Distribuce Cantor - Cantor distribution

Cantor

Funkce kumulativní distribuce
Parametry	žádný
Podpěra, podpora	Cantor set
PMF	žádný
CDF	Funkce Cantor
Znamenat	1/2
Medián	kdekoli v [1/3, 2/3]
Režim	n / a
Rozptyl	1/8
Šikmost	0
Př. špičatost	-8/5
MGF	${\ displaystyle e ^ {t / 2} \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ cosh \ left ({\ frac {t} {3 ^ {k}}} \ right)}$
CF	${\ displaystyle e ^ {it / 2} \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} \ cos \ left ({\ frac {t} {3 ^ {k}}} \ right)}$

Distribuce Cantor je rozdělení pravděpodobnosti jehož kumulativní distribuční funkce je funkce Cantor .

Toto rozdělení nemá ani funkci hustoty pravděpodobnosti, ani funkci pravděpodobnostní hmotnosti , protože i když je její kumulativní distribuční funkce spojitou funkcí , distribuce není absolutně spojitá s ohledem na Lebesgueovu míru , ani nemá žádné bodové hmotnosti. Nejde tedy o diskrétní ani absolutně spojité rozdělení pravděpodobnosti, ani o jejich směs. Je to spíše příklad singulárního rozdělení .

Jeho kumulativní distribuční funkce je spojitá všude, ale vodorovná téměř všude, takže se někdy označuje jako Ďáblovo schodiště , ačkoli tento termín má obecnější význam.

Charakterizace

Podpora distribuce Cantor je sada Cantor , samotná křižovatka (countably nekonečně mnoho) stanoví:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} C_ {0} = {} & [0,1] \\ [8pt] C_ {1} = {} & [0,1 / 3] \ pohár [2 / 3,1 ] \\ [8pt] C_ {2} = {} & [0,1 / 9] \ pohár [2 / 9,1 / 3] \ pohár [2 / 3,7 / 9] \ pohár [8/9, 1] \\ [8pt] C_ {3} = {} & [0,1 / 27] \ pohár [2 / 27,1 / 9] \ pohár [2 / 9,7 / 27] \ pohár [8/27 , 1/3] \ pohár \\ [4 body] {} a [2 / 3,19 / 27] \ pohár [20 / 27,7 / 9] \ pohár [8 / 9,25 / 27] \ pohár [26 / 27,1] \\ [8 bodů] C_ {4} = {} & [0,1 / 81] \ pohár [2 / 81,1 / 27] \ pohár [2 / 27,7 / 81] \ pohár [ 8 / 81,1 / 9] \ pohár [2 / 9,19 / 81] \ pohár [20 / 81,7 / 27] \ pohár \\ [4 body] & [8 / 27,25 / 81] \ pohár [ 26 / 81,1 / 3] \ pohár [2 / 3,55 / 81] \ pohár [56 / 81,19 / 27] \ pohár [20 / 27,61 / 81] \ pohár \\ [4 body] & [ 62 / 81,21 / 27] \ pohár [8 / 9,73 / 81] \ pohár [74 / 81,25 / 27] \ pohár [26 / 27,79 / 81] \ pohár [80 / 81,1] \\ [8pt] C_ {5} = {} & \ cdots \ end {aligned}}}$

Cantorovo rozdělení je jedinečné rozdělení pravděpodobnosti, pro které je pro libovolné C _t ( t  ∈ {0, 1, 2, 3, ...}) pravděpodobnost konkrétního intervalu v C _t obsahující Cantorově distribuovanou náhodnou proměnnou shodná 2 ^{- t} v každém z 2 ^t intervalů.

Okamžiky

Symetrií je snadné vidět, že pro náhodnou proměnnou X, která má toto rozdělení, je její očekávaná hodnota E ( X ) = 1/2 a že všechny liché centrální momenty X jsou 0.

Zákon celkový rozptyl může být použit k nalezení rozptyl var ( X ), a to následovně. U výše uvedené sady C ₁ nechť Y = 0, pokud X  ∈ [0,1 / 3], a 1, pokud X  ∈ [2 / 3,1]. Pak:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatorname {var} (X) & = \ operatorname {E} (\ operatorname {var} (X \ mid Y)) + \ operatorname {var} (\ operatorname {E} ( X \ mid Y)) \\ & = {\ frac {1} {9}} \ operatorname {var} (X) + \ operatorname {var} \ left \ {{\ begin {matrix} 1/6 & {\ mbox {s pravděpodobností}} \ 1/2 \\ 5/6 & {\ mbox {s pravděpodobností}} \ 1/2 \ end {matrix}} \ right \} \\ & = {\ frac {1} {9}} \ operatorname {var} (X) + {\ frac {1} {9}} \ end {zarovnáno}}}$

Z toho dostaneme:

${\ displaystyle \ operatorname {var} (X) = {\ frac {1} {8}}.}$

Uzavřený výraz pro jakýkoli sudý centrální moment lze najít nejprve získáním sudých kumulantů

${\ displaystyle \ kappa _ {2n} = {\ frac {2 ^ {2n-1} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n}} {n \, (3 ^ {2n} -1)}} , \, \!}$

kde B _{2 n} je 2 n th číslo Bernoulliho a vyjadřující okamžiky jako funkce cumulants .

Reference

Další čtení

• Hewitt, E .; Stromberg, K. (1965). Reálná a abstraktní analýza . Berlín-Heidelberg-New York: Springer-Verlag. To, stejně jako u jiných standardních textů, má funkci Cantor a její jednostranné deriváty.
• Hu, Tian-You; Lau, Ka Sing (2002). "Fourierova asymptotika Cantorova typu měří v nekonečnu". Proc. AMS . 130 (9). 2711–2717. Toto je modernější než ostatní texty v tomto referenčním seznamu.
• Knill, O. (2006). Teorie pravděpodobnosti a stochastické procesy . Indie: Overseas Press.
• Mattilla, P. (1995). Geometrie množin v euklidovských prostorech . San Francisco: Cambridge University Press. To má pokročilejší materiál na fraktály.