Bethe – Salpeterova rovnice - Bethe–Salpeter equation

Bethe-Salpeter rovnice (pojmenoval Hans Bethe a Edwin Salpeter ) popisuje vázaných stavů ze dvou těles (částic) kvantové polní teoretické systému v relativistically covariant formalismu. Rovnice byla ve skutečnosti poprvé publikována v roce 1950 na konci článku Yoichira Nambu , ale bez odvození.

Grafické znázornění rovnice Bethe – Salpeter ukazující její rekurzivní definici

Díky své obecnosti a aplikaci v mnoha odvětvích teoretické fyziky se rovnice Bethe – Salpeter objevuje v mnoha různých formách. Jedna forma, která se ve fyzice vysokých energií poměrně často používá, je

{\ displaystyle \ Gamma (P, p) = \ int \! {\ frac {d ^ {4} k} {(2 \ pi) ^ {4}}} \; K (P, p, k) \, S (k - {\ tfrac {P} {2}}) \, \ Gamma (P, k) \, S (k + {\ tfrac {P} {2}})}

kde Γ je amplituda Bethe-Salpeter, K interakci a S se propagátory obou zúčastněných částic.

V kvantové teorii jsou vázané stavy objekty, jejichž životnost je mnohem delší než časové měřítko interakce určující jejich strukturu (jinak se jim říká rezonance ). Složky tedy interagují v podstatě nekonečně mnohokrát. Souhrnem, nekonečně mnohokrát, všech možných interakcí, které mohou nastat mezi dvěma složkami, je rovnice Bethe – Salpeter nástrojem pro výpočet vlastností vázaných stavů. Jeho řešení, amplituda Bethe – Salpeter, je popisem uvažovaného vázaného stavu.

Protože jej lze odvodit identifikací vázaných stavů s póly v S-matici , lze jej propojit s kvantovým teoretickým popisem rozptylových procesů a Greenových funkcí .

Rovnice Bethe – Salpeter je obecným nástrojem teoretického kvantového pole, takže jeho aplikace lze nalézt v jakékoli teorii kvantového pole. Některé příklady jsou pozitronium (vázaný stav páru elektron - pozitron ), excitony (vázané stavy párů elektron - díra ) a mezony (jako vázané stavy kvark - antikvark).

Dokonce i pro jednoduché systémy, jako je pozitronium, nelze rovnici vyřešit přesně, i když v zásadě ji lze přesně formulovat. Klasifikace stavů může být dosažena bez potřeby přesného řešení. Pokud je jedna z částic výrazně hmotnější než druhá, problém se podstatně zjednoduší, protože jedna řeší Diracovu rovnici pro lehčí částice pod vnějším potenciálem těžších částic.

Derivace

Výchozím bodem pro odvození rovnice Bethe – Salpeter je dvoučásticová (nebo čtyřbodová) Dysonova rovnice

{\ displaystyle G = S_ {1} \, S_ {2} + S_ {1} \, S_ {2} \, K_ {12} \, G}

v prostoru hybnosti, kde „G“ je dvoučásticová zelená funkce , „S“ jsou volní propagátoři a „K“ je interakční jádro, které obsahuje všechny možné interakce mezi těmito dvěma částicemi. Zásadním krokem je nyní předpokládat, že vázané stavy se ve funkci Green objeví jako póly. Jeden předpokládá, že dvě částice se spojí a vytvoří vázaný stav s hmotou „M“, tento vázaný stav se volně šíří a poté se vázaný stav znovu rozdělí na své dvě složky. Proto jeden zavádí vlnovou funkci Bethe – Salpeter , což je amplituda přechodu dvou složek do vázaného stavu , a poté provede anatz pro zelenou funkci v blízkosti pólu jako ${\ displaystyle \ langle \ Omega | \ phi _ {1} \, \ phi _ {2} \, \ phi _ {3} \, \ phi _ {4} | \ Omega \ rangle}$ ${\ displaystyle \ Psi = \ langle \ Omega | \ phi _ {1} \, \ phi _ {2} | \ psi \ rangle}$ ${\ displaystyle \ phi _ {i}}$ ${\ displaystyle \ psi}$

{\ displaystyle G \ cca {\ frac {\ Psi \; {\ bar {\ Psi}}} {P ^ {2} -M ^ {2}}},}

kde P je celková hybnost systému. Jeden vidí, že pokud pro tuto hybnost platí rovnice , což je přesně Einsteinův vztah energie a hybnosti (s hybností čtyři a ), čtyřbodová zelená funkce obsahuje pól. Pokud se zapojíme do Dysonovy rovnice výše a nastavíme celkovou hybnost „P“ tak, aby vztah energie a hybnosti platí, objeví se na obou stranách termínu pól. ${\ displaystyle P ^ {2} = M ^ {2}}$ ${\ displaystyle P _ {\ mu} = \ doleva (E / c, {\ vec {p}} \ doprava)}$ ${\ displaystyle P ^ {2} = P _ {\ mu} \, P ^ {\ mu}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ Psi \; {\ bar {\ Psi}}} {P ^ {2} -M ^ {2}}} = S_ {1} \, S_ {2} + S_ {1} \, S_ {2} \, K_ {12} {\ frac {\ Psi \; {\ bar {\ Psi}}} {P ^ {2} -M ^ {2}}}}

