Descartova vláda znamení

V matematice , pravidlo Descartova příznaků , poprvé popsal René Descartes ve svém díle La geometrie , je technika pro získávání informací o počtu pozitivních reálných kořenů jednoho polynomu . Tvrdí, že počet kladných kořenů je nanejvýš počet změn znaménka v posloupnosti polynomiálních koeficientů (vynecháním nulových koeficientů) a že rozdíl mezi těmito dvěma čísly je vždy sudý. To zejména znamená, že pokud je počet změn znaménka nula nebo jedna, pak existuje přesně nula nebo jeden kladný kořen.

U homographic transformace proměnné, jeden může používat Descartesovu pravidlo znamení pro získání podobné informace o počtu kořenů v libovolném intervalu. Toto je základní myšlenka Budanovy věty a Budan-Fourierovy věty . Opakováním rozdělení intervalu na dva intervaly se nakonec získá seznam disjunktních intervalů, které obsahují společně všechny skutečné kořeny polynomu a obsahují každý přesně jeden skutečný kořen. Descartovo pravidlo znaků a homografické transformace proměnné jsou v dnešní době základem nejrychlejších algoritmů pro počítačový výpočet skutečných kořenů polynomů (viz izolace skutečných kořenů ).

Descartes sám použil transformaci $x \to - x$ pro použití svého pravidla pro získání informace o počtu negativních kořenů.

Pozitivní kořeny

Pravidlo říká, že pokud jsou nenulové podmínky polynomu s jednou proměnnou se skutečnými koeficienty seřazeny podle sestupného exponenta proměnné, pak je počet kladných kořenů polynomu buď roven počtu změn znaménka mezi po sobě jdoucími (nenulovými) koeficienty, nebo je menší než sudé číslo. Kořen multiplicity $k$ se počítá jako $k$ kořenů.

Zejména pokud je počet změn znaménka nula nebo jedna, počet kladných kořenů se rovná počtu změn znaménka.

Negativní kořeny

Jako důsledek tohoto pravidla, počet negativních kořenů je počet znakových změn po vynásobení koeficienty zvláštní výkonem, pokud jde o -1, nebo méně než to sudým číslem. Tento postup je ekvivalentní nahrazení negace proměnné za proměnnou samotnou. Například záporné kořeny jsou kladné kořeny ${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d}$

{\ displaystyle a (-x) ^ {3} + b (-x) ^ {2} + c (-x) + d = -ax ^ {3} + bx ^ {2} -cx + d.}

Aplikování Descartova pravidla znaků na tento polynom dává tedy maximální počet záporných kořenů původního polynomu.

Příklad: skutečné kořeny

Polynom

{\ displaystyle f (x) = + x ^ {3} + x ^ {2} -x-1}

má jednu změnu znaménka mezi druhým a třetím výrazem (posloupnost znaků je $(+, +, -, -)$ . Proto má právě jeden pozitivní kořen. Chcete-li zjistit počet negativních kořenů, změňte znaménka koeficientů termíny s lichými exponenty, tj. použít Descartovo pravidlo znaménka na polynom , aby získal polynom ${\ displaystyle f (-x)}$

{\ displaystyle f (-x) = - x ^ {3} + x ^ {2} + x-1.}

Tento polynom má dvě změny znaménka (znaky posloupnosti jsou $(-, +, +, -)$ ), což znamená, že tento druhý polynom má dva nebo nulové kladné kořeny; tedy původní polynom má dva nebo nula záporných kořenů.

Ve skutečnosti, faktorizace prvního polynomu je

{\ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2} (x-1),}

takže kořeny jsou –1 (dvakrát) a +1 (jednou).

Faktorizace druhého polynomu je

{\ displaystyle f (-x) = - (x-1) ^ {2} (x + 1),}

Takže zde jsou kořeny +1 (dvakrát) a –1 (jednou), což je negace kořenů původního polynomu.

Nereálné kořeny

Libovolný polynom n- tého stupně má přesně n kořenů v komplexní rovině , pokud se počítá podle multiplicity. Pokud je tedy f ( x ) polynom, který nemá kořen na 0 (tj. Polynom s nenulovou konstantní hodnotou), pak se minimální počet nereálných kořenů rovná

{\ displaystyle n- (p + q),}

kde p označuje maximální počet kladných kořenů, q označuje maximální počet záporných kořenů (oba lze najít pomocí Descartova pravidla znaménka) a n označuje stupeň rovnice.

Příklad: některé nulové koeficienty a nereálné kořeny

Polynom

{\ displaystyle f (x) = x ^ {3} -1,}

má jednu změnu znaménka; takže počet pozitivních skutečných kořenů je jeden. Tak jako

{\ displaystyle f (-x) = - x ^ {3} -1,}

nemá žádnou změnu znaménka, původní polynom nemá žádné negativní skutečné kořeny. Takže počet neskutečných kořenů je

{\ displaystyle 3- (1 + 0) = 2 \ ,.}

Protože nereální kořeny polynomu se skutečnými koeficienty se musí vyskytovat v konjugovaných párech, znamená to, že $x 3 - 1$ má přesně dva nereální kořeny a jeden skutečný kořen, což je kladné.

Speciální případ

K odečtení pouze násobků 2 od maximálního počtu kladných kořenů dochází, protože polynom může mít nereálné kořeny, které vždy přicházejí v párech, protože pravidlo platí pro polynomy, jejichž koeficienty jsou skutečné. Pokud je tedy známo, že polynom má všechny skutečné kořeny, toto pravidlo umožňuje najít přesný počet kladných a záporných kořenů. Protože je snadné určit multiplicitu nuly jako kořen, lze v tomto případě určit znaménko všech kořenů.

Zobecnění

Pokud skutečný polynom P má k skutečné kladné kořeny k počítané s multiplicitou, pak pro každé a > 0 jsou alespoň k změny znaménka v posloupnosti koeficientů Taylorovy řady funkce e ^ax P ( x ). Pro dostatečně velkou A existuje přesně k takové změny znaménka.

V 70. letech Askold Khovanskii vyvinul teorii fewnomials, která zobecňuje Descartovu vládu. Pravidlo značek lze považovat za tvrzení, že počet skutečných kořenů polynomu závisí na složitosti polynomu a že tato složitost je úměrná počtu monomiálů, které má, nikoli jeho míře. Khovanskiǐ ukázal, že to platí nejen pro polynomy, ale i pro algebraické kombinace mnoha transcendentálních funkcí, takzvaných Pfaffianových funkcí .

Viz také

Sturmova věta - Počet kořenů polynomu v intervalu bez jejich výpočtu
Rational root theorem - Vztah mezi racionálními kořeny polynomu a jeho extrémními koeficienty
Geometrické vlastnosti kořenů polynomů - Geometrie umístění kořenů polynomů
Gauss – Lucasova věta - Geometrický vztah mezi kořeny polynomu a kořeny jeho derivace

Poznámky

externí odkazy

Tento článek obsahuje materiál z Descartova pravidla značek na PlanetMath , který je licencován pod licencí Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Descartesovo pravidlo značek - důkaz pravidla
Descartovo pravidlo značek - základní vysvětlení

Languages

In other projects

Descartova vláda znamení - Descartes' rule of signs

Obsah