {32}^{2}}}}) \\\ gamma & = \ arctan ({\ frac {-R_ {31}} {R_ {33}}}) \ end { zarovnaný}}}$

Vlastnosti

Eulerovy úhly tvoří graf na všech SO (3) , speciální ortogonální skupině rotací v 3D prostoru. Graf je plynulý, s výjimkou singularity stylu polárních souřadnic podél β = 0 . Úplnější léčbu najdete v grafech na SO (3) .

Prostor rotací se obecně nazývá „ Hypersféra rotací “, i když se jedná o nesprávné pojmenování: skupina Spin (3) je izometrická vůči hypersféře S ³ , ale rotační prostor SO (3) je místo toho izometrický vůči skutečnému projektivnímu prostor RP ^3, což je 2násobný kvocient prostoru hypersféry. Tato dvojznačnost 2: 1 je matematický původ spinu ve fyzice .

Podobný tříúhlý rozklad platí pro SU (2) , speciální unitární skupinu rotací ve složitém 2D prostoru, s tím rozdílem, že β se pohybuje od 0 do 2 π . Říká se jim také Eulerovy úhly.

Haar opatření tak (3) v Eulerovy úhly je dán úhlem parametrizace Hopfovy SO (3), kde parametrizovat , prostor rotačních os. ${\ Displaystyle {\ textrm {d}} V \ propto \ sin \ beta. {\ textrm {d}} \ alpha. {\ textrm {d}} \ beta. {\ textrm {d}} \ gamma}$${\ displaystyle (\ beta, \ alpha)}$${\ displaystyle S^{2}}$

Například pro generování rovnoměrně randomizovaných orientací nechť α a γ jsou rovnoměrné od 0 do 2 π , z je jednotné od −1 do 1 a nechť β = arccos ( z ) .

Geometrická algebra

Další vlastnosti Eulerových úhlů a rotací obecně lze nalézt z geometrické algebry , abstrakce vyšší úrovně, ve které jsou čtveřice rovnoměrnou subalgebrou. Hlavním nástrojem v geometrické algebře je rotor, kde úhel otočení , osa otáčení (unitární vektor) a pseudoscalar (trivektor v ) ${\ Displaystyle \ mathbf {\ mathbb {R}} = [\ cos (\ theta /2) -Iu \ sin (\ theta /2)]}$${\ displaystyle \ mathbf {\ theta} =}$${\ displaystyle \ mathbf {(} u) =}$${\ displaystyle \ mathbf {(} I) =}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

Vyšší rozměry

Je možné definovat parametry analogické Eulerovým úhlům v rozměrech vyšších než tři.

Počet stupňů volnosti rotační matice je vždy menší než rozměr matice na druhou. To znamená, že prvky rotační matice nejsou všechny zcela nezávislé. Například rotační matice v dimenzi 2 má pouze jeden stupeň volnosti, protože všechny čtyři její prvky závisí na jediném úhlu otáčení. Rotační matice v dimenzi 3 (která má devět prvků) má tři stupně volnosti, odpovídající každé nezávislé rotaci, například jejími třemi Eulerovými úhly nebo kvaternionem o velikosti jednoho (jednotky).

V SO (4) je rotační matice definována dvěma kvaterniony , a je tedy 6-parametrická (tři stupně volnosti pro každý kvaternion). Tyto 4 x 4 otáčení matice má tedy 6 z 16 nezávislých komponent.

Jakákoli sada 6 parametrů, které definují matici otáčení, by mohla být považována za rozšíření Eulerových úhlů do dimenze 4.

Obecně platí, že počet eulerových úhlů v dimenzi D je v D kvadratický; protože jakákoli rotace se skládá z výběru dvou dimenzí, mezi kterými se má rotovat, celkový počet rotací dostupných v dimenzi je , což je pro výtěžky . ${\ displaystyle D}$${\ displaystyle N _ {\ text {rot}} = {\ binom {D} {2}} = D (D-1)/2}$${\ Displaystyle D = 2,3,4}$${\ displaystyle N _ {\ text {rot}} = 1,3,6}$

Aplikace

Vozidla a pohyblivé rámy

Jejich hlavní výhodou oproti jiným popisům orientace je, že jsou přímo měřitelné z kardanového závěsu namontovaného ve vozidle. Protože gyroskopy udržují svoji osu otáčení konstantní, úhly měřené v gyroskopu jsou ekvivalentní úhlům měřeným v laboratorním rámci. Proto se gyroskopy používají k poznání skutečné orientace pohybujících se kosmických lodí a Eulerovy úhly jsou přímo měřitelné. Vnitřní úhel otočení nelze vyčíst z jednoho kardanu, takže ve vesmírné lodi musí být více než jeden kardan. Obvykle jsou pro nadbytečnost nejméně tři. Existuje také vztah ke známému problému kardanového zámku ve strojírenství  .

Při studiu rigidních těles obecně se říká prostorové souřadnice systému xyz a souřadnice těla systému XYZ . Souřadnice prostoru jsou považovány za nepohyblivé, zatímco souřadnice těla jsou považovány za vložené do pohybujícího se těla. Výpočty zahrnující zrychlení , úhlové zrychlení , úhlovou rychlost , moment hybnosti a kinetickou energii jsou často nejsnazší v souřadnicích těla, protože pak se moment tenzoru setrvačnosti v čase nemění. Pokud člověk také diagonalizuje tenzor setrvačnosti momentu tuhého tělesa (s devíti složkami, z nichž šest je nezávislých), pak má sadu souřadnic (nazývaných hlavní osy), ve kterých má tenzor momentu setrvačnosti pouze tři složky.

