Bifurkační teorie - Bifurcation theory

Fázový portrét zobrazující rozdvojení sedlových uzlů

Bifurkační teorie je matematické studium změn v kvalitativní nebo topologické struktuře dané rodiny , jako jsou integrální křivky rodiny vektorových polí a řešení rodiny diferenciálních rovnic . Nejčastěji se aplikuje na matematické studium dynamických systémů , k rozdvojení dochází, když malá plynulá změna hodnot parametrů (bifurkačních parametrů) systému způsobí náhlou 'kvalitativní' nebo topologickou změnu v jeho chování. Bifurkace se vyskytují v obou spojitých systémů (popsaných ODR , DDEs nebo PDE ) a diskrétních systémů (popsaných mapy). Název „bifurkace“ poprvé představil Henri Poincaré v roce 1885 v prvním příspěvku z matematiky, který takové chování ukazoval. Henri Poincaré také později pojmenoval různé typy stacionárních bodů a klasifikoval je motivem.

Bifurkační typy

Je užitečné rozdělit bifurkace do dvou hlavních tříd:

• Lokální bifurkace, které lze zcela analyzovat prostřednictvím změn vlastností místní stability rovnováh , periodických drah nebo jiných invariantních sad, protože parametry procházejí kritickými prahovými hodnotami; a
• Globální bifurkace, ke kterým často dochází, když se větší invariantní sady systému navzájem 'střetnou' nebo s rovnováhami systému. Nelze je detekovat čistě analýzou stability rovnováh (pevné body).

Místní rozdvojení

Bifurkace na polovinu období (L) vedoucí k řádu, následované zdvojnásobením období na bifurkace (R) vedoucí k chaosu.

K místní rozdvojení dochází, když změna parametru způsobí změnu stability rovnováhy (nebo pevného bodu). V spojitých systémech to odpovídá skutečné části vlastní hodnoty rovnováhy procházející nulou. V diskrétních systémech (systémech popsaných spíše mapami než ODE) to odpovídá pevnému bodu s Floquetovým multiplikátorem s modulem rovným jedné. V obou případech, rovnováha je non-hyperbolické na bifurkace bodu. Topologické změny ve fázovém portrétu systému lze omezit na libovolně malá sousedství rozdvojujících se pevných bodů přesunutím parametru bifurkace blízko bodu bifurkace (tedy „lokálního“).

Technicky vzato zvažte kontinuální dynamický systém popsaný ODE

${\ Displaystyle {\ dot {x}} = f (x, \ lambda) \ quad f \ colon \ mathbb {R} ^{n} \ times \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} ^{n} .}$

Místní bifurkace nastane v případě, že Jacobiho matice má eigenvalue s nulovou reálnou částí. Pokud je vlastní číslo rovno nule, je bifurkace bifurkace v ustáleném stavu, ale pokud je vlastní hodnota nenulová, ale čistě imaginární, jedná se o Hopfovu bifurkaci . ${\ displaystyle (x_ {0}, \ lambda _ {0})}$${\ displaystyle {\ textrm {d}} f_ {x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$

U diskrétních dynamických systémů zvažte systém

${\ Displaystyle x_ {n+1} = f (x_ {n}, \ lambda) \ ,.}$

Pak dojde k místnímu rozdvojení, pokud má matice vlastní číslo s modulem rovným jedné. Pokud je vlastní číslo rovné jedné, je bifurkace buď sedlový uzel (v mapách často nazývaný skládací rozdvojka), transkritická nebo vidlicová bifurkace. Pokud je vlastní hodnota rovna -1, jedná se o bifurkaci zdvojnásobující období (nebo překlápění) a v opačném případě se jedná o Hopfovu bifurkaci. ${\ displaystyle (x_ {0}, \ lambda _ {0})}$${\ displaystyle {\ textrm {d}} f_ {x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$

Příklady místních rozdvojení zahrnují:

• Bifurkace sedlového uzlu (skládání)
• Transkritická bifurkace
• Bifurkace vidle
• Bifurkace zdvojnásobení (překlopení) období
• Hopfova rozdvojení
• Bifurkace Neimark – Sacker (sekundární Hopf)

Globální rozdvojení

Fázový portrét před, v a po homoklinické bifurkaci ve 2D. Periodická oběžná dráha roste, dokud nenarazí na sedlový bod. V bodě bifurkace se periodická oběžná dráha rozrostla do nekonečna a stala se homoklinickou oběžnou dráhou . Po rozdvojení již není periodická oběžná dráha. Levý panel : U malých hodnot parametrů je sedlový bod na počátku a limitní cyklus v prvním kvadrantu. Střední panel : Jak se parametr bifurkace zvyšuje, limitní cyklus roste, dokud přesně neprotne sedlový bod, čímž se získá oběžná dráha nekonečného trvání. Pravý panel : Když se parametr bifurkace dále zvyšuje, mezní cyklus úplně zmizí.

Ke globálním bifurkacím dochází, když 'větší' invariantní množiny, jako jsou periodické dráhy, kolidují s rovnováhami. To způsobuje změny v topologii trajektorií ve fázovém prostoru, které nelze omezit na malé sousedství, jako je tomu u místních bifurkací. Ve skutečnosti se změny v topologii rozšiřují na libovolně velkou vzdálenost (tedy „globální“).

