Anharmonicity - Anharmonicity

Potenciální energie diatomické molekuly jako funkce odstupu atomů . Když jsou molekuly příliš blízko nebo příliš daleko, zažívají obnovující sílu zpět k u ₀ . (Představte si, jak se mramor prohání tam a zpět v prohlubni.) Modrá křivka se svým tvarem blíží skutečnému potenciálu studny molekuly , zatímco červená parabola je dobrou aproximací malých oscilací. Červená aproximace považuje molekulu za harmonický oscilátor, protože obnovovací síla -V '(u) je lineární vzhledem k posunu u .

V klasické mechanice , anharmonicity je odchylka ze systému od bytí harmonický oscilátor . Oscilátor , který není oscilující v harmonický pohyb je známý jako anharmonických oscilátoru, kde může být systém aproximovat na harmonický oscilátor a anharmonicity lze vypočítat pomocí teorii odchylky . Pokud je anharmonicita velká, musí být použity jiné numerické techniky . Ve skutečnosti jsou všechny oscilační systémy anharmonické, ale přibližují se harmonickému oscilátoru, čím menší je amplituda oscilace.

Výsledkem je, že oscilace s frekvencí a podobně, kde je základní frekvence oscilátoru, se objeví. Kromě toho se frekvence odchyluje od frekvence harmonických kmitů. Viz také intermodulační a kombinované tóny . Jako první přiblížení je frekvenční posun úměrný druhé mocnině amplitudy oscilace : ${\ Displaystyle 2 \ omega}$${\ Displaystyle 3 \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega}$${\ displaystyle \ omega _ {0}}$${\ Displaystyle \ Delta \ omega = \ omega -\ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle A}$

${\ Displaystyle \ Delta \ omega \ propto A^{2}}$

V systému oscilátory s frekvencí , ... Výsledky anharmonicity v dalších oscilací s frekvencí . ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ beta}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha} \ pm \ omega _ {\ beta}}$

Anharmonicity také upravuje energetický profil rezonanční křivky, což vede k zajímavým jevům , jako je efekt skládání a superharmonická rezonance.

Obecný princip

2 DOF elastické kyvadlo vykazující anharmonické chování.

Harmonické vs. anharmonické oscilátory

„Blok na pružině“ je klasickým příkladem harmonické oscilace. V závislosti na umístění bloku x zažije obnovovací sílu směrem ke středu. Obnovovací síla je úměrná x, takže systém vykazuje jednoduchý harmonický pohyb.

Kyvadlo je jednoduchý harmonický oscilátor. V závislosti na úhlové poloze hmoty θ tlačí obnovovací síla souřadnici θ zpět do středu. Tento oscilátor je anharmonický, protože obnovovací síla není úměrná θ , ale hříchu (θ) . Protože lineární funkce y = θ aproximuje nelineární funkci y = sin (θ), když je θ malá, lze systém modelovat jako harmonický oscilátor pro malé kmity.

Oscilátor je fyzický systém charakterizovaný periodickým pohybem, jako je kyvadlo, ladička nebo vibrující diatomická molekula . Matematicky řečeno, základní vlastností oscilátoru je, že u některých souřadnic x systému síla, jejíž velikost závisí na x , vytlačí x od extrémních hodnot a zpět k nějaké centrální hodnotě x ₀ , což způsobí, že x bude oscilovat mezi extrémy. Například x může představovat posunutí kyvadla z jeho klidové polohy x = 0 . Jak se zvyšuje absolutní hodnota x, zvyšuje se i obnovující síla působící na váhu kyvadel, která ji tlačí zpět do klidové polohy.

V harmonických oscilátorech je obnovovací síla úměrná velikosti (a opačným směrem) posunu x z jeho přirozené polohy x ₀ . Výsledná diferenciální rovnice znamená, že x musí v průběhu času sinusově kmitat s periodou oscilace, která je systému vlastní. x může oscilovat s jakoukoli amplitudou, ale bude mít vždy stejnou periodu.

Anharmonické oscilátory se však vyznačují nelineární závislostí obnovovací síly na výtlaku x. V důsledku toho může doba oscilace anharmonického oscilátoru záviset na jeho amplitudě oscilace.

V důsledku nelinearity anharmonických oscilátorů se frekvence vibrací může měnit v závislosti na posunutí systému. Tyto změny ve frekvenci vibrací vedou k tomu, že energie je spojena ze základní frekvence vibrací s jinými frekvencemi procesem známým jako parametrická vazba.

