Počítač pro operace s funkcemi - Computer for operations with functions

Počítač pro práci s matematickými () funkce (na rozdíl od běžného počítače ) pracuje s funkcemi na hardwarové úrovni (tj bez programování těchto operací).

Dějiny

Výpočtový stroj pro operace s funkcemi představil a vyvinul Michail Kartsev v roce 1967. Mezi operace tohoto výpočetního stroje patřilo sčítání funkcí, odčítání a násobení, porovnání funkcí, stejné operace mezi funkcí a číslem, nalezení maxima funkce , výpočetní neurčitý integrál , výpočetní určitý integrál ze derivát ze dvou funkcí, derivát dvou funkcí, posun funkce podél osy X atd. Podstatou architektuře tento výpočetní stroj byl (s použitím moderní terminologii) a vektor procesor nebo procesoru pole , centrální procesorovou jednotku (CPU), která implementuje instrukční sada obsahující instrukce, které fungují na jednorozměrných polí dat nazývají vektory . V něm byla použita skutečnost, že mnoho z těchto operací může být interpretováno jako známá operace na vektorech: sčítání a odčítání funkcí - jako sčítání a odčítání vektorů, výpočet určitého integrálu dvou derivací funkcí - jako výpočet vektorového produktu dvou vektorů, posun funkce podél osy X - jako rotace vektoru kolem os atd. V roce 1966 navrhl Khmelnik metodu kódování funkcí, tj. reprezentaci funkcí „jednotným“ (pro funkci jako celek) pozičním kódem. A tak jsou zmíněné operace s funkcemi prováděny jako jedinečné počítačové operace s takovými kódy na „jediné“ aritmetické jednotce .

Poziční kódy funkcí s jednou proměnnou

Hlavní myšlenka

Poziční kód celého čísla je číselná notace číslic v určitém pozičním číselném systému formuláře ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle A = \ alpha _ {0} \ alpha _ {1} \ dots \ alpha _ {k} \ dots \ alpha _ {n}}$.

Takový kód lze nazvat „lineární“. Na rozdíl od ní poziční kód jedna variabilní funkce má tvar: ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle F (x)}$

${\ displaystyle F (x) = {\ začátek {pmatrix} \ & \ & \ cdots \\\ & \ & \ alpha _ {22} \ cdots \ alpha _ {2k} \ cdots \\\ & \ alpha _ { 11} & \ alpha _ {12} \ cdots \ alpha _ {1k} \ cdots \\\ alpha _ {00} & \ alpha _ {01} & \ alpha _ {02} \ cdots \ alpha _ {0k} \ cdots \ end {pmatrix}}}$

a tak je plochý a "trojúhelníkový", protože číslice v něm obsahují trojúhelník.

Hodnota pozičního čísla výše je hodnotou součtu ${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle A = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ alpha _ {k} \ rho ^ {k}}$,

kde je radix uvedeného číselného systému. Poziční kód funkce s jednou proměnnou odpovídá „dvojitému“ kódu formuláře ${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle F (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} \ součet _ {m = 0} ^ {k} \ alpha _ {mk} R ^ {k} y ^ {km} (1 -y) ^ {m}}$,

kde je celé číslo kladné číslo, množství přijatých hodnot a je určitou funkcí argumentu . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Přidání pozičních kódů čísel je spojeno s přenosem carry na vyšší číslici podle schématu

${\ displaystyle \ alpha _ {k} \ longrightarrow \ alpha _ {k + 1}}$.

Přidání pozičních kódů funkcí jedné proměnné je také spojeno s přenosem přenosu na vyšší číslice podle schématu:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ \ & \ alpha _ {k + 1, m + 1} \\\ \ nearrow & \ \\\ alpha _ {k, m} \ longrightarrow & \ alpha _ {k + 1, m} \ end {pmatrix}}}$.

Zde se stejný přenos provádí současně na dvě vyšší číslice.

R - trojúhelníkový kód

Trojúhelníkový kód se nazývá R-nary (a je označen jako ), pokud čísla berou své hodnoty ze sady ${\ displaystyle TK_ {R}}$${\ displaystyle \ alpha _ {mk}}$

${\ displaystyle D_ {R} = \ {- r_ {1}, - r_ {1} +1, \ tečky, -1,0,1, \ tečky, r_ {2} -1, r_ {2} \} }$, kde a .${\ displaystyle r_ {1}, \; r_ {2} \ geq 0}$${\ displaystyle R _ {} ^ {} = r_ {1} + r_ {2} +1}$

Například trojúhelníkový kód je ternární kód , pokud , a kvartérní kód , pokud . Pro trojúhelníkové kódy typu R platí následující rovnosti: ${\ displaystyle TK_ {3}}$${\ displaystyle \ alpha _ {mk} \ v (-1,0,1)}$${\ displaystyle TK_ {4}}$${\ displaystyle \ alpha _ {mk} \ v (-2, -1,0,1)}$

