Věta Z* - Z* theorem

V matematice je Z* věta George Glaubermana uvedena následovně:

Z * věta: Nechť G být konečná skupina , s O ( G ), který je jeho maximální normální podskupiny z lichého pořadí . Pokud T je Sylow 2-podskupina z G obsahuje involuce není konjugát v G na jakýkoli jiný prvek T , pak involuce spočívá v Z * ( G ), který je inverzní obraz v G z centra města G / O ( G ).

To zobecňuje Brauerovu -Suzukiho větu (a důkaz používá Brauerovu -Suzukiho větu k řešení některých malých případů).

Podrobnosti

Původní dokument ( Glauberman 1966 ) poskytl několik kritérií pro prvek ležící mimo Z* ( G ). Jeho věta 4 říká:

Pro prvek t v T je nutné a dostatečné, aby t leželo mimo Z* ( G ), že v G a abelianské podskupině U z T existuje nějaké g splňující následující vlastnosti:

  1. g normalizuje U i centralizátor C T ( U ), tj. g je obsažen v N = N G ( U ) ∩ N G ( C T ( U ))
  2. t je obsaženo v U a tg ≠ gt
  3. U je generováno N -konjugáty t
  4. exponent z U je rovna řádu o t

Navíc g může být vybráno tak, aby mělo primární výkonový řád, pokud t je ve středu T , a g může být vybráno v T jinak.

Jednoduchý důsledek je, že prvek t v T není v Z* ( G ) právě tehdy, pokud existuje nějaké s ≠ t takové, že s a t dojíždí a s a t jsou G -konjugáty.

Zevšeobecňování lichým připraví byl zaznamenán v ( Guralnick & Robinson 1993 ): pokud t je prvkem nultý řád p a komutátor [ t , g ] má pořadí coprime k p pro všechny g , pak t je centrální modulo p '- jádro . To bylo také zobecněno na liché prvočísla a na zhutnění Lieových skupin v ( Mislin & Thévenaz 1991 ), které také obsahuje několik užitečných výsledků v konečném případě.

( Henke & Semeraro 2014 ) také studoval prodloužení Z * teorém, aby páry skupin ( G ,  H ), s H normální podskupina G .

Reference

  • Dade, Everett C. (1971), „Teorie znaků týkající se konečných jednoduchých skupin“, Powell, MB; Higman, Graham (eds.), Konečně jednoduché skupiny. Sborník z instruktážní konference pořádané London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute), Oxford, září 1969. , Boston, MA: Academic Press , s. 249–327, ISBN 978-0-12-563850-0, MR  0360785 poskytuje podrobný důkaz Brauer – Suzukiho věty.
  • Glauberman, George (1966), „Centrální prvky ve skupinách bez jádra“, Journal of Algebra , 4 (3): 403–420, doi : 10,1016/0021-8693 (66) 90030-5 , ISSN  0021-8693 , MR  0202822 , Zbl  0145.02802
  • Guralnick, Robert M .; Robinson, Geoffrey R. (1993), „O rozšíření Baer-Suzukiho věty“, Israel Journal of Mathematics , 82 (1): 281–297, doi : 10.1007/BF02808114 , ISSN  0021-2172 , MR  1239051 , Zbl  0794.20029
  • Henke, Ellen; Semeraro, Jason (2014). „Zobecnění Z* věty“. arXiv : 1411.1932v1 [ math.GR ].
  • Mislin, Guido; Thévenaz, Jacques (1991), „The Z*-theorem for compact Lie groups“ , Mathematische Annalen , 291 (1): 103–111, doi : 10.1007/BF01445193 , ISSN  0025-5831 , MR  1125010