Pokud budeme nelineární výplňovou sílu považovat za funkci F (xx ₀ ) posunutí x z její přirozené polohy, můžeme nahradit F jeho lineární aproximací F ₁ = F '(0)*(xx ₀ ) při nulovém posunutí. Aproximační funkce F ₁ je lineární, takže bude popisovat jednoduchý harmonický pohyb. Tato funkce F ₁ je navíc přesná, když xx ₀ je malé. Z tohoto důvodu lze anharmonický pohyb aproximovat jako harmonický pohyb, pokud jsou kmity malé.

Příklady z fyziky

Ve fyzickém světě existuje mnoho systémů, které lze kromě nelineárního systému hmotné pružiny modelovat jako anharmonické oscilátory. Například atom, který se skládá z kladně nabitého jádra obklopeného záporně nabitým elektronickým mrakem, zažívá posun mezi těžištěm jádra a elektronickým mrakem, když je přítomno elektrické pole. Velikost tohoto posunutí, nazývaného elektrický dipólový moment, souvisí lineárně s aplikovaným polem pro malá pole, ale jak se velikost pole zvyšuje, vztah momentového pole a dipólu se stává nelineárním, stejně jako v mechanickém systému.

Mezi další příklady anharmonických oscilátorů patří kyvadlo s velkým úhlem; nevyrovnané polovodiče, které mají velkou populaci horkých nosičů, které vykazují nelineární chování různých typů související s efektivní hmotností nosičů; a ionosférické plazmy, které také vykazují nelineární chování na základě anharmonicity plazmatu. Ve skutečnosti se prakticky všechny oscilátory stanou anharmonickými, když se amplituda jejich pumpy zvýší za určitý práh, a v důsledku toho je nutné k popisu jejich chování použít nelineární pohybové rovnice.

Anharmonicita hraje roli v mřížkových a molekulárních vibracích, v kvantových oscilacích a v akustice . Atomy v molekule nebo pevné látce vibrují kolem svých rovnovážných poloh. Když mají tyto vibrace malé amplitudy, mohou být popsány harmonickými oscilátory . Když jsou však vibrační amplitudy velké, například při vysokých teplotách, stává se anharmonicita důležitou. Příkladem účinků anharmonicity je tepelná roztažnost pevných látek, která se obvykle studuje v rámci kvaziharmonické aproximace . Studium vibrujících anharmonických systémů pomocí kvantové mechaniky je výpočetně náročný úkol, protože anharmonicita nejenže ztěžuje potenciál každého oscilátoru, ale také zavádí propojení mezi oscilátory. K mapování anharmonického potenciálu atomů v molekulách i pevných látkách je možné použít metody prvních principů, jako je teorie hustotních funkcí . Přesné anharmonické vibrační energie lze pak získat řešením anharmonických vibračních rovnic pro atomy v rámci teorie středního pole . Konečně je možné použít poruchovou teorii Møller – Plesset k překročení formalismu středního pole.

Potenciální energie z období kmitů

Zvažte potenciální studnu . Za předpokladu, že je křivka symetrická s -osou, lze tvar křivky implicitně určit z období kmitů částic s energií podle vzorce: ${\ displaystyle U (x)}$${\ displaystyle U = U (x)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle T (E)}$${\ displaystyle E}$

${\ Displaystyle U (x) = {\ frac {1} {2 \ pi {\ sqrt {2m}}}} \ int _ {0}^{U} {\ frac {T (E) \, dE} { \ sqrt {U (x) -E}}}}$.

Období oscilace lze naopak odvodit

${\ Displaystyle T = {\ sqrt {2m}} \ int _ {x _ {-}}^{x _ {+}} {\ frac {dx} {\ sqrt {EU}}}}$

Viz také

• Neharmoničnost
• Harmonický oscilátor
• Kvantový harmonický oscilátor
• Hudební akustika
• Nelineární rezonance
• Transmon

Reference

• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1976), Mechanics (3. vyd.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
• Filipponi, A .; Cavicchia, DR (2011), "Anharmonická dynamika masového O-pružinového oscilátoru", American Journal of Physics , 79 (7): 730–735, doi : 10,1119/1,3579129

externí odkazy

• Elmer, Franz-Josef (20. července 1998), nelineární rezonance , Univerzita v Basileji , archivováno z originálu 13. června 2011 , vyvoláno 28. října 2010