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ \ & 0 \\\ \ nearrow & \ \\ aR \ longrightarrow & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ & a \\\ \ nearrow & \ \\ 0 \ longrightarrow & a \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} \ \ & a \\\ \ nearrow & \ \\ 0 \ longrightarrow & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ & 0 \\\ \ nearrow & \ \\ aR \ longrightarrow & -a \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} \ \ & 0 \\\ \ nearrow & \ \\ 0 \ longrightarrow & a \ end { pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ & -a \\\ \ nearrow & \ \\ aR \ longrightarrow & 0 \ end {pmatrix}}}$,

kde je libovolné číslo. Existuje libovolné celé číslo reálného čísla. Zejména . Také existuje jakákoli funkce formuláře . Například . ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle TK_ {R}}$${\ displaystyle TK_ {R} (\ alfa) = \ alfa}$${\ displaystyle TK_ {R}}$${\ displaystyle y ^ {k}}$${\ displaystyle TK_ {R} (y ^ {2}) = (0 \ 0 \ 1)}$

Jednociferné sčítání

v pravoúhlých trojúhelníkových kódech sestává z následujících:

• v dané číslici je určen součet číslic, které jsou přidávány a dva znaky , přenesené do této číslice zleva, tj.${\ displaystyle (mk)}$${\ displaystyle S_ {mk} ^ {}}$${\ displaystyle \ alpha _ {mk}, \ \ beta _ {mk}}$${\ displaystyle p_ {m, k-1}, \ p_ {m-1, k-1}}$

${\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ alpha _ {mk} + \ beta _ {mk} + p_ {m, k-1} + p_ {m-1, k-1}}$,

• tato částka je prezentován ve formě , kde ,${\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ sigma _ {mk} + Rp_ {mk}}$${\ displaystyle \ sigma _ {mk} \ v D_ {R}}$
• ${\ displaystyle \ sigma _ {mk}}$je napsáno v - číslici souhrnného kódu a přenos z dané číslice je přenesen do - číslice a - číslice.${\ displaystyle (mk)}$${\ displaystyle p_ {mk}}$${\ displaystyle (m, k + 1)}$${\ displaystyle (m + 1, k + 1)}$

Tento postup je popsán (stejně jako u jednociferného sčítání čísel) tabulkou s jednociferným sčítáním, kde jsou všechny hodnoty výrazů a musí být přítomny a všechny hodnoty nese se objevují při rozkladu součtu . Taková tabulka může být syntetizována pro Níže jsme napsali tabulku s přidáním jedné číslice pro : ${\ displaystyle \ alpha _ {mk} \ v D_ {R}}$${\ displaystyle \ beta _ {mk} \ v D_ {R}}$${\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ sigma _ {mk} + Rp_ {mk}}$${\ displaystyle R> 2.}$
${\ displaystyle R = 3}$

Smk	TK (Smk)		${\ displaystyle \ sigma _ {mk} ^ {}}$	${\ displaystyle p_ {mk} ^ {}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	0	.	.
1	1	0	1	0
.	.	0	.	.
(-1)	(-1)	0	(-1)	0
.	.	1	.	.
2	(-1)	1	(-1)	1
.	.	1	.	.
3	0	1	0	1
.	.	1	.	.
4	1	1	1	1
.	.	(-1)	.	.
(-2)	1	(-1)	1	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-3)	0	(-1)	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-4)	(-1)	(-1)	(-1)	(-1)

Jednociferné odčítání

v pravoúhlých trojúhelníkových kódech se liší od jednociferného sčítání pouze tím, že v dané číslici je hodnota určena vzorcem ${\ displaystyle (mk)}$${\ displaystyle S_ {mk} ^ {}}$

${\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ alpha _ {mk} - \ beta _ {mk} + p_ {m, k-1} + p_ {m-1, k-1}}$.

Jednociferné dělení parametrem R.

v pravoúhlých trojúhelníkových kódech je založeno na použití korelace:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ \ & a \\\ \ nearrow & \ \\ 0 \ longrightarrow & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ \ & 0 \\\ \ nearrow & \ \\ aR \ longrightarrow & -a \ end {pmatrix}}}$,

z toho vyplývá, že rozdělení příčin každé číslice nese dvě nejnižší číslice. Výsledkem číslic v této operaci je tedy součet kvocientu z dělení této číslice číslem R a dvě číslice nesou dvě nejvyšší číslice. Když se tedy dělí parametrem R.