Úhlová rychlost tuhého tělesa má jednoduchou formu pomocí Eulerových úhlů v pohyblivém rámu. Také tuhého tělesa Eulerovy rovnice jsou jednodušší, protože setrvačnost tenzor je konstantní v uvedeném rámu.

Krystalografická textura

Postavy pólů zobrazující krystalografickou texturu gama-TiAl ve slitině alfa2-gama, měřeno vysokoenergetickými rentgenovými paprsky.

Ve vědě o materiálech lze krystalografickou texturu (nebo preferovanou orientaci) popsat pomocí Eulerových úhlů. Při analýze textur poskytují Eulerovy úhly matematické znázornění orientace jednotlivých krystalitů v polykrystalickém materiálu, což umožňuje kvantitativní popis makroskopického materiálu. Nejběžnější definice úhlů je způsobena Bungeem a odpovídá konvenci ZXZ . Je důležité poznamenat, že aplikace obecně zahrnuje transformace os tenzorových veličin, tj. Pasivní rotace. Matice, která odpovídá Bunge Eulerovým úhlům, je tedy transpozicí matice uvedené v tabulce výše.

Ostatní

Průmyslový robot pracující ve slévárně

Eulerovy úhly, obvykle v konvenci Tait -Bryan, se také používají v robotice k mluvení o stupních volnosti zápěstí . Podobným způsobem se používají také v elektronické kontrole stability .

Systémy řízení palby z pistolí vyžadují korekce úhlů pořadí zbraní (ložiska a převýšení), aby se kompenzovalo naklonění paluby (stoupání a naklánění). V tradičních systémech stabilizační gyroskop se svislou osou rotace koriguje náklon paluby a stabilizuje optické zaměřovače a radarovou anténu. Avšak hlavně hlavně míří jiným směrem, než je přímá viditelnost k cíli, aby kromě jiného předvídaly pohyb cíle a pád střely v důsledku gravitace. Držáky zbraní se otáčejí a stoupají s palubní rovinou, ale také vyžadují stabilizaci. Objednávky zbraní zahrnují úhly vypočtené z dat vertikálního gyroskopu a tyto výpočty zahrnují Eulerovy úhly.

Eulerovy úhly se také široce používají v kvantové mechanice momentu hybnosti. V kvantové mechanice jsou explicitní popisy reprezentací SO (3) pro výpočty velmi důležité a téměř veškerá práce byla provedena pomocí Eulerových úhlů. V rané historii kvantové mechaniky, kdy měli fyzici a chemici ostře negativní reakci na abstraktní skupinové teoretické metody (nazývané Gruppenpest ), bylo spoléhání na Eulerovy úhly také zásadní pro základní teoretickou práci.

Mnoho mobilních výpočetních zařízení obsahuje akcelerometry, které mohou určit Eulerovy úhly těchto zařízení s ohledem na gravitační přitažlivost Země. Ty se používají v aplikacích, jako jsou hry, simulace na úrovni bublin a kaleidoskopy .

Viz také

• 3D projekce
• Zobrazení úhlu osy
• Převod mezi čtveřicemi a Eulerovými úhly
• Davenport zřetězené rotace
• Eulerova věta o rotaci
• Kardanový zámek
• Čtveřice
• Kvaterniony a prostorová rotace
• Rotační formalismy ve třech dimenzích
• Sférický souřadný systém

Reference

Bibliografie

• Biedenharn, LC; Louck, JD (1981), Angular Momentum in Quantum Physics , Reading, MA: Addison – Wesley , ISBN 978-0-201-13507-7
• Goldstein, Herbert (1980), Classical Mechanics (2. vyd.), Reading, MA: Addison – Wesley, ISBN 978-0-201-02918-5
• Gray, Andrew (1918), Pojednání o gyrostatice a rotačním pohybu , London: Macmillan (publikováno 2007), ISBN 978-1-4212-5592-7
• Rose, ME (1957), Elementary Theory of Angular Momentum , New York, NY: John Wiley & Sons (vydáno 1995), ISBN 978-0-486-68480-2
• Symon, Keith (1971), Mechanics , Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-07392-8
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1996), Mechanics (3. vyd.), Oxford: Butterworth-Heinemann, ISBN 978-0-7506-2896-9

externí odkazy

• „Eulerovy úhly“ , Encyklopedie matematiky , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. „Euler Angles“ . MathWorld .
• David Eberly. Eulerovy úhlové vzorce , geometrické nástroje
• Interaktivní výukový program o Eulerových úhlech je k dispozici na https://www.mecademic.com/cs/how-is-orientation-in-space-represented-with-euler-angles
• EulerAngles  - aplikace pro iOS pro 3D vizualizaci tří otočení spojených s Eulerovými úhly
• Orientační knihovna  - „orilib“, sbírka rutin pro manipulaci s rotací / orientací, včetně speciálních nástrojů pro krystalovou orientaci
• Online nástroj pro převod rotačních matic dostupný v rotačním převaděči (numerický převod)
• Online nástroj pro převod symbolických rotačních matic (mrtvý, ale stále dostupný z Wayback Machine ) převaděč symbolických rotací
• Rotace, odraz a změna rámce: ortogonální tenzory v mechanice výpočetní techniky , IOP Publishing
• Eulerovy úhly, kvaterniony a transformační matice pro analýzu raketoplánu , NASA