Bernsteinův problém - Bernstein's problem
V diferenciální geometrii , Bernsteina problém je následující: v případě, že graf funkce na R n -1 je minimální plocha v R n , to znamenat, že funkce je lineární? To platí v rozměrech n nanejvýš 8, ale v rozměrech n minimálně 9. Problém je pojmenován pro Sergeje Natanovicha Bernsteina, který v roce 1914 vyřešil případ n = 3.
Prohlášení
Předpokládejme, že f je funkcí n - 1 reálných proměnných. Graf f je povrch v R n a podmínkou, že se jedná o minimální povrch, je to, že f splňuje rovnici minimálního povrchu
Bernsteinův problém se ptá, zda celá funkce (funkce definovaná v R n −1 ), která řeší tuto rovnici, je nutně polynomem stupně 1.
Dějiny
Bernstein (1915–1917) dokázal Bernsteinovu větu, že graf reálné funkce na R 2, který je také minimálním povrchem v R 3, musí být rovina.
Fleming (1962) podal nový důkaz Bernsteinovy věty tím, že jej odvodil ze skutečnosti, že v R 3 není kón minimalizující plochu .
De Giorgi (1965) ukázal, že pokud v R n - 1 není kón minimalizující nerovinnou plochu, pak platí analog R Bernsteinovy věty v R n , což zejména naznačuje, že je pravdivý v R 4 .
Almgren (1966) ukázal, že v R 4 neexistují žádné neplanární minimalizující čípky , čímž se Bernsteinova věta rozšířila na R 5 .
Simons (1968) ukázal, že v R 7 nejsou žádné neplanární minimalizující čípky , čímž se Bernsteinova věta rozšířila na R 8 . Uvedl také příklady lokálně stabilních kuželů v R 8 a zeptal se, zda globálně minimalizují plochu.
Bombieri, De Giorgi & Giusti (1969) ukázali, že Simonsovy kužely se skutečně globálně minimalizují, a ukázaly, že v R n pro n ≥9 jsou grafy, které jsou minimální, ale ne hyperplany. V kombinaci s výsledkem Simonsa to ukazuje, že analogie Bernsteinovy věty je pravdivá v dimenzích do 8 a falešná ve vyšších dimenzích. Specifickým příkladem je povrch .
Reference
- Almgren, FJ (1966), „Některé věty o pravidelnosti interiéru pro minimální povrchy a rozšíření Bernsteinovy věty“, Annals of Mathematics , druhá řada, 84 : 277–292, doi : 10,2307 / 1970520 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970520 , MR 0200816
- Bernstein, SN (1915–1917), „Sur une Théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique“, Comm. Soc. Matematika. Charkov , 15 : 38–45Německý překlad Bernstein, Serge (1927), „Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus“, Mathematische Zeitschrift (německy), Springer Berlin / Heidelberg, 26 : 551–558, doi : 10,1007 / BF014754 , ISSN 0025-5874
- Bombieri, Enrico ; De Giorgi, Ennio; Giusti, E. (1969), „Minimal cones and the Bernstein problem“, Inventiones Mathematicae , 7 : 243–268, doi : 10,1007 / BF01404309 , ISSN 0020-9910 , MR 0250205
- De Giorgi, Ennio (1965), „Una estensione del teorema di Bernstein“ , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 19 : 79–85 , MR 0178385
- Fleming, Wendell H. (1962), „K problému orientované plošiny“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . Serie II , 11 : 69–90, doi : 10,1007 / BF02849427 , ISSN 0009-725X , MR 0157263
- Sabitov, I.Kh. (2001) [1994], „Bernsteinova věta“ , Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
- Simons, James (1968), „Minimal variety in riemannian manifolds“, Annals of Mathematics , Second Series, 88 : 62–105, doi : 10,2307 / 1970556 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970556 , MR 0233295
- Straume, E. (2001) [1994], „Bernsteinův problém v diferenciální geometrii“ , Hazewinkel, Michiel , Encyclopedia of Mathematics , Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4