• v dané číslici je určen následující součet${\ displaystyle (mk)}$

${\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ alpha _ {mk} / R-p_ {m + 1, k} / R + p_ {m + 1, k + 1}}$,

• tato suma je uvedena jako , kde ,${\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ sigma _ {mk} + p_ {mk} / R}$${\ displaystyle \ sigma _ {mk} \ v D_ {R}}$
• ${\ displaystyle \ sigma _ {mk}}$je zapsán do - číslice výsledného kódu a přenos z dané číslice je přenesen do - číslice a - číslice.${\ displaystyle (mk)}$${\ displaystyle p_ {mk}}$${\ displaystyle (m-1, k-1)}$${\ displaystyle (m-1, k)}$

Tento postup je popsán v tabulce jednociferného dělení parametrem R, kde musí být přítomny všechny hodnoty termínů a všechny hodnoty carry, které se objevují při rozkladu součtu . Taková tabulka může být syntetizována pro Níže uvedená tabulka bude dána pro jednociferné dělení parametrem R pro : ${\ displaystyle S_ {mk} ^ {} = \ sigma _ {mk} + p_ {mk} / R}$${\ displaystyle R> 2.}$
${\ displaystyle R = 3}$

Smk	TK (Smk)		${\ displaystyle \ sigma _ {mk} ^ {}}$	${\ displaystyle p_ {mk} ^ {}}$
.	.	0	.	.
0	0	0	0	0
.	.	1	.	.
1	0	0	1	0
.	.	(-1)	.	.
(-1)	0	0	(-1)	0
.	.	0	.	.
1/3	1	(-1/3)	0	1
.	.	1	.	.
2/3	(-1)	1/3	1	(-1)
.	.	1	.	.
4/3	1	(-1/3)	1	1
.	.	2	.	.
5/3	(-1)	1/3	2	(-1)
.	.	0	.	.
(-1/3)	(-1)	1/3	0	(-1)
.	.	(-1)	.	.
(-2/3)	1	(-1/3)	(-1)	1
.	.	(-1)	.	.
(-4/3)	(-1)	1/3	(-1)	(-1)
.	.	(-2)	.	.
(-5/3)	1	(-1/3)	(-2)	1

Sčítání a odčítání

R-Nary trojúhelníkových kódů spočívá (jako v pozičních kódech čísel) v následně provedených jednociferných operacích. Pamatujte, že jednociferné operace ve všech číslicích každého sloupce jsou prováděny současně.

Násobení

R-nary trojúhelníkových kódů. Násobení kodexu ze strany -digit jiného kódu spočívá v -shift kódu , tedy jeho posun K sloupce vlevo a m řádků nahoru. Násobení kódů a spočívá v následných - posunech kódu a přidání posunutého kódu k dílčímu produktu (jako v pozičních kódech čísel). ${\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$${\ displaystyle (mk)}$${\ displaystyle TK_ {R} '' ^ {}}$${\ displaystyle (mk)}$${\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$${\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$${\ displaystyle TK_ {R} '' ^ {}}$${\ displaystyle (mk)}$${\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$${\ displaystyle TK_ {R} '^ {}}$

Derivace

R-nary trojúhelníkových kódů. Derivace funkce , definovaná výše, je ${\ displaystyle F (x)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné F (x)} {\ částečné x}} = {\ frac {\ částečné y} {\ částečné x}} {\ frac {\ částečné F (x)} {\ částečné y }}}$.

Odvození trojúhelníkových kódů funkce tedy spočívá v určení trojúhelníkového kódu částečné derivace a jeho násobení známým trojúhelníkovým kódem derivace . Určení trojúhelníkového kódu parciální derivace je založeno na korelaci ${\ displaystyle F (x)}$${\ displaystyle {\ frac {\ částečné F (x)} {\ částečné y}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ částečné y} {\ částečné x}}}$${\ displaystyle {\ frac {\ částečné F (x)} {\ částečné y}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ částečné} {\ částečné x}} {\ begin {pmatrix} \ & \ & 0 \\\ & 0 & \ alpha _ {mk} \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin { pmatrix} \ & \ & (km) \ alpha _ {mk} \\\ & 0 & (k-2m) \ alpha _ {mk} \\ 0 & 0 & (- m) \ alpha _ {mk} \ end {pmatrix}}}$.

Metoda odvození spočívá v organizování přenosů z mk-číslice do (m + 1, k) -číselné a do (m-1, k) -číselné a jejich součet v dané číslici se provádí stejným způsobem jako v jedné přidání číslice.

