Směr kosinus - Direction cosine

V analytické geometrie , jsou směrové kosiny (nebo směrové kosiny ), o vektoru jsou kosiny úhlů mezi vektorem a tři pozitivní souřadných os. Ekvivalentně se jedná o příspěvky každé složky základny k jednotkovému vektoru v tomto směru. Směrové kosiny jsou analogickým rozšířením obvyklé představy o sklonu do vyšších dimenzí.

Trojrozměrné karteziánské souřadnice

Vektor v v R ³

Směrové kosiny a směrové úhly pro jednotkový vektor v / | v |

Pokud v je euklidovský vektor v trojrozměrném euklidovském prostoru , R ³ ,

${\ displaystyle \ mathbf {v} = v_ {x} \ mathbf {e} _ {x} + v_ {y} \ mathbf {e} _ {y} + v_ {z} \ mathbf {e} _ {z} ,}$

kde e _x , e _y , e _z jsou standardní základ v kartézské notaci, pak jsou kosinové směru

${\ displaystyle {\ begin {alignedat} {2} \ alpha & {} = \ cos a = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {x}} {\ Vert \ mathbf {v } \ Vert}} && {} = {\ frac {v_ {x}} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}} }, \\\ beta & {} = \ cos b = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {y}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}} &&} = {\ frac {v_ {y}} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}, \\\ gamma & { } = \ cos c = {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {e} _ {z}} {\ Vert \ mathbf {v} \ Vert}} && {} = {\ frac {v_ {z }} {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}. \ end {alignedat}}}$

Z toho vyplývá, že čtvercem každé rovnice a přidáním výsledků

${\ displaystyle \ cos ^ {2} a + \ cos ^ {2} b + \ cos ^ {2} c = \ alpha ^ {2} + \ beta ^ {2} + \ gamma ^ {2} = 1.}$

Zde α , β a γ jsou směrové kosiny a karteziánské souřadnice jednotkového vektoru v / | V |, a , b a c jsou směrové úhly vektoru V .

Směrové úhly a , b a c jsou ostré nebo tupé úhly , tj. 0 ≤ a ≤ π, 0 ≤ b ≤ π a 0 ≤ c ≤ π , a označují úhly vytvořené mezi v a jednotkovými základními vektory, e _x , e _y a e _z .

Obecný význam

Obecněji se kosinový směr týká kosinu úhlu mezi libovolnými dvěma vektory . Jsou užitečné pro vytváření směrových kosinových matic, které vyjadřují jednu sadu ortonormálních bazálních vektorů, pokud jde o jinou sadu, nebo pro vyjádření známého vektoru na jiném základě.

Viz také

• Kartézský tenzor

Reference

• Kay, DC (1988). Tenzorový počet . Schaumovy obrysy. McGraw Hill. 18–19. ISBN 0-07-033484-6.
• Spiegel, MR; Lipschutz, S .; Spellman, D. (2009). Vektorová analýza . Schaum's Outlines (2. vyd.). McGraw Hill. 15, 25. ISBN 978-0-07-161545-7.
• Tyldesley, JR (1975). Úvod do tenzorové analýzy pro inženýry a aplikované vědce . Longman. p. 5. ISBN 0-582-44355-5.
• Tang, KT (2006). Matematické metody pro inženýry a vědce . 2 . Springer. p. 13. ISBN 3-540-30268-9.
• Weisstein, Eric W. „Kosinový směr“ . MathWorld .