Mezi příklady globálních rozdvojení patří:

• Homoklinická bifurkace, při které mezní cyklus koliduje se sedlovým bodem . Homoklinické bifurkace se mohou vyskytovat superkriticky nebo subkriticky. Výše uvedenou variantou je homoklinická bifurkace „malá“ nebo „typ I“. Ve 2D existuje také „velká“ nebo „typ II“ homoklinická bifurkace, při které homoklinická orbita „zachycuje“ ostatní konce nestabilních a stabilních variet sedla. Ve třech nebo více dimenzích může dojít k bifurkacím vyšší kodimenze, které produkují komplikovanou, možná chaotickou dynamiku.
• Heteroklinická bifurkace, při které se mezní cyklus srazí se dvěma nebo více sedlovými body; zahrnují heteroklinický cyklus . Heteroklinické bifurkace jsou dvou typů: rezonanční bifurkace a příčné bifurkace. Oba typy bifurkace budou mít za následek změnu stability heteroclinického cyklu. Při rezonanční bifurkaci se stabilita cyklu změní, když je splněna algebraická podmínka vlastních hodnot rovnováhy v cyklu. To je obvykle doprovázeno narozením nebo smrtí periodické oběžné dráhy . Příčná bifurkace heteroklinického cyklu je způsobena, když skutečná část příčné vlastní hodnoty jedné z rovnováh v cyklu prochází nulou. To také způsobí změnu stability heteroclinického cyklu.
• Bifurkace s nekonečnou periodou, ve které se stabilní bod a sedlový bod současně vyskytují v limitním cyklu. Jak se limit parametru blíží určité kritické hodnotě, rychlost oscilace se zpomaluje a perioda se blíží nekonečnu. Při této kritické hodnotě dochází k rozdvojení nekonečna. Kromě kritické hodnoty se dva pevné body od sebe nepřetržitě vynořují v mezním cyklu, aby narušily oscilaci a vytvořily dva sedlové body .
• Katastrofa na modré obloze, při které se mezní cyklus střetává s nehyperbolickým cyklem.

Globální bifurkace může také zahrnovat komplikovanější soubory, jako jsou chaotické atraktory (např. Krize ).

Kodifikace rozdvojení

Codimension z rozdvojení je počet parametrů, které musí se měnit za nastat bifurkace. To odpovídá kodimenze sady parametrů, u které dochází k rozdvojení v celém prostoru parametrů. Bifurkace sedlového uzlu a Hopfova bifurkace jsou jediné generické lokální bifurkace, které jsou skutečně codimension-one (ostatní mají vyšší codimension). Transkritické a vidlicové bifurkace jsou také často považovány za codimension-one, protože normální formy lze zapisovat pouze s jedním parametrem.

Příkladem dobře studované bifurkace kodimenze-dvě je bifurkace Bogdanov – Takens .

Aplikace v semiklasické a kvantové fyzice

Bifurkační teorie byla použita k propojení kvantových systémů s dynamikou jejich klasických analogů v atomových systémech, molekulárních systémech a rezonančních tunelových diodách . Bifurkační teorie byla také použita ke studiu dynamiky laseru a řady teoretických příkladů, ke kterým je obtížné experimentálně přistupovat, jako jsou kopané vrty a spojené kvantové jamky. Dominantním důvodem vazby mezi kvantovými systémy a bifurkacemi v klasických pohybových rovnicích je to, že u bifurkací je podpis klasických oběžných drah velký, jak zdůrazňuje Martin Gutzwiller ve své klasické práci o kvantovém chaosu . Bylo studováno mnoho druhů rozdvojení s ohledem na vazby mezi klasickou a kvantovou dynamikou, včetně bifurkací sedlových uzlů, Hopfových bifurkací, umbilických bifurkací, bifurkací zdvojnásobujících periodu, bifurkací opětovného připojení, rozdvojení tečných a bifurkací hrotových.

Viz také

• Bifurkační diagram
• Bifurkační paměť
• Teorie katastrofy
• Feigenbaumovy konstanty
• Geomagnetické obrácení
• Fázový portrét
• Věta o tenisové raketě

Poznámky

Reference

• Afrajmovich, VS; Arnold, VI ; a kol. (1994). Bifurkační teorie a teorie katastrof . ISBN 978-3-540-65379-0.
• Guardia, M .; Martinez-Seara, M .; Teixeira, MA (2011). Obecné bifurkace nízké kodimenze rovinných Filippovových systémů . „Deník diferenciálních rovnic“, Febrer 2011, roč. 250, núm. 4, s. 1967–2023. DOI: 10.1016/j.jde.2010.11.016
• Wiggins, Stephen (1988). Globální bifurkace a chaos: analytické metody . New York: Springer. ISBN 978-0-387-96775-2.

externí odkazy

• Nelineární dynamika
• Bifurkace a dvourozměrné toky od Elmera G. Wiense
• Úvod do teorie rozdvojení od Johna Davida Crawforda