Kódování a dekódování

R-nary trojúhelníkových kódů. Funkce představovaná řadou formuláře

${\ displaystyle F (x) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} A_ {k} y ^ {k}}$,

s celočíselnými koeficienty , mohou být reprezentovány R-nary trojúhelníkovými kódy, pro tyto koeficienty a funkce mají R-nary trojúhelníkové kódy (které byly zmíněny na začátku části). Na druhou stranu může být R-nary trojúhelníkový kód reprezentován uvedenou řadou, protože jakýkoli člen v pozičním rozšiřování funkce (odpovídající tomuto kódu) může být reprezentován podobnou řadou. ${\ displaystyle A_ {k}}$${\ displaystyle y ^ {k}}$${\ displaystyle \ alpha _ {mk} R ^ {k} y ^ {k} (1-y) ^ {m}}$

Zkrácení

R-nary trojúhelníkových kódů. Toto je název operace snižování počtu „nenulových“ nula sloupců. Nutnost zkrácení se objevuje při vzniku nositelů za digitální sítí. Zkrácení spočívá v dělení parametrem R. Všechny koeficienty řady představované kódem jsou zkráceny R časy a zlomkové části těchto koeficientů jsou zahozeny. První termín série je také vyřazen. Taková redukce je přijatelná, pokud je známo, že řada funkcí konverguje. Zkrácení spočívá v následně provedených jednociferných operacích dělení parametrem R. Jednociferné operace ve všech číslicích řádku jsou prováděny současně a nosiče ze spodního řádku jsou vyřazeny.

Měřítko

R-nary trojúhelníkový kód je doprovázen měřítkem M, podobně jako exponent pro číslo s plovoucí desetinnou čárkou. Faktor M umožňuje zobrazit všechny koeficienty kódované řady jako celočíselná čísla. Faktor M se při zkrácení kódu vynásobí R. U sčítacích faktorů M musí být jeden z přidaných kódů zkrácen. Pro násobení se násobí také faktory M.

Poziční kód pro funkce mnoha proměnných

Poziční kód pro funkci dvou proměnných je znázorněn na obrázku 1. Odpovídá „trojitému“ součtu tvaru :: , kde je celé číslo kladné číslo, počet hodnot obrázku a - určité funkce argumentů odpovídajícím způsobem. Na obrázku 1 uzly odpovídají číslicím a v kruzích jsou zobrazeny hodnoty indexů odpovídající číslice. Poziční kód funkce dvou proměnných se nazývá „pyramidální“. Poziční kód se nazývá R-nary (a je označen jako ), pokud čísla přebírají hodnoty ze sady . Po přidání kódů se nosnost rozšíří na čtyři číslice, a tedy . ${\ displaystyle F (x, v) = \ součet _ {k = 0} ^ {n} \ součet _ {m1 = 0} ^ {k} \ součet _ {m2 = 0} ^ {k} \ alfa _ { m1, m2, k} R ^ {k} y ^ {k-m1} (1-y) ^ {m1} z ^ {k-m2} (1-z) ^ {m2}}$
${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ alpha _ {m1, m2, k}}$${\ displaystyle y (x), ~ z (v)}$${\ displaystyle x, ~ v}$${\ displaystyle \ alpha _ {m1, m2, k}}$${\ displaystyle {m1, m2, k}}$${\ displaystyle PK_ {R}}$${\ displaystyle \ alpha _ {m1, m2, k}}$${\ displaystyle D_ {R}}$${\ displaystyle PK_ {R}}$${\ displaystyle R \ geq 7}$

Poziční kód funkce z několika proměnných odpovídá součtu formuláře

${\ displaystyle F (x_ {1}, \ ldots, x_ {i}, \ ldots, x_ {a}) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} \ sum _ {m_ {1} = 0} ^ {k} \ ldots \ sum _ {m_ {a} = 0} ^ {k} (\ alpha _ {m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k} R ^ {k} \ prod _ { i = 1} ^ {a} (y_ {i} ^ {k-m_ {i}} (1-y_ {i}) ^ {m_ {i}}))}$,

kde je celé číslo kladné číslo, počet hodnot číslice a určité funkce argumentů . Poziční kód funkce několika proměnných se nazývá „hyperpyramidální“. Na obrázku 2 je znázorněn například poziční hyperpyramidový kód funkce tří proměnných. Na něm uzly odpovídají číslicím a kruhy obsahují hodnoty indexů odpovídající číslice. Poziční hyperpyramidový kód se nazývá R-nary (a je označen jako ), pokud čísla přebírají hodnoty ze sady . Při přidávání kódy carry rozšiřuje na a rozměrné kostky, obsahující číslice, a tím . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle \ alpha _ {m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k}}$${\ displaystyle y_ {i} (x_ {i})}$${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle \ alpha _ {m1, m2, m3, k}}$${\ displaystyle {m1, m2, m3, k}}$${\ displaystyle GPK_ {R}}$${\ displaystyle \ alpha _ {m_ {1}, \ ldots, m_ {a}, k}}$${\ displaystyle D_ {R}}$${\ displaystyle GPK_ {R}}$${\ displaystyle 2 ^ {a}}$${\ displaystyle R \ geq (2 ^ {a-1} -1)}$

Viz také

• Hardwarová akcelerace
• Procesor digitálního signálu

Reference