Společný logaritmus - Common logarithm
V matematice je přirozený logaritmus je logaritmus se základem 10. To je také známé jako dekadický logaritmus a jako desítkové logaritmu , pojmenoval podle své základny, nebo Briggsian logaritmu , po Henry Briggs , anglický matematik, který propagoval jeho použití, jakož jako standardní logaritmus . Historicky byl znám jako logarithmus decimalis nebo logarithmus decadis . Je označen log ( x ) , log 10 ( x ) nebo někdy Log ( x ) s velkým L (tento zápis je však nejednoznačný, protože může také znamenat komplexní přirozenou logaritmickou vícehodnotovou funkci ). Na kalkulačkách je vytištěn jako „log“, ale matematici obvykle při zápisu „log“ myslí spíše přirozený logaritmus (logaritmus se základnou e ≈ 2,71828) než běžný logaritmus. Ke zmírnění této nejednoznačnosti specifikace ISO 80000 doporučuje, aby log 10 ( x ) byl zapsán lg ( x ) a log e ( x ) by měl být ln ( x ) .
Před počátkem 70. let nebyly k dispozici ruční elektronické kalkulačky a mechanické kalkulačky schopné násobení byly objemné, drahé a nebyly široce dostupné. Místo toho byly ve vědě, technice a navigaci použity tabulky logaritmů o základně 10, kdy výpočty vyžadovaly větší přesnost, než jaké bylo možné dosáhnout pomocí posuvného pravidla . Otočením násobení a dělení na sčítání a odčítání se použití logaritmů vyhnulo pracnému a k chybám náchylnému násobení a dělení papírem a tužkou. Protože logaritmy byly tak užitečné, tabulky příloh 10 logaritmů byly uvedeny v přílohách mnoha učebnic. Matematické a navigační příručky obsahovaly také tabulky logaritmů goniometrických funkcí . Historii takových tabulek najdete v tabulce protokolů .
Mantisa a charakteristika
Důležitou vlastností logaritmů o základu 10, která je činí tak užitečnými při výpočtech, je to, že logaritmus čísel větších než 1, které se liší faktorem síly 10, mají stejnou zlomkovou část. Částečná část je známá jako mantisa . Tabulky protokolů tedy musí zobrazovat pouze zlomkovou část. Tabulky běžných logaritmů obvykle uvádějí mantisu na čtyři nebo pět desetinných míst nebo více pro každé číslo v rozsahu, např. 1 000 až 9 999.
Celočíselnou část, nazývanou charakteristika , lze vypočítat jednoduchým spočítáním, o kolik míst se musí desetinná čárka přesunout, aby byla napravo od první významné číslice. Například logaritmus 120 je dán následujícím výpočtem:
Poslední číslo (0,07918) - zlomkovou část nebo mantisu společného logaritmu 120 - najdete v zobrazené tabulce. Umístění desetinné čárky ve 120 nám říká, že celočíselná část společného logaritmu 120, charakteristika, je 2.
Negativní logaritmy
Kladná čísla menší než 1 mají záporné logaritmy. Například,
Aby se předešlo potřebě samostatných tabulek převádět kladné a záporné logaritmy zpět na jejich původní čísla, lze negativní logaritmus vyjádřit jako zápornou celočíselnou charakteristiku plus kladnou mantisu. Aby to bylo usnadněno, používá se speciální notace, nazývaná barová notace :
Pruh nad charakteristikou naznačuje, že je negativní, zatímco mantisa zůstává kladná. Při čtení čísla v notovém sloupci nahlas je symbol načten jako „bar n “, tedy jako „bar 2 bod 07918…“.
Následující příklad používá notaci pro výpočet 0,012 × 0,85 = 0,0102:
* Tento krok nastaví mantisu mezi 0 a 1, aby bylo možné vyhledat její antilog (10 mantis ).
Následující tabulka ukazuje, jak lze stejnou mantisu použít pro řadu čísel lišících se mocninami deseti:
Číslo | Logaritmus | Charakteristický | Mantisa | Kombinovaná forma |
---|---|---|---|---|
n = 5 × 10 i | log 10 ( n ) | i = podlaha (log 10 ( n )) | log 10 ( n ) - i | |
5 000 000 | 6,698 970 ... | 6 | 0,698 970 ... | 6,698 970 ... |
50 | 1,698 970 ... | 1 | 0,698 970 ... | 1,698 970 ... |
5 | 0,698 970 ... | 0 | 0,698 970 ... | 0,698 970 ... |
0,5 | −0,301029 ... | -1 | 0,698 970 ... | 1 .698 970 ... |
0,000 005 | −5,301029 ... | −6 | 0,698 970 ... | 6 .698 970 ... |
Všimněte si, že mantisa je společná všem 5 × 10 i . To platí pro jakékoli kladné reálné číslo, protože
Protože i je konstanta, pochází mantisa , která je pro danou konstantní . To umožňuje, aby tabulka logaritmů obsahovala pouze jednu položku pro každou mantisu. V příkladu 5 × 10 i bude po indexování 5 (nebo 0,5, nebo 500 atd.) Uvedeno 0,698 970 (004 336 018 ...).
Dějiny
Běžné logaritmy se někdy také nazývají „Briggsovské logaritmy“ podle Henryho Briggse , britského matematika 17. století. V roce 1616 a 1617, Briggs navštívil John Napier v Edinburghu , vynálezce, co se nyní nazývá přírodní (bází e ) logaritmy, s cílem navrhnout změnu Napierovy logaritmů. Během těchto konferencí byla dohodnuta změna navržená Briggsem; a po návratu z druhé návštěvy vydal první chiliadu svých logaritmů.
Protože logaritmy základny 10 byly pro výpočty nejužitečnější, inženýři obecně jednoduše napsali „ log ( x ) “, když měli na mysli log 10 ( x ) . Matematici naopak psali „ log ( x ) “, když pro přirozený logaritmus znamenali log e ( x ) . Dnes se nacházejí oba zápisy. Protože ruční elektronické kalkulačky navrhují spíše inženýři než matematici, stalo se zvykem, že se řídili notací inženýrů. Takže zápis, podle kterého se píše „ ln ( x ) “, když je zamýšlen přirozený logaritmus, mohl být dále popularizován samotným vynálezem, který učinil použití „běžných logaritmů“ mnohem méně běžnými elektronickými kalkulačkami.
Číselná hodnota
Číselnou hodnotu pro logaritmus k základu 10 lze vypočítat s následující identitou:
jak existují postupy pro určování číselné hodnoty pro logaritmickou základnu e (viz Přirozený logaritmus § Efektivní výpočet ) a logaritmickou základnu 2 (viz Algoritmy pro výpočet binárních logaritmů ).
Derivát
Derivace logaritmu se základnou b je taková, že
, takže .
Viz také
- Binární logaritmus
- Cologaritmus
- Decibel
- Logaritmická stupnice
- Mantisa (číslo s plovoucí desetinnou čárkou)
- Napierian logaritmus
Poznámky
Reference
Bibliografie
- Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [červen 1964]. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami . Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálního tisku s opravami (prosinec 1972); první vydání). Washington DC; New York: Ministerstvo obchodu USA, National Bureau of Standards; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
- Möser, Michael (2009). Engineering Acoustics: An Introduction to Noise Control . Springer. p. 448. ISBN 978-3-540-92722-8.
- Poliyanin, Andrei Dmitrievich; Manžirov, Alexander Vladimirovič (2007) [2006-11-27]. Příručka matematiky pro inženýry a vědce . Stiskněte CRC . p. 9. ISBN 978-1-58488-502-3.