Porovnání výtěžku zbytků

{\ displaystyle \ Psi = S_ {1} \, S_ {2} \, K_ {12} \ Psi, \,}

Toto je již rovnice Bethe – Salpeter, napsaná z hlediska vlnových funkcí Bethe – Salpeter. Pro získání výše uvedeného formuláře se zavedou amplitudy Bethe – Salpeter „Γ“

{\ displaystyle \ Psi = S_ {1} \, S_ {2} \, \ Gamma}

a dostane se konečně

{\ displaystyle \ Gamma = K_ {12} \, S_ {1} \, S_ {2} \, \ Gamma}

který je zapsán výše, s výslovnou závislostí na hybnosti.

Aproximace duhového žebříku

Grafické znázornění rovnice Bethe – Salpeter v žebříčkové aproximaci

Interakční jádro K v zásadě obsahuje všechny možné interakce neredukovatelné na dvě částice, které mohou nastat mezi dvěma složkami. Při praktických výpočtech je tedy třeba jej modelovat a zvolit pouze podmnožinu interakcí. Stejně jako v teoriích kvantového pole je interakce popsána prostřednictvím výměny částic (např. Fotonů v kvantové elektrodynamice nebo gluonů v kvantové chromodynamice ), nejjednodušší interakcí je výměna pouze jedné z těchto silových částic.

Protože rovnice Bethe – Salpeter shrnuje interakci nekonečně mnohokrát, výsledný Feynmanův graf má podobu žebříku (nebo duhy).

Zatímco v kvantové elektrodynamice způsobovala aproximace žebříku problémy s křížením symetrie a invariance měřidla, a proto musely být zahrnuty podmínky zkříženého žebříku, v kvantové chromodynamice se tato aproximace používá fenomenologicky poměrně hodně k výpočtu hadronových hmot, protože respektuje lámání chirální symetrie, a proto je důležitou součástí generace těchto mas.

Normalizace

Jako u každé homogenní rovnice je řešení rovnice Bethe – Salpeter určeno pouze do numerického faktoru. Tento faktor musí být specifikován určitou normalizační podmínkou. U amplitud Bethe-Salpeter se to obvykle provádí náročným uchováním pravděpodobnosti (podobně jako u normalizace funkce kvantové mechanické vlny ), což odpovídá rovnici

{\ displaystyle 2P _ {\ mu} = {\ bar {\ Gamma}} \ vlevo ({\ frac {\ částečné} {\ částečné P _ {\ mu}}} \ vlevo (S_ {1} \ další S_ {2} \ right) -S_ {1} \, S_ {2} \, \ left ({\ frac {\ částečné} {\ částečné P _ {\ mu}}} \, K \ right) \, S_ {1} \, S_ {2} \ vpravo) \ Gamma}

Normalizace tenzoru náboje a energie hybnosti vázaného stavu vedou ke stejné rovnici. V žebříčkové aproximaci jádro Interaction nezávisí na celkové hybnosti amplitudy Bethe – Salpeter, takže v tomto případě druhý člen normalizační podmínky zmizí.

Viz také

Reference

Bibliografie

Mnoho moderních učebnic kvantové teorie pole a několik článků poskytují pedagogické vysvětlení kontextu a použití rovnice Bethe-Salpeter. Vidět:

W. Greiner, J. Reinhardt (2003). Kvantová elektrodynamika (3. vydání). Springer . ISBN 978-3-540-44029-1 .
ZK Silagadze (1998). „Model Wick-Cutkosky: Úvod“. arXiv : hep-ph / 9803307 .

Dobrý úvod doposud přináší přehledový článek Nakanishi

N. Nakanishi (1969). „Obecný přehled teorie rovnice Bethe – Salpeter“ . Pokrok v doplňku teoretické fyziky . 43 : 1–81. Bibcode : 1969PThPS..43 .... 1N . doi : 10,1143 / PTPS.43.1 .

Historické aspekty viz

EE Salpeter (2008). "Bethe-Salpeterova rovnice (počátky)" . Scholarpedia . 3 (11): 7483. arXiv : 0811.1050 . Bibcode : 2008SchpJ ... 3.7483S . doi : 10,4249 / scholarpedia.7483 .

externí odkazy

BerkeleyGW - pseudopotenciální metoda s rovinnými vlnami
ExC - rovinná vlna
Fiesta - Gaussova celoelektronová metoda

Languages

In other projects